數(shù)理統(tǒng)計基礎(chǔ)

1、數(shù)理統(tǒng)計基礎(chǔ)1.1隨機變量1.1.1隨機事件和概率觀測或試驗的一種結(jié)果，稱為一個事件。在一定條件下進行大量重復試驗時，每次都發(fā)生的事件，稱為必然事件（）；反之，每次都不發(fā)生的事件，稱為不可能事件（）；有時發(fā)生有時不發(fā)生的事件，稱為隨機事件或偶然事件（）。隨機事件的特點是在一次觀測或試驗中，它可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)，但在大量重復觀測或試驗中呈現(xiàn)統(tǒng)計規(guī)律性。用來描述事件發(fā)生可能性大小的量就是概率。概率的統(tǒng)計定義是：在相同條件下進行次重復試驗，事件發(fā)生了次，稱為事件的頻數(shù)，稱/為事件的頻率。當足夠大時，頻率/穩(wěn)定地趨向于某一個常數(shù)，此常數(shù)稱為事件的概率，記為＝，即：＝＝（1.1）即概率是頻率的極限值。由概率的定義可歸納出概率的三個基本性質(zhì)：（1）必然事件的概率等于1，即=1；（2）不可能事件的概率等于0，即=0；（3）任何事件的概率都介于0和1之間，即0≤≤1。小概率原理：當某一事件的概率非常接近于0時，說明這個事件在大量的試驗中出現(xiàn)的概率非常小，這樣的事件稱為小概率事件。小概率事件雖然不是不可能事件，但在一次連續(xù)試驗中出現(xiàn)的可能性很小，一般可以認為不會發(fā)生，此即為小概率原理。概率的三個定理：（1）互補定理：某事件發(fā)生的概率與不發(fā)生的概率之和為1。當發(fā)生的概率為，則不發(fā)生的概率為1-。全部基本事件之和為必然事件。（2）加法定理：相互獨立而又互不相容的各個事件，其概率等于它們分別出現(xiàn)之和。例如，A1，A2，…An為相互獨立而又互不相容的事件，其中任一事件出現(xiàn)的概率為各個事件概率的總和，即P（A）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）=（1.2）（3）乘法定理：相互獨立的事件同時發(fā)生的概率是這些事件各自發(fā)生的概率的乘積，即委獻永P枕（嚷A求1籌A饒2徒…炒A辯n臭）俱=灘P溪（棒A乏1蛛）團P還（皺A舅2咬）精…硬P鏟（紫A我n手）速=獻尤作（略1.色3既）匆1.1.信2蝶撿隨機變量嶄與分布函學數(shù)付每次試驗猶的結(jié)果可煩以用一個價變量謀的數(shù)值來糞表示，這王個變量的坊取值隨偶市然因素而是變化，但哥又遵從一回定的概率痕分布規(guī)律炮，這種變加量稱為隨疫機變量。笨隨機變量怠根據(jù)其取稈值的特征養(yǎng)可以分為僻離散型隨柳機變量和月連續(xù)型隨癥機變量。雄離散型隨舍機變量試授驗結(jié)果的?？赡苤悼杀橐砸灰涣宣}舉出來，首即隨機變扮量將可取的值健是間斷的饞、可數(shù)的甚。找連續(xù)型隨撤機變量試橋驗結(jié)果的會可能值不批能一一列請舉出來，澤即隨機變?nèi)饬拷羁扇〉闹灯帐沁B續(xù)充傻滿在一個仗區(qū)間的。儉隨機變量迷是隨機現(xiàn)石象的數(shù)量拌化，可以處用：嬌=歲埋表示某事洲件；營（鋸=影）膛抱表示該事燦件出現(xiàn)的筒概率；泡（遣）概=誘（奔野＜遼）表示稅部＜孝的概率，慚并定義為霸隨機變量響的概率分坐布函數(shù)，胃用來描述形隨機變量穗的統(tǒng)計規(guī)薦律。賣連續(xù)型隨爪機變量故的分布函腿數(shù)的表達誠式為：次＝綢（額＜炸）＝異緩須恩飯求（蘇1.奶4勺）樹式鴿中搞,雞稱為隨機勢變量招的概率密笑度函數(shù)（撕或簡稱概削率密度）的。瓶正態(tài)分布泄是連續(xù)型連隨機變量翼最常見的恢一種分布盈。正態(tài)分擠布的概率詳密度函數(shù)余和概率分壇布函數(shù)拾分別為：桂笑掌甜團盒男（見1.敗5階）臣珠喂厚沾鐘（牧1.獲6章）躍以跟的取值訊為橫坐標幻，以概率顧密度函數(shù)莊為縱坐標哨，正態(tài)分物布的圖象縫如討圖劉1.活1明所示。圖獵中的曲線恒即為概率涌密度函數(shù)窮，積分區(qū)巴間內(nèi)的曲閉線與橫軸乞之間所包元含的面積惑就是概率酒分布函數(shù)燦，亦即隨貼機變量章的概率。瓜圖長1.1遮漠正態(tài)分布臟示意圖永的圖象具陜有如下性商質(zhì)：壯a屆、師為隨機變醋量篇一系列取駐值的中位姻值（或稱尾均值），純對稱于直濕線扭x口＝介μ蝴，且信＞浮0僻，曲線位笛于橫軸的塊上方。它吩向左右無鏟限延伸，摘并以橫軸優(yōu)為漸近線談。奶b需、奸當叉x員＝記μ飽時，歸取最大值握：擊x沾離輛μ湖越遠回越小，這絡表明對于漏同樣長度批的區(qū)間，毀當區(qū)間當離悄μ飼越遠，徹落在這個僑區(qū)間上的據(jù)概率越小倡。腫c豪、參手數(shù)改σ衰為曲線拐移點的橫坐賄標，其大尊小決定了朵正態(tài)曲線漫的形狀特竟點鹿，首σ乓愈大曲線厘愈平緩阿，恒σ著愈小曲線徐愈高陡。延可以看出磚，正態(tài)分燒布主要取債決宵于應μ艦和反σ霞兩個參數(shù)迫，蜜稱木μ獻為隨機變羽量率的數(shù)學期北望懷，煎σ障2僅為隨機變柳量濟的方差。武當隨機變?yōu)E量奴服從正態(tài)作分布時，陳常記作促～應（紐μ鈔，藥σ煉2疲）。瀉如令隨機繭變餃量奧t貨＝賺（間x建-資μ昆）仙/駱σ謙，通過變晴量轉(zhuǎn)換，躁可由一般崇正態(tài)分布盟推算得隨拉機變衫量肢t之的概率密站度函數(shù)湖及相應的晉概率分布賄函數(shù)齡：型＝圣書仆誓暈煌（步1.遇7鏡）渴＝爪位蚊（叉1.挖8僅）擴這種分布夠稱為標準館正態(tài)分布瞎，是正態(tài)跑分布角中妹μ慶＝配0手，杜σ舍2撲＝逼1重的特例。兔當隨機變借量服從標菌準正態(tài)分俱布時，常增記作泊～敏N戰(zhàn)（菊0柏，牌1款）。劇通常弦將抗t激～鞋制成數(shù)值焰表，旦稱膽t敏為標準正翻態(tài)分布的救分位數(shù)。為如已室知罪t鄉(xiāng)，即可從儲表中查得倦相應的縫；反之，分亦然。廈標準正態(tài)巧分布與一贊般正態(tài)分浙布具有如俯下關(guān)系：呢＝逐Φ蓋黎追女適淚（礙1.陶9耗）遍因此，對本于任意正哄態(tài)分訓布辦N洪（挨μ快，界σ歐2勉），當已爛知餃x股，需求相稈應毫的震F獨（柴x睡）時，均嚷可通過下什式變換超敢矩理絡而門（妻1.1我0溫）驗算得對應鉗于遭x祥的任t就值，再在輪標準正態(tài)戴分布函數(shù)靜數(shù)值表上省查得相應貼的概率。貍正態(tài)隨機溪變量中有薯三個重要垮的概率值羽（見膊圖疤1.伙2少），它們角分別是城漠匙蘆妖撈P照（專μ繩-蛋σ塑＜勒X肌≤儲μ順+吩σ值）伙=階0.68宋26扛，榨深嫂案壺館P循（嶄μ交-釣2灰σ搬＜瘡X連≤咐μ級+香2闖σ抗）繪=伙0.95厚44嬌，般粱欣薦稀秘P大（撲μ府-哭3日σ痛＜艷X軍≤士μ坐+扶3數(shù)σ詠）羞=邁0.99狂7餅3葵。耳圖修1.2峽攤正態(tài)分布檢的三個重燙要概率值追注意到第鈔三個概率催值，對于賓正態(tài)隨機藝變量古來說，它介落妻在生μ司±抹3文σ或內(nèi)的概率滿約驕為張99.7紹%磨，落帥在鄙μ典±熱3筆σ仰外的概率希約產(chǎn)為奔0.3搖%捧?？梢姡显诰哂姓鷳B(tài)分布特該征的試驗頃中，其數(shù)揪據(jù)落偉在專μ按±賀3酒σ棄以外的概敢率是很小黨的，可視搭為貞“銅小概率事沸件盾”鞋。因此，響試驗中一料旦出秤現(xiàn)炊μ鴉±旗3李σ悔外的數(shù)據(jù)獅，根枝據(jù)扮“預3些σ喂規(guī)撕則搏”吼，即可將友其認為砌是謝“絮可疑數(shù)僅據(jù)聰”今而予以剔爸除，或是祖工藝過程銳出現(xiàn)異常原，應予注豆意?；蚚株例趨1.1]纏子已知一批良強度等級瘦為枝C2齡5虛的混凝土牙，其抽樣弟試件的抗意壓強度平龍均值樸為飯30.0峰MPa喬,島標準差稍為直5.0M稼Pa已,半設(shè)該混凝評土的抗壓組強度兵服厘從蟲N(30老.陵0買，矮5.0步)宅的正態(tài)分送布，試計既算抗壓強當度高抵于峰25.0拿MP顏a絞的概率（凍即求該混乏凝土的強哥度保證率厘）。餓[暈解伯]騾（窮≥比25.園0專）獸=1-惱（些＜礙25.價0寫）郊卵恢會若箏=1-吧燕危緊奇孕=1-=1-芽刊駛枝肢怪=1-0僻.158炸7=0.剩8413津即該批混闊凝土的強缺度保證率辟為借84.1這%重。由此可裹見，對于沒標準差舍為營5.0M絞P繩a森的江C2秋5季混凝土，緞即使其抗篇壓強度平幼均值輛為岔30.0撓MP嘆a蹦時，仍不榆能達到相善關(guān)規(guī)范所漢規(guī)定測的打95賠%泊的強度保燭證率。砍[這例曠1.2]窩已條件班同虧[沸例議1.1燃]爛，其試件叫抗壓強度圓平均值咽為多少時沙，才能使窮該混凝土粗的強度保眨證率達嶺到蜻95行%淚？痰[窯解慈]罰什由橡證（館≥租25.界0叨）噸=1-誦（氧＜暈25.葬0屆）犁=0.9叨5只得釋努瑞鈴＝蹤＝序-1.6倆45每=25.檔0+1.趨645×腰5.0=烏33.2療MPa答吩歌上式中鐵，瘋t求被稱為強族度保證率掉系數(shù)，它軌對應梅于寨95形%目的強度保翠證率。失1.2式甲隨機變量黎的數(shù)字特柱征揀由上所述艦，利用分千布函數(shù)或認分布密度遮函數(shù)可以于完全確定型一個隨機兇變量。但婚在實際問壇題中，求秘分布函數(shù)戲或分布密語度函數(shù)不港僅十分困睡難，而且肯常常沒有冒必要。用尤一些數(shù)字唱來描述隨導機變量的盡主要特征鄰，顯得十送分方便、葡直觀、實削用。描述埋隨機變量討某種特征機的量稱為羊隨機變量棵的數(shù)字特齒征。材1.2.捧1煮劈數(shù)學期望煌數(shù)學期望勢又稱均值升，記背作傳E咐（塊X物）（正態(tài)立分布的槽），其計嬸算公式為顯：列當藝X畢為離散型哄時榜洋樸根（砌1.1期1像）喇當友X刷為連續(xù)型聲時橫溜揪憐（疼1.1它2蘿）皮數(shù)學期望巾描述了隨完機變量的為取值中心告，但它不邀是簡單的壯算術(shù)平均貓，而是以弊概率為權(quán)礎(chǔ)的加權(quán)平干均。挪數(shù)學期望白有如下性弄質(zhì)（下式攜中經(jīng)c字、牛k客、序b反均為常數(shù)閃）：過（廊1另）搶E演（咐c廢）襪＝睬c揉仔雷濫筒亮亂逗鵝豬（壤1.13伸a射）展（逃2醋）極E扯（農(nóng)k擱X跑）襪＝會k拼E廊（宴X潮）除眼釋栽雄緒榆花百（顧1.13寸b熱）搜（摘3請）丈E慎（抖X+腫b今）蘋＝扎E屠（忽X岸）預+b夸鐮堆秒梨萬繁蔑（平1.13悲c供）惰（聾4渴）消E笨（懂kX+選b嬌）＝拿kE涼（揭X帖）熔+稼b(沃1.13除d)廚（源5鎖）欠E秋（殼X+拐Y嬌）寄＝悠E春（早X價）芝+知E超（判Y班）湯錦殺子油陳怎紙（斷1.13膨e畏）修（政6堡）庭E涌（弊X叼Y糖）凈＝胞E姥（窩X掃）廚E雨（軋Y框）品+Co博v慧（置X吵，冷Y蚊）嗽廳妹貪探（技1.13驗f紗）等稱爺Co禍v撒（斯X習，距Y視）為協(xié)方離差，寒當惠X銹，慨Y湯相互獨立樓時結(jié)，馳Co臥v臥（濫X蜂，默Y纖）藍＝嚴0勝，則有侍懼愉棍炕乖（逃1.13靈g晚）賄1.2.系2撇笛方差壇記閱作攀D高（棵X擠）（正態(tài)赴分布的陣）：泰蚊姜D緒（綱X臂）捉＝徹E{[X抖-少E耕（暗X白）皆]玻2藝}斯＝喘E薪（渴X晌2雜）仰-[少E汁（閑X麻）蟻]癢2盲蛾集（匠1.1狀4貞）括方差描述時了隨機變銹量終X病取值對于免數(shù)學期寧望肺E姜（費X侍）的離散開程度。秤1竄、方差的藝計算公式背當沖X謙為離散型釘時伸汗陷攪倡（均1.1濕5稅）磁當周X凍為連續(xù)型建時磚蓮錢繪胖雨（融1.1獸6辟）福2宮、方差的趴性質(zhì)（下齊式稻中承a陽、辱b者、功c悔、羨k似為常數(shù)）鈴（盛1普）盈D狐（嶼c伶）襯=0鍵麻耐欄數(shù)購座遠描訴出（游1.17腹a痛）啄（速2哭）防D遮（蛛k忘X衣）致=k掃2齒D淹（笨X毫）喚蜓倆統(tǒng)撒斤凝釘膏（農(nóng)1.17迷b謙）余（踐3亭）堂D歲（權(quán)X+朗b篇）直=誕D逐（勞X降）嶺酸紗分拋約圈酸硬（稍1.17伙c敬）所（勒4蔬）爺D績（細kX+貫b調(diào)）怨=k盲2丘D壺（期X匠）罪好誤奔配撥嘉銳（誠1.17燭d稻）聾（暫5劍）制D號（少X+座Y猛）撿=膚D?。ㄔ頧鏟）尤+置D叉（取Y糕）夸-2Co沸v廚（書X囑，親Y廣）粉卡勇柱（漫1.17兩d鴨）故當洞X立，乘Y支相互獨立倒時，協(xié)方釘差老Co極v擴（糟X簽，浙Y仔）紛=姑0脫，則有：華思福愈存繼D躲（魯X+避Y隊）羅=合D尸（拳X耗）仇+愿D象（帖Y緣）仍樂贊弊（完1.17粒e立）電（古4乓）、沒（旱5妥）可推廣蘋至隨機變驚量董X俗1款，佛X頌2皇，洽…刑，退X越n陸。案1.3巷殲隨機變量趴的基本定諒理泰1.3.略1絲眉大數(shù)定理鉛1.3.筑1.1只著切比謝夫瘦（貸Tche已bysh鬧e錢v屆）定理映設(shè)乓X煉1郊，針X繩2冬，伍…窗，玉X輝n宜是獨立同盞分布的隨簡機變量列規(guī)，末且掠E鵝（禽X懲1贊）魚、烤D賀（酒X純1桃）存在，誰則對于任聽何金ε精＞宣0貧，有歸棋糟甩麻（覺1.1授8誦）滲式中潛：化僚趁娘困探諷獲臟瓦榨（肉1.1殘9助）蓄上式又稱輝切比謝夫籠（食Tche誘bysh魚e搏v嶼）定理。蠶大數(shù)定律振的實際意跡義在于，逆只短要曲n唐充分大，蔬算術(shù)平均勢值鍋以很大的派概率取值平接近于數(shù)唇學期望，北即忘當夸n姐充分大時暮，可以用看算術(shù)平均太值告代替真值斗，以滿足釋測量不確捕定儀度惱ε鄙的要求。興1.3.禿1.2拒煌貝努利定怒理沖設(shè)岡在攻n看次獨立觀誕測中，事裳件牧A包出現(xiàn)的次各數(shù)穴為鑰m財，則勻當統(tǒng)n猛足夠大時脖，頻訓率飛m/敏n寺依概率收村斂于它的鴨概涌率犧p墻，即對任指意羽的母ε限＞掃0壞，有：影＝悔1右攔蘿償獎望（奪1.2陡0者）蔬貝努利定討理的實際盛意義在于才，在觀測份條件穩(wěn)定枝時，如魯果有n授足夠大，副則可用頻殖率代替概限率，此時乓頻率具有帳很高的穩(wěn)選定性。該1.3.五2序悼中心極限招定理瓜設(shè)衫X形1蒜，噸X善2零，駱…還，乏X介n察是獨立同備分布的隨班機變量列狼，奏且說E延（窗X扶1史）鏈、假D壓（賽X嫩1弊）存在秩，澆D顧（膨X勵1仁）千≠礎(chǔ)0療，則對一惡切實振數(shù)嘉a屈＜射b變，有殺沿羊（匆1.2棍1揚）坐中心極限邪定理可解鏡釋為任何漸隨機變量孤如果是許蝴多同分布銅獨立變量陸之和，每賺一變量在史總和上只梳起不大的仔影響，則漸不論這些慰獨立變量味具有何種饅類型的分諷布，該隨冬機變量可笑以近似地五認為是正益態(tài)分布。曲隨著隨機井獨立變量慘的增加，框它們的和澤就越接近縱正態(tài)分布秘；這些獨阿立變量的嗎大小越接短近，所需貪的獨立變友量就越少秒。掠中心極限脈定理擴展功了正態(tài)分揪布的適用雙范圍。在游擴展不確重定度的評噸定中，將棟涉及如何吧用中心極徒限定理來淋判斷被測數(shù)量厭Y千是否服從洲或接近正劃態(tài)分布。方1.4崗譽參數(shù)估計訴摩鉆以上所述卸是觀測次膽數(shù)無限大蛾時隨機變錘量的一些期性質(zhì)，即惰為總體的霞情況。由虜于總體往濱往得不到于，常常以聲有限次觀悉測、即抽掘樣的方式漆來估計總滲體的特性收。屢1.4.泛1償餡總體、樣忙本羊把研究對瞞象的全體偶稱為總體沿，構(gòu)成總省體的每個漠單位為個偏體，通常添用展N淚表示總體抽所包含的曬個體數(shù)。忽總體的一古部分稱為另樣本（或船稱子樣）富，通常粘用某n羞表示樣本澆所含的個楚體數(shù)，稱郵為樣本容媽量。背從總體中巖抽取樣本界稱為抽樣骨。若總體仔中每個個要體被抽取蟻的可能性頂相同，這未樣的抽樣鉗稱為隨機偶抽樣，所溜獲得的樣恥本為隨機伴樣本。含可以證明球，當樣本災容嘩量珍n牌足夠大時懲，樣本的勺經(jīng)驗分布挑函數(shù)近似般地等于總絨體分布函溝數(shù)，因此遙，可以用臺經(jīng)驗分布短近似地代噴替總體分鳳布函數(shù)。嚼這是用樣噸本推斷總慎體的依據(jù)每?；?.4.極2王誘參數(shù)的點正估計食1.4.疑2.1夏琴基本概念堆對于一個米已知其分丈布、但未潤知特征參旅數(shù)的隨機悔變量紡，如果得倡到了一組燃觀測值，件很自然的秩會想到用掘這一組觀吊測值來估憑計總體的伍特征參數(shù)課，這就是波參數(shù)的點聲估計，這瓣一組觀測砍值所構(gòu)成迎的統(tǒng)計量紗稱為總體膊的估計量濕。軍估計量的奸評價：魯（襖1爺）一致性表：一個好胸的估計量胡，當樣本受容量很大汗時，估計抓值以接近比于飾1琴的概率趨報近于被估國參數(shù)值。疼（刪2軋）無偏性航：估計量漸總是圍繞闊被估參數(shù)瑞擺動，即汽大于被估豪參數(shù)和小繭于被估參升數(shù)的概率吼基本相同蒙，估計量腐的數(shù)學期欣望等于被考估參數(shù)，陳此時該估頁計量就是篩被估參數(shù)木的無偏估原計量。塔（革3讀）有效性剃：估計量伐的方差越附小，波動稿越小，估乒計值接近共被估參數(shù)迎的可能性益越大，即蠢越有效。往1.4.風2.安2臟正態(tài)分布鳳未知參數(shù)溫的點估計弟用上述方莫法和標準尚研究正態(tài)貿(mào)分布未知敗參數(shù)的點居估計，可等以得出如舊下結(jié)論：籌（般1澆）樣本算漠術(shù)平均值征烈汗（猶1.2用2萌）更是總體數(shù)外學期掏望配μ樣的