微積分3-1 中值定理、洛必達(dá)法則與泰勒公式

節(jié)微分中值定理章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一.羅爾中值定理二.拉格朗日中值定理三.柯西中值定理2021/5/91羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理

微分中值定理2021/5/92一、費(fèi)馬(Fermat)引理且

存在即：可導(dǎo)的極值點(diǎn)處，導(dǎo)數(shù)為零2021/5/93費(fèi)馬定理的幾何解釋

如何證明？2021/5/94

費(fèi)馬PierredeFermat(1601－1665)

費(fèi)馬，法國(guó)數(shù)學(xué)家.出身于一個(gè)商人家庭.他的祖父、父親、叔父都從商.他的父親是當(dāng)?shù)氐牡诙?zhí)政官,經(jīng)辦著一個(gè)生意興隆的皮革商店.

費(fèi)馬畢業(yè)于法國(guó)奧爾良大學(xué)，以律師為職.曾任圖盧茲議會(huì)會(huì)員,享有長(zhǎng)袍貴族特權(quán).精通6種語(yǔ)言.業(yè)余愛好數(shù)學(xué)并在數(shù)論、幾何、概率論、微積分等領(lǐng)域內(nèi)作出了創(chuàng)造性的工作.費(fèi)馬大定理被稱為“會(huì)下金蛋的母雞”.2021/5/95費(fèi)馬(Fermat)引理的證明存在證:

設(shè)則2021/5/96二.羅爾中值定理設(shè)則至少存在一點(diǎn)定理2021/5/97

實(shí)際上,切線與弦線AB平行.羅爾定理的幾何意義2021/5/98最小值至少各一次.證2021/5/99該點(diǎn)是極值點(diǎn)，由費(fèi)馬定理可知：2021/5/910注意:1)定理?xiàng)l件條件不全具備,結(jié)論不一定成立.

例如2)定理?xiàng)l件只是充分條件2021/5/911例1證所以函數(shù)在[-1,3]上滿足羅爾定理的3個(gè)條件.2021/5/912例2證其中,2021/5/913例3證由羅爾定理,至少存在一點(diǎn)2021/5/914例4.證明方程有且僅有一個(gè)小于1的正實(shí)根.證:1)存在性

.使即方程有小于1的正根2)唯一性

.假設(shè)另有至少存在一點(diǎn)但矛盾.2021/5/915三.拉格朗日中值定理設(shè)則至少存在一點(diǎn)定理幾何意義2021/5/916作輔助函數(shù)顯然,且證法1:問題轉(zhuǎn)化為證由羅爾定理知至少存在一點(diǎn)即定理結(jié)論成立.2021/5/917拉格朗日有限增量公式2021/5/918

切線與弦線AB平行如何利用羅爾定理來證明？證法22021/5/919則由已知條件可得：故由羅爾定理,至少存在一點(diǎn)2021/5/920推論1推論22021/5/921故從而例5證2021/5/922例6證1證22021/5/923例7證2021/5/924又故從而即例8證1證22021/5/925則又且故即例9證2021/5/926四.柯西中值定理設(shè)則至少存在一點(diǎn)2021/5/927

在拉格朗日中值定理中,將曲線用參數(shù)方程表示,會(huì)出現(xiàn)什么結(jié)論？柯西中值定理的幾何意義:2021/5/928使曲線在該點(diǎn)的切線與弦線平行,即它們的斜率相等.注意:并不具備任意性,它們間的關(guān)系由曲線確定.2021/5/929有人想：分子分母分別用拉格朗日中值定理,就可證明柯西中值定理了.2021/5/930證法1:且使即由羅爾定理知,至少存在一點(diǎn),),(,],[)(內(nèi)可導(dǎo)在上連續(xù)在則babaxf作輔助函數(shù)2021/5/931故由羅爾中值定理至少存在一點(diǎn)使得亦即證法22021/5/932三個(gè)中值定理的關(guān)系RolleLagrangeCauchy圖形旋轉(zhuǎn)參數(shù)方程2021/5/933例10.證:

結(jié)論可變形為設(shè)則在[0,1]上滿足柯西中值定理?xiàng)l件,因此在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)

,使即2021/5/934例11證2021/5/935例12.試證至少存在一點(diǎn)使證法1：

用柯西中值定理.則f(x),F(x)在[1,e]上滿足柯西中值定理?xiàng)l件,令因此即分析:2021/5/936試證至少存在一點(diǎn)使證法2

：令則f(x)在[1,e]上滿足羅爾中值定理?xiàng)l件,使因此存在2021/5/937大量,為此,我們稱這類極限為“不定式”,我們知道:兩個(gè)無窮小量或兩個(gè)無窮大量的商的極限,隨著無窮小量或無窮大量的形式不同,極限值可能存在、也可能不存在、可能是無窮小量、也可能是無窮記為:第二節(jié)羅必達(dá)法則2021/5/938羅必達(dá)法則設(shè)在某一極限過程中2021/5/939解釋：是指：2021/5/940可選擇適當(dāng)區(qū)間來運(yùn)用柯西中值定理.證2021/5/941運(yùn)用羅必達(dá)法則時(shí)的注意事項(xiàng)在運(yùn)用羅必達(dá)法則時(shí),但也不是無窮大,則不能說明在.此時(shí)應(yīng)重新另找其它方法進(jìn)行計(jì)算.羅必達(dá)法則只限于求其它類型的不定型應(yīng)首先化成這兩種形式才能用羅必達(dá)法則.2021/5/942在運(yùn)用羅必達(dá)法則求極限過程中,極限存在并且不等于零的因子可以提出來,這樣可使問題簡(jiǎn)化.在運(yùn)用羅必達(dá)法則求極限過程中,盡可能運(yùn)用等價(jià)無窮小替代方法,它往往可使問題得到明顯的簡(jiǎn)化.2021/5/943如果在使用羅必達(dá)法則后,則條件,則可繼續(xù)使用羅必達(dá)法則.使用羅必達(dá)法則要注意觀察條件是否滿足,不然會(huì)出錯(cuò).2021/5/944此題不用羅必達(dá)法則,用等價(jià)無窮小替代也可.例1解例解此題不用羅必達(dá)法則,用消去零因子(X-2)也可.2021/5/945例2解2021/5/946不存在,故不能用羅必達(dá)法則求此極限.實(shí)際上小心！例3解

(不能用羅必達(dá)法則)2021/5/947解:注意到

故原式注:

洛必達(dá)法則可與其他方法結(jié)合使用!例42021/5/948(等價(jià)無窮小替換)在使用羅必達(dá)法則時(shí),要注意進(jìn)行化簡(jiǎn)或等價(jià)無窮小替換,它會(huì)使問題變得簡(jiǎn)單.

連續(xù)使用羅必達(dá)法則例5解2021/5/949

如果n不是正整數(shù),怎么辦？例6解2021/5/950從而由用夾逼準(zhǔn)則存在正整數(shù)

k,使當(dāng)x>1

時(shí),2021/5/951你還打算做下去嗎?這樣做,分母中x

的次數(shù)將越來越高,而分子不變,極限始終無法求出.例7解2021/5/952將原極限稍加變形:例7解1:2021/5/953例7解2:變量替換2021/5/954除外其中,其它類型不定式的極限以下各類極限也為不定式的極限：2021/5/955倒數(shù)法只需討論這兩種極限冪指類型不定式的極限通過轉(zhuǎn)換為2021/5/956下面的介紹的是利用倒數(shù)法或取對(duì)數(shù)法將其它的不定型轉(zhuǎn)化為可以運(yùn)用羅必達(dá)法則計(jì)算的例題.2021/5/957倒數(shù)法.用另一種形式顛倒行不行?行,但繁些.存在一個(gè)選擇問題.例8解2021/5/958這種形式可以直接通分.例9解2021/5/959例10解極限不等于零的因子2021/5/960解:

例112021/5/961例12解2021/5/962運(yùn)用取對(duì)數(shù)法.例13解2021/5/963解解例14例152021/5/964這是數(shù)列的極限羅必達(dá)例16解此題也可用重要極限的方法來求解.2021/5/965例17解(等價(jià)無窮小替換)2021/5/966冪指類型不定式的極限通過轉(zhuǎn)換為2021/5/967公式①稱為的n

階泰勒公式

.公式②稱為n

階泰勒公式的拉格朗日型余項(xiàng)

.一、泰勒公式（拉格朗日型余項(xiàng)

）:階的導(dǎo)數(shù),時(shí),有①其中②則當(dāng)?shù)谌?jié)泰勒（Taylor）公式2021/5/968特例:(1)當(dāng)n=0

時(shí),泰勒公式變?yōu)?2)當(dāng)n=1

時(shí),泰勒公式變?yōu)榈玫嚼窭嗜罩兄刀ɡ砜梢娬`差2021/5/969稱為麥克勞林（Maclaurin）公式.則有在泰勒公式中若取則有誤差估計(jì)式若在公式成立的區(qū)間上由此得近似公式2021/5/970

Taylor公式（Peano型余項(xiàng)

):其中定性分析時(shí)，不需要余項(xiàng)的精確表達(dá)式,可用Peano型泰勒公式；定量分析時(shí)，需要余項(xiàng)的精確表達(dá)式，用lagrange型Talor公式。2021/5/971泰勒公式的證明*以直代曲在微分應(yīng)用中已知近似公式:如果x

的一次多項(xiàng)式滿足什么條件？2021/5/9721.n次近似多項(xiàng)式的要求:故若則記2021/5/9732.余項(xiàng)估計(jì)令(稱為余項(xiàng)),則有2021/5/9742021/5/975解1:用泰勒公式2021/5/976解2:用拉格朗日中值定理2021/5/977二、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式其中2021/5/978其中2021/5/979類似可得其中2021/5/980其中2021/5/981已知其中類似可得2021/5/982

常用函數(shù)的麥克勞林公式2021/5/983，

由泰勒公式

證明由所給條件及在x=0連續(xù)知

所以

例1

設(shè)在的某一鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且證明2021/5/9842.利用泰勒公式求極限例2.

求解:由于用洛必塔法則不方便

!用泰勒公式將分子展到項(xiàng),2021/5/985解例3.

2021/5/986例4.

求解法1利用中值定理求極限原式2021/5/987解法2利用泰勒公式令則原式2021/5/988解法3利用羅必塔法則原式2021/5/9893.利用泰勒公式證明不等式例5.

證明證:2021/5/990三、泰勒公式的應(yīng)用1.在近似計(jì)算中的應(yīng)用誤差M

為在包含0,x

的某區(qū)間上的上界.需解問題的類型:1)已知x和誤差限,要求確定項(xiàng)數(shù)n;2)已知項(xiàng)數(shù)

n

和x,計(jì)算近似值并估計(jì)誤差;3)已知項(xiàng)數(shù)

n和誤差限,確定公式中x

的適用范圍.2021/5/991已知例1.

計(jì)算無理數(shù)e

的近似值,使誤差不超過解:令x=1,得由于欲使由計(jì)算可知當(dāng)n=9

時(shí)上式成立,因此的麥克勞林公式為