遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求法 副本

遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求法副本第1頁，共34頁，2023年，2月20日，星期四1、等差數(shù)列的遞推公式：

復(fù)習(xí)等差(等比)數(shù)列的遞推公式2、等比數(shù)列的遞推公式：第2頁，共34頁，2023年，2月20日，星期四類型1定義法等差數(shù)列等比數(shù)列練習(xí)：第3頁，共34頁，2023年，2月20日，星期四類型2求法：累加法例若數(shù)列有形如an＋1＝an＋f(n)的解析式，而f(1)＋f(2)＋…＋f(n)的和是可求的，則可用多式累(迭)加法求得an.第4頁，共34頁，2023年，2月20日，星期四1.已知{an}中,an+1=an+n(n∈N*),a1=1,求通項(xiàng)an解:由an+1=an+n(n∈N*)得a2－a1=1a3－a2=2a4－a3=3???an－an－1=n－1an=(an－an－1)+(an－1－an－2)+???+(a2－a1)+

a1

=(n－1)+(n

－2)+???+2+1+1演練：累加法(遞推公式形如an+1=an+f(n)型的數(shù)列)n個等式相加得a1=1an+1－

an=n(n∈N*)第5頁，共34頁，2023年，2月20日，星期四練習(xí)：第6頁，共34頁，2023年，2月20日，星期四累加法第7頁，共34頁，2023年，2月20日，星期四類型3求法：累乘法例若數(shù)列有形如an＝f(n)·an－1的解析關(guān)系，而f(1)·f(2)…f(n)的積是可求的，則可用多式累(迭)乘法求得an.第8頁，共34頁，2023年，2月20日，星期四演練：累乘法

(形如an+1=f(n)?an型)2.已知{an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列,且(n+1)an+12+an+1an－nan2=0,求{an}的通項(xiàng)公式解:∵(n+1)an+12+an+1an－nan2=0∴(an+1+an)[(n+1)an+1－

nan]=0∵an+1+an>0∴(n≥1)∴an=...

注意：累乘法與累加法有些相似，但它是n個等式相乘所得∴(n+1)an+1=

nan第9頁，共34頁，2023年，2月20日，星期四累乘法第10頁，共34頁，2023年，2月20日，星期四例類型4練習(xí)：第11頁，共34頁，2023年，2月20日，星期四已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋1，求an.解析：解法一：∴數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，又a1－3＝－2，第12頁，共34頁，2023年，2月20日，星期四第13頁，共34頁，2023年，2月20日，星期四點(diǎn)評：(1)注意數(shù)列解題中的換元思想的運(yùn)用，如bn＝an－3.(2)對數(shù)列遞推式an＋1＝pan＋q，我們通常將其化為＝p，設(shè)bn＝an－A，構(gòu)造數(shù)列{bn}為等比數(shù)列．第14頁，共34頁，2023年，2月20日，星期四4．已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝，an＋1＝，n∈N*.求{an}的通項(xiàng)公式．解析：第15頁，共34頁，2023年，2月20日，星期四遞推式如an＝pan－1＋rqn(n≥2，pqr≠0，p，q，r為常數(shù))型的通項(xiàng)的求法具體思路：1.等式兩邊同除以qn，類型5第16頁，共34頁，2023年，2月20日，星期四第17頁，共34頁，2023年，2月20日，星期四已知數(shù)列{an}滿足an＝4an－1＋2n(n≥2，n∈N*)，且a1＝2.求an.解析：解法一：∵an＝4an－1＋2n,第18頁，共34頁，2023年，2月20日，星期四解法二：∵

an＝4an－1＋2n，∴令an＋λ·2n＝4(an－1＋λ·2n－1)，(n≥2)，得an＝4an－1＋λ·2n，與已知遞推式比較得λ＝1，∴an＋2n＝4，又a1＋22－1＝4，∴{an＋2n}是首項(xiàng)為4，公比為4的等比數(shù)列．a(chǎn)n＋2n＝4·4n－1，∴an＝4n－2n＝22n－2n.第19頁，共34頁，2023年，2月20日，星期四變式探究5．(2011年鹽城模擬)在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N*)，其中λ>0.求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．解析：由an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N*)，λ>0，得an＋1＝λan＋λn＋1＋2n＋1－λ·2n，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(n－1)λn＋2n.第20頁，共34頁，2023年，2月20日，星期四類型六、遞推式如an＝pan－1＋qn＋r(n≥2，pq≠0，p，q為常數(shù))型數(shù)列的通項(xiàng)求法具體思路：等價(jià)轉(zhuǎn)化為an＋xn＋y＝p(an－1＋x(n－1)＋y)，再化為an＝pan－1＋(p－1)xn＋(p－1)y，比較對應(yīng)系數(shù)，解出x，y，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為例3的數(shù)列．(2011年濟(jì)寧模擬)已知數(shù)列{an}中，a1＝，點(diǎn)(n,2an＋1－an)在直線y＝x上，其中n＝1,2,3，….求數(shù)列{an}的通項(xiàng)．解析：∵點(diǎn)(n,2an＋1－an)在直線y＝x上，∴2an＋1－an＝n.①第21頁，共34頁，2023年，2月20日，星期四令an＋1＋x(n＋1)＋y＝(an＋nx＋y)，可化為2an＋1－an＋xn＋2x＋y＝0與①比較系數(shù)得x＝－1，y＝2.∴①可化為an＋1－(n＋1)＋2＝(an－n＋2)，第22頁，共34頁，2023年，2月20日，星期四變式探究6．(2010年豐臺區(qū)模擬)在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.(1)設(shè)bn＝an－n，求數(shù)列的通項(xiàng)；(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.解析：(1)由題設(shè)an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*.∵bn＝an－n，∴bn＋1＝an＋1－(n＋1)，∴bn＋1＝4bn.又b1＝a1－1＝1，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，且公比為4的等比數(shù)列．∴bn＝4n－1.第23頁，共34頁，2023年，2月20日，星期四(2)由(1)可知an－n＝4n－1，于是數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝4n－1＋n.第24頁，共34頁，2023年，2月20日，星期四類型七、遞推式如an＋1＝pan＋qan－1(pq≠0)型的數(shù)列通項(xiàng)的求法具體思路：等價(jià)轉(zhuǎn)化為an＋1＋xan＝y(tǒng)(an＋xan－1)，利用其與an＋1＝pan＋qan－1恒等，求出x，y，得到一等比數(shù)列{an＋1＋xan}，得an＋1＋xan＝f(n)，進(jìn)而化為例5的數(shù)列．在數(shù)列{an}中，a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an，求an.解析：由條件an＋2＝3an＋1－2an，得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，又因a2－a1＝3－2＝1，所以數(shù)列{an＋1－an}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴an＋1－an＝2n－1.再用多式累加法可得：an＝a1＋＝2n－1＋1.第25頁，共34頁，2023年，2月20日，星期四變式探究7．(2011年漳州模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(3)若數(shù)列滿足＝(an＋1)bn(n∈N*)，證明是等差數(shù)列．解析：(1)證明：∵an＋2＝3an＋1－2an，∴an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，∵a1＝1，a2＝3，第26頁，共34頁，2023年，2月20日，星期四∴是以a2－a1＝2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．(2)由(1)得an＋1－an＝2n(n∈N*)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝2n－1(n∈N*)．(3)證明：∵＝(an＋1)bn，∴4(b1＋b2＋…＋bn)－n＝2nbn，∴2[(b1＋b2＋…＋bn)－n]＝nbn，①2[(b1＋b2＋…＋bn＋bn＋1)－(n＋1)]＝(n＋1)bn＋1.②②－①，得2(bn＋1－1)＝(n＋1)bn＋1－nbn，即(n－1)bn＋1－nbn＋2＝0.③第27頁，共34頁，2023年，2月20日，星期四nbn＋2－(n＋1)bn＋1＋2＝0.④④－③，得nbn＋2－2nbn＋1＋nbn＝0，即bn＋2－2bn＋1＋bn＝0，∴bn＋2－bn＋1＝bn＋1－bn(n∈N*)，∴是等差數(shù)列．第28頁，共34頁，2023年，2月20日，星期四類型八、倒數(shù)法求通項(xiàng)(1)對于遞推式如an＋1＋pan＝qan＋1an(p，q為常數(shù)，pq≠0)型的數(shù)列，求其通項(xiàng)公式．具體思路：兩端除以an＋1an得：＋p＝q，①若p＝－1，則構(gòu)成以首項(xiàng)為，公差為－q的等差數(shù)列；②若p≠－1,轉(zhuǎn)化為例3求解．第29頁，共34頁，2023年，2月20日，星期四(2011年保定