高中數(shù)學競賽平面幾何基礎(chǔ)-相似全等和四點共圓練習題

相似全等、四點共圓練習題△ABC中，點P是三角形內(nèi)一點，∠PBA=∠PCA,PD⊥BA,PE⊥AC,點M是BC中點，求證：MD=ME.解法一：解法二：解法三：2：如圖，P為△ABC外一點，M是△ABC中BC邊的中點，D,E分別為BA,CA延長線上的點，且PE⊥CE，PD⊥BD，∠PBD=∠PCE,求證：EM=DM.證明：ABCD中，AB//CD，分別以兩腰AD，BC為邊作正方形ADFE,正方形BCHG,連接FG,取FG中點M，求證:MA=MB證明：

4.△ABC的垂心H，BC，AH的中點分別是M,N，以AH為直徑作圓和MN的交點為P.求證AP平分∠BAC.證明：

5.△ABC的內(nèi)切圓與BC,CA,AB相切與D,E,F,過F作BC的平行線交AD于G，交DE的延長線于H，求證FG=GH.

6.△ABC不是Rt△，O是外心，H為垂心，直線OH交AC于K，交ABA于L,若HL=OK,求證AL=AK.

7.PA，PB,分別切圓O于A,B，DE切圓O于C，交PA,PB于D,E,CF⊥AB,求證：∠CFD=∠CFE.AM=弧MC,MD⊥BC于D，求證AB+BD=DC△ABC中，AB>AC，∠A的外角的角平分線交△ABC外接圓于D，DE⊥AB于E，求證：托勒密定理：在四邊形中，有，并且當且僅當四邊形內(nèi)接于圓時，等式成立。注：托勒密定理的逆定理也成立

10.△ABC的高AD的延長線交外接圓于P，作PE⊥AB,于E，延長ED交于AC延長線于F，求證：.11.QO⊥AB，求證：

12.PA,PB分別切圓O與AB,PCD為割線交圓于C,D，BE//PD，F(xiàn)為CD的中點，求證：A,F,E,三點共線。

13.AB為圓O直徑，過OB上的定點D用CD⊥AB交圓O于C，在圓O上任兩組點Mi,Ni,(i=1,2,3,...),滿足∠CDMi=∠CDNi求證n條直線MiNi共點。O是Rt△OAB與Rt△OCD的公共頂點，OB=OC,∠OBA=∠OCD=90°，若AC⊥OD,求證DB⊥OA.15.AF平分∠BAC，交BC于L,LD⊥AB，LE⊥AC，求證四邊形ADFE與△ABC面積相等?！鰽BC的邊BC上有兩點E,F，滿足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，F(xiàn)N⊥AC于M,N，AE交三角形外接圓于D,求證：四邊形AMDN與△ABC的面積相等.P,Q,兩點，AB切兩圓于A,B,PC切圓O1于P，交圓O2于C，AP交BC于R，求證：△PQR的外接圓與BP，BR,相切。去證∠PQR=∠BPR,∠PQR=∠BRP①易證∠BPR=∠BRP②連接BQ,因為∠PQR=∠PQB+∠BQR,∠PRB=∠C+∠RPC所以去證∠BQR=∠RPC=∠PAB,去證A,Q,R,B共圓③連接AQ，去證∠AQB=∠ARB

18.ABCD是圓內(nèi)接四邊形，AC是圓的直徑，BD⊥AC，AC與BD的交點是E,F在DA的延長線上，連接BF，G在BA的延長線上，使得DG//BF，H在GF的延長線上，CH⊥GF.求證：B,E,F,H四點共圓。連接BH,EF，去證：∠FED=∠FHB；同減90°，等價去證：∠BHC=∠FEA由題意：B,H,G,C四點共圓，∠BHC=∠BGC，所以去證∠BGC=∠FEA注意到：∠GAC=∠FAC,所以等價去證：△ACG~△AFE，去證：因為△AFB~△ADC，所以，由射影定理，得證.

19.△ABC中，AH⊥BC，分別以AC、AB為直徑作兩個圓，D是BC上一點，過D分別作AB,AC的平行線，交圓于F,E.求證：D,H,F,E四點共圓.(同一法)分析：∠EDB=C=AFH,看上去證完了，EAF三點為何共線？假設(shè)FA的延長線交左邊的圓于E’∠FDH=ABH=AE’H,所以E’FHD四點共圓，去證E,E’是一個點去證∠EDB=E’DB∠EDB=C=E’FH=E’DB

20.△ABC三條高分別為AD,BE,CF,以BC為直徑的圓O和AD的交點為G，過G點的直徑的另一端為K，EK,F