力與分子運(yùn)動(dòng)力與分子運(yùn)動(dòng)

引 范德瓦爾斯 列納德-瓊斯 圖像分 模型與方 位移與時(shí)間的關(guān) 速度與時(shí)間的關(guān) 理論分 位移、速度與時(shí)間的關(guān) 頻譜分 粒子的逃逸速 總 方程[1]是1873年提出來(lái)的.此方程對(duì)氣體的液化理論起到了很大的指導(dǎo)作用,并且很多真實(shí)氣體的性質(zhì)與用方程算得的結(jié)果很接近.所以范氏理論是一個(gè)很成功的理論.目前,對(duì)于氣體,關(guān)于的研究,大部分集中在氣體的物態(tài)方程方面,如關(guān)于氣體方程的修正項(xiàng)[4-5]、熱力學(xué)性質(zhì)與準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程[6-9]等方面,并且在實(shí)驗(yàn)和理論(宏觀和微觀)上,都作了較深入的研究.但關(guān)于相互作用力[2-3]方面的研究較少,而近來(lái)有研究關(guān)于氣體[12][13]等研究,對(duì)分子間力[14]進(jìn)行了一些系統(tǒng)的論述,但對(duì)在其作用力下粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)及對(duì)氣體性質(zhì)的影響卻很少涉及,在本文中加以討論.1力與列納德-瓊斯1.1存在于中性分子或原子之間的一種弱的電性.力可能有三個(gè)來(lái)源:10極性分子的永久偶極矩之間的相互作用;20一個(gè)極性分子使另一個(gè)分子極化,產(chǎn)生誘導(dǎo)偶極矩并相互吸引;30分子中電子的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生瞬時(shí)偶極矩,它使鄰近分子瞬時(shí)極化,后者又反過(guò)來(lái)增強(qiáng)原來(lái)分子的瞬時(shí)偶極矩.這種相互耦合產(chǎn)生凈的吸引作用,稱(chēng)為倫敦力或色散力.對(duì)于不同的分子,這三種力的貢獻(xiàn)不同,獻(xiàn)最大.力的形式一般寫(xiě)Frr

是大于零的比例系數(shù).s915t47之間,其中st列納德-瓊斯6次方成反比。即：列納德-瓊斯勢(shì) 6Vr4r

r

令r

則(1.2)

UVrU411

6 由(1.4)分子力(1.1)寫(xiě)FrdVrdU

dfF2421

7 f

式(1.6)中的第一項(xiàng)代表排斥力,第二項(xiàng)表示圖像分根據(jù)(1.5)的變化曲線程序1:繪制排斥力、和合力隨的變化曲線.f2=-plot(rho,f1,':k',rho,f2,'-.k',rho,f,'-k','LineWidth',2)xlabel('\fontsize{14}\rm\rho','Color','k')ylabelfontsize{14}\rmf/f_0',Color','k')legend('排斥力','','合力')axis([0.04-65])grid排斥力、和合力的圖像如圖1.1所示根據(jù)(1.4)和(1.5)式可編制程序繪制勢(shì)和力隨的變化曲線.2:的變化曲線.plot(rho,f,':k',rho,u,'-k','LineWidth',2)xlabel('\fontsize{14}\rm\rho','Color','k')ylabelfontsize{14}\rmf/f_0,U'Color','k')legend('合力','勢(shì)')axis([0.04-3grid小值

1.2所示.1.2圖1.1排斥力 合力與的關(guān)系曲

圖1.2勢(shì)和合力與模型與方本章中,討論粒子在力的作用下,即在列納德-瓊斯勢(shì)的作用的運(yùn)動(dòng)形式.兩微觀粒子在列納德-瓊斯勢(shì)的作用下的運(yùn)動(dòng)看作一個(gè)粒子在列納德-瓊斯勢(shì)作用下圍繞質(zhì)心的振動(dòng).其運(yùn)動(dòng)方程可寫(xiě)作d2 1 dt

24f0137

采用自然單位111 d2

1dt

24137

位移與時(shí)間的當(dāng)粒子的振幅比較小時(shí),(2.3)中的力函數(shù)可展開(kāi)為T(mén)aylor級(jí)數(shù),使用編3:將力函數(shù)展開(kāi)為T(mén)aylor級(jí)數(shù).symsa此時(shí)(2.3)d2dt

36

23

根據(jù)(2.3)式和(2.4)式分別編制程序funfdfxz.m和funfdxz.m函數(shù)文件.4:計(jì)算(2.3)式的m文件.functionf=24*(2./(x(1)+2^(1/6)).^13-1./(x(1)+2^(1/6)).^7);5:計(jì)算(2.4)式的m文件.functionQ=funfdxz(t,x)f=-編制解微分方程的主程序,求解(2.3)和(2.4)式6:求解微分方程主程序,繪制位移與時(shí)間的關(guān)系曲線.[t,x]=ode45(@funfdxz,[t0:deltat:tt],[x0plot(t,x(:,1),'-.k','LineWidth',1.5)holdon[t,x]=ode45(@funfdfxz,[t0:deltat:tt],[x0plot(t,x(:,1),'-k','LineWidth',1.5)xlabel('\fontsize{12}\fontname{TimeNewRoman}t','Color','k')ylabel('\fontsize{12}\fontname{TimeNewRoman}\xi','Color','k')axis([05-x0x0])grid0.0010時(shí)6繪制出與時(shí)間t的關(guān)系曲線.2.1中用實(shí)線表示由(2.3)繪制的曲線,用點(diǎn)劃線表示由(2.4)繪制的曲線.2.1可以看兩條曲線基本完全重合,這說(shuō)明在初始位移較小時(shí), 圖2.1初始位移為0.001時(shí),

2.2初始位移為0.1時(shí),位移振動(dòng).其平衡位置保持不變.此時(shí)分子的體積保持不變.如果將初始位移增大為0.10,62.2.2.2看兩條曲線差別增大,這說(shuō)明當(dāng)粒子的位移增大,粒子的動(dòng)能增加時(shí),粒子質(zhì)心的振動(dòng)不再能看作簡(jiǎn)諧振動(dòng),平衡位置將向0的方向移動(dòng).說(shuō)明此時(shí)分子的體積增大.速度與時(shí)間的關(guān),繪制速度與時(shí)間的關(guān)系曲線.7:求解微分方程主程序,繪制速度與時(shí)間的關(guān)系曲線.[t,x]=ode45(@funfdxz,[t0:deltat:tt],[x0v0]);plot(t,x(:,2),'-.k',t,x(:,2),'-.k','LineWidth',1.5)holdon[t,x]=ode45(@funfdfxz,[t0:deltat:tt],[x0v0]);plot(t,x(:,2),'-k','LineWidth',1.5)xlabel('\fontsize{12}\fontname{TimeNewRoman}t','Color','k')ylabel('\fontsize{12}\fontname{TimeNewRoman}d\xi/dt','Color','k')axis([05-v0v0])grid7,0.05,0時(shí), 2.3初始速度0.05時(shí),速

2.4初始速度0.5時(shí),速(實(shí)線)與簡(jiǎn)諧近似下速度與時(shí)間的關(guān)系(點(diǎn)劃線)基本重合如圖2.3.當(dāng)初始位速度為0.5,初始位移為0時(shí),實(shí)際粒子的速度與時(shí)間的關(guān)系(實(shí)線)與簡(jiǎn)諧近似下速度與時(shí)間的關(guān)系(點(diǎn)劃線)2.4.2.4看出雖然兩曲線不再重合,時(shí)間的關(guān)系曲線顯示頻率減小(周期變長(zhǎng)),但兩曲線的振幅相同理論分U4

216 216 8 118 1121616

位移、速度與時(shí)間的8:計(jì)算位移、速度與時(shí)間的關(guān)系曲線.[t,x]=ode45(@funfdfxz,[t0:deltat:tt],[x0v0]);plot(t,x(:,1),'-k',t,x(:,2),'-.k','LineWidth',1.5)xlabel('\fontsize{12}\fontname{TimeNewRoman}t','Color','k')ylabel('\fontsize{12}\fontname{TimeNewRoman}\xi,d\xi/dt','Color','k')%axis([010v0])gridon我們?cè)谶@里假定初始位移為max0.1由式(3.2)式算得,粒子在平衡位置的最大的速度為vmax0.5667,83.1,可知速0.5668,兩者基本吻合.如果假定初始位移為max0.01由式(3.2)式算得,粒子在平衡位置的最大的速度為vmax0.0733,83.2,0.0733,兩者完全吻合.這說(shuō)明粒子的運(yùn)動(dòng)遵守能量守恒定律. 3.1初始位移為0.1時(shí),

3.2初始位移為0.01時(shí),頻譜分下面我們利用離散頻譜分析的方法對(duì)圖2.1和圖2.2的位移曲線進(jìn)行頻譜分析.下面是頻譜分析的程序.9:位移曲線的頻譜分析程序.[t,x]=ode45(@funfdfxz,[0:0.001:10],[x0v0]);plot(f,Pyy(1:51),'-k','LineWidth',xlabel('\fontsize{14}\nu','Color','k')gridon0.001012.12.2進(jìn)行頻譜分析3.33.4.3.3中看出,基本上此時(shí)的位移曲線只存在單一的頻率.3.4我們看到除了兩個(gè)較高的頻率成分外,其中一個(gè)較強(qiáng)另一個(gè)較弱,還存在頻率為零的直流成分.這說(shuō)明此時(shí)位移的平均位置已偏離中心,這說(shuō)明在力作用下振動(dòng)的兩微觀粒子的平均距離隨著振動(dòng)位移的增大,微觀粒子的動(dòng)能增加的同時(shí)兩微觀粒子的平均距離增大了,從而導(dǎo)致了氣體體積的減少.并且隨著氣體溫度的升高,微觀粒子振動(dòng)動(dòng)能的增加,圖3.3初始位移為0.001時(shí),

3.40.1時(shí),位在不斷減少.這從微觀粒子振動(dòng)的模型解釋了實(shí)際氣體體積修正的原因粒子的逃逸速2由式(3.2)中令maxvmin即為粒子的最小逃逸速度vmin.當(dāng)粒子振動(dòng)的最大速度達(dá)到此值時(shí),粒子獲得足夠的能量克服力的束縛而逃逸.當(dāng)粒子的速度大于此值時(shí),逃逸后粒子的速度為2 10:繪制不同初始速度對(duì)應(yīng)不同逃逸速度與時(shí)間的關(guān)系曲線.[t,x]=ode45(@funfdfxz,[t0:deltat:tt],[x0v0]);plot(t,x(:,2),'-k','LineWidth',1.5)holdon[t,x]=ode45(@funfdfxz,[t0:deltat:tt],[x0v0]);

plot(t,x(:,2),'-.k','LineWidth',1.5)xlabel('\fontsize{12}\fontname{TimeNewRoman}t','Color','k')ylabel('\fontsize{12}\fontname{TimeNewRoman}d\xi/dt','Color','k')axis([-1010001.6])grid利用此程序繪制的曲線如圖3.5所示.在圖5中令xn和xn1,則在圖3.5中分別用實(shí)線和點(diǎn)劃線顯示的粒子逃逸后的速度與時(shí)間的關(guān)系曲線,當(dāng)時(shí)間為100時(shí)圖中顯示的速度值分別為.02229和0.5414與式(.3)計(jì)算得到的結(jié)果0.02230.541基本相同,當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí),.當(dāng)粒子的速度越接近此值,粒子的平均位移離合力為零的地方越遠(yuǎn).在粒子的振動(dòng)速度非常接近逃逸速度時(shí),解對(duì)初始值變得非常敏感,進(jìn)入所謂的混沌狀態(tài),這是非線性方程不同于線性方程的一個(gè)基本特征.為了反映非線性方程的這一特征,我們編11:計(jì)算等于和接近逃逸速度的初始速度情況下位移與時(shí)間的關(guān)系曲線.[t,x]=ode45(@funfdfxz,[t0:deltat:tt],[x0v0]);plot(t,x(:,1),'-k','LineWidth',1.5)holdon[t,x]=ode45(@funfdfxz,[t0:deltat:tt],[x0plot(t,x(:,1),'-.k','LineWidth',1.5)holdon[t,x]=ode45(@funfdfxz,[t0:deltat:tt],[x0plot(t,x(:,1),':k','LineWidth',1.5)xlabel('\fontsize{12}\fontname{TimeNewRoman}t','Color','k