高等數(shù)學第十章曲線積分

高等數(shù)學第十章曲線積分第1頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四一、對弧長的曲線積分的概念1．定義

2．物理意義

表示線密度為

的弧段的質(zhì)量.第2頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四二、對弧長的曲線積分的性質(zhì)1．線性性質(zhì)：

若

,則5.奇偶對稱性：

2．可加性：3．

的弧長：4.單調(diào)性：設(shè)在上，則關(guān)于x軸對稱，為y的奇函數(shù)關(guān)于x軸對稱，為y的偶函數(shù)第3頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四三、對弧長的曲線積分的計算方法方法：化為定積分計算（注：下限<上限）（1）參數(shù)方程：若則

（2）直角坐標：若則

（3）極坐標：若;則“描述代入”法第4頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四（4）參數(shù)方程：若

則注：被積函數(shù)可用積分曲線方程化簡！四、對弧長的曲線積分的應(yīng)用1．幾何應(yīng)用求曲線的弧長2．物理應(yīng)用質(zhì)量質(zhì)心轉(zhuǎn)動慣量第5頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四一、對坐標的曲線積分的概念1．定義2．物理意義

變力沿

所作的功.對坐標的曲線積分（第二型曲線積分）第6頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四二、對坐標的曲線積分的性質(zhì)若（方向不變），則設(shè)是的反向曲線弧，則2.方向性：1．可加性：3.奇偶對稱性：關(guān)于x軸對稱，為y的偶函數(shù)關(guān)于x軸對稱，為y的奇函數(shù)關(guān)于y軸對稱，為x的偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱，為x的奇函數(shù)第7頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四三、對坐標的曲線積分的計算方法（化為定積分計算）（1）參數(shù)方程：1．直接計算法：設(shè)從變到;則設(shè);從變到;則“描述代入”法第8頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四設(shè)從變到;則（2）直角坐標：設(shè)從變到;則注:下限起點上限終點第9頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四3．利用積分與路徑無關(guān)的條件計算法與路徑無關(guān)─單連域.—單連域.2．格林（Green）公式計算法（注意使用條件?。ㄟ@里為區(qū)域的正向邊界曲線)，為區(qū)域內(nèi)任意閉曲線.

第10頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四四、兩類曲線積分之間的聯(lián)系

其中為有向曲線弧在點處的切向量的方向角.

五、對坐標的曲線積分的解題方法第11頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四No積分與路徑無關(guān)封閉取特殊曲線轉(zhuǎn)化為定積分積分與路徑有關(guān)封閉確定D應(yīng)用Green公式對L補上特殊曲線在封閉曲線上應(yīng)用Green公式轉(zhuǎn)化為定積分YesNoYesNoYes解題方法流程圖

第12頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四由上圖可以看出，計算第二型曲線積分時，首先要找出函數(shù)

及積分曲線

然后判斷等式是否成立？若上述等式成立，則曲線積分在單連域

內(nèi)與積分路徑無關(guān).此時的計算方法是，看積分曲線

是否封閉.若為封閉曲線,則利用積分與路徑無關(guān)的等價命題，便可知所求積分為零;若上式不成立，則曲線積分與積分路徑有關(guān)。此時的計算方法是，看積分曲線

是否封閉.若為封閉曲線,則直接利用若

不是封閉曲線,通常采用取特殊路徑的方法（如取平行于坐標軸的折線)來計算所給積分，即第13頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四Green公式計算所給積分，即若

不是封閉曲線,則計算方法一般有兩種,一種是將曲線再計算

最后將兩式相減便得原曲線積分的值,即積分化為定積分來計算；另一方法是通過補特殊路徑

,使與構(gòu)成封閉曲線，然后在封閉曲線

上應(yīng)用Green公式,即第14頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四六、對坐標的曲線積分的物理應(yīng)用

求變力沿曲線所作的功：.第15頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四五、對弧長的曲線積分典型例題【例1】計算其中為擺線的一拱分析由于本題積分曲線的方程為參數(shù)形式，從計算方法框圖上看，我們可采用線路2的方法計算.解：由于而故

第16頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四【例2】計算曲線積分其中為圓周分析由于圓周在極坐標下的方程為故從解題方法框圖上看，我們可采用線路3的方法計算。解：圓周在極坐標下的方程為則故.第17頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四分析由于本題積分曲線

的方程可化為或的形式,故從計算方法框圖上看,我們可采用線路1的方法計算。但考慮到化為以為積分變量的定積分計算比較困難,故本題解:由于所以【例3】計算,其中為雙曲線從點至點的弧段．積分曲線應(yīng)采用的形式.第18頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四【例4】計算其中為圓周直線

及軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇形的整個邊界．分析由于積分曲線為閉曲線,由三段組成故應(yīng)根據(jù)每段曲線的特點，選擇不同的計算方法.在與上可用框圖中線路1的方法計算，在上可用線路3的方法計算。第19頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四解：積分曲線為閉曲線（如圖）其中故可分解為第20頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四【例5】設(shè)為橢圓其周長記為求

分析由于積分曲線可恒等變形為而被積函數(shù)中又含有故可將代入，從而簡化被積函數(shù)，然后再計算；對于積分由于關(guān)于軸對稱,函數(shù)關(guān)于為奇函數(shù),故有第21頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四解：由奇偶對稱性可知所以注：由于被積函數(shù)定義在曲線上,故滿足曲線的方程。因此，計算第一型曲線積分時應(yīng)首先需要利用曲線方程化簡被積函數(shù)，這是計算曲線積分的一個重要知識點.第22頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四分析此題若用選取參數(shù)方程計算，將會很麻煩。注意到積分曲線是而由輪換對稱性可知：故由奇偶對稱性知：故本題有如下簡單的解法?！纠?】*求,其中解:第23頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四【例7】設(shè)螺旋線彈簧一圈的方程為其中它的線密度求此線關(guān)于軸的轉(zhuǎn)動慣量分析本題為對弧長的曲線積分在物理中的應(yīng)用問題，應(yīng)先將所求的轉(zhuǎn)動慣量用對弧長的曲線積分表示，然后計算積分即可。解：所求的轉(zhuǎn)動慣量為而故

第24頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四六、對坐標對曲線積分典型例題【例1】計算曲線積分

其中為曲線沿

增大的方向.分析由于

故曲線積分與路徑有關(guān).又因為曲線不是封閉的，按解題方法流程圖，計算本題有兩種方法：一是將第二型曲線積分直接轉(zhuǎn)化為定積分計算；二是采用補特殊路徑，然后應(yīng)用Green公式計算。本題采用第一種方法計算比較簡便，這里應(yīng)首先將積分曲線的方程改寫為再代入被積函數(shù)中計算。第25頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四解：由于

所以分析本題為沿空間曲線的積分，從所給曲線來看，可采用參數(shù)法轉(zhuǎn)化為定積分來計算，這里關(guān)鍵是要正確寫出積分曲線的參數(shù)方程?？紤]到本題為沿空間平面閉曲線的積分，故又可利用斯托克斯（Stokes）公式將曲線積分轉(zhuǎn)化為曲面積分計算。

【例2】計算曲線積分

,其中為有向閉折線,這里的依次為點、、第26頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四解法1：化為定積分計算.由于

(如圖)，這里所以

從

變到。從

變到。從

變到。第27頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四從而

解法2：利用斯托克斯公式計算.

設(shè)

為平面上所圍成部分的上側(cè)，由Stokes公式，得為在坐標面上的投影區(qū)域，則第28頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四分析由于

,故曲線積分與路徑有關(guān)?！纠?】計算曲線積分

,其中為區(qū)域的邊界，取逆時針方向。又因

為封閉曲線（如圖）。且

、在所圍區(qū)域上滿足格林公式的條件，故本題可采用格林公式方法來計算，即采用框圖中線路2→21的方法。.第29頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四解:令，.則即

由于故利用格林公式，得第30頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四【例4】計算曲線積分

.其中為圓周（按逆時針方向繞行）.分析由于本題積分曲線

為圓周,故可首先寫出的參數(shù)方程，然后將曲線積分轉(zhuǎn)化為定積分來計算，即可采用框圖中線路2→23的方法計算；另外，考慮到積分曲線為封閉曲線，故本題又可利用格林公式計算，即可采用框圖中線路2→21的方法計算；此時應(yīng)注意首先要利用積分曲線方程將被積函數(shù)中的分母化簡，去掉奇點，使其滿足格林公式的條件。第31頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四解法1：化為定積分計算。的參數(shù)方程為：

,從變到.則解法2：利用格林公式計算。

設(shè)

由所圍區(qū)域為,則;于是第32頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四分析由例3的分析可知，曲線積分與路徑有關(guān)，又因積分曲接計算法，即轉(zhuǎn)化為定積分的方法計算，不難看出沿著路徑的積分，被積函數(shù)中含有和的項,【例5】計算曲線積分

,其中為曲線

上從點到點的一段弧.積分的計算將是非常困難的。因此，本題采用補特殊路徑，然后應(yīng)用Green公式的方法計算本題，即采用框圖中線路2→22計算。線不是封閉的，按框圖，計算本題有兩種方法；但若利用直第33頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四解:補直線段:,從變到;并設(shè)曲線所圍區(qū)域為（如圖），則由Green公式，得：又故

.第34頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四【例6】設(shè)是一條封閉的光滑曲線，方向為逆時針，計算曲線積分.分析因,,則由于與在原點處不連續(xù),因此：（1）若給定的曲線所圍成的閉區(qū)域不包括原點,則在此區(qū)域內(nèi)曲線積分與路徑無關(guān)；（2）若給定的曲線所圍成的閉區(qū)域包括原點,那么、在所圍成的閉區(qū)域上不滿足格林公式（積分與路徑無關(guān)的條件）。此時，我們可取Green公式,由此將上的曲線積分轉(zhuǎn)化為上的曲線積分.一條包圍點的特殊的封閉光滑曲線,在上應(yīng)用第35頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四解：因,,則故.（1）若給定的曲線圍成的閉區(qū)域不包括原點.由知曲線積分與路徑無關(guān),故.（2）若給定的曲線所圍成的閉區(qū)域包括原點,則取一條特殊的有向曲線(充分小),規(guī)定的方向為逆時針（如圖所示）。設(shè)所圍成的區(qū)域為,則在上應(yīng)用Green公式，得第36頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四所以.而故或利用參數(shù)方程計算：令:,,從到.所以第37頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四【例7】計算曲線積分,其中為在第一象限沿逆時針方向的半圓弧.解：記,.則由于,分析本題若直接轉(zhuǎn)化為定積分計算是比較繁的。我們可以先看以決定是否用格林公式或其他的方法計算。則所給積分與路徑無關(guān)?，F(xiàn)取