分析力學教學課件

分析力學教學課件第一頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第1頁，共70頁。致童鞋們

之學生虐我千百遍，我待學生如初戀

教書是一場盛大的暗戀，你費勁心思去愛一群人，最后卻只感動了自己。曾經怕自己一個人考不好，現在怕一群人考不好。你若不離不棄

我必生死相依

你若自我放棄

我也無能無力第二頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第2頁，共70頁。緒論一什么是分析力學？分析力學是理論力學的一個分支，是對經典力學的高度數學化的表達。經典力學最初的表達形式由牛頓給出，大量運用幾何方法和矢量作為研究工具，因此它又被稱為矢量力學（有時也叫“牛頓力學”）。第三頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第3頁，共70頁。拉格朗日、哈密頓、雅可比等人使用廣義坐標和變分法建立了一套同矢量力學等效的力學表述方法。同矢量力學相比，分析力學的表述方法具有更大的普遍性。很多在矢量力學中極為復雜的問題，運用分析力學可以較為簡便的解決。第四頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第4頁，共70頁。二研究對象它的研究對象是質點系。質點系可視為宏觀物體組成的力學系統(tǒng)的理想模型，例如剛體、彈性體、流體以及它們的綜合體都可看作質點系。工程上的力學問題大多數是約束的質點系，由于約束方程類型的不同，就形成了不同的力學系統(tǒng)。例如，完整系統(tǒng)、非完整系統(tǒng)、定常系統(tǒng)、非定常系統(tǒng)等。第五頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第5頁，共70頁。三發(fā)展歷史1788年拉格朗日《分析力學》世界上最早的一本分析力學的著作。虛功原理和達朗貝爾原理兩者結合，可得到動力學普遍方程，從而導出分析力學各種系統(tǒng)的動力學方程。1834年，哈密頓正則方程用廣義坐標和廣義動量聯合表示的動力學方程。哈密頓體系在多維空間中，可用代表一個系統(tǒng)的點的路徑積分的變分原理研究完整系統(tǒng)的力學問題。第六頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第6頁，共70頁。1894年赫茲首次將系統(tǒng)按約束類型分為完整約束和非完整約束兩大類。20世紀至今分析力學對非線性、不定常、變質量等力學系統(tǒng)作了進一步研究，對于運動的穩(wěn)定性問題作了廣泛的研究。第七頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第7頁，共70頁。四應用分析力學的方法可以推廣到量子力學系統(tǒng)和復雜動力學系統(tǒng)中，在量子力學和非線性動力學中都有重要應用。近20年來，又發(fā)展出用近代微分幾何的觀點來研究分析力學的原理和方法。它廣泛用于結構分析、機器動力學與振動、航天力學、多剛體系統(tǒng)和機器人動力學以及各種工程技術領域，也可推廣應用于連續(xù)介質力學和相對論力學。第八頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第8頁，共70頁。五研究意義分析力學是經典物理學的基礎之一，也是整個力學的基礎之一。第九頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第9頁，共70頁。六分析力學與理論力學比較理論力學分析力學相同點同屬經典力學不同點對象力能量方法幾何法分析法基礎牛頓定律變分原理第十頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第10頁，共70頁。分析力學分析靜力學分析動力學第十一頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第11頁，共70頁。分析靜力學以一般質點系為力學模型，應用達朗伯原理和虛位移原理方法得出平衡的普遍規(guī)律。在達朗伯原理和虛位移原理的基礎上，運用動力學普遍方程和拉格朗日方程，解決非自由質點系的動力學問題。分析動力學第十二頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第12頁，共70頁。內容第一章虛位移原理第二章動力學普遍方程和拉格朗日方程第三章哈密頓正則方程第四章力學的變分原理第五章一個自由度系統(tǒng)的振動第六章兩個自由度系統(tǒng)的振動第七章狹義相對論的拉格朗日方法和……第十三頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第13頁，共70頁。

第一章虛位移原理1.約束及約束方程2.自由度和廣義坐標3.虛位移4.虛位移原理5.虛位移原理的應用舉例6.用廣義力表示的質點系平衡條件7.在勢力場中質點系的平衡條件及平衡的穩(wěn)定性第十四頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第14頁，共70頁。1.約束及約束方程1-1約束的定義質點系分為自由質點系和非自由質點系。若質點的運動狀態(tài)（軌跡、速度等）只取決于作用力和運動的初始條件，則這種質點系稱為自由質點系；它的運動稱為自由運動。若質點系的運動狀態(tài)受到某些預先給定的限制（運動的初始條件也要滿足這些限制條件），則這種質點系稱為非自由質點系；它的運動稱為非自由運動。第十五頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第15頁，共70頁。實現這些約束條件的物體稱為約束體。受到約束條件限制的物體叫做被約束體。習慣上，把約束體簡稱為約束,將被約束體簡稱為物體。注意：這里的約束是名詞，而非動詞的約束。非自由質點系受到的預先給定的限制稱為約束第十六頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第16頁，共70頁。約束力（或約束反力）——把約束對物體的作用力稱為約束力。主動力和約束力（或約束反力）主動力——作用于被約束物體上的除了約束以外的力統(tǒng)稱為主動力，如重力，結構承受的風力和水壓力、機械結構中的彈簧力以及電磁力等等。約束反力是主動力引起的，故它是一種被動力。第十七頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第17頁，共70頁。1.約束反力取決于約束本身的性質、主動力和物體的運動狀態(tài)。約束反力的特點：2.大小常常是未知的，往往由平衡方程求得。3.作用點在物體與約束相接觸的那一點。4.方向總是與約束限制物體的位移方向相反。第十八頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第18頁，共70頁。例如，光滑接觸面約束：約束力沿接觸面公法線方向指向物體。在支座約束中，固定鉸支座，約束反力過銷中心，方向不能確定，通常用正交的兩個分力表示。第十九頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第19頁，共70頁。解除約束原理當受約束的物體在某些主動力的作用下處于平衡，若將其部分或全部約束解除，代之以相應的約束反力，則物體的平衡不受影響。第二十頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第20頁，共70頁。1-2約束方程用數學方程來表示的限制條件稱為約束方程。第二十一頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第21頁，共70頁。1-3約束的分類⒈幾何約束和運動約束⒉雙面約束和單面約束⒊定常約束和非定常約束第二十二頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第22頁，共70頁。⒈幾何約束和運動約束幾何約束：只限制質點或質點系在空間的位置，這種約束稱為幾何約束(完整約束)。xyoφlMlABxoyrω第二十三頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第23頁，共70頁。運動約束：當質點系運動時受到的某些運動條件的限制稱為運動約束(非完整約束)。即：這種約束對質點或質點系不僅有位移方面的限制，而且有速度或角速度方面的限制。如：車輪在直線軌道上作純滾動（軌道限制輪心作直線運動，且滾過的弧長等于輪心走過的距離。）Cxoyφω瞬心CMMxCPvCrωMMPvCωMMPvCωMPvCφφM輪C在水平軌道上純滾動的條件表達為yC=r運動約束方程vC－rω=0或yC=r第二十四頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第24頁，共70頁。⒉雙面約束和單面約束雙面約束：如果約束不僅限制質點在某一方向的運動，而且能限制其在相反方向的運動，稱之為雙面約束。單面約束：如果約束僅限制質點在某一方向的運動，稱之為單面約束。約束：單擺約束分類約束方程剛性擺桿雙面約束不可伸長的繩單面約束第二十五頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第25頁，共70頁。⒊定常約束和非定常約束定常約束：約束方程中不顯含時間t的約束

。

f(x,y,z)=0非定常約束：約束方程中顯含時間t的約束。

f(x,y,z，t)=0舉例：定常約束：前面所列的單擺、曲柄連桿機構及車輪的約束；非定常約束：變擺長的單擺。xyoφlMv其中擺錘M可簡化為質點，軟線是擺錘的約束，初始長度為

，穿過固定的小圓環(huán)，在拉拽過程中,以速度v伸長。在任意瞬時t，其約束方程為:第二十六頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第26頁，共70頁。本章只討論：完整的（幾何的）、雙面的、定常的約束！第二十七頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第27頁，共70頁。2.自由度和廣義坐標2-1自由度定義：在完整約束的條件下，確定質點系位置的獨立參數的個數等于該質點系的自由度數。質點系由n個質點、s個完整約束組成，則其自由度N=3n－s對平面問題，如Oxy平面內，zi≡0，則N=2n－s情形一：以質點作為質點系基本單元xyoφlM例：圖示的平面擺，其中：n=1，s=1。則

N=2×1－1=1第二十八頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第28頁，共70頁。情形二：以剛體作為質點系基本單元質點系由n個剛體、s個完整約束組成，則其自由度

N=6n－s對平面問題，如Oxy平面內，兩個平動一個轉動，則

N=3n－s例1：圖示的輪C在水平軌道上純滾動，其中：n=1，s=2。則

N=3×1－2=1CxoyxCPvCφωyC=rvC－rω=0第二十九頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第29頁，共70頁。例2：圖示的平面雙擺由剛體OA、AB及鉸鏈O、A組成，其中：n=2，s=4，則

N=3×2－4=2xyoABφ1φ2l1l2第三十頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第30頁，共70頁。2-2廣義坐標定義：確定質點系位置的獨立參數稱為廣義坐標。在完整約束的質點系中，廣義坐標的數目等于該系統(tǒng)的自由度數。例一：如曲柄連桿機構有一個自由度，可任選xA、yA

、xB之一為廣義坐標，而選更方便。xoylrAB第三十一頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第31頁，共70頁。例二：再如平面雙擺有兩個自由度，選

1

、

2為廣義坐標比較合適。xyoAB

1

2l1l2第三十二頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第32頁，共70頁。對于有n個質點的質點系，若有s個完整約束組成，則其自由度N=3n－s，可選N個廣義坐標q1，q2，…，qN。則各質點的坐標可由廣義坐標表示為：矢量形式為：注：用廣義坐標表示各質點位置的一般表達式，隱含了約束條件，這是采用廣義坐標的方便之處。第三十三頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第33頁，共70頁。3.虛位移1.定義：在某瞬時，質點系在約束所允許的條件下，可能實現的、任何無限小的位移稱為虛位移。2.虛位移的特點：虛位移僅與約束條件有關，是純粹的幾何量；與實位移相比：虛位移是無限小的位移；

實位移可為無限小，也可為有限值；虛位移是假想的位移，與時間、力、質點系的運動情況無關；在定常幾何約束下，質點系無限小的實位移是其虛位移之一。第三十四頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第34頁，共70頁。3.說明虛位移常用r、x、s、等表示；關于符號δ：δ---等時變分算子符號（變分符號）；δ---表示無限小的變更；δ的運算規(guī)則與微分算子“d”的運算規(guī)則相同。第三十五頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第35頁，共70頁。4.實位移（力學現象）和虛位移（幾何概念）的差別4-1.在定常幾何約束下，質點系無限小的實位移是其虛位移之一。MMMMM在圖示瞬時，物塊M在dt內發(fā)生的無限小的實位移dr沿斜面向下。物塊M的虛位移可以是沿斜面向下的δr1，也可以是沿斜面向上的δr2，因為δr1，δr2都是約束所容許的。drdrdrdrδr1δr1δr1δr2δr1物塊M置于固定的斜面上，斜面對于物塊M的約束是定常約束。δr2δr2δr2第三十六頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第36頁，共70頁。4-2.非定常約束下，無限小的實位移不是虛位移之一！物塊M置于以速度vo移動的斜面上，斜面對于物塊M的約束是非定常約束。MdrdredrrM'v0

在dt內，斜面位移為dre，物塊的實位移為dr。根據合成運動理論，有dr=dre+drr=MM‘dre=v0dt---牽連位移drr---物塊相對斜面的位移drdredrrdrdredrrdrdredrrdredredredreM物塊M的虛位移可以是沿斜面向下的δr1，也可以是沿斜面向上的δr2，因為δr1，δr2都是約束所容許的。δr1δr2δr1δr2δr1δr2δr1δr2第三十七頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第37頁，共70頁。5.虛位移的幾何意義——約束方程第三十八頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第38頁，共70頁。為曲面上該點的法向矢量!其中：所以

非自由質點

M的虛位移垂直于曲面上該點處的法線，也就是說虛位移必在通過該點的曲面的切平面上。第三十九頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第39頁，共70頁。第四十頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第40頁，共70頁。補充知識：剛體的平面運動

------平面圖形上各點的速度

第四十一頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第41頁，共70頁。剛體運動時，如果體內任意一點到某一固定平面的距離始終保持不變，則這種運動成為剛體的平面運動。即：剛體作平面運動時，體內任意一點都在與某固定平面平行的平面內運動。一．剛體平面運動的定義第四十二頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第42頁，共70頁。1．速度基點法平面圖形的運動可以看成是:

牽連運動（隨同基點A的平動）與相對運動（繞基點A的轉動）的合成因此:

平面圖形上任意一點B的運動可用合成運動的概念進行分析，其速度可用速度合成定理求解。二．剛體平面運動的特征第四十三頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第43頁，共70頁。2.速度投影定理定理:同一瞬時，平面圖形上任意兩點的速度在這兩點連線上的投影相等。反映了剛體不變形的特性：

因剛體上任意兩點間的距離應保持不變，所以剛體上任意兩點的速度在這兩點連線上的投影應該相等，否則，這兩點間的距離不是伸長，就要縮短，這將與剛體的性質相矛盾。因此，速度投影定理不僅適用于剛體作平面運動，而且也適用于剛體的一般運動。第四十四頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第44頁，共70頁。問題的提出？若選取速度為零的點作為基點，求解速度問題的計算會大大簡化。于是，自然會提出，在某一瞬時，平面上是否有速度等于零的點？如果有，該點如何確定？3.速度瞬心法第四十五頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第45頁，共70頁。定理:

一般情況下，每一瞬時，平面圖形上都唯一地存在一個速度為零的點。在某瞬時，平面圖形上速度為零的點稱為平面圖形在該瞬時的瞬時速度中心，簡稱為速度瞬心或瞬心。AN’上任意一點M：證明：總有一點I滿足：則I點的（絕對）速度：第四十六頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第46頁，共70頁。4.平面圖形上各點速度的分布其中，I為瞬心剛體上任意一點M的速度:總結：平面圖形的運動可以看成是繞它的速度瞬心作瞬時轉動。注意：速度瞬心的速度為零，但是加速度不為零。第四十七頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第47頁，共70頁。5.速度瞬心位置的確定（1）若平面圖形沿一固定面滾動而無滑動，則圖形與固定面的接觸點I就是該瞬時圖形的速度瞬心。注意：是在固定面上的純滾動，如果不是固定面，接觸點并非瞬心。第四十八頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第48頁，共70頁。5.速度瞬心位置的確定（2）已知某瞬時平面圖形上任意兩點的速度方向，且兩者不相平行，則速度瞬心必在過每一點且與該點速度垂直的直線上。第四十九頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第49頁，共70頁。5.速度瞬心位置的確定（3）已知某瞬時平面圖形上兩點的速度相互平行，并且速度的方向垂直于這兩點的連線，但兩速度的大小不等，則圖形的速度瞬心必在這兩點的連線與兩速度矢端的連線的交點。第五十頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第50頁，共70頁。6.瞬時平動已知某瞬時平面圖形上兩點的速度相互平行，但速度方向與這兩點的連線不相垂直；或雖然速度方向與這兩點的連線垂直，但兩速度的大小相等，則該瞬時圖形的速度瞬心在無限遠處，圖形的這種運動狀態(tài)稱為瞬時平動。此時，圖形的角速度等于零，圖形上各點的速度大小相等，方向相同，速度分布與平動時相似。第五十一頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第51頁，共70頁。注意：瞬時平動只是剛體平面運動的一個瞬態(tài)，與剛體的平動是兩個不同的概念，瞬時平動時，雖然圖形的角速度為零，圖形上各點的速度相等，但圖形的角加速度一般不等于零，圖形上各點的加速度也不相同。例如：曲柄連桿機構裝置示意圖，連桿BC作瞬時平動。補充內容結束！第五十二頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第52頁，共70頁。6.分析質點系虛位移的兩種方法6-1.幾何法用求實位移的方法來求各質點虛位移之間的關系；質點的實位移與其速度成正比dr=vdt，所以實位移之間的關系可以用速度之間的關系代替，如速度合成法、瞬心法、速度投影法等。第五十三頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第53頁，共70頁。第五十四頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第54頁，共70頁。6-2.解析法第五十五頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第55頁，共70頁。解析法的一般推廣選廣義坐標q1，q2，…，qN

，則各質點的坐標對上式中第一式求變分，則得到：質點在直角坐標中的虛位移與廣義坐標中的虛位移之間的關系為δqk稱為廣義虛位移。第五十六頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第56頁，共70頁。4.虛位移原理4-1.虛功：質點或質點系所受的力在虛位移上所作的功稱為虛功，用δW表示。注：虛位移是虛設的，虛功也是虛設的元功。設質點m的虛位移為δr，力F在虛位移上所作的虛功為δW=F·δr

=Fδrcosφ滑塊的虛位移為δrB，設曲柄的虛位移為δφ，δW=－FδrB力偶M的虛功：δW=Mδφ力F的虛功：如曲柄滑塊機構在力偶M和力F的作用下處于平衡，ABδφMMMMδφδφδφxoyFFFFδrBδrBδrBδrB第五十七頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第57頁，共70頁。4-2.理想約束：在質點系的任何虛位移中，如果約束反力所作的虛功之和等于零，這種約束稱為理想約束。若質點系中任意質點Mi，受約束反力Ni，虛位移δri，則理想約束的條件為：如光滑的接觸面δW=N·δr=0M

N

δrN

δrN

δrN

δr對于作純滾動剛體的固定面約束C

ω

F

T

N

DG

F

N

F

N

第五十八頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第58頁，共70頁。理想約束舉例：光滑鉸鏈連接N

N'

δrA

N

N'

δrN

N'

δr光滑鉸支座或光滑軸承N

δrN

δrN

δr理想剛體δrBδrAABδrBδrAδrBδrANANANANBNBNBB

A

δrB柔性體約束TBTAβ

α

TBTATBTAδrBδrBδrA第五十九頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第59頁，共70頁。4-3.虛位移原理：具有完整、雙面、定常、理想約束的質點系，在給定位置保持平衡的必要和充分條件是：所有作用于該質點系上的主動力在任何虛位移中所作的虛功之和等于零，又稱虛功原理。矢量表達式為坐標分解式為虛功方程虛功方程又稱為靜力學普遍方程！第六十頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第60頁，共70頁。必要性：如果質點系平衡則虛功原理的證明設質點系由n個質點組成，第i個質點Mi平衡，受力有Fi-----主動力的合力Ni-----約束反力的合力則Fi+Ni=0∴

WFi+WNi

=n個方程求和得∵系統(tǒng)的約束為理想約束，∴∑Ni·

ri=0(Fi+Ni)·ri=0（i=1,2,…，n）0得證！第六十一頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第61頁，共70頁。充分性：如果則質點系平衡反證法：設質點系由n個質點組成，作用于該質點系的主動力在給定的位置的任意虛位移中所作的虛功之和等于零，但該質點系不平衡。即至少有一個質點Mj不平衡，則

Fj+Nj＝

Rj

≠0質點Mj由靜止開始運動，其實位移drj應沿著Rj的方向該質點的合力在實位移中的元功為Rj

·drj=（Fj+Nj）

·drj＞0∵質點系受定常約束，∴drj∈δrj

，∴（Fj+Nj）·rj＞0∴

∑Fi

·

ri＞0這與假設矛盾！∴質點系必然平衡。得證！∴∑（Fj+Nj）·rj＞0又∵∑Ni·

ri=0第六十二頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第62頁，共70頁。5.虛功原理的應用已知質點系處于平衡狀態(tài)，求主動力之間的關系或平衡位置。已知質點系處于平衡狀態(tài)，求其內力或約束反力。第六十三頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第63頁，共70頁。WAolPPPPB例1：螺旋千斤頂中，旋轉手柄OA=l=0.6m，螺距h=12mm。今在OA的水平面內作用一垂直手柄的力P=160N，試求舉起重物B的重量。不計各處摩擦。第六十四頁，編輯于星期六：十三點二十二分。第64頁，共70頁。例1續(xù)已知OA=l=0.6m，螺距h=12mm。P=160N，求舉起重物B的重量W。WδrAδφl解：千斤頂受理想約束給P力點A虛位移δrA=

lδφ，由虛功方程∑δWF=0得：Pl

－WrB=0