數學教案－指數函數

數學教案－指數函數(1)能依據定義推斷形如什么樣的函數是指數函數,了解對底數的限制條件的合理性,明確指數函數的定義域.

(2)能在基本性質的指導下,用列表描點法畫出指數函數的圖象,能從數形兩方面熟悉指數函數的性質.

(3)能利用指數函數的性質比較某些冪形數的大小,會利用指數函數的圖象畫出形如的圖象.

2.通過對指數函數的概念圖象性質的學習,培育同學觀看,分析歸納的力量,進一步體會數形結合的思想方法.

3.通過對指數函數的討論,讓同學熟悉到數學的應用價值,激發(fā)同學學習數學的愛好.使同學擅長從現實生活中數學的發(fā)覺問題,解決問題.

教學建議教材分析

(1)指數函數是在同學系統(tǒng)學習了函數概念,基本把握了函數的性質的基礎上進行討論的,它是重要的基本初等函數之一,作為常見函數,它既是函數概念及性質的第一次應用,也是今后學習對數函數的基礎,同時在生活及生產實際中有著廣泛的應用,所以指數函數應重點討論.

(2)本節(jié)的教學重點是在理解指數函數定義的基礎上把握指數函數的圖象和性質.難點是對底數在和時,函數值變化狀況的區(qū)分.

(3)指數函數是同學完全生疏的一類函數,對于這樣的函數應怎樣進行較為系統(tǒng)的理論討論是同學面臨的重要問題,所以從指數函數的討論過程中得到相應的結論當然重要,但更為重要的是要了解系統(tǒng)討論一類函數的方法,所以在教學中要特殊讓同學去體會討論的方法,以便能將其遷移到其他函數的討論.

教法建議

(1)關于指數函數的定義根據課本上說法它是一種形式定義即解析式的特征必需是的樣子,不能有一點差異,諸如,等都不是指數函數.

(2)對底數的限制條件的理解與熟悉也是熟悉指數函數的重要內容.假如有可能盡量讓同學自己去討論對底數,指數都有什么限制要求,老師再賜予補充或用詳細例子加以說明,由于對這個條件的熟悉不僅關系到對指數函數的熟悉及性質的分類爭論,還關系到后面學習對數函數中底數的熟悉,所以肯定要真正了解它的由來.

關于指數函數圖象的`繪制,雖然是用列表描點法,但在詳細教學中應避開描點前的盲目列表計算,也應避開盲目的連點成線,要把表列在關鍵之處,要把點連在恰當之處,所以應在列表描點前先把函數的性質作一些簡潔的爭論,取得對要畫圖象的存在范圍,大致特征,變化趨勢的也許熟悉后,以此為指導再列表計算,描點得圖象.

教學設計示例

課題指數函數

教學目標

1.理解指數函數的定義,初步把握指數函數的圖象,性質及其簡潔應用.

2.通過指數函數的圖象和性質的學習,培育同學觀看,分析,歸納的力量,進一步體會數形結合的思想方法.

3.通過對指數函數的討論,使同學能把握函數討論的基本方法,激發(fā)同學的學習愛好.

教學重點和難點

重點是理解指數函數的定義,把握圖象和性質.

難點是熟悉底數對函數值影響的熟悉.

教學用具

投影儀

教學方法

啟發(fā)爭論討論式

教學過程（.）

一.引入新課

我們前面學習了指數運算,在此基礎上,今日我們要來討論一類新的常見函數-------指數函數.

1.6.指數函數(板書)

這類函數之所以重點介紹的緣由就是它是實際生活中的一種需要.比如我們看下面的問題:

問題1:某種細胞分裂時,由1個分裂成2個,2個分裂成4個,……一個這樣的細胞分裂次后,得到的細胞分裂的個數與之間,構成一個函數關系,能寫出與之間的函數關系式嗎?

由同學回答:與之間的關系式,可以表示為.

問題2:有一根1米長的繩子,第一次剪去繩長一半,其次次再剪去剩余繩子的一半,……剪了次后繩子剩余的長度為米,試寫出與之間的函數關系.

由同學回答:.

在以上兩個實例中我們可以看到這兩個函數與我們前面討論的函數有所區(qū)分,從形式上冪的形式,且自變量均在指數的位置上,那么就把形如這樣的函數稱為指數函數.

一.指數函數的概念(板書)

1.定義:形如的函數稱為指數函數.(板書)

老師在給出定義之后再對定義作幾點說明.

2.幾點說明(板書)

(1)關于對的規(guī)定:

老師首先提出問題:為什么要規(guī)定底數大于0且不等于1呢?(若同學感到有困難,可將問題分解為若會有什么問題?如,此時,等在實數范圍內相應的函數值不存在.

若對于都無意義,若則無論取何值,它總是1,對它沒有討論的必要.為了避開上述各種狀況的發(fā)生,所以規(guī)定且.

(2)關于指數函數的定義域(板書)

老師引導同學回顧指數范圍,發(fā)覺指數可以取有理數.此時老師可指出,其實當指數為無理數時,也是一個確定的實數,對于無理指數冪,學過的有理指數冪的性質和運算法則它都適用,所以將指數范圍擴充為實數范圍,所以指數函數的定義域為.擴充的另一個緣由是由于使她它更具代表更有應用價值.

(3)關于是否是指數函數的推斷(板書)

剛才分別熟悉了指數函數中底數,指數的要求,下面我們從整體的角度來熟悉一下,依據定義我們知道什么樣的函數是指數函數,請看下面函數是否是指數函數.

(1),(2),(3)

(4),(5).

同學回答并說明理由,老師依據狀況作點評,指出只有(1)和(3)是指數函數,其中(3)可以寫成,也是指數圖象.

最終提示同學指數函數的定義是形式定義,就必需在形式上一摸一樣才行,然后把問題引向深化,有了定義域和初步討論的函數的性質,此時討論的關鍵在于畫出它的圖象,再細致歸納性質.

3.歸納性質

作圖的用什么方法.用列表描點發(fā)覺,老師預備明確性質,再由同學回答.

函數

1.定義域:

2.值域:

3.奇偶性:既不是奇函數也不是偶函數

4.截距:在軸上沒有,在軸上為1.

對于性質1和2可以兩條合在一起說,并追問起什么作用.(確定圖象存在的大致位置)對第3條還應會證明.對于單調性,我建議找一些特別點.,先看一看,再下定論.對最終一條也是指導函數圖象畫圖的依據.(圖象位于軸上方,且與軸不相交.)

在此基礎上,老師可指導同學列表,描點了.取點時還要提示同學由于不具備對稱性,故的值應有正有負,且由于單調性不清,所取點的個數不能太少.

此處老師可利用計算機列表描點,給出十組數據,而同學自己列表描點,至少六組數據.連點成線時,肯定提示同學圖象的變化趨勢(當越小,圖象越靠近軸,越大,圖象上升的越快),并連出光滑曲線.

二.圖象與性質(板書)

1.圖象的畫法:性質指導下的列表描點法.

2.草圖:

當畫完第一個圖象之后,可問同學是否需要再畫其次個?它是否具有代表性?(老師可提示底數的條件是且,取值可分為兩段)讓同學明白需再畫其次個,不妨取為例.

此時畫它的圖象的方法應讓同學來選擇,應讓同學意識到列表描點不是唯一的方法,而圖象變換的方法更為簡潔.即=與圖象之間關于軸對稱,而此時的圖象已經有了,具備了變換的條件.讓同學自己做對稱,老師借助計算機畫圖,在同一坐標系下得到的圖象.

最終問同學是否需要再畫.(可能有兩種可能性,若同學認為無需再畫,則追問其緣由并要求其說出性質,若認為還需畫,則老師可利用計算機再畫出如的圖象一起比較,再找共性)

由于圖象是形的特征,所以先從幾何角度看它們有什么特征.老師可列一個表,如下:

以上內容同學說不齊的,老師可適當提出觀看角度讓同學去描述,然后再讓同學將幾何的特征,翻譯為函數的性質,即從代數角度的描述,將表中另一部分填滿.

填好后,讓同學仿照此例再列一個的表,將相應的內容填好.為進一步整理性質,老師可提出從另一個角度來分類,整理函數的性質.

3.性質.

(1)無論為何值,指數函數都有定義域為,值域為,都過點.

(2)時,在定義域內為增函數,時,為減函數.

(3)時,,時,.

總結之后,特殊提示同學記住函數的圖象,有了圖,從圖中就可以能讀出性質.

三.簡潔應用(板書)

1.利用指數函數單調性比大小.(板書)

一類函數討論完它的概念,圖象和性質后,最重要的是利用它解決一些簡潔的問題.首先我們來看下面的問題.

例1.比較下列各組數的大小

(1)與;(2)與;

(3)與1.(板書)

首先讓同學觀看兩個數的特點,有什么相同?由同學指出它們底數相同,指數不同.再追問依據這個特點,用什么方法來比較它們的大小呢?讓同學聯(lián)想指數函數,提出構造函數的方法,即把這兩個數看作某個函數的函數值,利用它的單調性比較大小.然后以第(1)題為例,給出解答過程.

解:在上是增函數,且

.(板書)

老師最終再強調過程必需寫清三句話:

(1)構造函數并指明函數的單調區(qū)間及相應的單調性.

(2)自變量的大小比較.

(3)函數值的大小比較.

后兩個題的過程略.要求同學仿照第(1)題敘述過程.

例2.比較下列各組數的大小

(1)與;(2)與;

(3)與.(板書)

先讓同學觀看例2中各組數與例1中的區(qū)分,再思索解決的方法.引導同學發(fā)覺對(1)來說可以寫成,這樣就可以轉化成同底的問題,再用例1的方法解決,對(2)來說可以寫成,也可轉化成同底的,而(3)前面的方法就不適用了,考慮新的轉化方法,由同學思索解決.(老師可提示同學指數函數的函數值與1有關,可以用1來起橋梁作用)

最終由同學說出1,1,.

解決后由老師小結比較大小的方法

(1)構造函數的方法:數的特征是同底不同指(包括可轉化為同底的)

(2)搭橋比較法:用特別的數1或0.

三.鞏固練習

練習:比較下列各組數的大小(板書)

(1)與(2)與;

(3)與;(4)與.解答過程略

四.小結

1.指數函數的概念

2.指數函數的圖象和性質

3.簡潔應用

五.板書設計

探究活動

(1)對于的圖象和