《直線與平面垂直》第1課時(shí)示范課教學(xué)設(shè)計(jì)【高中數(shù)學(xué)教案】

《直線與平面垂直》教學(xué)設(shè)計(jì)第1課時(shí)◆◆ 教學(xué)目標(biāo)掌握兩條異面直線所成角的定義，找出或作出異面直線所成的角，借助三角形或四邊形求異面直線所成的角；結(jié)合實(shí)例概括出直線與平面垂直的定義，了解直線與平面垂直的性質(zhì)；.理解線面垂直的判定定理，能運(yùn)用文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言對(duì)該定理加以表述，初步學(xué)習(xí)．◆ ◆ 教學(xué)重難點(diǎn)◆ 教學(xué)重點(diǎn)：掌握異面直線所成角的概念及算法，理解直線與平面垂直的判定定理．教學(xué)難點(diǎn)：靈活運(yùn)用直線與平面垂直的判定定理．

◆ ◆ 課前準(zhǔn)備PPT課件．◆◆ 教學(xué)過程一、問題導(dǎo)入問題1：兩條相交直線所成角怎么定義?師生活動(dòng)：學(xué)生先回憶初中學(xué)過的兩條相交直線所成角等．預(yù)設(shè)的答案：兩條相交直線所成的角的大小，指的是它們相交所得到的不大于直角的角的大小.例如，直線與直線所成角的大小，指的是或的大小.設(shè)計(jì)意圖：承上啟下引語(yǔ)：本節(jié)課，就需要進(jìn)一步學(xué)習(xí)異面直線所成角的概念、直線與平面垂直的判定定理.（板書：直線與平面垂直）【新知探究】問題2：如圖11－4－2所示正方體中，AB與B1C1異面，AB與B.D1也異面.(1)直觀上，你認(rèn)為這兩種異面有什么區(qū)別?(2)如果要利用角的大小來(lái)區(qū)分這兩種異面，你認(rèn)為該怎樣做?師生活動(dòng)：學(xué)生分析解題思路，給出答案．追問：異面直線所成角θ的取值范圍是什么（讓學(xué)生自由發(fā)揮，分組討論，一起判斷，教師點(diǎn)評(píng).）預(yù)設(shè)的答案：(1)定義：一般地，如果a，b是空間中的兩條異面直線，過空間中任意一點(diǎn)，分別作與a，b平行或重合的直線a′，b′，則a′與b′所成角的大小，稱為異面直線a與b所成角的大?。?2)異面直線所成角θ的取值范圍：0°<θ≤90°.(3)規(guī)定：空間中兩條平行直線所成角的大小為0°.空間中兩條直線l，m所成角的大小為90°時(shí)，稱l與m互相垂直，記作l⊥m.若a∥b且b⊥c，則一定有a⊥c.(4)空間兩條直線所成角θ的取值范圍：0°≤θ≤90°.設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)直線與直線位置關(guān)系的回顧，引出異面直線所成角的定義．發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的核心素養(yǎng)．問題3：直線與平面垂直如何定義？師生活動(dòng)：學(xué)生分析解題思路，給出答案．預(yù)設(shè)的答案：(1)文字?jǐn)⑹觯喝绻本€l與平面α內(nèi)過它們公共點(diǎn)的所有直線都垂直，就說(shuō)直線l與平面α互相垂直．(2)符號(hào)表示：l⊥a??m?α，l⊥m.(3)圖形表示：設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生分析和歸納的能力.問題4：如圖11－4－5所示，，m∩n≠O，如果空間中的直線l滿足l⊥m，那么一定有嗎?如果l⊥m且l⊥n呢?利用合適的實(shí)物演示，并猜測(cè)直線與平面垂直的判定方法.師生活動(dòng)：學(xué)生分析解題思路，給出答案．預(yù)設(shè)的答案：直線與平面垂直的判定定理 (1)文字?jǐn)⑹觯喝绻粭l直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個(gè)平面垂直．(2)圖形語(yǔ)言：(3)符號(hào)語(yǔ)言：如果m?α，n?α，m∩n≠?，l⊥m，l⊥n，則l⊥α.(4)作用：證明直線與平面垂直.設(shè)計(jì)意圖：通過定理思辨，提升學(xué)生對(duì)定理的準(zhǔn)確理解和應(yīng)用能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)．【鞏固練習(xí)】例1.如圖所示，空間四邊形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)，求EF和AB所成的角．師生活動(dòng)：學(xué)生分析解題思路，給出答案．預(yù)設(shè)的答案：如圖所示，取BD的中點(diǎn)G，連接EG、FG.∵E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)，AB＝CD．∴EG∥CD，GF∥AB，且EG＝eq\f(1,2)CD，GF＝eq\f(1,2)AB．∴∠GFE就是EF與AB所成的角，EG＝GF.∵AB⊥CD，∴EG⊥GF.∴∠EGF＝90°.∴△EFG為等腰直角三角形．∴∠GFE＝45°．∴EF和AB所成的角是45°.設(shè)計(jì)意圖：通過典例分析，提高學(xué)生對(duì)線面垂直證明的應(yīng)用能力，提升推理論證能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模及邏輯推理的核心素養(yǎng)．例2.如圖所示的四棱錐中，已知底面是一個(gè)平行四邊形，，且，求證：面師生活動(dòng)：學(xué)生分析解題思路，給出答案．預(yù)設(shè)的答案：由已知可得為的中點(diǎn)在中，因?yàn)椋杂傻妊切稳€合一可知；同理，又因?yàn)?，所以面設(shè)計(jì)意圖：通過典例分析，提高學(xué)生對(duì)線面垂直證明的應(yīng)用能力，提升推理論證能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模及邏輯推理的核心素養(yǎng)．【課堂小結(jié)】問題：（1）求兩條異面直線所成角的技巧有哪些？（2）直線和平面垂直的判定方有哪些？師生活動(dòng)：學(xué)生嘗試總結(jié)，老師適當(dāng)補(bǔ)充.預(yù)設(shè)的答案：1．求兩條異面直線所成角的技巧(1)作出異面直線所成的角，可通過多種方法平移產(chǎn)生，主要有三種方法：①直接平移法(可利用圖中已有的平行線，如平行四邊形)；②中位線平移法；③補(bǔ)形平移法(在已知圖形中，補(bǔ)作一個(gè)相同的幾何體，以便找到平行線)．(2)如果求得的角的余弦值為負(fù)值的話，這說(shuō)明兩條異面直線所成的角應(yīng)該是所求角的補(bǔ)角．所以在指明所求角的時(shí)候，應(yīng)該說(shuō)“這個(gè)角或其補(bǔ)角”即為所求的角．2．直線和平面垂直的判定方法：(1)利用線面垂直的定義；(2)利用線面垂直的判定定理；(3)利用下面兩個(gè)結(jié)論：①若a∥b，a⊥α，則b⊥α；②若α∥β，a⊥α，則a⊥β.設(shè)計(jì)意圖：通過梳理本節(jié)課的內(nèi)容，能讓學(xué)生更加明確集合的有關(guān)知識(shí)．布置作業(yè)：【目標(biāo)檢測(cè)】1.在圓柱的一個(gè)底面上任取一點(diǎn)(該點(diǎn)不在底面圓周上)，過該點(diǎn)作另一個(gè)底面的垂線，則這條垂線與圓柱的母線所在直線的位置關(guān)系是()A．相交 B．平行C．異面 D．相交或平行設(shè)計(jì)意圖：通過定理思辨，提升學(xué)生對(duì)定理的準(zhǔn)確理解和應(yīng)用能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)．2.一條直線分別垂直于一個(gè)平面內(nèi)的：①三角形的兩條邊；②梯形的兩條邊；③圓的兩條直徑；④正六邊形的兩條邊.其中不能保證該直線與平面垂直的是()A.①③ B.② C.②④ D.①②④設(shè)計(jì)意圖：通過定理思辨，提升學(xué)生對(duì)定理的準(zhǔn)確理解和應(yīng)用能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)．3．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，∠BAE＝25°，則異面直線AE與B1C1所成的角的大小為________.設(shè)計(jì)意圖：通過定理思辨，提升學(xué)生對(duì)定理的準(zhǔn)確理解和應(yīng)用能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)．4.如圖所示，在三棱錐P－ABC中，H為△ABC的垂心，AP⊥BC，PC⊥AB．求證：PH⊥平面ABC．設(shè)計(jì)意圖：通過定理思辨，提升學(xué)生對(duì)定理的準(zhǔn)確理解和應(yīng)用能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)．參考答案：1.B圓柱的母線垂直于圓柱的底面，由線面垂直的性質(zhì)知B正確．2.C因?yàn)榫€面垂直的判定定理中平面內(nèi)的兩條直線必須相交，而②④中不能確定兩條邊是否相交，故不能保證該直線與平面垂直，故選C.3.65°∵B1C1∥BC，∴異面直線AE與B