2023屆青海省部分名校高三下學(xué)期適應(yīng)性檢測(cè)數(shù)學(xué)（文）試題

2023屆青海省部分名校高三下學(xué)期適應(yīng)性檢測(cè)數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?，即，則．故選：D2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解不等式化簡(jiǎn)集合A，B，再利用并集的定義求解作答.【詳解】依題意，，，所以.故選：C3．已知平面向量，，且，則（

）A．5 B． C． D．【答案】C【分析】利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算的值，再求模即可.【詳解】，則，所以．故選：C4．已知互相垂直的兩個(gè)平面，交于直線，若直線滿(mǎn)足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】因?yàn)?且,可得選項(xiàng)B正確選項(xiàng)D錯(cuò)誤，根據(jù)面面垂直可得選項(xiàng)AC錯(cuò)誤.【詳解】因?yàn)椋?，所以，選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；又，所以或,A,C錯(cuò)誤；故選:B．5．某企業(yè)為了解員工身體健康情況，采用分層抽樣的方法從該企業(yè)的營(yíng)銷(xiāo)部門(mén)和研發(fā)部門(mén)抽取部分員工體檢，已知該企業(yè)營(yíng)銷(xiāo)部門(mén)和研發(fā)部門(mén)的員工人數(shù)之比是4:1，且被抽到參加體檢的員工中，營(yíng)銷(xiāo)部門(mén)的人數(shù)比研發(fā)部門(mén)的人數(shù)多72，則參加體檢的人數(shù)是（

）A．90 B．96 C．120 D．144【答案】C【分析】設(shè)參加體檢的人數(shù)是，根據(jù)題意列出方程，求解即可.【詳解】解：設(shè)參加體檢的人數(shù)是，則，解得，所以參加體檢的人數(shù)是120人.故選：C.6．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別是a，b，c，若的面積是，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正余弦定理及面積公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可.【詳解】由余弦定理可得：由條件及正弦定理可得：，所以，則．故選：A7．已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足約束條件，則的最大值是（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】C【分析】作出可行域，根據(jù)的幾何意義，即可求得答案.【詳解】畫(huà)出不等式組表示的可行域，如圖所示，（陰影部分），解方程組，得，故，解，可得，故，表示的是可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，,根據(jù)的幾何意義可知的最大值為2，，故選：C8．已知函數(shù)為偶函數(shù)，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，則關(guān)于x的不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱(chēng)性，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用單調(diào)性解函數(shù)不等式.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)．因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減．因?yàn)?，所以，解得．故選：A.9．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式得到，兩邊平方得到的值，再根據(jù)誘導(dǎo)公式進(jìn)一步運(yùn)算得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，兩邊平方得，則，故．故選：C.10．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先由三角函數(shù)的圖象變換及誘導(dǎo)公式可得.再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性即可.【詳解】，令，，解得，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為．故選：D11．已知體積為的球與正三棱柱的所有面都相切，則三棱柱外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)球與正三棱柱的所有面都相切，求得底面三角形內(nèi)切圓的半徑以及棱柱的高，繼而求得外接球半徑，即可求得答案.【詳解】因?yàn)榍虻捏w積為，所以球的半徑為1，又球與正三棱柱的所有面都相切，所以正三棱柱底面內(nèi)切圓的半徑為1，棱柱高為2，設(shè)正三棱柱的外接球的球心為O，底面內(nèi)切圓的圓心為,設(shè)的中點(diǎn)為D，則在上，且,又,則三棱柱外接球的半徑為，即外接球的表面積為,故選：B12．若函數(shù)的最小值為，則函數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由于與的最小值相同，故可知的最小值，由即可確定答案.【詳解】由題意知定義域?yàn)?，則，由于的最小值為，則最小值也為m，因?yàn)椋实淖钚≈禐?，故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于利用整體代換思想得出，明確與的最小值相同，從而由解決問(wèn)題.二、填空題13．函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為_(kāi)_____．【答案】5【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將代入，可求得答案.【詳解】因?yàn)?，所?即函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為5，故答案為：514．南宋晚期的龍泉窯粉青釉刻花斗笠盞如圖1所示，忽略杯盞的厚度，這只杯盞的軸截面如圖2所示，其中光滑的曲線是拋物線的一部分，已知杯盞盛滿(mǎn)茶水時(shí)茶水的深度為3cm，則該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為_(kāi)_____cm.【答案】【分析】以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，根據(jù)題意得到點(diǎn)的坐標(biāo)，代入求出參數(shù)的值，即可得解.【詳解】如圖，以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為軸，建立直角坐標(biāo)系，依題意可得的坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，解得.故該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為cm.故答案為：15．2023年杭州亞運(yùn)會(huì)需招募志愿者，現(xiàn)從甲、乙等5名志愿者中任意選出2人開(kāi)展應(yīng)急救助工作，則甲、乙2人中恰有1人被選中的概率為_(kāi)_____.【答案】【分析】利用古典概型的概率求解.【詳解】解：記另外3人為，，，從這5人中任意選出2人，總事件包括（甲，乙），（甲，），（甲，），（甲，），（乙，），（乙，），（乙，），，，，共10種情況，其中甲、乙2人中恰有1人被選中的事件包括（甲，），（甲，），（甲，），（乙，），（乙，），（乙，），共6種情況，故所求的概率為.故答案為：16．已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是雙曲線的左焦點(diǎn)，平面內(nèi)一點(diǎn)M滿(mǎn)足△OMF是等邊三角形，線段MF與雙曲線E交于點(diǎn)N，且，則雙曲線E的離心率為_(kāi)_____．【答案】【分析】根據(jù)等邊三角形性質(zhì)、余弦定理以可解得，進(jìn)而根據(jù)雙曲線的定義可求得，即可得到其離心率.【詳解】根據(jù)雙曲線的對(duì)稱(chēng)性，不妨假設(shè)在第二象限，作出如下圖形，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，連接.因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，．又，所以．在中，由余弦定理知，則.根據(jù)雙曲線的定義有，則．故答案為：.三、解答題17．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)題意，由分組求和法結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得．當(dāng)時(shí)，，則，即，從而是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以，且當(dāng)時(shí)，也滿(mǎn)足，所以故．（2）由（1）可得，則，故．18．赤霉素在幼芽、幼根、未成熟的種子中合成，其作用是促進(jìn)細(xì)胞的生長(zhǎng)，使得植株變高，每粒種子的赤霉素含量（單位：ng/g）直接影響該粒種子后天的生長(zhǎng)質(zhì)量.現(xiàn)通過(guò)生物儀器采集了赤霉素含量分別為10，20，30，40，50的種子各20粒，并跟蹤每粒種子后天生長(zhǎng)的情況，收集種子后天生長(zhǎng)的優(yōu)質(zhì)數(shù)量（單位：粒），得到的數(shù)據(jù)如下表：赤霉素含量1020304050后天生長(zhǎng)的優(yōu)質(zhì)數(shù)量237810(1)求關(guān)于的線性回歸方程；(2)利用（1）中的回歸方程，估計(jì)1000粒赤霉素含量為60ng/g的種子后天生長(zhǎng)的優(yōu)質(zhì)數(shù)量.附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，.【答案】(1)(2)615【分析】（1）求出、、、，代入公式計(jì)算可得答案；（2）將代入可得答案.【詳解】（1），，，，則，，故關(guān)于的線性回歸方程為；（2）將，代入，得到，則估計(jì)1000粒赤霉素含量為60ng/g的種子后天生長(zhǎng)的優(yōu)質(zhì)數(shù)量為.19．如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，，，是棱上的一點(diǎn)，且．(1)證明：平面．(2)若，，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用菱形、等腰三角形的性質(zhì)以及線面垂直的判定定理.（2）利用線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理以及等體積法進(jìn)行求解.【詳解】（1）證明：記，連接，則是，的中點(diǎn)．因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以．因?yàn)?，且是的中點(diǎn)，所以．因?yàn)椋矫?，且，所以平面．?）連接．因?yàn)?，且是的中點(diǎn)，所以．因?yàn)椋?，平面，且，所以平面．因?yàn)?，，所以，，所以，故三棱錐的體積，因?yàn)?，所以．過(guò)點(diǎn)作，垂足為，由題中數(shù)據(jù)可得，，則．因?yàn)槠矫?，且平面，所以，則的面積．設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，解得．20．已知函數(shù)．(1)若在上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)得，由在上不單調(diào)，可得關(guān)于的方程在上有根，由此即可得出答案；（2）恒成立，分離參數(shù)可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可得解.【詳解】（1）因?yàn)椋?因?yàn)楹瘮?shù)在上不單調(diào)，所以關(guān)于的方程在上有根，所以，所以，即的取值范圍是；（2）因?yàn)?，所?令，則．令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，即的取值范圍是．21．已知橢圓：（），四點(diǎn)，，，中恰有三點(diǎn)在橢圓上．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，試問(wèn)直線，的斜率之和是否為定值？若是定值，求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)是，1【分析】（1）根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性以及已知建立方程組求解.（2）利用直線與橢圓的方程聯(lián)立以及韋達(dá)定理、斜率公式進(jìn)行計(jì)算求解.【詳解】（1）由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知，，在橢圓上．由題意可得解得故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，則不妨令，．因?yàn)?，所以，．?dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立整理得，則由，得，，．因?yàn)?，，所以．綜上，直線，的斜率之和是定值，且該定值為1．22．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線與極軸相交于，兩點(diǎn).(1)求曲線的極坐標(biāo)方程及點(diǎn)的極坐標(biāo)；(2)若直線的極坐標(biāo)方程為，曲線與直線相交于，兩點(diǎn)，求的面積.【答案】(1)，(2)【分析】（1）消去參數(shù)可得曲線的普通方程，再由代入可得答案；（2）令求出，再由可得答案.【詳解】（1）由消去參數(shù)，得，即，由代入可得曲線的極坐標(biāo)方程為.令，則，故點(diǎn)的極坐標(biāo)為；（2）令，則，