1.2.1任意角的三角函數(shù)優(yōu)秀課件

讀書是基礎(chǔ)反思是重點(diǎn)行動(dòng)是關(guān)鍵1.2.1任意角的三角函數(shù)思考一二三例1例3四例2例4檢測作業(yè)2021/5/91問題提出1.現(xiàn)在我們是怎樣認(rèn)識(shí)角這一數(shù)學(xué)概念的，包括哪些情形？（1）角是由平面內(nèi)一條射線繞其端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所組成的圖形.（2）按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角為正角，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角為負(fù)角，沒有作任何旋轉(zhuǎn)形成的角為零角.（3）角的大小是任意的.2021/5/922.什么叫做1弧度的角？度與弧度是怎樣換算的？（1）等于半徑長的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角.3.與角α終邊相同的角的一般表達(dá)式是什么？β=α＋k·360°（k∈Z）（2）180°＝

rad.2021/5/934.如圖，在直角三角形ABC中，sinα，cosα，tanα分別叫做角α的正弦、余弦和正切，它們的值分別等于什么？ABCα5.當(dāng)角α不是銳角時(shí)，我們必須對(duì)sinα，cosα，tanα的值進(jìn)行推廣，以適應(yīng)任意角的需要.2021/5/94

yx思考1在直角坐標(biāo)系中如何用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)？﹒﹒oabr知識(shí)探究一2021/5/95如果改變點(diǎn)Ｐ在終邊上的位置，這三個(gè)比值會(huì)改變嗎？﹒∽MOyxP(a,b)誘思探究能否通過|op|取特殊值將表達(dá)式簡化呢？2021/5/96以原點(diǎn)為圓心,以單位長度為半徑的圓叫做單位圓.2021/5/971、任意角的三角函數(shù)第一定義

設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)

規(guī)定:（1）叫做的正弦，記作，即；

（2）叫做的余弦，記作，即；（3）叫做的正切，記作，即。

注意：正弦，余弦，正切都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將他們稱為三角函數(shù).﹒2021/5/98根據(jù)三角函數(shù)的定義，確定它們的定義域（弧度制）思考3三角函數(shù)定義域RR﹒2021/5/99任意角的三角函數(shù)的定義過程：直角三角形中定義銳角三角函數(shù)

直角坐標(biāo)系中定義銳角三角函數(shù)

單位圓中定義銳角三角函數(shù)

單位圓中定義任意角的三角函數(shù)

2021/5/910例1：如圖已知角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)是，求角α的正弦、余弦和正切值。解：根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義：Oxy點(diǎn)評(píng)：若已知角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，則可直接利用定義求三角函數(shù)值。實(shí)例剖析2021/5/911理論遷移例2、求的正弦、余弦和正切值.解：在直角坐標(biāo)系中，作，易知的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為所以思考：若把角改為呢?，

﹒﹒C數(shù)形結(jié)合法2021/5/912例3已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，求角的正弦、余弦和正切值.解:由已知可得設(shè)角的終邊與單位圓交于，分別過點(diǎn)、作軸的垂線、＼

于是，∽2021/5/913例3、已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，求角的正弦、余弦和正切值.于是，法二解：由已知可得：定義法返回2021/5/914

設(shè)角是一個(gè)任意角，是終邊上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)與原點(diǎn)的距離那么①叫做的正弦，即

②

叫做的余弦，即③

叫做的正弦，即

任意角的三角函數(shù)值僅與有關(guān)，而與點(diǎn)在角的終邊上的位置無關(guān).定義推廣：點(diǎn)評(píng)：已知角終邊上異于單位圓上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求三角函數(shù)值，可根據(jù)三角形相似將問題化歸到單位圓上，再由定義得解。2、任意角的三角函數(shù)第二定義：2021/5/915幾個(gè)特殊角的三角函數(shù)值角α0o30o45o60o90o180o270o360o角α的弧度數(shù)sinαcosαtanα2021/5/916變式1、已知角的終邊過點(diǎn)，求的三個(gè)三角函數(shù)值.于是，解：由已知可得：合作演練2021/5/917變式2：已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(2a,-3a)，求角α的正弦、余弦、正切值．2021/5/9182021/5/919三角函數(shù)的符號(hào)三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào)：oxy2021/5/920oxy三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào)：2021/5/921oxy三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào)：2021/5/922oxyoxyoxy規(guī)律：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”

tanacosasina2021/5/923

例4求證：當(dāng)且僅當(dāng)下列不等式組成立時(shí)，角為第三象限角.反之也對(duì)。①

②證明：

因?yàn)棰偈匠闪?所以角的終邊可能位于第三或第四象限，也可能位于y軸的非正半軸上；

又因?yàn)棰谑匠闪?，所以角的終邊可能位于第一或第三象限.

因?yàn)棰佗谑蕉汲闪ⅲ越堑慕K邊只能位于第三象限.于是角為第三象限角.反過來請(qǐng)同學(xué)們自己證明.2021/5/924思考6：如果兩個(gè)角的終邊相同，那么這兩個(gè)角的同一三角函數(shù)值有何關(guān)系？

？yox1M2021/5/925思考6：如果兩個(gè)角的終邊相同，那么這兩個(gè)角的同一三角函數(shù)值有何關(guān)系？

終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等（公式一）（其中）公式作用：可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求角的三角函數(shù)值

.

？2021/5/926例5求下列三角函數(shù)值：

（1）（2）

解：（1）練習(xí)求下列三角函數(shù)值

（2）2021/5/927例6確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)：（1）（2）（3）（2）因?yàn)?，

而是第一象限角，所以；練習(xí)確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)（1）因?yàn)槭堑谌笙藿?，所以；解?/p>

（3）因?yàn)槭堑谒南笙藿?，所?2021/5/9281.內(nèi)容總結(jié)：①三角函數(shù)的概念.②三角函數(shù)的定義域及三角函數(shù)值在各象限的符號(hào).③誘導(dǎo)公式一.運(yùn)用了定義法、公式法、數(shù)形結(jié)合法解題.劃歸的思想，數(shù)形結(jié)合的思想.歸納總結(jié)2.方法總結(jié)：3.體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想：2021/5/929yxxyyyxxMMMMOOOOPPPPα的終邊α的終邊α的終邊α的終邊A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)(Ⅳ)(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P.過點(diǎn)P作x軸的垂線,垂足為M.|MP|=|y|=|sinα||OM|=|x|=|cosα|三角函數(shù)線——正弦線和余弦線

【思考】為了去掉上述等式中的絕對(duì)值符號(hào),能否給線段OM、MP規(guī)定一個(gè)適當(dāng)?shù)姆较?使它們的取值與點(diǎn)P的坐標(biāo)一致?2021/5/930【定義】有向線段*帶有方向的線段叫有向線段.*有向線段的大小稱為它的數(shù)量.在坐標(biāo)系中,規(guī)定:

有向線段的方向與坐標(biāo)系的方向相同.即同向時(shí),數(shù)量為正;反向時(shí),數(shù)量為負(fù).2021/5/931yxxyyyxxMMMMOOOOPPPPα的終邊α的終邊α的終邊α的終邊A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)(Ⅳ)(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)當(dāng)角α的終邊不在坐標(biāo)軸上時(shí),以M為始點(diǎn)、P為終點(diǎn),規(guī)定:

當(dāng)線段MP與y軸同向

時(shí),MP的方向?yàn)檎?且有正值y;

當(dāng)線段MP與y軸反向時(shí)MP的方向?yàn)樨?fù)向,且有負(fù)值y.

MP=y=sinα有向線段MP叫角α的正弦線2021/5/932yxxyyyxxMMMMOOOOPPPPα的終邊α的終邊α的終邊α的終邊A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)(Ⅳ)(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)|MP|=|y|=|sinα||OM|=|x|=|cosα|當(dāng)角α的終邊不在坐標(biāo)軸上時(shí),以O(shè)為始點(diǎn)、M為終點(diǎn),規(guī)定:

當(dāng)線段OM與x軸同向

時(shí),OM的方向?yàn)檎?且有正值x;

當(dāng)線段OM與x軸反向時(shí),OM的方向?yàn)樨?fù)向,且有負(fù)值x.

OM=x=cosα有向線段OM叫角α的余弦線2021/5/933TTTyxxyyyxxMMMMOOOOPPPPα的終邊α的終邊α的終邊α的終邊A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)(Ⅳ)(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)T過點(diǎn)A(1,0)作單位圓的切線,設(shè)它與α的終邊或其反向延長線相交于點(diǎn)T.有向線段AT叫角α的正切線2021/5/934這三條與單位圓有關(guān)的有向線段MP、OM、AT,分別叫做角α的正弦線、余弦線、正切線,統(tǒng)稱為三角函數(shù)線yxTMOPα的終邊A(1,0)當(dāng)角α的終邊與x軸重合時(shí),正弦線、正切線,分別變成一個(gè)點(diǎn),此時(shí)角α的正弦值和正切值都為0;當(dāng)角α的終邊與y軸重合時(shí),余

弦線變成一個(gè)點(diǎn),正切線不存

在,此時(shí)角α的正切值不存在.2021/5/935例在單位圓中作出符合下列條件的角的終邊:xOy-1-111PM例題2021/5/936-1xy11-1O例:在單位圓中作出符合條件的角的終邊:2021/5/937-1xy11-1O例:在單位圓中作出符合條件的角的終邊:2021/5/938變式：寫出滿足條件≤cosα＜的角