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文檔簡介

矩陣論電子教程2021/5/91

矩陣的分解第四章2

§4.4單純矩陣的譜分解定理1:

設(shè)是一個階可對角化的矩陣，相異特征值為，則使得:此式稱為A的譜分解稱為A的譜族且滿足:2021/5/93分析:設(shè)是的代數(shù)重復(fù)度則:2021/5/94證明(1)

因為所以:證明(2)2021/5/95(3)由得同理可得證明:而:,所以:證明:證明:(5)

假設(shè)A有譜分解和2021/5/96則由(3)知:由于,所以:同理可得:因為因為所以,唯一性得證2021/5/97

可對角化矩陣的譜分解步驟：（1）首先求出矩陣的全部互異特征值及每個特征值所決定的線性無關(guān)特征向量（3）令:（2）寫出（4）最后寫出2021/5/98例1：已知矩陣為一個可對角化矩陣，求其譜分解表達(dá)式。解:

首先求出矩陣的特征值與特征向量。容易計算從而的特征值為

可以求出分別屬于這三個特征值的三個線性無關(guān)的特征向量:2021/5/99于是2021/5/910取令那么其譜分解表達(dá)式為2021/5/911正規(guī)陣的譜分解:設(shè)為正規(guī)矩陣，那么存在使得:

其中是矩陣的特征值所對應(yīng)的單位特征向量。我們稱上式為正規(guī)矩陣的譜分解表達(dá)式。2021/5/912

設(shè)正規(guī)矩陣有個互異的特征值，特征值的代數(shù)重數(shù)為，所對應(yīng)的個兩兩正交的單位特征向量為,則的譜分解表達(dá)式又可以寫成其中，并且顯然有:2021/5/913（6）滿足上述性質(zhì)的矩陣是唯一的。我們稱為正交投影矩陣。即對于正規(guī)陣,滿足如下6條:推論1

設(shè)是一個階可對角化的矩陣，譜分解為:,若:則有2021/5/914解：首先求出矩陣的特征值與特征向量。容易計算例2：求正規(guī)矩陣的譜分解表達(dá)式。從而的特征值為2021/5/915當(dāng)時，求得三個線性無關(guān)的特征向量為

當(dāng)時，求得一個線性無關(guān)的特征向量為將正交化與單位化可得2021/5/916將單位化可得：2021/5/917于是有2021/5/918這樣可得其譜分解表達(dá)式為2021/5/919解：首先求出矩陣的特征值與特征向量。求正規(guī)矩陣的譜分解表達(dá)式。練習(xí)從而的特征值為

可以求出分別屬于這三個特征值的三個線性無關(guān)的特征向量:2021/5/920再將其單位化可得三個標(biāo)準(zhǔn)正交的特征向量202

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