《兩角和與差的正弦、余弦和正切公式》第三課時(shí)示范課教學(xué)設(shè)計(jì)【高中數(shù)學(xué)教案】

《兩角和與差的正弦、余弦和正切公式（第3課時(shí)）》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1．經(jīng)歷從和角公式推導(dǎo)二倍角公式的過程，體會(huì)公式的意義，發(fā)展學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)．2．掌握公式，及其變形形式，，發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：經(jīng)歷從和角公式推導(dǎo)二倍角公式的過程，體會(huì)公式的意義．教學(xué)難點(diǎn)：把握角度關(guān)系；二倍角余弦公式的應(yīng)用．課前準(zhǔn)備課前準(zhǔn)備PPT課件．教學(xué)過程教學(xué)過程（一）整體感知引導(dǎo)語(yǔ)：以公式C(α-β)為基礎(chǔ)，我們已經(jīng)得到六個(gè)和(差)角公式，下面將以和(差)角公式為基礎(chǔ)來(lái)推導(dǎo)倍角公式．（二）新知探究問題1：你能利用推導(dǎo)出的公式嗎？你能用不同的方法推出這些公式嗎？預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立進(jìn)行推導(dǎo)，教師巡視并收集學(xué)生的不同證法，或請(qǐng)學(xué)生將不同的證法列舉在黑板上．預(yù)設(shè)答案：這里不同的證法主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是推導(dǎo)的依據(jù)具有多樣性，例如可以將中替換為推得，也可以由中的替換為，而推導(dǎo)公式時(shí)，可以從出發(fā)，也可以由合作推出；二是推導(dǎo)的順序具有多樣性，學(xué)生可以自行設(shè)計(jì)三個(gè)二倍角公式的證明順序，由于推導(dǎo)其中最后一個(gè)公式時(shí)可以借助已推出的兩個(gè)公式，因此不同的順序可能會(huì)導(dǎo)致最后一步有所差異．．三個(gè)公式分別簡(jiǎn)記為，，．設(shè)計(jì)意圖：給學(xué)生一定的自由度，由學(xué)生自己制定計(jì)劃，并完成二倍角公式的證明．追問：如果要求二倍角的余弦公式()中僅含的正弦或僅含余弦，那么你能得到怎樣的結(jié)論？預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立進(jìn)行推導(dǎo)．預(yù)設(shè)答案：，．設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)公式的兩種變形形式，為下一課時(shí)半角公式做好鋪墊．說(shuō)明：以上五個(gè)公式都叫做二倍角公式，或倍角公式．倍角公式給出了任意角的三角函數(shù)與的三角函數(shù)之間的關(guān)系．這里的“倍角”專指“二倍角”，遇到“三倍角”等名詞時(shí)，“三”字等不可省去．問題2：從和角公式、差角公式、倍角公式的推導(dǎo)過程可以發(fā)現(xiàn)，這些公式之間存在緊密的邏輯聯(lián)系，你能設(shè)計(jì)一張結(jié)構(gòu)圖描述它們之間的推出關(guān)系嗎？預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：學(xué)生進(jìn)行歸納整理，作出結(jié)構(gòu)圖，然后小組交流，最后教師挑選一到兩組學(xué)生面向全班交流展示．預(yù)設(shè)的答案：以上關(guān)系僅供參考，其中公式的分布及箭頭流向的方式并不唯一，也不必完全畫出，但所有公式中，起點(diǎn)一定是，其它的每一個(gè)公式都至少有一個(gè)指向它的箭頭．設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)反思的學(xué)習(xí)習(xí)慣，促使學(xué)生對(duì)3個(gè)課時(shí)推導(dǎo)出的所有公式進(jìn)行簡(jiǎn)單回顧梳理，并感悟公式作為所有公式推導(dǎo)的起源具有特殊意義．例1（1）已知sin2α=513，π4＜α＜π2，求sin4α，cos4α（2）已知銳角滿足，求的值．（3）在△ABC中，cosA=45，tanB=2，求tan(2A+2B追問1：在（1）中，已知條件給出了的正弦值．我們應(yīng)該把看作一個(gè)整體還是將它看作的二倍？待求的是的三角函數(shù)值，二者之間有什么關(guān)系？預(yù)設(shè)答案：把看作一個(gè)整體．待求角是已知角的二倍．設(shè)計(jì)意圖：向?qū)W生滲透分析問題的常規(guī)方法，即分析化簡(jiǎn)已知條件，明確待求目標(biāo)，尋找辦法拉近二者之間的距離．順帶指出，“倍”是描述兩個(gè)數(shù)量之間關(guān)系的，2α是α的二倍，4α是2α的二倍，α2是α追問2：在（2）中，注意題目中的已知角與待求角，你能制定多少種不同的方案解出此問題？哪一種方法最便捷？預(yù)設(shè)答案：方案一，直接把展開，結(jié)合同角三角關(guān)系解出的正弦余弦值，再用倍角公式與差角公式計(jì)算；方案二，視為一個(gè)整體，借助同角關(guān)系解出，再由關(guān)系算出的正弦、余弦值，下同方案一；方案三，注意到，視為一個(gè)整體，借助同角關(guān)系解出，再用二倍角公式直接求解．設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生分析題目的一般方法，先確認(rèn)條件及目標(biāo)，再制定解題方案，最后經(jīng)過可行性分析，選擇最優(yōu)方案實(shí)施．同時(shí)再次突顯出分析角差異及換元思想在三角恒等變形中的重要性．追問3：在（3）中，2A+2B與A，B之間能構(gòu)成怎樣的關(guān)系？你能想到幾種不同的求解順序？預(yù)設(shè)答案：可以看作的二倍角的和，也可以看作的和的二倍角．有兩種求解順序，即先計(jì)算二倍角再計(jì)算和角，或先計(jì)算和角，再計(jì)算二倍角．設(shè)計(jì)意圖：（3）題具有一定的綜合性，也是和角公式與倍角公式的綜合應(yīng)用問題．由于對(duì)2A+2B與A，B的之間關(guān)系的看法不同會(huì)產(chǎn)生不同的解題思路．不過，它們都是對(duì)倍角、和角關(guān)系的聯(lián)合運(yùn)用，本質(zhì)上沒有區(qū)別．此外，在三角形的背景下研究問題，常常伴隨著一些隱含條件，如0＜A＜π，A+B+C=π等．憑借本題目，教師可抓住機(jī)會(huì)醒學(xué)生對(duì)此類信息多加關(guān)注．預(yù)設(shè)答案：解：（1）由π4＜α＜π2，得π2又sin2α=513，所以cos2α=?1?5于是sin4α=sin［2×(2α)］=2sin2αcos2α=2×513×?1213cos4α=cos［2×(2α)］=1－2sin22α=1－2×5132=tan4α=sin4αcos4α=?120169×（2）由，可知，故，于是．（3）解法1：在△ABC中，由cosA=45，0＜A＜π，得sinA=1?cos2A=所以tanA=sinAcosA=35×54=34，tan2A=又tanB=2，所以tan2B=2tanB1?tan2B于是tan(2A+2B)=tan2A+tan2B1?tan2A解法2：在△ABC中，由cosA=45，0＜A＜π，得sinA=1?cos2A=所以tanA=sinAcosA=35×又tanB=2，所以tan(A+B)=tanA+tanB1?tanA所以tan(2A+2B)=tan［2(A+B)］=2tan(A+B)1?例2證明：（1）1＋sin2θ?cos2θ（2）3＋cos4α－4cos2α＝8sin4α；（3）tanαtan2αtan2α?tanα＋3追問：以上各個(gè)等式的左右兩側(cè)差異很明顯，而且都是左側(cè)相對(duì)復(fù)雜，右側(cè)相對(duì)簡(jiǎn)單．因此我們需要借助三角恒等變換的公式對(duì)每個(gè)等式的左側(cè)進(jìn)行化簡(jiǎn)變形，最終變?yōu)榈忍?hào)右側(cè)的形式．你能發(fā)現(xiàn)每個(gè)等式等號(hào)兩側(cè)最明顯的差異是什么嗎？你打算如何利用你發(fā)現(xiàn)的差異指導(dǎo)我們后續(xù)恒等變換？預(yù)設(shè)答案：（1）的兩側(cè)有以下差異：第一，角不同，左邊是二倍角，右邊是單倍角，第二，結(jié)構(gòu)不同，左邊是比的形式，右側(cè)不是，因此打算借助二倍角公式把左邊的化為，由于右側(cè)的比值只有一項(xiàng)，因此需要想辦法把左邊的分子與分母的項(xiàng)數(shù)盡可能變少；（2）的兩側(cè)最明顯的差異是，角不同，左側(cè)包括，而右側(cè)僅含有，因此打算利用二倍角公式將左側(cè)的變?yōu)椋賹⒆優(yōu)?；?）兩側(cè)差異有三處：第一，角不同，左側(cè)第二項(xiàng)所含角為，其它項(xiàng)包括等號(hào)右側(cè)均為，第二，函數(shù)名稱不同，左側(cè)第一項(xiàng)為正切，其它各項(xiàng)均為正弦、余弦，第三，結(jié)構(gòu)不同，左側(cè)為兩項(xiàng)之和，右側(cè)僅有一項(xiàng)，因此打算逆用二倍角公式將第二項(xiàng)變?yōu)楹械男问?，將第一?xiàng)的正切利用同角三角關(guān)系轉(zhuǎn)化為正弦、余弦，最后逆用和角公式或差角公式將兩項(xiàng)合并成一項(xiàng)，從等號(hào)右側(cè)形式推斷，最可能的情形就是提取之后，剩下的部分組成與兩角差的正弦形式．設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生分析三角恒等證明問題的證明思路，一般需從對(duì)比等式兩側(cè)的差異入手，在發(fā)現(xiàn)它們的差異不同之后，再選擇相關(guān)公式，將復(fù)雜的一側(cè)向簡(jiǎn)單的一側(cè)化簡(jiǎn)變形，最終證明等式成立，若兩側(cè)均比較復(fù)雜，則考慮兩側(cè)同時(shí)化簡(jiǎn)．證明：（1）左側(cè)右側(cè)；（2）左側(cè)右側(cè)（3）左側(cè)=右側(cè)問題3：在例6（1）中，我們對(duì)等號(hào)左側(cè)化簡(jiǎn)變形時(shí)，分子和分母中均含有，但是卻采用了不同的形式進(jìn)行了變形，分子中利用了公式，而分母中則利用了．你能結(jié)合這個(gè)題目談一談二倍角的余弦公式的三種不同形式的特點(diǎn)與適用場(chǎng)合嗎？預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：學(xué)生回顧反思，教師對(duì)學(xué)生們的回答進(jìn)行梳理總結(jié)．預(yù)設(shè)答案：特征是齊次，在需要分解因式的場(chǎng)合有可能采用此形式；的特征是含有不含，還包括，在我們需要僅含的場(chǎng)合或需要抵消的時(shí)候可以采用此形式；類似地，的特征是含有但不包含，且含有，在我們需要僅含的場(chǎng)合或需要抵消時(shí)，可采用此形式．設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生歸納反思，為使用二倍角余弦公式的不同形式時(shí)作出最佳選擇打好基礎(chǔ)．問題4：結(jié)合例5與例6的求解過程，請(qǐng)你思考，利用三角恒等變形公式解決求值、化簡(jiǎn)及證明問題時(shí)，已知條件與待求式子之間，或待證等式的左右兩邊，通常會(huì)有各種各樣的差異，我們應(yīng)該重點(diǎn)關(guān)注其中哪些方面的差異？師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考之后小組交流，教師進(jìn)行梳理總結(jié)．預(yù)設(shè)答案：角的差異，三角函數(shù)名稱的差異，結(jié)構(gòu)差異等．設(shè)計(jì)意圖：向?qū)W生滲透三角恒等變換的特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生從角度差異、三角函數(shù)名稱差異及結(jié)構(gòu)差異等方面著手分析問題，把握變形方向，為學(xué)生接下來(lái)要大量面對(duì)的三角恒等變換問題提供分析策略和指導(dǎo)方向．（三）歸納小結(jié)問題5：回顧本節(jié)課的內(nèi)容，你能正確寫出二倍角公式嗎？你在認(rèn)識(shí)和使用這些公式時(shí)有哪些心得體會(huì)？預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：學(xué)生進(jìn)行歸納、思考并回答．預(yù)設(shè)答案：公式中的二倍角和單倍角分別用與表示，但是使用公式時(shí)，它們也可以是與，與等，形式非常靈活；余弦二倍角公式有三種形式：，在使用它們的時(shí)候，需要結(jié)合題目特征進(jìn)行選擇，例如，有時(shí)候因?yàn)橹幌氤霈F(xiàn)而選擇最后一種形式，有時(shí)候?yàn)榱撕驼?fù)抵消而選擇第二種形式等等；我們?cè)诮鉀Q三角恒等變換問題的時(shí)候，往往要從角度差異、函數(shù)名稱差異、代數(shù)式結(jié)構(gòu)差異等方面對(duì)已知條件和待求結(jié)論尋找差異，然后再根據(jù)這些差異選擇適當(dāng)?shù)墓竭M(jìn)行變形求解．設(shè)計(jì)意圖：回顧反思，使學(xué)生在頭腦中形成思維網(wǎng)絡(luò)．（四）作業(yè)布置教科書習(xí)題．（五）目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)1．已知cosα8=?45，8π＜α＜12π，求sinα4，cos2．求下列各式的值：（1）sin15°cos15°；（2）cos2π8－sin2π（3）tan22.5°1?tan222.5°；（4）2cos3．證明：（1）cos4α＋4co