初二奧數(shù)之分式的運(yùn)算

數(shù)學(xué)競賽

專題06從地平面到腳手架分式的運(yùn)算閱讀與思考分式的主要內(nèi)容包括分式的概念、分式的基本性質(zhì)、分式的四則運(yùn)算、簡單的分式方程等.分式的運(yùn)算與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算類似，是以整式的變形、因式分解及計算為工具，以分式的基本性質(zhì)、運(yùn)算法則和約分為基礎(chǔ).分式的加減運(yùn)算是分式運(yùn)算的難點(diǎn)，解決這一難點(diǎn)的關(guān)鍵是根據(jù)題目的特點(diǎn)恰當(dāng)?shù)赝ǚ郑ǚ滞ǔＳ幸韵虏呗耘c技巧：.分步通分，步步為營；.分組通分，化整為零；.減輕負(fù)擔(dān)，先約分再通分；.拆項相消后通分；.恰當(dāng)換元后通分，學(xué)習(xí)分式時.應(yīng)注意：⑴分式與分?jǐn)?shù)的類比.整數(shù)可以看做是分?jǐn)?shù)的特殊情形，但整式卻不能看做是分式的特殊情形;(2)整式與分式的區(qū)別需要討論字母的取值范圍，這是分式區(qū)別于整式的關(guān)鍵所在.分式問題比起整式問題，增加了幾個難點(diǎn)；⑴從"平房"到"樓房"，在"腳手架"上活動；⑵分式的運(yùn)算中多了通分和約分這兩道技術(shù)性很強(qiáng)的工序;⑶需要考慮字母的取值范圍，例題與求解【例1】m例題與求解【例1】m= 時，八#（m-1）（m-3）刀工m2-3m+2的值為0.(杭州市中考試題)解題思路：分母不為0時，分式有意義，分子與分母的公因式m-1就不為0.【例2】已知abc=1，以a+b+c=2,a2+b2+c2=3，則—-1~~-+-~~1~~-+——1--的ab+c-1bc+a-1ca+b-1值為（ ）.1D.A.1 B.-- C.D.2

（太原市競賽試題）解題思路：不宜直接通分，運(yùn)用已知條件a+b+。=2，對分母分解因式，分解后再通分【例3】計算:112a 4a3 + + + a一ba+ba2+b2a4+b4（武漢市競賽試題）a b 1 1 a2+3b2 + + 一 一 a3+a2b+ab2+b3a3-a2b+ab2-b3a2-b2a2+b2a4-b4（天津市競賽試題）（3）x3+1 2(x2+1)（3）x3—2x2+2x—1 x2—1（贛州市競賽試題）（4）b2 （4）b2 a2 -—+ +2a2 b2ba

一十一

abb3a3 ba————3(———

a3b3 abb2a2—+——2a2b2（漳州市競賽試題）解題思路：由于各個分式復(fù)雜，因此，必須仔細(xì)觀察各式中分母的特點(diǎn)，恰當(dāng)運(yùn)用通分的相關(guān)策略與… ，，、一，一一，_、，b,、a 「b a , .一一技巧；對于（4），注意到題中各式是關(guān)于一或7的代數(shù)式，考慮設(shè)一=x，-=y，則xy=1，通過換元可ab a b降低問題的難度.當(dāng)一個數(shù)學(xué)問題不能或不便于從整體上加以解決時，我們可以從局部入手將原題分解。這便是解題的分解策略.解絕對值問題時用的分類、分段討論；解分式問題時用的分步分組通分、因式分解的分組分解法以及裂項求值等都是分解策略的具體運(yùn)用.

【例4】求最大的正整數(shù)n，使得n3+100能被n+10整除.（美國數(shù)學(xué)邀請賽試題）解題思路：運(yùn)用長除法或把兩個整式整除的問題轉(zhuǎn)化為一個分式的問題加以解決類似于分?jǐn)?shù)，當(dāng)一個分式的分子的次數(shù)高于或等于分母的次數(shù)，那么就可以將分式化為整數(shù)部分與分式部分的和，分式的這種變形稱為拆分變形，是拆項變形的一種.【例5】已知ab1a【例5】已知ab1a+b15ca1c+a16abc求丁 的值?ab+bc+ca（太原市競賽試題）111解題思路：設(shè)法求出一+7+-的值?abc【例6】(1)設(shè)a,b,c均為非零實數(shù)，并且ab=2(a+b),bc=3(b+c),ca=4(c+a)，則a+b+c等于多少？ (北京市競賽試題)(2)計算：12 22 k2 992 + +L+ +L+

12—100+500022—200+5000 k2—100k+5000 992—9900+5000

（上海市競賽試題）解題思路：對于（1）,通過變換題中等式，即可列出方程組，解得。，b,c的值；對于（2）,仔細(xì)觀察，即可發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律..要使分式有意義，則x的取值范圍是，一， x2+11.代數(shù)式y(tǒng)=--的值為整數(shù)的全體自然數(shù)x的和是（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）, 2 2 2x+18.已知x為整數(shù)，且一-+--+-為整數(shù)，則所有符合條件的x值的和為4.4.x一3xy一2y（"祖沖之杯"邀請賽試題）.關(guān)于分式，下列四種說法中正確的是（ ）.A.含有分母的代數(shù)式叫做分式.分式的分母、分子同乘以（或除以）2a+3,分式的值