高等代數(shù)北大版第3章習(xí)題參考答案

第三章線性方程組1．用消元法解下列線性方程組：解1）對方程組得增廣矩陣作行初等變換，有因為，所以方程組有無窮多解，其同解方程組為，解得其中為任意常數(shù)。2）對方程組德增廣矩陣作行初等變換，有因為，所以原方程無解。3）對方程組德增廣矩陣作行初等變換，有，因為，所以方程組有惟一解，且其解為。4）對方程組的增廣矩陣作行初等變換，有，即原方程組德同解方程組為，由此可解得，其中是任意常數(shù)。5）對方程組的增廣矩陣作行初等變換，有因為，所以原方程組無解。6）對方程組的增廣矩陣作行初等變換，有，即原方程組的同解方程組為，解之得，其中是任意常數(shù)。2.把向量表成的線性組合.。解1）設(shè)有線性關(guān)系代入所給向量，可得線性方程組，解之，得，因此。2）同理可得。3.證明：如果向量組線性表出.線性無關(guān)，而線性相關(guān)，則向量可由證由題設(shè)，可以找到不全為零的數(shù)使，顯然.事實上，若，而不全為零，使成立，這與線性無關(guān)的假設(shè)矛盾，即證.故，即向量可由線性表出。，證明：如果，4.，那么線性無關(guān)。證設(shè)有線性關(guān)系代入分量，可得方程組，由于，故齊次線性方程組只有零解，從而線性無關(guān)。5.設(shè)是互不相同的數(shù)，.證明：是線性無關(guān)的。，則證設(shè)有線性關(guān)系，1）當(dāng)時，方程組中的未知量個數(shù)與方程個數(shù)相同，且系數(shù)行列式為一個范德蒙行列式，即，所以方程組有惟一的零解，這就是說線性無關(guān)。2）當(dāng)時，令則由上面1)的證明可知是線性無關(guān)的。而是延長的向量，所以也線性無關(guān)。6.設(shè)線性無關(guān)，證明也線性無關(guān)。證設(shè)由線性關(guān)系，則。再由題設(shè)知線性無關(guān)，所以，解得，所以線性無關(guān)。7.已知的秩為，證明：中任意個線性無關(guān)的向量都構(gòu)成它的一個極大線性無關(guān)組.證設(shè)是中任意個線性無關(guān)向量組，如果能夠證明任意一個向量線性表出就可以了。都可由事實上，向量組是線性相關(guān)的，否則原向量組的秩大于，矛盾.這說明可由線性表出，再由的任意性，即證。8.設(shè)的秩為，是中的個向量，使得中每個向量都可被它們線性表出，證明：是的一個極大線性無關(guān)組。證由題設(shè)知與等價，所以的秩與的秩相等，且等于.又因為線性無關(guān)，故而是的一個極大線性無關(guān)組。9.證明：一個向量組的任何一個線性無關(guān)組都可以擴充成一線性無關(guān)組。證將所給向量組用（Ⅰ）表示，它的一個線性無關(guān)向量組用（Ⅱ）表示。若向量組（Ⅰ）中每一個向量都可由向量組（Ⅱ）線性表出，那么向量組（Ⅱ）就是向量組（Ⅰ）的極大線性無關(guān)組.否則，向量組（Ⅰ）至少有一個向量不能由向量組（Ⅱ）線性表出，此時將添加到向量組（Ⅱ）中去，得到向量組（Ⅲ），且向量組（Ⅲ）是線性無關(guān)的。進(jìn)而，再檢查向量組（Ⅰ）中向量是否皆可由向量組（Ⅲ）線性表出.若還不能，再把不能由向量組（Ⅲ）線性表出的向量添加到向量組（Ⅲ）中去，得到向量組（Ⅳ）。繼續(xù)這樣下去，因為向量組（Ⅰ）的秩有限，所以只需經(jīng)過有限步后，即可得到向量組（Ⅰ）的一個極大線性無關(guān)組。10.設(shè)向量組為，，，，。1）證明：2）把線性無關(guān)。擴充成一極大線性無關(guān)組。證1）由于2）因為的對應(yīng)分量不成比例，因而線性無關(guān)。，且由，可解得，所以再令線性無關(guān)。，代入已知向量后，由于相應(yīng)的齊次線性方程組的系數(shù)行列式為0，因而該齊次線性方程組存在非零解，即線性相關(guān)，所以可由線性表出。這意味著就是原向量組的一個極大線性無關(guān)組。注此題也可將排成的矩陣，再通過列初等變換化為行階梯形或行最簡形，然后得到相應(yīng)結(jié)論。11.用消元法求下列向量組的極大線性無關(guān)組與秩：，解1）設(shè)對矩陣作行初等變換，可得，所以的秩為3，且即為所求極大線性無關(guān)組。為所求極大線性無關(guān)組，且向量組的秩為3。3）同理可得12.證明：如果向量組（Ⅰ）可以由向量組（Ⅱ）線性表出，那么（Ⅰ）的秩不超過（Ⅱ）的秩。證由題設(shè)，向量組（Ⅰ）的極大線性無關(guān)組也可由向量組（Ⅱ）的極大線性無關(guān)組線性表出，即證向量組（Ⅰ）的秩不超過向量組（Ⅱ）的秩。13.設(shè)是一組維向量，已知單位向量可被它們線性表出，證明：線性無關(guān)。證設(shè)的秩為，而的秩為。由題設(shè)及上題結(jié)果知，從而，故線性無關(guān)。14.設(shè)是一組維向量，證明：線性無關(guān)的充分必要條件是任一維向量都可被它們線性表出。證必要性.設(shè)線性無關(guān)，但是個維向量必線性相關(guān)，于是對任意維向量，它必可由線性表出。充分性任意維向量可由線性表出，特別單位向量線性無關(guān)?？捎删€性表出，于是由上題結(jié)果，即證15.證明：方程組對任何都有解的充分必要條件是系數(shù)行列式。證充分性.由克拉默來姆法則即證。下證必要性.記，則原方程組可表示為，由題設(shè)知，任意向量都可由線性進(jìn)而，下述線性關(guān)系表出，因此由上題結(jié)果可知線性無關(guān)。，僅有惟一零解，故必須有，即證。16.已知與有相同的秩，證明：與等價。證由于與有相同的秩，因此它們的極大線性無關(guān)組所含向量個數(shù)必定相等.這樣的極大線性無關(guān)組也必為的極大線性無關(guān)組，從而它們有相同的極大線性無關(guān)組。另一方面，因為它們分別與極大線性無關(guān)組等價，所以它們一定等價。17.設(shè)，證明：與具有相同的秩。證只要證明兩向量組等價即可.由題設(shè)，知可由線性表出。現(xiàn)在把這些等式統(tǒng)統(tǒng)加起來，可得，于是，即證也可由線性表出，從而向量組與等價。18.計算下列矩陣的秩：1）2）3）4）5）。解1）秩為4；2）秩為3；3）秩為2；4）秩為3；5）秩為5。19.討論取什么值時，下列方程有解，并求解。1）2）3）解1）因為方程組的系數(shù)行列式，所以當(dāng)時，原方程組與方程同解，故原方程組有無窮多解，且其解為，其中當(dāng)為任意常數(shù)。時，原方程組無解。當(dāng)且時，原方程組有惟一解。且。2）因為方程組的系數(shù)行列式，所以當(dāng)時，原方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩分別為2與3，所以無解。時，的秩為2，的秩為3，故原方程組也無解。當(dāng)當(dāng)，且時，方程組有唯一解。3)因為方程組的系數(shù)行列式，所以當(dāng)時，即且時，方程組有惟一解，且為，當(dāng)時1o若2o若，這時系數(shù)矩陣的秩為2，而它的增廣矩陣的秩為3，故原方程組無解。，這時增廣矩陣所以當(dāng)而當(dāng)時，的秩為3，的秩為，原方程組無解。時，原方程組有無窮多個解，且其解為，其中為任意常數(shù)。20.求下列齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系，并用它表出全部解：1）2）3）4）解1）對方程組的系數(shù)矩陣作行初等變換，有因為組為，所以原方程組的基礎(chǔ)解中含有3個線性無關(guān)的解向量，且原方程組的同解方程，于是只要令即得，同理，令即得即得，，則為原方程組的一個基礎(chǔ)解系，且該齊次線性方程組的全部解為，其中為任意常數(shù)。2）對方程組的系數(shù)矩陣作行初等變換，有因為，所以原方程組的基礎(chǔ)解系中含有2個線性無關(guān)的解向量，且原方程組的同解方程組為，若令，得，得，，則為原方程組的一個基礎(chǔ)解系，且該齊次線性方程組的全部解為，其中為任意常數(shù)。3）對方程組的系數(shù)矩陣作行初等變換，有又因為所以，方程組的基礎(chǔ)解系含有一個線性無關(guān)的解向量，且原方程組的同解方程組為。于是令，可得，則即為原方程組的一個基礎(chǔ)解系，且該齊次線性方程組的全部解為，其中為任意常數(shù)。4）對方程組的系數(shù)矩陣作行初等變換，有又應(yīng)為所以，方程組的基礎(chǔ)解系含有2個線性無關(guān)大解向量，且原方程組的同解方程組為，得，得，，則為原方程組的一個基礎(chǔ)解系，且該齊次線性方程組的全部解為，其中為任意常數(shù)。21.用導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表出第1題1）、4）、6）題中線性方程組的全部解，其中解1）對原方程組的增廣矩陣作初等行變換，可得，所以方程組有無窮多解，且其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系中含有1個線性無關(guān)的解向量，又因為原方程組的同解方程組為，若令為，代入原方程組的導(dǎo)出組，可解得，，于是導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系且原方程組的一個特解為，故園方程組的全部解為，其中為任意常數(shù)。4）對原齊次線性方程組的系數(shù)矩陣作初等變換，可得，所以方程組有無窮多解，且其基礎(chǔ)解系中含有2個線性無關(guān)的解向量，又因為原方程組的同解方程組為，若令，得，得，再令，于是導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為，，故原方程組的全部解為，其中為任意常數(shù)。6）對原方程組的增廣矩陣作初等變換，可得，所以方程組有無窮多個解，且其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系中含有1個線性無關(guān)的解向量，又因為原方程組的同解方程組為，若令，代入原方程組的導(dǎo)出組，可解得，，于是導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為且原方程組的一個特解為，故原方程組的全部解為，其中為任意常數(shù)。22.取什么值時，線性方程組有解？在有解的情形，求一般解。解對方程組的增廣矩陣行作初等變換：。于是，只有且時，增廣矩陣的秩與系數(shù)的秩都為2，此時原方程組有解；當(dāng)且時，原方程組都無解。當(dāng)，時，原方程組與方程組，同解，且其一般解為，其中為任意常數(shù)。23.設(shè)證明：此方程組有解的充分必要條件為，在有解的情形，求出它的一般解。證對方程組的增廣矩陣作行初等變換，有此時的秩為4，的秩為4的充分必要條件是，因此，原方程組有解的充分必要條件是。其次，當(dāng)時，原方程組與方程組與，同解，所以它的一般解為，其中為任意常數(shù)。24.證明：與基礎(chǔ)解系等價的線性無關(guān)向量組也是基礎(chǔ)解系。證由于兩個等價的線性無關(guān)向量組所含向量個數(shù)是相等的，不妨設(shè)是齊次線性方程組的線性表出，從而一個基礎(chǔ)解系，且與它等價，則可由也是原齊次線性方程組的解。又由題設(shè)知線性無關(guān)，且可由線性表出，從而齊次線性方程組的任一個解也都可以由線性表出，即證也是方程組的一個基礎(chǔ)解系。25.設(shè)齊次方程組，的系數(shù)矩陣的秩為，證明：方程組的任意個線性無關(guān)的解都是它的一個基礎(chǔ)解系。證由于方程組的系數(shù)矩陣的秩為，所以它的基礎(chǔ)解系所含線性無關(guān)解向量的個數(shù)為。設(shè)是方程組的一個基礎(chǔ)解系，，是方程組的任意個線性無關(guān)的解向量，則向量組的秩仍為，且是它的一個極大線性無關(guān)組，同理也是它的一個極大線性無關(guān)組，所以與等價，再由上題即證。26.證明：如果是一線性方程組的解，那么，（其中）也是一個解。證設(shè)線性方程組為由題設(shè)，是該方程組的個解，現(xiàn)將代入方程組，得，所以仍是方程組的一個解，即證。27.