考研數(shù)學(xué)三真題與解析

PAGE14考研數(shù)學(xué)三真題與解析2014年考研數(shù)學(xué)三真題與解析一、選擇題1—8小題．每小題4分，共32分．1．設(shè)，則當(dāng)充分大時(shí)，下列正確的有（）（A）（B）（C）(D)【詳解】因?yàn)?，所以，，?dāng)時(shí)，有，即，，取，則知，所以選擇（A）2．下列曲線有漸近線的是（A）（B）（C）（D）【分析】只需要判斷哪個(gè)曲線有斜漸近線就可以．【詳解】對(duì)于，可知且，所以有斜漸近線應(yīng)該選（C）3．設(shè)，則當(dāng)時(shí)，若是比高階的無(wú)窮小，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（）（A）（B）（C）（D）【詳解】只要熟練記憶當(dāng)時(shí)，顯然，應(yīng)該選（D）4．設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，，則在上（）（A）當(dāng)時(shí)，（B）當(dāng)時(shí)，（C）當(dāng)時(shí)，（D）當(dāng)時(shí)，【分析】此題考查的曲線的凹凸性的定義及判斷方法．【詳解1】如果對(duì)曲線在區(qū)間上凹凸的定義比較熟悉的話，可以直接做出判斷．如果對(duì)區(qū)間上任意兩點(diǎn)及常數(shù)，恒有，則曲線是凸的．顯然此題中，則，而，故當(dāng)時(shí)，曲線是凹的，即，也就是，應(yīng)該選（D）【詳解2】如果對(duì)曲線在區(qū)間上凹凸的定義不熟悉的話，可令，則，且，故當(dāng)時(shí)，曲線是凹的，從而，即，也就是，應(yīng)該選（D）５．行列式等于（A）（B）（C）（D）【詳解】應(yīng)該選（B）．6．設(shè)是三維向量，則對(duì)任意的常數(shù)，向量，線性無(wú)關(guān)是向量線性無(wú)關(guān)的（A）必要而非充分條件（B）充分而非必要條件（C）充分必要條件（D）非充分非必要條件【詳解】若向量線性無(wú)關(guān)，則（，），對(duì)任意的常數(shù)，矩陣的秩都等于2，所以向量，一定線性無(wú)關(guān)．而當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的常數(shù)，向量，線性無(wú)關(guān)，但線性相關(guān)；故選擇（A）．7．設(shè)事件A，B想到獨(dú)立，則（）（A）0.1（B）0.2（C）0.3（D）0.4【詳解】．所以，．故選擇（B）．8．設(shè)為來(lái)自正態(tài)總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則統(tǒng)計(jì)量服從的分布是（A）（B）（C）（D）【詳解】，顯然，，且與相互獨(dú)立，從而故應(yīng)該選擇（C）．二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上）9．設(shè)某商品的需求函數(shù)為（為商品的價(jià)格），則該商品的邊際收益為．【詳解】，邊際收益．10．設(shè)D是由曲線與直線及所圍成的有界區(qū)域，則D的面積為．【詳解】11．設(shè)，則．【詳解】．所以12．二次積分．【詳解】13．設(shè)二次型的負(fù)慣性指數(shù)是1，則的取值范圍是．【詳解】由配方法可知由于負(fù)慣性指數(shù)為1，故必須要求，所以的取值范圍是．14．設(shè)總體X的概率密度為，其中是未知參數(shù)，是來(lái)自總體的簡(jiǎn)單樣本，若是的無(wú)偏估計(jì)，則常數(shù)=．【詳解】，所以，由于是的無(wú)偏估計(jì)，故，．三、解答題15．（本題滿分10分）求極限．【分析】．先用等價(jià)無(wú)窮小代換簡(jiǎn)化分母，然后利用洛必達(dá)法則求未定型極限．【詳解】16．（本題滿分10分）設(shè)平面區(qū)域．計(jì)算【詳解】由對(duì)稱性可得17．（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，滿足．若，求的表達(dá)式．【詳解】設(shè)，則，;；由條件，可知這是一個(gè)二階常用系數(shù)線性非齊次方程．對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為：其中為任意常數(shù)．對(duì)應(yīng)非齊次方程特解可求得為．故非齊次方程通解為．將初始條件代入，可得．所以的表達(dá)式為．18．（本題滿分10分）求冪級(jí)數(shù)的收斂域、和函數(shù)．【詳解】由于，所以得到收斂半徑．當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零，是發(fā)散的，所以收斂域?yàn)椋詈秃瘮?shù)，則19．（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且單調(diào)增加，，證明：；．【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以．即．?）令，則可知，且，因?yàn)榍覇握{(diào)增加，所以．從而，也是在單調(diào)增加，則，即得到．20．（本題滿分11分）設(shè)，E為三階單位矩陣．求方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系；求滿足的所有矩陣．【詳解】（1）對(duì)系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換如下：，得到方程組同解方程組得到的一個(gè)基礎(chǔ)解系．（2）顯然B矩陣是一個(gè)矩陣，設(shè)對(duì)矩陣進(jìn)行進(jìn)行初等行變換如下：由方程組可得矩陣B對(duì)應(yīng)的三列分別為，，，即滿足的所有矩陣為其中為任意常數(shù)．21．（本題滿分11分）證明階矩陣與相似．【詳解】證明：設(shè)，．分別求兩個(gè)矩陣的特征值和特征向量如下：，所以A的個(gè)特征值為；而且A是實(shí)對(duì)稱矩陣，所以一定可以對(duì)角化．且；所以B的個(gè)特征值也為；對(duì)于重特征值，由于矩陣的秩顯然為1，所以矩陣B對(duì)應(yīng)重特征值的特征向量應(yīng)該有個(gè)線性無(wú)關(guān)，進(jìn)一步矩陣B存在個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，即矩陣B一定可以對(duì)角化，且從而可知階矩陣與相似．22．（本題滿分11分）設(shè)隨機(jī)變量X的分布為，在給定的條件下，隨機(jī)變量服從均勻分布．求的分布函數(shù)；求期望【詳解】（1）分布函數(shù)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以分布函數(shù)為（2）概率密度函數(shù)為，．23．（本題滿