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遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求法副本第1頁,共34頁,2023年,2月20日,星期四1、等差數(shù)列的遞推公式:
復(fù)習(xí)等差(等比)數(shù)列的遞推公式2、等比數(shù)列的遞推公式:第2頁,共34頁,2023年,2月20日,星期四類型1定義法等差數(shù)列等比數(shù)列練習(xí):第3頁,共34頁,2023年,2月20日,星期四類型2求法:累加法例若數(shù)列有形如an+1=an+f(n)的解析式,而f(1)+f(2)+…+f(n)的和是可求的,則可用多式累(迭)加法求得an.第4頁,共34頁,2023年,2月20日,星期四1.已知{an}中,an+1=an+n(n∈N*),a1=1,求通項(xiàng)an解:由an+1=an+n(n∈N*)得a2-a1=1a3-a2=2a4-a3=3???an-an-1=n-1an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+???+(a2-a1)+
a1
=(n-1)+(n
-2)+???+2+1+1演練:累加法(遞推公式形如an+1=an+f(n)型的數(shù)列)n個等式相加得a1=1an+1-
an=n(n∈N*)第5頁,共34頁,2023年,2月20日,星期四練習(xí):第6頁,共34頁,2023年,2月20日,星期四累加法第7頁,共34頁,2023年,2月20日,星期四類型3求法:累乘法例若數(shù)列有形如an=f(n)·an-1的解析關(guān)系,而f(1)·f(2)…f(n)的積是可求的,則可用多式累(迭)乘法求得an.第8頁,共34頁,2023年,2月20日,星期四演練:累乘法
(形如an+1=f(n)?an型)2.已知{an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列,且(n+1)an+12+an+1an-nan2=0,求{an}的通項(xiàng)公式解:∵(n+1)an+12+an+1an-nan2=0∴(an+1+an)[(n+1)an+1-
nan]=0∵an+1+an>0∴(n≥1)∴an=...
注意:累乘法與累加法有些相似,但它是n個等式相乘所得∴(n+1)an+1=
nan第9頁,共34頁,2023年,2月20日,星期四累乘法第10頁,共34頁,2023年,2月20日,星期四例類型4練習(xí):第11頁,共34頁,2023年,2月20日,星期四已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=an+1,求an.解析:解法一:∴數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,又a1-3=-2,第12頁,共34頁,2023年,2月20日,星期四第13頁,共34頁,2023年,2月20日,星期四點(diǎn)評:(1)注意數(shù)列解題中的換元思想的運(yùn)用,如bn=an-3.(2)對數(shù)列遞推式an+1=pan+q,我們通常將其化為=p,設(shè)bn=an-A,構(gòu)造數(shù)列{bn}為等比數(shù)列.第14頁,共34頁,2023年,2月20日,星期四4.已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=,an+1=,n∈N*.求{an}的通項(xiàng)公式.解析:第15頁,共34頁,2023年,2月20日,星期四遞推式如an=pan-1+rqn(n≥2,pqr≠0,p,q,r為常數(shù))型的通項(xiàng)的求法具體思路:1.等式兩邊同除以qn,類型5第16頁,共34頁,2023年,2月20日,星期四第17頁,共34頁,2023年,2月20日,星期四已知數(shù)列{an}滿足an=4an-1+2n(n≥2,n∈N*),且a1=2.求an.解析:解法一:∵an=4an-1+2n,第18頁,共34頁,2023年,2月20日,星期四解法二:∵
an=4an-1+2n,∴令an+λ·2n=4(an-1+λ·2n-1),(n≥2),得an=4an-1+λ·2n,與已知遞推式比較得λ=1,∴an+2n=4,又a1+22-1=4,∴{an+2n}是首項(xiàng)為4,公比為4的等比數(shù)列.a(chǎn)n+2n=4·4n-1,∴an=4n-2n=22n-2n.第19頁,共34頁,2023年,2月20日,星期四變式探究5.(2011年鹽城模擬)在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N*),其中λ>0.求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解析:由an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N*),λ>0,得an+1=λan+λn+1+2n+1-λ·2n,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=(n-1)λn+2n.第20頁,共34頁,2023年,2月20日,星期四類型六、遞推式如an=pan-1+qn+r(n≥2,pq≠0,p,q為常數(shù))型數(shù)列的通項(xiàng)求法具體思路:等價(jià)轉(zhuǎn)化為an+xn+y=p(an-1+x(n-1)+y),再化為an=pan-1+(p-1)xn+(p-1)y,比較對應(yīng)系數(shù),解出x,y,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為例3的數(shù)列.(2011年濟(jì)寧模擬)已知數(shù)列{an}中,a1=,點(diǎn)(n,2an+1-an)在直線y=x上,其中n=1,2,3,….求數(shù)列{an}的通項(xiàng).解析:∵點(diǎn)(n,2an+1-an)在直線y=x上,∴2an+1-an=n.①第21頁,共34頁,2023年,2月20日,星期四令an+1+x(n+1)+y=(an+nx+y),可化為2an+1-an+xn+2x+y=0與①比較系數(shù)得x=-1,y=2.∴①可化為an+1-(n+1)+2=(an-n+2),第22頁,共34頁,2023年,2月20日,星期四變式探究6.(2010年豐臺區(qū)模擬)在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*.(1)設(shè)bn=an-n,求數(shù)列的通項(xiàng);(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.解析:(1)由題設(shè)an+1=4an-3n+1,得an+1-(n+1)=4(an-n),n∈N*.∵bn=an-n,∴bn+1=an+1-(n+1),∴bn+1=4bn.又b1=a1-1=1,所以數(shù)列是首項(xiàng)為1,且公比為4的等比數(shù)列.∴bn=4n-1.第23頁,共34頁,2023年,2月20日,星期四(2)由(1)可知an-n=4n-1,于是數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=4n-1+n.第24頁,共34頁,2023年,2月20日,星期四類型七、遞推式如an+1=pan+qan-1(pq≠0)型的數(shù)列通項(xiàng)的求法具體思路:等價(jià)轉(zhuǎn)化為an+1+xan=y(tǒng)(an+xan-1),利用其與an+1=pan+qan-1恒等,求出x,y,得到一等比數(shù)列{an+1+xan},得an+1+xan=f(n),進(jìn)而化為例5的數(shù)列.在數(shù)列{an}中,a1=2,a2=3,an+2=3an+1-2an,求an.解析:由條件an+2=3an+1-2an,得an+2-an+1=2(an+1-an),又因a2-a1=3-2=1,所以數(shù)列{an+1-an}是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,∴an+1-an=2n-1.再用多式累加法可得:an=a1+=2n-1+1.第25頁,共34頁,2023年,2月20日,星期四變式探究7.(2011年漳州模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an(n∈N*).(1)證明:數(shù)列是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(3)若數(shù)列滿足=(an+1)bn(n∈N*),證明是等差數(shù)列.解析:(1)證明:∵an+2=3an+1-2an,∴an+2-an+1=2(an+1-an),∵a1=1,a2=3,第26頁,共34頁,2023年,2月20日,星期四∴是以a2-a1=2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.(2)由(1)得an+1-an=2n(n∈N*),∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+2+1=2n-1(n∈N*).(3)證明:∵=(an+1)bn,∴4(b1+b2+…+bn)-n=2nbn,∴2[(b1+b2+…+bn)-n]=nbn,①2[(b1+b2+…+bn+bn+1)-(n+1)]=(n+1)bn+1.②②-①,得2(bn+1-1)=(n+1)bn+1-nbn,即(n-1)bn+1-nbn+2=0.③第27頁,共34頁,2023年,2月20日,星期四nbn+2-(n+1)bn+1+2=0.④④-③,得nbn+2-2nbn+1+nbn=0,即bn+2-2bn+1+bn=0,∴bn+2-bn+1=bn+1-bn(n∈N*),∴是等差數(shù)列.第28頁,共34頁,2023年,2月20日,星期四類型八、倒數(shù)法求通項(xiàng)(1)對于遞推式如an+1+pan=qan+1an(p,q為常數(shù),pq≠0)型的數(shù)列,求其通項(xiàng)公式.具體思路:兩端除以an+1an得:+p=q,①若p=-1,則構(gòu)成以首項(xiàng)為,公差為-q的等差數(shù)列;②若p≠-1,轉(zhuǎn)化為例3求解.第29頁,共34頁,2023年,2月20日,星期四(2011年保定
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