2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教書用書第六章　平面向量、復(fù)數(shù)

貨主題三"

:幾何與代數(shù)第六章平面向量、復(fù)數(shù)（必修第二冊）

第1節(jié)平面向量的概念及線性運算

課程標準要求

1.向量概念

①通過對力、速度、位移等的分析，了解平面向量的實際背景,理解平

面向量的意義和兩個向量相等的含義；

②理解平面向量的幾何表示和基本要素.

2.向量運算

①借助實例和平面向量的幾何表示,掌握平面向量加、減運算及運算

規(guī)則，理解其幾何意義；

②通過實例分析,掌握平面向量數(shù)乘運算及運算規(guī)則，理解其幾何意

義,理解兩個平面向量共線的含義；

③了解平面向量的線性運算性質(zhì)及其幾何意義.

必備知識.課前回顧⑻歷殘材夯實四基

國知識梳理

1.向量的有關(guān)概念

（1）向量:既有太小又有方面的量叫做向量，向量的大小叫做向量的是

度（或模）.

⑵零向量：長度為。的向量,其方向是任意的.

⑶單位向量:長度等于1個單位長度的向量.

(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共線向量.

規(guī)定：0與任一向量田.

(5)相等向量:長度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量:長度相等且方向相反的向量.

2.向量的線性運算

向量

定義法則(或幾何意義)運算律

運算

力、①交換律：

a

求兩個向量a+b=b+a;

三角形法則

加法

和的運算y②結(jié)合律：

a(a+b)+c=a+(b+c)

平行四邊形法則

求兩個向量

減法aa-b=a+(-b)

差的運算

三角形法則

①|(zhì)Xa|=|X||a|;

求實數(shù)人與②當人＞0時，入a的方向與a的入(ua)=(入u)a;

數(shù)乘向量a的積方向想聞;當入＜0時，入a的方(入+u)a=A,a+ua;

的運算向與a的方向相反;當人=0時，入(a+b)=Xa+Xb

入a=0

3.共線向量定理

向量a(aWO)與b共線，當且僅當有唯---個實數(shù)入，使得b=入a.

提醒：當aWO時一，定理中的實數(shù)人才唯一,否則不唯一.

法重要結(jié)論

f1ff

1.P為線段AB的中點,0為平面內(nèi)任意一點=°7=￡（04°”.

2.若G為AABC的重心,則有

—>]—>f

⑴GA+GB+GC=Q.⑵AG-3（AB+4C）.

3.首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量的起點指向最后

一個向量的終點的向量，一個封閉圖形首尾連接而成的向量的和為零

向量.

fff

4.對于起點相同、終點共線的三個向量°C°尸1,"2（0與PR不共線）,

總有°P=U°PI+V0P2,u+v=l,即總可以用其中兩個向量的線性組合表

示第三個向量，且系數(shù)和為1.

5.對于任意兩個向量a,b,都有：

（1）||a|-|b|||a±b||a|+|b|;

⑵|a+b|2+|a-b|2=2（|a『+|b|2）.

6.設(shè)a,b是兩個不共線的向量,則x,a+y.b與x2a+y2b共線的充要條件

是Xiy2-x2yi=0.

對點自測

1.（必修第二冊P23習(xí)題6.2T9改編）如圖,D,E,F分別是4ABC各邊

的中點，則下列結(jié)論錯誤的是（D）

A

BD

—>f

A.E9B.叔與"后共線

C.BD與.是相反向量〉611成

解析:建與人匕,故口錯誤.故選D.

2.（必修第二冊P22習(xí)題6.2T4改編）已知下列各式:

①AB+8C+C4；

②AB+MBjBO+OM.

^OA+OB+BO+CO

-

^AB_AC+BD_CD

其中結(jié)果為零向量的個數(shù)為(B)

A.1B.2C.3D.4

解析：①中^^+"'+”=0；②中③中°”+

ffffffffffff

0B+B()+C()=0JI+C0=CA.④中AB_AC+BD_CD二CB+BC二0故①④正確

故選B.

3.如圖所示，已知4c=36C,0人3°叫瓦°C一則下列等式成立的是

(A)

C

B,

44----------^0

31

A.c=2b-2a

B.c=2b-a

C.c=2a-b

31

D.c=2a-2b

ffff

解析:因為0A=a0B=b所以

————3—一3——Ji-*31

OaOA+AC=OA+iAB^OA+i(OBQ)及°包通工抵故選A.

4.設(shè)a與b是兩個不共線的向量，且向量a+Xb與-(b-2a)共線，則

入=.

解析:法一依題意知向量a+入b與2a-b共線,設(shè)a+入b=k(2a-b),則

f1—2Jt=0,11

有(l-2k)a+(k+入)b=0,所以tk+入=0,解得k=2,人=-1

法二由題意a+入b與2a-b共線,a,b不共線,所以2入-1*(-1)=0,

1

X=-2.

1

答案:與

5.已知|a|=2,|b|=5,則|a+b|的取值范圍是.

解析：當a與b方向相同時，|a+b|=7;當a與b方向相反時，Ia+b|=3;

當a與b不共線時,3<|a+b|<7.所以|a+b|的取值范圍為[3,7].

答案：[3,7]

類中考點禽賣四翼

關(guān)鍵能力?課堂突破

唆考點一平面向量的概念

1.下列說法正確的是（D）

A.平面內(nèi)的單位向量是唯一的

B.平面內(nèi)所有單位向量的終點的集合為一個單位圓

C.所有的單位向量都是共線的

D.所有的單位向量的模相等

解析：因為平面內(nèi)的單位向量有無數(shù)個，所以選項A錯誤；當單位向量

的起點不同時一,其終點就不一定在同一個單位圓上,所以選項B錯誤;

當兩個單位向量的方向不相同也不相反時，這兩個向量就不共線，所

以選項C錯誤；因為單位向量的模都等于1,所以選項D正確.故選D.

2.下列四個命題正確的是（B）

A.若兩個向量相等,則它們的起點相同，終點相同

->f

B.若A,B,C,D是不共線的四點，且則四邊形ABCD為平行四

邊形

C.a=b的充要條件是|a|=1b|且a〃b

D.已知人，u為實數(shù),若入a=pb,貝lja與b共線

解析:A錯誤,若兩個向量起點相同，終點相同，則兩個向量相等，但兩

ff

個向量相等，不一定有相同的起點和終點;B正確，因為凰％DC,所以

—?f

1ABi=|DQ且川3〃DC,又A,B,C,D是不共線的四點，所以四邊形ABCD

為平行四邊形;C錯誤，當a〃b且方向相反時，即使|a|=|b|,也不能得

到a=b,所以“值|=此|且a〃b"不是“a=b”的充要條件,而是必要不

充分條件;D錯誤，當入=P=0時,a與b可以為任意向量,滿足Xa=u

b,但a與b不一定共線.故選B.

3.給出下列命題:①零向量的長度為零,方向是任意的;②若a,b都是

—>f

單位向量，則a=b;③向量.與34相等.則所有正確命題的序號是

(A)

A.①B.③C.①③D.①②

解析:根據(jù)零向量的定義可知①正確;根據(jù)單位向量的定義可知，單位

向量的模相等，但方向不一定相同，故兩個單位向量不一定相等，故②

ff

錯誤；向量版與員4互為相反向量,故③錯誤.故選A.

一題后悟通

向量有關(guān)概念的關(guān)鍵點

⑴向量定義的關(guān)鍵是方向和長度.

⑵非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反,長度沒有限制.

⑶相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長度相等.

(4)單位向量的關(guān)鍵是長度等于1個單位長度.

⑸零向量的關(guān)鍵是長度是0,規(guī)定零向量與任何向量共線.

慢考點二向量的線性運算

口角度一向量的線性運算

(1)在AABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則

%)

A演#B?2#

c3Wf+1M-D：伍加3f

⑵如圖,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E為BC邊上一點,BC=3EC,

F為AE的中點，則8尸=()

工-2f2一工一

A.WWB.->+>

2f2f!.一

C,^+>D.X>

解析:⑴扇垣最觀3一二血延=加一加.故選A.

f［二］ff2ffff

⑵根據(jù)平面向量的運算法則得昨5也加比產(chǎn)也盧產(chǎn)/CW

f->ff1f

因^AC=AD+DCDC^AR

所以薪」那一畫二應(yīng)觸故選B

解題策略

向量的線性運算問題要瞄準結(jié)論

(1)不含圖形的情況:可直接運用相應(yīng)運算法則求解.

(2)含圖形的情況:將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相

等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量

表示出來求解.

口角度二根據(jù)向量線性運算求參數(shù)

—>

CW司⑴在平行四邊形ABCD中,E,F分別為邊BC,CD的中點，若砒

->—>

xA￡+yAF(x,y￡R),貝ijx-y=.

ff

⑵已知D為ZWC的邊BC的中點，點P滿足巴^+儂。,初=XPD,

則實數(shù)人的值為.

解析:⑴由題意得￡=藁+贏幾+3應(yīng)第九謔石+池,

因為血x星+),

f尸fXf

所以犯函)皿(閑)嗎

(x+?=l,%

所以C+y=優(yōu)解得°一"

所以x-y=2.

fff—ff

⑵因為D為aABC邊BC的中點,所以叫"=2尸",又尸4s尸+==0,

所以時尸即理?^々所以4P7尸”,所以入=-2.

答案：⑴2(2)-2

解題策略

與向量的線性運算有關(guān)的參數(shù)問題,一般是構(gòu)造三角形,利用向量運

算的三角形法則進行加法或減法運算，然后通過建立方程組即可求得

相關(guān)參數(shù)的值.

［針對訓(xùn)練］

1.在AABC中,D是AB邊上的中點，則CB=()

A.2,"+以B,8一2c4

C.2.CDCAD,C。2cA

ffff-?f

解析:在aABC中,D是AB邊上的中點，則CB=C&+D8=CD+AD=CD+

(AC+叫=2?！币灰?故選c

2.在aABC中，點M,N滿足AMqMC,BN=NC.^MN=xAB+yAC則

x=;y=.

解析:就二癥

"+戶

=洌+：(加扇

剎一洌

=xAB+y4C,

所以x=2,y=-6.

11

答案：56

考點三共線向量定理及其應(yīng)用

口角度一利用向量共線求參數(shù)

G膽d)設(shè)向量ebe2是平面內(nèi)的一組基底，若向量a=-3e「e2與b=e「入

ez共線，則入=()

11

A.3B.-3C.-3D.3

解析:法一因為a,b共線,aWO,所以存在P￡R,使b=ua,即e「入

<1=一3叢1

e2=U(-3e「e2),又ebe2不共線,所以1-入=p,所以人=-&故選B.

1

法二由題意-3X(-X)-(-1)X1=0,所以入=-3.故選B.

解題策略

使用共線向量基本定理的大前提是至少有一個向量是非零向量.

口角度二三點共線問題

(1)設(shè)ei與e2是兩個不共線的向

—>—?—>

CBCfl

量,慫=3巳+262,=kei+e2,=3e-2ke2,若A,B,D三點共線，則k的值

為

—?

⑵設(shè)不共線,求證:p,A,B三點共線的充要條件是:°吃入0A+

且入+口=1,x,MeR.

f

⑴解析：因為A,B,D三點共線，所以必存在一個實數(shù)入，使得凰3：

BDCBCD

X,又?=3&+2e2,=ke,+e2,=3e-2ke2,所以區(qū)”;CD_CB=3e「

2ke2-(kei+e2)=(3-k)e1—(2k+l)e2,所以3e1+2e2=人(3_k)ei_(2k+l)e2,

(3=A(3-k),§

又6與ez不共線,所以匕=一人("+1)，解得k=-i

9

答案:二

(2)證明:充分性:因為人+口=1,

所以°p=X°4n°B=(bp)0A+口OBJ)A+p=%pAB

所以0P-04u版.

—>—>f—>

所以和u”所以叫和共線.

因為兩向量有公共點A,所以A,P,B三點共線.

必要性:若P,A,B三點共線，

則"=n?=u(。3_04),

所以°尸-°叫Pp

所以0P=(1-u)uOB.

fff

令人=1-p,則。p=入%+p哽其中p+入=1.

ff-

綜上,P,A,B三點共線的充要條件是:°尸=入6M+u欠且入+u=l,入，

口￡R.

解題策略;

證明三點共線問題,可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點

共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時一,才能得出三點共線，

—?—>

即A,B,C三點共線=也,"共線.

［針對訓(xùn)練］

—>->—>—?

1.已知向量a與b不共線,"=a+mb,AC=na+b(m,n￡R),則也與"共

線的條件是()

A.m+n=OB.m-n=O

C.mn+l=OD.mn-l=O

f-?

解析:法一由“=a+mb,"'=na+b(m,n￡R)共線，得a+mb=入(na+b),

fl=

即lm=Z所以mn-l=O.

——

法二拉與“共線的充要條件是1xl-mn=o,即mn-l=o.故選D.

2.如圖所示,在4ABC中，點。是BC的中點，過點。的直線分別交AB,AC

->—>—?->

所在直線于不同的兩點M,N,若和小池,"二n聞,則m+n的值為()

A

Mj/

A.1B.2C.3D.4

解析:法一連接AO.由于。為BC的中點,

f1.TT

故"=萬1+4。）,

而=位4強血畫3血蒜)6+次

同理，麗=海+,二他

由于向量卻尸°共線，故存在實數(shù)入使得好=入*°,即

11T1Z,1T11-

A54CABAC

(2-m)+2=2A+A(2-；)

TT111111

由于空AC不共線,故得屋￡5人且匯入(2-；),

消去入，得(m-2)(n-2)=mn,

化簡即得m+n=2.故選B.

法二當MN與直線BC重合時,.=4玫A(chǔ)C=4N,此時m=1)n=1＞所以

m+n=2.故選B.

3.設(shè)向量a,b不平行，向量入a+b與a+2b平行，則實數(shù)入=.

解析:法一因為向量a,b不平行,所以a+2bW0,又向量入a+b與a+2b

平行,則存在唯一的實數(shù)u,使入a+b=u(a+2b)成立,即入a+b=pa+2

”=出!

ub,貝!J得11=2M,解得X=u=2.

111

法二由題意n區(qū)所以入不

答案

備選例題

am已知四邊形ABCD是平行四邊形，點E在CB的延長線上,BC=3,

AE=AB=1,ZC=30°,若4f=乂期+丫曲，則x=,y=.

解析：因為AB=AE=1,NABE=NC=30°,由余弦定理得BE=*,因為BC=3,

所以BC=/E,所以次=-學(xué)辰，所以還=6+限通學(xué)謊=

4s與加則x=l,y=-￥.

在

答案：1與

CSD設(shè)兩個非零向量a與b不共線.若ka+b與a+kb共線，則

k=.

解析：因為ka+b與a+kb共線,則存在實數(shù)入，使ka+b=入(a+kb),即(k-

入)a=(入k-l)b.又a,b是兩個不共線的非零向量,所以k-入=入kT=O.

消去入，得k2-l=0,所以k=±l.

答案：士1

課時作業(yè)靈活彳、強裔教提彩

奄1選題明細表

知識點、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運用練應(yīng)用創(chuàng)新練

平面向量的概念1,613

平面向量的線性運算2,3,4,8

向量共線5,7,911

綜合問題10,12,1415

A級基礎(chǔ)鞏固練

1.設(shè)a是非零向量，入是非零實數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（B）

A.a與入a的方向相反

B.a與人2a的方向相同

C.|-入a121al

D.|-A，a|2|人|,a

解析:對于A,當人＞0時,a與人a的方向相同，當入＜0時,a與入a的方

向相反,A不正確,B正確;對于C,|-入a|=|-人||a|,由于|-「|的大小

不確定，故入a|與|a|的大小關(guān)系不確定,C不正確;對于D,|人|a是

向量，而I-入a|表示長度,兩者不能比較大小,D不正確.故選B.

2.矩形ABCD的對角線相交于點0,E為AO的中點,若旌=入必+口加

（入，u為實數(shù)），則入2+d=（A）

51

A.8B.4

5

C.1D.16

11I1I3

解析刀叼5#%。4。的叫.”叫響“Ms

135

所以入二&U=<,所以入2+口2.故選A.

3.在等腰梯形ABCD中，麗二-?。"1為BC的中點，則期=(B)

A.5眼歡

3f[f]f3f

cM+2限黑加

解析：因為版=-2。4

所以膽2后又M是BC的中點，

f.ff1-ff31

所以。=5(AB+AC)=2(AB+AD+DC)=彳花+w加故選

ffff—>

4.設(shè)D為4ABC所在平面內(nèi)一點,BC=3CD,若修Z入版+RA。則入_

R=(A)

544S

A.-3B.-3C.3D.3

解析：由BJ3CD,可知B,c,D三點在同一直線上,如圖所示.根據(jù)題意

及圖形,可得肛4匕+弧仁*4C&=_洌+/所以入=與

?145

以二3,所以入一u=一13=—3.故選A.

A

5.（多選題）已知等邊三角形ABC內(nèi)接于O0,D為線段0A的中點,E為

線段BC的中點，則B"=（AC）

A.汕+沁B.M或

f121

C.“鼻松D.產(chǎn)+次

—>f—>f1.f

解析:如圖所示，已知BC中點為E,則幽時皿:叫鼻慢M

f-1.121

3（AB+BE）—BA_2%5義理、產(chǎn)+平.故選AC.

6.（多選題）在AABC中，下列命題正確的是（BC）

AAB_AC=BC

B.AB+BC+CA=Q

->—>ff

C.若（AB+AC）,（AB_AC）=o,則4ABC為等腰三角形

—>f

D.若A，?^>0,則4ABC為銳角三角形

解析：由向量的運算法則知值A(chǔ)C”AB+BC+C是°,故A錯,B對;

因為（他+AC）.（*_AC）=Afl2_4c2=0

所以62=Q,即向=兩，

所以△ABC為等腰三角形，故C對；

因為AC.AB〉O,

所以角A為銳角，但三角形不一定是銳角三角形,故D錯.故選BC.

7.已知向量ebe2是兩個不共線的向量,若a=2e「ez與b=&+入e?共線,

則X=.

解析:法一因為a與b共線，所以a=xb,

（x=2,

所以區(qū)=-1,

1

故人=-2.

X11

法二由已知工工,所以人=-2.

1

答案:與

8.如圖所示，已知NB=30°,NA0B=90°,點C在AB上,OCJ_AB,若用

以和來表示向量血則謔二________.

ffff1ff1.ff3flf

解析：由題意易知。CQ+4CQ+*MQ+*（OB_CM）R。/OB

答案：*°4彳°，

fffff

9.已知a,b不共線,°4=a,°昆>℃=c,0°=d,0E=e,設(shè)t￡R,如果

3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在實數(shù)t使C,D,E三點在一條直線上？

若存在,求出實數(shù)t的值;若不存在,請說明理由.

f—>

解：由題設(shè)知，C"=d-c=2b-3a,^=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三點在一條

—>—?

直線上的充要條件是存在實數(shù)k,使得CE=kCD,gp(t-3)a+

b=-3ka+2kb,

整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.

ft-3+3k=0,

因為a,b不共線，所以有It-2fc=0,

6

解得t=5.

6

故存在實數(shù)t=M使C,D,E三點在一條直線上.

B級綜合運用練

10.(多選題)設(shè)點M是4ABC所在平面內(nèi)一點,則下列說法正確的是

(ACD)

f1f1.f

A.若4M與期+5則點卜［是邊BC的中點

—>f—?

B.若網(wǎng)2AB-A。則點M在邊BC的延長線上

fff

C,若則點M是4ABC的重心

fff11

D.若4MMx3+yAQ且x+y=2,則△MBC的面積是4ABC的面積的5

f1f1f

解析:若4M4⑷^z人匕,則點M是邊BC的中點,故A正確；

fffffffff

若4M=2版_4。即4M_AB=AB_ACg|jBM=CB

則點M在邊CB的延長線上,故B錯誤；

若AMJMCM^AM+BM+CM=Q

則點M是AABC的重心，故C正確；

fff1

如圖,網(wǎng)x版+y4G且x+y=2

f-?一

可得2AM=2xAB+2yAC,

f->

設(shè)網(wǎng)2代則M為AN的中點，

1

則AMBC的面積是4ABC的面積的5,故D正確.故選ACD.

11.(多選題)設(shè)a,b是不共線的兩個平面向量，已知PQ=a+sina?b,

其中a￡(0,2n),QK=2a-b.若P,Q,R三點共線,則角a的值可以為

(CD)

7T5n7n11

A.kB."C,三D.丁

解析：由題意1x(T)-2sina=0,sina=-2.又a￡(0,2n),故a的

7w11”

值可為彳或..故選CD.

12.在直角梯形ABCD中，A=90°,B=30°,AB=28,BC=2,點E在線段CD

—>—>—>

上,若神皿u”則P的取值范圍是.

解析：由已知可得AD=1,CD=b,所以

—>f

因為點E在線段CD上，所以DE=、DC(ow入W1).

因為AE=AZ)+DE,

又星二G+pAB^AD+2pDC二G+華康

生*

所以3=1,即U=2.

1

因為0W入W1,所以

1

答案：[0,2]

13.如圖,在4ABC中,D為BC的四等分點,且靠近B點,E,F分別為

f—>

AC,AD的三等分點,且分別靠近A,D兩點,設(shè).=為AC=b.

E

B

DC

⑴試用a,b表示BQ初產(chǎn)汽

⑵證明:B,E,F三點共線.

->f

⑴解:在aABC中，因為方=2,4c=b,

所以3c=4C—慫=b-a,

^O=^+BD-AB+^^=a+*(b-a)=*a+*b,

在虱值_冠泳一+品

f1

⑵證明：因為B昆-a+拓，

—>,—>~>—>?2>

BF_BA+AF_AB^AD

—十——十S

23111

=-a+§(<a+<b)=-2a4-6b

11

=2(-a+3b),

f1fff

所以BF與BE共線，且有公共點B,

所以B,E,F三點共線.

—>

14.經(jīng)過AOAB的重心G的直線與OA,0B分別交于點P,Q,設(shè)°尸=

m04m,n￡R.

11

(1)證明:為定值；

⑵求m+n的最小值.

⑴證明：設(shè)認a,。%.

f21f—1

0B

由題意知。義5(0A)=3(a+b),

PQ=°Q-8=nb-ma,

PG-OG_OP=(3_m)a+§b,

由P,G,Q三點共線得，

存在實數(shù)入，使得PQ—小

即nb-ma=入(3-m)a+§入b,

TW=入(]，0,

71=3A,

從而

11

消去入得m+"=3.

11

(2)解：由(1)知,[+"=3,

于是m+n=3(m+n)(m+n)=

1nm14

3(2+?+?)>3(2+2)=3

24

當且僅當m=n=W時,m+n取得最小值,最小值為W.

C級應(yīng)用創(chuàng)新練

15.已知Ai,A2,A3為平面上三個不共線的定點,平面上點M滿足

——————

AMA1J4ZA1J43

I=A（+）（人是實數(shù)），且MA+MA2+MA是單位向量,則

這樣的點乂有（C）

A.0個B.1個C.2個D.無數(shù)個

解析：法一由題意得，=-入（+）,=+

—?—?—>—>

A1A2MA3=MAi+AiAa

——

所以M4+MA2+MA3=（1一3人）?（公及+公魚）,如圖所示,設(shè)D為A2A3的

中I占八、、，

所以（1-3X）（&42+4艮3）是與&D共起點且共線的一個向量,顯然直

線AD與以Ai為圓心的單位圓有兩個交點,故人有兩個值，即符合題意

的點M有兩個.故選C.

法二以A為原點建立平面直角坐標系（圖略），

設(shè)A2（a,b）,A3（m,n）,

—?—?

則442+41/&=(a+m,b+n),

所以M(入(a+m),X(b+n)),

所以MA1=(—入(a+m),-入(b+n)),

MA?=(a-\(a+m),b-入(b+n)),

MA3=(m-入(a+m),n一人(b+n)),

所以M4I+M42+M43=((I-3入)(a+m),(1-3入)(b+n)).

因為MA1+MA2+MA3是單位向量，

所以(1-3入)2[(a+m)2+(b+n)2]=l,

因為A?A2,A：；是平面上三個不共線的定點，

所以(a+m)2+(b+n)2〉0,所以關(guān)于X的方程有兩解,故滿足條件的M有

兩個.故選C.

第2節(jié)平面向量基本定理及坐標表示

?課程標準要求

1.理解平面向量基本定理及其意義.

2.借助平面直角坐標系，掌握平面向量的正交分解及坐標表示.

3.會用坐標表示平面向量的加、減運算與數(shù)乘運算.

回歸教材夯集團基

必備知識?課前回顧

先知識梳理

1.平面向量基本定理

(1)定理:如果由,L是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一

平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實數(shù)入I,入2,使a=入Ci+入202.

(2)基底：不共線的向量e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個

基底.

2.平面向量的坐標運算

⑴向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模

設(shè)a=(xi,yi),b=(X2,y2),則

a+b=(xi+x2>yi+y2),a-b=(xi-x2,yi-y2),

20,),㈤二所.

(2)向量坐標的求法

①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標.

—?

②設(shè)A(xi,yi),B(x2,y2),則叔=(x2-x”ucb,

x22

AS=V<2^i)+(y2^i)

3.平面向量共線的坐標表示

設(shè)a=(xbyj,b=(x2,y2),其中aWO,bKO,a,b共線自(工2』丫1=0.

,重要結(jié)論

1.若a與b不共線,且入a+口b=0,則入=R=0.

2.已知P為線段AB的中點，若A(x1,yJ,B(X2,y2),則P點坐標為

xi+x2n+n

(亍,▼).

3.已知△ABC的重心為G,若A(xi,yi),B(x2,y2),C(x3,y3),則

G(33).

對點自測

1.(必修第二冊P33練習(xí)T1改編)已知平面向量a=(l,l),b=(l,-1),

13

則向量電與b=(D)

A.(-2,-1)B.(-2,1)

C.(-1,0)D.(-1,2)

解析：因為a=(l,1),b=(l,T),

111333

所以5a=(5,5),5b=(5,工)，

131313

所以2a-九=(2-22+2)=(-1,2).故選D.

2.(必修第二冊P33練習(xí)T5改編)若P(1,3),P2(4,0)且P是線段PR

的一個三等分點，則點P的坐標為(D)

A.(2,2)B.(3,-1)

C(2,2)或⑶-1)。(2,2)或(3,1)

—>

解析：由題意可知P1尸2=(3,-3).

T1T

若尸走尸遇

2,則P點坐標為⑵2);

T2T

若pgg則P點坐標為(3,1).故選D.

3.已知向量a=(2,3),b=(-l,2).若ma+nb(m,n￡R)與a-2b共線，則

m

n—

解析:ma+nb=m(2,3)+n(-1,2)=(2m-n,3m+2n).

a-2b=(2,3)-2X(-1,2)=(4,T).

因為(ma+nb)//(a-2b),

所以-(2m-n)-4(3m+2n)=0,

所以2m+n=0,

HX1

所以"二?.

1

答案:與

4.已知口ABCD的頂點2),B(3,-1),C(5,6),則頂點D的坐標

為.

—-(4=5-x,

解析：設(shè)D(x,y),則由4得(4,1)=(5-x,6-y),即H=6—y,解得

=1,

ty=5.

答案：(1,5)

關(guān)鍵能力?課堂突破美小濤支砥實?

政考點一平面向量的坐標運算

1.已知0為坐標原點，點C是線段AB上一點，且A(l,1),C(2,3),

—?—?—?

|BCI=2)AC),則向量叫勺坐標是.

—?—>

解析：由點C是線段AB上一點，|BC|=2|4q,

彳![Be二_?AC

設(shè)點B的坐標為(x,y),則(2-x,3-y)=-2(l,2),

(2-x=-2,(x=4,

即l3f=T,解得［y=7.

所以向量的坐標是(4,7).

答案：(4,7)

2.如圖所示，以小,ez為基底，貝Ua=.

解析：以e的起點為坐標原點,e.所在直線為x軸建立平面直角坐標系,

則ei=(l,0),e2=(-l,1),a=(-3,1),令a=xe1+ye2,即(-3,1)=

=-3,

x=-2,

y=

x(l,0)+y(T,1),則>所以=L

EPa=-2ei+e2.

答案：-2e"2

3.已知A(-2,4),B(3,T),C(-3,-4).設(shè).=為BC=b,%=c,且

3c,CW=-2b.

(1)求3a+b-3c;

(2)求滿足a=mb+nc的實數(shù)m,n;

(3)求M,N的坐標及向量而

的坐標.

解：由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).

(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=

(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).

(2)法一因為mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),

f—6m+7i=5,Cm=-1,

所以=-5,解得In=-1.

法二因為a+b+c=O,

所以a=-b-c,

又因為a=mb+nc,

所以mb+nc=-b-c,

pre=T,

所以G=T.

———

⑶設(shè)0為坐標原點，因為CM=0M_0C=3C,

—>—>

所以0M=3C+℃=(3,24)+(-3,-4)=(0,20).

所以M(0,20).

又因為應(yīng)靛遑-2b,

——?

所以0N=-2b+℃=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),

一

所以N(9,2),所以乂*=(9,-18).

一題后悟通

向量的坐標運算主要是利用向量的加法、減法、數(shù)乘運算法則進行,

若已知有向線段兩端點的坐標,則應(yīng)先求出向量的坐標,求解過程中

要注意方程思想的運用.

慢考點二平面向量基本定理及其應(yīng)用

C?3如圖,在正方形ABCD中,M,N分別是BC,CD的中點,若此=入AM+

uBN,則入+P=

解析:法一由而=6+：弱盛心/+也得成=入八+口訕=

產(chǎn)T入->

(人工)AB+@+R)AD,^AC_AB^_AD

產(chǎn)=1，b4，

-+11=1,|?=2?

所以2解得15?所以入+R=5.

法二以AB,AD所在直線分別為X軸,y軸，建立平面直角坐標系，如

圖所示，

設(shè)正方形的邊長為1,貝產(chǎn)二(1,5)產(chǎn)也(-2,1),AC=(1,1),

TTT1.X

因為AC=xAM+llBN=(x_2[1i+ll))

@=L，號

所以&"=L解得卜=小

所以入+u=5.

答案：5

解題策略

1.先選擇一組基底,并運用該基底將條件和結(jié)論表示為向量的形式，

再通過向量的運算來解決.

2.在基底未給出的情況下,合理地選取基底會給解題帶來方便.另外,

要熟練運用平面幾何的一些性質(zhì)定理.

3.建立適當?shù)淖鴺讼?利用向量的坐標運算.

［針對訓(xùn)練］

1.如果e.,ez是平面a內(nèi)一組不共線的向量,那么下列四組向量中，不

能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是（）

A.Sie1+e2

B.e1-2e?與ei+2e2

-

C.ei+e2與eie2

D.ei+3e?與6ez+2ei

解析:法一選項A中，設(shè)e1+e2=入e1,

fl=A,

則11=0,無解;

選項B中，設(shè)e「2e?=入（ei+2e2）,

fA=l,

則1—2=2A,無解;

選項c中，設(shè)e,+e2=人（e-e2）,

(A=l,

則11=I無解;

選項D中，ei+3e2=5(6e2+2ej,所以兩向量是共線向量.故選D.

法二只有D項的ebe2的對應(yīng)系數(shù)成比例.故選D.

—>—>

2.如圖,A,B分別是射線OM,ON上的點,給出下列向量:①%+2°2②

1-1.一3-1.一3-1.一

z%0B；③*啊叱④彳ob若這些向量均以o為起點,則終

點落在陰影區(qū)域內(nèi)(包括邊界)的向量是()

A,①②B.①③

C.②③D.②④

解析：由向量共線的充要條件可得當點P在直線AB上時,存在唯一的

-對有序?qū)崝?shù)u,v,使得°P=u°4v嗎戈立，且u+v=l.

———

可以證明當點P位于陰影區(qū)域內(nèi)的充要條件是滿足°P=u04+v°B,且

u>0,v>0,u+v>l.因為1+2>1,所以點P位于陰影區(qū)域內(nèi)，故①正確；同

理③正確；而②④錯誤.故選B.

考點三共線向量的坐標表示及其應(yīng)用

口角度-利用向量共線求參數(shù)

⑴已知向量a=(2,l),b=(x,T),且a-b與b共線，則x的值

為

⑵已知向量a=(l,2),b=(2,-2),c=(l,入).若c〃(2a+b),則入

解析：(1)因為a=(2,1),b=(x,-1),

所以a-以(2-x,2),

又因為a-b與b共線，

所以(2-x)X(-l)—2x=0,

所以x=-2.

(2)由題意得2a+b=(4,2),因為c=(1,入)，且c〃(2a+b),所以4人-2=0,

即入=2.

答案：⑴-2(2)2

解題策略

如果已知兩向量共線,求某些參數(shù)的取值時,利用“若a=(xi,y.),b=

(x2,y2),則a〃b的充要條件是xj2一X2yi=0”.

口角度二利用向量共線求向量或點的坐標

OC^OAOD

(SH)在AABC中，已知點0(0,0),A(0,5),B(4,3),=

1T

20B,AD與BC交于點M,則點M的坐標為,

解析：因為點0(0,0),A(0,5),B(4,3),

53

所以點C(0,4),同理點D(2,5).

設(shè)M的坐標為(x,y),

則4M=(x,y-5),而他=(2,工),

—?—>

因為A,M,D三點共線,所以4M與初共線，

7

所以與x-2(y-5)=0,即7x+4y=20,

T5T57

而C*=(x,y-4),8=(4-0,3-4)=(4,4),

—>—?

因為C,M,B三點共線,所以CM與CB共線，

75

所以他-4(y-?)=0,即7xT6y=-20,

|7x+4y=20,卜=募，

,(7x-16y=-20,_7

由得z(gv

12

所以點M的坐標為(7,2).

12

答案:(亍,2)

解題策略

引入?yún)?shù)表示出未知點的坐標，借助向量共線的坐標計算求解便可.

［針對訓(xùn)練］

—>

1.已知向量a=(l,1),點A(3,0),點B為直線y=2x上的一個動點,若一

//a,則點B的坐標為.

—>

解析:設(shè)B(x,2x),則超=(x-3,2x).

—?

因為加〃a,所以x-3=2x,即x=-3.

所以B(-3,-6).

答案：(-3,-6)

2.平面內(nèi)給定三個向量a=(3,2),b=(T,2),c=(4,1).若d滿足

百

(d-c)〃(a+b),且|d-c|=，求d的坐標.

解：設(shè)d=(x,y),則d-c=(x-4,y-1),

百

又a+b=(2,4),|d-c|-,

'4(D-2g)=0,

所以［GY)2+(y_l)2=5,

(x=3,(x=5,

解得=T或(y=3.

所以d的坐標為(3,-1)或(5,3).

一備選例題

—>

CSD在平行四邊形ABCD中,A(1,2),B(-2,0),AC=(2,-3),則點D的

坐標為()

A.(6,1)B.(-6,-1)

C.(0,-3)D.(0,3)

解析:川%(-3,-2)=DC,所以初/匕+。。=4￡他=(5,_1),則D(6,1).

故選A.

例2向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中，如圖所示，若c=入a+ub(入，ne

R),則占)

A.1B.2C.3D.4

解析：以0為坐標原點，建立平面直角坐標系,設(shè)每個小正方形邊長為

1,可得a二(—1,1),b—(6,2),

c=(~l,-3).

因為c=入a+ub(入，H￡R),

.1=T.+6內(nèi)

所以1—3…2眄

11

解得人=-2,u=-2,所以叱4.故選D.

麗已知點A(4,0),B(4,4),C(2,6),則AC與0B的交點P的坐標

為.

—?—>

解析:法一設(shè)0為坐標原點，由O,P,B三點共線，可設(shè)°尸=入

(4入，4入)，則4P3-%=(4入-4,4入).

又4c=℃Q=(_2>6),

由AP與AC共線,得&人-4)X6-4XX(-2)=0,

3T3T

解得入V,所以°P=*°紇⑶3),

所以點P的坐標為⑶3).

法二設(shè)點P(x,y),0(0,0),則(x,y),因為。叫(4,4),且叫在

*y

共線，所以Z4即x=y.

又和(x-4,y),AC=(-2,6),且硬與A。共線,

所以(x-4)X6-yX(-2)=0,解得x=y=3,

所以點P的坐標為⑶3).

答案：(3,3)

靈活彳、竭漕敬提混

課時作業(yè)

喳＞選題明細表

知識點、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運用練應(yīng)用創(chuàng)新練

平面向量的坐標運算1,7,8

平面向量基本定理及應(yīng)用2,4,5,910

共線向量的坐標表示及其

3,613

應(yīng)用

綜合問題11,12,1415

A級基礎(chǔ)鞏固練

1.在如圖所示的平面直角坐標系中，向量"的坐標是(D)

A.(2,2)B.(-2,-2)

C.(1,1)D.(-1,-D

—>

解析:因為A(2,2),B(l,1),所以.=(T,T).故選D.

2.在下列向量組中，可以把向量aE3,2)表示出來的是(B)

A.e1=(0,0),?2=(1,2)

B.e.=(-l,2),e2=(5,-2)

C.e1=(3,5),e2=(6,10)

D.ei=(2,-3),?2=(~2,3)

解析:對于A,C,D都有e,/7e2,所以只有B成立.故選B.

3.設(shè)向量a=(m,2),b=(l,m+1),且a與b的方向相反,則實數(shù)m的值為

(A)

A.-2B.1

C.-2或1D.m的值不存在

解析：向量a=(m,2),b=(l,m+1),因為a/7b,所以m(m+l)=2X1,解得

m=-2或m=L當m=l時，a=(l,2),b=(l,2),a與b的方向相同，舍去；當

m=-2時,a=(-2,2),b=(l,T),a與b的方向相反,符合題意.故選A.

4.在平面直角坐標系xOy中，已知A(l,0),B(0,1),C為第一象限內(nèi)一

■fff

點，NA0C=4且0C=2,若絲人如+P欠，則入+P等于(A)

VV2V2

A.2B.Y

C.2D.4

-廢廢

解析：因為0C=2,ZAOC=*,C為第一象限內(nèi)一點,所以Cl：山），

又兒=入d+/々

所以（施