天津市河北區(qū)高三下學(xué)期總復(fù)習(xí)質(zhì)量檢測（二）數(shù)學(xué)試題

2022屆天津市河北區(qū)高三下學(xué)期總復(fù)習(xí)質(zhì)量檢測（二）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)全集，集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)補集、并集的定義計算可得；【詳解】解：因為，，所以，又，所以；故選：D2．若a，b都是實數(shù)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷可得；【詳解】解：，都是實數(shù)，那么“”“”，反之不成立，例如：，，滿足，但是無意義，“”是“”的必要不充分條件．故選：B．3．已知，且，則m的值為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】化指數(shù)式為對數(shù)式,把用含有的代數(shù)式表示,代入,然后利用對數(shù)的運算性質(zhì)求解的值.【詳解】由,得，,由,得,即,,∵.故選:B.【點睛】本題考查了指數(shù)式和對數(shù)式的互化,考查了對數(shù)的運算性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.4．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】通過研究函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性，以及由排除不正確的選項，從而得出答案..【詳解】詳解：為奇函數(shù)，排除A,，故排除D.，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增，所以排除C；故選：B.5．為了解中學(xué)生的身高情況，某部門隨機抽取了某學(xué)校的學(xué)生，將他們的身高數(shù)據(jù)（單位：cm）按[150，160），[160，170），[170，180），[180，190]分組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，其中身高在區(qū)間[170，180）內(nèi)的人數(shù)為300，身高在區(qū)間[160，170）內(nèi)的人數(shù)為180，則a的值為（

）【答案】A【分析】由頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)，以及頻率與頻數(shù)之間的關(guān)系，列式求解即可.【詳解】由頻率分布直方圖可得：，解得a=0.03.故選:A6．已知雙曲線C：的焦點F到漸近線的距離與頂點A到漸近線的距離之比為3：1，則雙曲線C的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)相似三角形，直接得到，計算漸近線的斜率.【詳解】如圖，可知焦點F到漸近線的距離與頂點A到漸近線的距離之比為3：1，即，，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：A.7．已知是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間單遞調(diào)減，若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由偶函數(shù)的定義和對數(shù)的運算性質(zhì)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和已知函數(shù)的單調(diào)性，可得，，的大小關(guān)系．【詳解】解：由函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，可得，則，，，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，，即，所以，即有，故選：D．8．給定函數(shù)，，，，用表示，中的最小者，記為，關(guān)于函數(shù)有如下四個命題：①函數(shù)的最小正周期為π；②函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；③函數(shù)的值域為；④函數(shù)在上單調(diào)遞增，其中真命題的是（

）A．②④ B．①② C．①③ D．③④【答案】A【分析】可將的解析式化簡為，，通過作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象逐個判斷即可．【詳解】解：因為，，則，，如圖所示：由圖可知：的最小正周期為，故①為假命題；的圖像關(guān)于直線對稱，故②為真命題；的值域為，故③為假命題；在區(qū)間上單調(diào)遞增，故④為真命題，真命題為②④，故選：A．9．設(shè)函數(shù).若時，方程有唯一解，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出f(x+1)的圖象，根據(jù)方程f(x+1)=k有唯一解，結(jié)合圖象即可求解k的取值范圍.【詳解】因為函數(shù)，所以，若時，作出的圖象，結(jié)合圖象可知方程有唯一解,則.故選：B二、填空題10．i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)___________．【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算法則計算可得；【詳解】解：故答案為：11．二項式的展開式中常數(shù)項為_________.【答案】【分析】求出二項式的通項公式，再令對應(yīng)的冪指數(shù)為0即可求解【詳解】二項式的展開式的通項公式為,令，解得，所以該二項式展開式中常數(shù)項為，故答案為：60【點睛】本題考查二項式中常數(shù)項的求解，屬于基礎(chǔ)題12．圓和圓的公共弦的長為___________．【答案】【分析】首先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，再兩圓方程作差即可得出公共弦方程，再利用點到直線的距離公式及垂徑定理、勾股定理計算可得；【詳解】解：由圓①，即，所以圓心，半徑；又圓②，①②得，即公共弦方程為，圓心到直線的距離,所以公共弦長為；故答案為：13．已知菱形ABCD的邊長為2，，點E，F(xiàn)分在邊BC，CD上，，．若，則的最小值為___________．【答案】【分析】由題意畫出圖形，把用表示，最后轉(zhuǎn)化為含有，的代數(shù)式，再結(jié)合及基本不等式求得的最小值．【詳解】解：如圖，，，且，，．由題意可得，，，，，則，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），的最小值為．故答案為：．14．已知，，且，則的最大值為___________．【答案】【分析】依題意可得，再利用基本不等式計算可得；【詳解】解：因為，，且，所以又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)、時取等號；故答案為：三、雙空題15．一個暗箱內(nèi)有標(biāo)號是1，2，3，4，5的五個小球，現(xiàn)從箱中一次摸出兩個球，記下號碼后放回，如果兩個球的號碼和是5的倍數(shù)，則獲獎.若有5人參與摸獎，則恰有3人獲獎的概率是______，獲獎人數(shù)的均值是___________.【答案】

1【分析】基本事件總數(shù)，利用列舉法求出兩個球的號碼和是5的倍數(shù)包含的基本事件有2個，從而獲獎的概率為，有5人參與摸獎，則獲獎人數(shù)，由此能求出恰有3人獲獎的概率和獲獎人數(shù)的均值．【詳解】解：一個暗箱內(nèi)有標(biāo)號是1，2，3，4，5的五個小球，從箱中一次摸出兩個球，記下號碼后放回，基本事件總數(shù)，兩個球的號碼和是5的倍數(shù)包含的基本事件有：，，共2個，則獲獎的概率為，有5人參與摸獎，則獲獎人數(shù)，恰有3人獲獎的概率是，獲獎人數(shù)的均值是．故答案為：，1．四、解答題16．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求角C的大??；(2)若，求的值；(3)若，的面積為，求邊a，b的值．【答案】(1)；(2)；(3)或.【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再利用兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式計算可得；（2）首先由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，再利用二倍角公式及兩角和的正弦公式計算可得；（3）由面積公式得到，再由余弦定理得到，最后解方程組即可；【詳解】(1)解：因為，由正弦定理得，即，故，因為，所以，又，所以．(2)解：因為，所以，所以，，所以.(3)解：由已知，，又，所以①，由已知及余弦定理得，故，從而，所以②．由①②得或.17．如圖，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，，四邊形PACQ是矩形，，且平面平面ABCD．(1)求直線BP與平面PACQ所成角的正弦值；(2)求平面BPQ與平面DPQ的夾角的大小；(3)求點C到平面BPQ的距離．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）連接，交于，連接，由平面平面，可推出平面，平面，故即為所求；在中，由可得解；（2）取的中點，連接、，易證，，故即為所求，在中，利用余弦定理求出，即可得到兩平面的夾角；（3）由等體積法，即可得解．【詳解】(1)解：連接交于，連接，四邊形是菱形，，平面平面，平面平面，平面，平面，即為與平面所成角．四邊形為矩形，，又平面平面，平面平面，平面，平面，，，在中，，，故與平面所成角的正弦值為．(2)解：取的中點，連接、，由（1）知，平面，四邊形是菱形，四邊形為矩形，，，，，即為二面角的平面角，在中，，，由余弦定理知，，，故二面角的大小為，則平面與平面的夾角為．(3)解：設(shè)點到平面的距離為，，，，，故點到平面的距離為．18．已知數(shù)列的前項和為，滿足，，數(shù)列滿足，，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，求數(shù)列的通項公式；（3）若，數(shù)列的前項和為，對任意的，都有，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）證明見解析，；（3）或.【分析】（1）運用數(shù)列的遞推式以及數(shù)列的和與通項的關(guān)系可得，再由等比數(shù)列的定義、通項公式可得結(jié)果；（2）對等式兩邊除以，結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項公式，可得所求；（3）求得，由數(shù)列的錯位相減法求和，可得，化簡,即，對任意的成立，運用數(shù)列的單調(diào)性可得最大值，解不等式可得所求范圍．【詳解】(1)，可得，即；時,,又，相減可得,即，則；(2)證明：，可得，可得是首項和公差均為1的等差數(shù)列，可得,即；(3)，前n項和為，，相減可得，可得，,即為，即,對任意的成立，由，可得為遞減數(shù)列，即n=1時取得最大值1?2=?1，可得，即或.【點睛】“錯位相減法”求數(shù)列的和是重點也是難點，利用“錯位相減法”求數(shù)列的和應(yīng)注意以下幾點：①掌握運用“錯位相減法”求數(shù)列的和的條件（一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的積）；②相減時注意最后一項的符號；③求和時注意項數(shù)別出錯；④最后結(jié)果一定不能忘記等式兩邊同時除以.19．已知點，橢圓：的離心率為和分別是橢圓的左焦點和上頂點，且的面積為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)過點的直線與相交于，兩點，當(dāng)時，求直線的方程．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或【分析】（Ⅰ）由的面積為，得出關(guān)系，再由離心率結(jié)合關(guān)系，求解即可得出橢圓方程；（Ⅱ）設(shè)，由已知可得，設(shè)直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得到的關(guān)系式，進而得出的關(guān)系式，建立的方程，求解即可得出結(jié)論.【詳解】（Ⅰ）設(shè)，由條件知，所以的面積為，①由得，從而，化簡得，②①②聯(lián)立解得，從而，所以橢圓的方程為；（Ⅱ）當(dāng)軸時，不合題意，故設(shè)，將代入得．由題得，設(shè)，則因為，所以，從而，整理得，，所以直線的方程為或．【點睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系，要掌握根與系數(shù)關(guān)系設(shè)而不求方法在相交弦中的應(yīng)用，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)計算能力，屬于中檔題.20．已知函數(shù)，.（1）若，求的最大值；（2）若函數(shù)，討論的單調(diào)性；（3）若函數(shù)有兩個極值點，（），求證：.【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）證明見解析.【分析】（1）代入的值，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而求出函數(shù)的最大值即可；（2）首先對函數(shù)進行求導(dǎo)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（3）首先根據(jù)函數(shù)有兩個極值點得一元二次方程有兩根，進而可得判別式、根與系數(shù)的關(guān)系，所以可以得兩極值點，的關(guān)系，及極值點的取值范圍；然后寫出關(guān)于極值點的表達式，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明結(jié)論成立即可.【詳解】（1）當(dāng)時，，，當(dāng)時，，∴單調(diào)遞增，當(dāng)時，，∴單調(diào)遞減，所以的最大值為；（2）由已知得，，.①當(dāng)時，由得所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞；②當(dāng)時，，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增；③當(dāng)時，由，得或，所以當(dāng)與時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；④當(dāng)時，由，得或，因而當(dāng)與時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在與上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在與上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（3）證明：，則的定義域為，，若有