高中微積分課堂教學(xué)策略及設(shè)計

高中微積分課堂教學(xué)策略及設(shè)計探究莊河第三高級中學(xué)劉洪全指導(dǎo)教師曹錫軍我們來分析高中數(shù)學(xué)課堂中，組織微積分教學(xué)應(yīng)遵循的一些原則和策略，根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)微積分可能出現(xiàn)的困難，探索一些可行的突破方案一．組織微積分教學(xué)應(yīng)采取的策略（1）不斷加強變量概念的教學(xué)，樹立以變量為思維對象的數(shù)學(xué)觀由于學(xué)生在長期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中接觸的均為常量，即使在高中階段系統(tǒng)學(xué)習(xí)函數(shù)、自變量，并研究了一些基本函數(shù)的性質(zhì)和圖象，但其思維和認識方式仍然比較習(xí)慣于常量，常量數(shù)學(xué)在頭腦中已根深蒂固。所以在組織教學(xué)時，需加強變量概念的教學(xué)，讓學(xué)生逐步熟悉和適應(yīng)變量，并能思考變化過程。當(dāng)然，這就需要我們在教學(xué)中要特別注意將變量及其變化講解清楚。（2）要以直觀描述為主，鼓勵“合情推理”和“合情猜想”其實這也是筆者認為的微積分在中學(xué)教學(xué)中較為合理的定位。對此部分的教學(xué)應(yīng)當(dāng)以直觀性的描述為主，以掌握方法、計算為主，對理論上的嚴謹性不宜要求過高，更無須嚴格的證明。涉及的一些概念和結(jié)論，既要使學(xué)生正確地理解和掌握，也要適可而止。例如，極限中最基本的一個結(jié)論，學(xué)生通過作圖很容易從孤立點的變化趨勢得到此結(jié)論。學(xué)生此時“合情推理”并得到的“合情猜想”，在高中階段的學(xué)習(xí)便已經(jīng)足夠了，無須用數(shù)學(xué)分析的方法加以論證。當(dāng)然，如果學(xué)生確有興趣和余力，可引入“”定義并用此論證。（3）防止微積分教學(xué)退化成僅讓學(xué)生記住一些公式和結(jié)論考慮到高中生的實際水平，不需要在理論上過分要求嚴格。但無論是用直觀圖形引入還是給予一定的推理，都應(yīng)讓學(xué)生主動的參與，引導(dǎo)學(xué)生觀察和發(fā)現(xiàn)圖形的“變化趨勢”或親自動手進行推導(dǎo)，這樣才有利于培養(yǎng)學(xué)生的“變量思維”，感受微積分的內(nèi)涵和與初等數(shù)學(xué)的差異。否則，如果為了“體貼”學(xué)生或純粹的“應(yīng)試心理”，微積分教學(xué)變成了讓學(xué)生在不理解的狀況下死記一些公式和結(jié)論，那么在高中教授微積分就失去了意義和價值，學(xué)生的能力也不會提高。（4）處理好微積分與初等數(shù)學(xué)的關(guān)系在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)和定積分的應(yīng)用時，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)微積分是一個較初等數(shù)學(xué)厲害的工具，能比較容易地解決用初等數(shù)學(xué)方法十分繁瑣和困難的問題，而教師也可能會在解題的演示中傳達這樣的訊息。一方面，學(xué)生可以掌握更為簡便的方法，并產(chǎn)生對微積分的興趣；但另一方面，也可能對他們的學(xué)習(xí)心態(tài)及思考能力帶來負面的影響。如果學(xué)生過分依賴微積分，則可能失掉許多觀察與思考的機會，懶于從多種途徑考慮問題，更不可能產(chǎn)生奇思妙解，反而不利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力。所以教師應(yīng)有意識地引導(dǎo)學(xué)生在思考解決某些問題，如判斷函數(shù)在給定區(qū)間的單調(diào)性和極值，除了微積分也能適當(dāng)用初等數(shù)學(xué)的方法去入手。二．微積分教學(xué)設(shè)計的一些構(gòu)思

在本小節(jié)中我們將探索一些為突破微積分教學(xué)中的難點而具體設(shè)計的方案。（1）極限的難點在于數(shù)列極限的概念。為了讓學(xué)生更好地理解和掌握這一概念，應(yīng)加強直觀性，從分析一些基本的數(shù)列入手。如分析數(shù)列的極限，并充分利用數(shù)軸和表格來進行定性分析和定量分析，把“無限增大”和“無限趨進”給予確切的描述。而重點中學(xué)的實驗班或數(shù)學(xué)提高班的課堂上，則可以引入“”的定義，加深對極限概念的理解。（2），有一點大部分人都曾經(jīng)歷過：當(dāng)時并不清楚為什么要學(xué)習(xí)微積分，直到學(xué)習(xí)快要結(jié)束進入微積分的應(yīng)用時，才有所感悟。筆者在學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)分析”時也有同感。實際上，微積分正是在一些數(shù)學(xué)問題用初等數(shù)學(xué)長期無法解決的情況下才產(chǎn)生的。所以，如果在正式教學(xué)前就先將這些問題展示給學(xué)生，讓學(xué)生帶著問題來學(xué)習(xí)，則不僅很自然地過渡到微積分的學(xué)習(xí)，而且能讓學(xué)生理解學(xué)習(xí)微積分的必要性，產(chǎn)生興趣，并為“導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用”和“定積分的應(yīng)用”埋下伏筆。對此，可以如下設(shè)計：在進入導(dǎo)數(shù)的教學(xué)之前，先引領(lǐng)學(xué)生對“初等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，方法及其意義是什么”這個大問題作出反省、思考及整理，以此為基礎(chǔ)，提出如下問題：我們已有的工具能夠處理所有的問題嗎？哪些問題還無法解決呢？然后引出下列題材：①較復(fù)雜的非典型幾何圖形（幾何體）的面積（與體積）的計算釋②砌暮過曲線上一容點切線的一云般求法別③浸劃函數(shù)圖形的六描繪拐④誰俱近似的估計博然后帶著問贊題進入到微摘積分的學(xué)習(xí)城。泳（3）復(fù)合豐函數(shù)是高一隙學(xué)生學(xué)習(xí)的街難點盾，征所以預(yù)計復(fù)忌合函數(shù)的導(dǎo)岸數(shù)也將是學(xué)衡生容易出錯野的地方，關(guān)譽鍵是有一些魄學(xué)生不會合吸理地引入中環(huán)間變量，函竟數(shù)的復(fù)合過貢程中各個環(huán)傘節(jié)分別是什抄么樣的函數(shù)綢關(guān)系沒有搞脊清楚。對此抗，筆者認為膀應(yīng)先讓學(xué)生扣多做一些分嘴解函數(shù)復(fù)合寇過程的練習(xí)蟲，然后按照第復(fù)合過程逐炕步計算出復(fù)淹合函數(shù)的導(dǎo)合數(shù)。待分步惡動作熟練之螞后再省略中貴間過程。他陡三．教學(xué)設(shè)偶計中對人教壺版教材的改鉤進跨換通過對比閱墾讀人教版教俯材和上海市容中學(xué)普遍使壯用的華東師聲大版“一期帆課改”教材蕩（參見[7搖]），筆者透認為：使用奏人教版教材運講授微積分敲的開篇部分登——引入變嶄化率和導(dǎo)數(shù)博，可以在原撕教材的基礎(chǔ)俯上加以改進冬。赤兩種教材都往是利用物體刮作自由落體臺運動這個模糾型，通過求帥某一時刻請的“速度”爪得到的。但隊人教版對于湊“時間越疫小時，用其主平均速度近芒似表示的豪‘速度’就剖越精確”這杰一關(guān)鍵的結(jié)市論的推導(dǎo)，斧是通過化解安怕再利用極限標思想。而華隸東師大版教閃材的處理方姿法，則是先英不要轉(zhuǎn)化，盯而將分別災(zāi)取某些值，隊求得平均速讓度，然后丙將數(shù)據(jù)列成殖表格。通過稅數(shù)據(jù)的比較嬌，學(xué)生首先常可以清楚地黃看出物體在尊各段時間的假平均速度是敬不同的，并亞直觀地感受錢到“趨于瘡0時，平均符速度趨于滾的速度”。娘這種直觀的光方式能幫助歷學(xué)生構(gòu)建此碌結(jié)論，也符梁合大綱要求謠教學(xué)盡量直射觀形象的原誼則。所以在風(fēng)實際教學(xué)時聞，有必要采探用這種“實算驗”的方式超（表格中g(shù)攪表示重力加憶速度）。嫌(秒)但(米)侄-4(秒)羅(米)遙=（米/壩秒）色4.1解8.405掠g袋0.1駝0.405替g兇4.05g其4.01討8.040就05g霧0.01持0.040升05g親4.005膊g耳4.001戒8.004棍0005g雞0.001潮0.004擦0005g常4.000后5g跡4.000狀1繭8.000博40000耳5g紛0.000位1我0.004沸00005松g孩4.000究05g偽…葵…濱…趴…忘…五、結(jié)束語寧

如伶何進行微積思分教學(xué)在高捆中數(shù)學(xué)是一射個全新的課梯題，相對于途對代數(shù)和幾胡何等經(jīng)典內(nèi)棉容已經(jīng)臻于將完善的教學(xué)黨研究，微積伯分的教學(xué)研唯究還不成熟厭，處于摸索志的階段。但舊也正因為如翠此，探討微茄積分的教學(xué)型才更有價值吼和意義。本繩論文也就是慮在這樣的背閘景下，在閱壯讀了一些前辮輩關(guān)于微積濫分教學(xué)看法巨的文章和書樓籍后，根據(jù)援自己的理解秀寫成的。在待此，也對這低些老師表示破感謝。

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1．極限羅與導(dǎo)數(shù)（2幟0課時）息

數(shù)列嶺的極限。爬

函數(shù)的嶼極限。極限衣的四則運算蔬。霉

導(dǎo)數(shù)丹的概念。多廉項式函數(shù)的直導(dǎo)數(shù)。遲

導(dǎo)數(shù)柄的應(yīng)用：變準化率。利用受導(dǎo)數(shù)研究函紫數(shù)的單調(diào)性悅和極值。函于數(shù)的最大值巡和最小值。汗

微積嫌分建立的時騎代背景和歷島史意義。艙

教學(xué)養(yǎng)目標噴（1）熄從數(shù)列和函南數(shù)的變化趨晶勢理解數(shù)列貞極限和函數(shù)每極限的概念正。疑（2）敵掌握極限的欣四則運算法虹則，并會求堂某些數(shù)列與辰有理函數(shù)的巨極限。棒（3）賢理解導(dǎo)數(shù)概紡念及其幾何灣意義；掌握危函數(shù)的導(dǎo)齊數(shù)公式；會辟求多項式函疫數(shù)的導(dǎo)數(shù)。辰（4）騰會用導(dǎo)數(shù)求召變化率；理垃解極大值、鳥極小值、最亦大值、最小裳值的概念，暈并會用導(dǎo)數(shù)付求多項式函勾數(shù)的單調(diào)區(qū)棕間、極大值碌、極小值及菌閉區(qū)間上的例最大值和最隨小值?？颍?）牧通過函數(shù)極辜限與導(dǎo)數(shù)的送教學(xué)，了解藝微積分建立與的時代背景玩和歷史意義踢，進行客觀綢事物的相互色制約、相互休轉(zhuǎn)化、對立召統(tǒng)一的辯證持關(guān)系等觀點渾的教育。選修Ⅱ叔1．極限（廊12課時）儉

數(shù)學(xué)燦歸納法。數(shù)狂學(xué)歸納法應(yīng)擾用舉例。漢

數(shù)列提的極限。席

函數(shù)察的極限。極淋限的四則運剛算。函數(shù)的樣連續(xù)性。層

教學(xué)棒目標癢（1）剖理解數(shù)學(xué)歸調(diào)納法的原理頌，能用數(shù)學(xué)牌歸納法證明沃一些簡單的庫數(shù)學(xué)命題。培（2）巴從數(shù)列和函喂數(shù)的變化趨飛勢理解數(shù)列莊極限和函數(shù)丟極限的概念假。江（3）習(xí)掌握極限的偏四則運算法免則；會求某但些數(shù)列與函裙數(shù)的極限。箭（4）攝了解連續(xù)的駛意義，借助點幾何直觀理備解閉區(qū)間上闊連續(xù)函數(shù)有文最大值和最舅小值的性質(zhì)痛。多

2．芒導(dǎo)數(shù)與微分楊（16課時怪）爽

導(dǎo)數(shù)年的概念。導(dǎo)累數(shù)的幾何意族義。幾種常領(lǐng)見函數(shù)的導(dǎo)義數(shù)。票

兩個余函數(shù)的和、用差、積、商引的導(dǎo)數(shù)。復(fù)脆合函數(shù)的導(dǎo)干數(shù)?；緦?dǎo)寨數(shù)公式。添

微分衫的概念與運唱算。是

利用轎導(dǎo)數(shù)研究函借數(shù)的單調(diào)性投和極值。函是數(shù)的最大值騰和最小值。楊

教學(xué)狗目標絲（1）晝了解導(dǎo)數(shù)概穴念的某些實靠際背景（如介瞬時速度，途加速度，光腹滑曲線切線熊的斜率等）著；掌握函數(shù)婚在一點處的錫導(dǎo)數(shù)的定義運和導(dǎo)數(shù)的幾如何意義；理束解導(dǎo)函數(shù)的穗概念。義（2）翠熟記基本導(dǎo)本數(shù)公式（記（為有理門數(shù)）,的婚導(dǎo)數(shù)）；掌械握兩個函數(shù)駱和、差、積蝶、商的求導(dǎo)善法則和復(fù)合奸函數(shù)的求導(dǎo)州法則，會求歸某些簡單函夫數(shù)的導(dǎo)數(shù)?？福?）貓理解微分的儉概念，了解榨函數(shù)在一點停處的微分是盾函數(shù)增量的茅線性近似值宮，會求某些荷簡單函數(shù)的狹微分。城（4）室會從幾何直陜觀了解可導(dǎo)言函數(shù)的單調(diào)絞性與其導(dǎo)數(shù)角的關(guān)系；了泡解可導(dǎo)函數(shù)恒在某點取得階極值的必要賢條件和充分刺條件（導(dǎo)數(shù)脊在極值點兩柳側(cè)異號）；讀會求一些實丙際問題（一佩般指單峰函剛數(shù)）的最大揀值和最小值霧?；?．積分（孫14課時）航

定積追分的概念。今定積分的簡舍單性質(zhì)。微膜積分基本公喇式。取

原函打數(shù)與不定積轉(zhuǎn)分的概念。聞不定積分的她線性性質(zhì)。善基本積分公蚊式。嬌

平面叢圖形的面積射。旋轉(zhuǎn)體的江體積。路程鎖問題。變力獅作功。傲

微積配分學(xué)建立的夠時代背景和是歷史意義。肌

教學(xué)薪目標貝（1）湖了解定積分華概念的某些木實際背景（蹲如變速直線抖運動的路程音，曲邊梯形衣的面積等）斬；了解定積活分的定義和孔定積分的幾貨何意義；知補道函數(shù)連續(xù)芹是定積分存搜在的充分條鄰件。層（2）資理解定積分壟的簡單性質(zhì)酷（線性性質(zhì)殲和對區(qū)間的覽可加性）；勾了解微積分翠基本公式（碼牛頓-萊布安尼茲公式）通，會用它來肉求一些函數(shù)狠的定積分。論（3）橋掌握原函數(shù)辮與不定積分帆的概念，第掌握不定積策分的線性性厚質(zhì)；熟記猾基本積分公活式（（憑為有理數(shù)）擺,的積分極）；會利用歇線性性質(zhì)和泡基本積分公加式求較簡單麥的函數(shù)的不靠定積分。痛（4）葵會用定積分畢求一些平面玻圖形的面積赤、旋轉(zhuǎn)體的幫體積、變速銜直線運動的敲路程、變力桌所作的功。貌（5）回通過微積分格初步的教學(xué)訊，了解微積環(huán)分學(xué)產(chǎn)生的投時代背景和氏歷史意義，解進行客觀事銅物相互制約相、相互轉(zhuǎn)化計、對立統(tǒng)一彈的辯證關(guān)系償?shù)扔^點的教拌育。

的附錄二壞、2003坡年高考數(shù)學(xué)衡考試說明對家于“微積分衡”的要求文史類導(dǎo)數(shù)考試內(nèi)容賞導(dǎo)數(shù)的背景拿。簽導(dǎo)數(shù)的概念刊。者多項式函數(shù)乏的導(dǎo)數(shù)。顛利用導(dǎo)數(shù)研喜究函數(shù)的單淋調(diào)性和極值槐。函數(shù)的最酷大值和最小怪值?？荚囈蠹蓿?）了解分導(dǎo)數(shù)概念的愛實際背景。虹（2）理解值導(dǎo)數(shù)的幾何夸意義。膀（3）掌握誰函數(shù)的導(dǎo)需數(shù)公式。會驚求多項式函垂數(shù)的導(dǎo)數(shù)。洞（4）理解她極大值、極爐小值、最大貌值、最小值記的概念，并還會用導(dǎo)數(shù)求欺多項式函數(shù)漸的單調(diào)區(qū)間才、極大值、擠極小值及閉賄區(qū)間上的最昨大值和最小娛值?？停?）會利胃用導(dǎo)數(shù)求最州大值和最小蹄值的方法，譯解決科技、奪經(jīng)濟、社會川中的某些簡睛單實際問題流。理工農(nóng)醫(yī)類極限考試內(nèi)容井?dāng)?shù)學(xué)歸納法汁。數(shù)學(xué)歸納蝶法應(yīng)用舉例灰。俗數(shù)列的極限僅。遍榆函數(shù)的極限囑。極限的四枯則運算。函咸數(shù)的連續(xù)性鎮(zhèn)?？荚囈笊?）理解各數(shù)學(xué)歸納法波的原理，能暗用數(shù)學(xué)歸納城法證明一些泳簡單的數(shù)學(xué)脅命題。殼（2）了解爪數(shù)列極限和家函數(shù)極限的律概念。杜（3）掌握臨極限的四則漁運算法則。品會求某些數(shù)憑列與函數(shù)的粥極限。煩（4）了解枕函數(shù)連續(xù)的再意義，理解茫閉區(qū)間上連響續(xù)函數(shù)有最趣大值和最小茫值的性質(zhì)。導(dǎo)數(shù)率導(dǎo)數(shù)的概念減。導(dǎo)數(shù)的幾濱何意義。幾澡種常見函數(shù)賣的導(dǎo)數(shù)。歪兩個函數(shù)的返和、差、積冤、商的導(dǎo)數(shù)時。復(fù)合函數(shù)增的導(dǎo)數(shù)?；员緦?dǎo)數(shù)公式歲。薄利用導(dǎo)數(shù)研犯究函數(shù)的單蜓調(diào)性和極值舅。函數(shù)的最伯大值和最小匪值。考試要求薯（1）了解滾導(dǎo)數(shù)概念的間某些實際背扯景（如瞬時懸速度、加速喚度、光滑曲島線切線的斜挽率等），掌獅握函數(shù)在一堪點處的導(dǎo)數(shù)果的定義和導(dǎo)免數(shù)的幾何意駕義。理解導(dǎo)澆函數(shù)的概念紫。（2）熟術(shù)記基本導(dǎo)數(shù)估公式（（泥為有理數(shù)畏）,的導(dǎo)狹數(shù)）。掌握千兩個函數(shù)和脫、差、積、車商的求導(dǎo)法詞則。了解復(fù)岸合函數(shù)的求料導(dǎo)法則，會每求某些簡單康函數(shù)的導(dǎo)數(shù)他。鋸體（3）了解塔可導(dǎo)函數(shù)的封單調(diào)性與其欄導(dǎo)數(shù)的關(guān)系錄。了解可導(dǎo)蛇函數(shù)在某點經(jīng)取得極值的舉必要條件和杯充分條件（叫導(dǎo)數(shù)在極值聚點兩側(cè)異號足）。會求一郵些實際問題咽（一般指單念峰函數(shù)）的蟲最大值和最素小值。狐附錄三千教學(xué)案例函數(shù)因教學(xué)要求察：理解集合涂、函數(shù)概念樹，包括反函獎數(shù)、復(fù)合函使數(shù)、初等函壽數(shù)的概念，清了解函數(shù)的煉四種特性。相掌握基本初象等函數(shù)及基期本圖形。教學(xué)要點：一、集合朽二、函數(shù)的之概念赴三、函數(shù)的屠幾種特性及四、反函數(shù)膊，復(fù)合函數(shù)儀，基本初等凱函數(shù)蛾五、初等函脾數(shù)叢教學(xué)時數(shù)拼：4學(xué)時。需復(fù)習(xí)思考題館：猛1.擬建一歇個容積為V島的長方體水站池，設(shè)它的借底為正方形議，如果池底吳所用材料單耳位面積的造觸價是四周面馳積造價的2拼倍，試將總憤造價表示成游底邊長的函臺數(shù)并確定此丘函數(shù)的定義心域。狗2.京設(shè)組,榮,扇則荷，該。龍3.飛習(xí)題一。極限與連續(xù)喪教學(xué)要求襲：掌握極限己的定義和極弦限的有關(guān)性瓜質(zhì)，掌握極灰限存在的夾流逼準則和單革調(diào)有界數(shù)列婆收斂準則，直并能熟練運饒用極限運算工法則求數(shù)列考和函數(shù)的極嫩限。了解無科窮小與無究牌大的定義及徐其性質(zhì)，掌刻握無究小的悶運算法則。帆掌握函數(shù)連番續(xù)性概念以遇及邊續(xù)函數(shù)幟的代數(shù)性質(zhì)辛，了解函數(shù)慈的間斷點及頑其類型，了躁解閉區(qū)間上抬連續(xù)函數(shù)的娘分析性質(zhì)。教學(xué)要點：趴一、函數(shù)的俗極限華1.數(shù)列極騎限的定義、外函數(shù)極限的屆定義攔2.無窮小戒量與無窮大母量稿3.極限的嚴四則運算地4.極限存街在的準則，街兩個重要極漁限茂5.無窮小唇量的比較秘二、函數(shù)的善連續(xù)革1.連續(xù)的濾概念挨2.函數(shù)的靈間斷點招3.連續(xù)函掏數(shù)的四則運剛算陷4.初等函報數(shù)的連續(xù)性眨教學(xué)時數(shù)?。?0學(xué)時蓄。請復(fù)習(xí)思考題役：頂1、求：查。蒙2、求：陵。3.求：。想4.習(xí)題二改。導(dǎo)數(shù)與微分靠教學(xué)要求摩：掌握函數(shù)友的導(dǎo)數(shù)與微獵分的概念，茶了解導(dǎo)數(shù)及順微分的幾何岸意義和物理電意義，掌握梢函數(shù)的連續(xù)逮性，可導(dǎo)性肆與可微性之轉(zhuǎn)間的關(guān)系。拴熟練掌握導(dǎo)熄數(shù)的計算法貫則，包括函怖數(shù)的和、差免、積、商、煌與反函數(shù)，媽復(fù)合函數(shù)，遙隱函數(shù)及由蛙參數(shù)方程所鬧確定函數(shù)的較求導(dǎo)法則，繩并熟記基本祖初等函數(shù)與爛常見的初等胳函數(shù)的導(dǎo)數(shù)鼻的表達式。索了解高階導(dǎo)險數(shù)的定義和摟高階導(dǎo)數(shù)的晶運算法則。癢包括高階導(dǎo)依數(shù)的萊布尼浮茨公式。教學(xué)要點：笛一、函數(shù)的閣導(dǎo)數(shù)頓1.函數(shù)導(dǎo)盲數(shù)的概念，犯函數(shù)可導(dǎo)的黨充要條件，鑄導(dǎo)數(shù)的幾何侵意義崇2.函數(shù)的武連續(xù)性與可光導(dǎo)性的關(guān)系匪3.函數(shù)的樓積、差、積賴商的求導(dǎo)法跟則膏4.反函數(shù)做的導(dǎo)數(shù)，復(fù)姐合函數(shù)的求像