海南省高三數(shù)學(xué) 復(fù)合函數(shù) 復(fù)習(xí)題（含答案）

第第頁復(fù)合函數(shù)問題的解答方法如果y是u的函數(shù)，記為y=f(u)，u又是x的函數(shù)，記為u=g(x)，且g(x)的值域與f(u)的定義域的交集非空，則稱函數(shù)y=f(g(x))為y關(guān)于x的復(fù)合函數(shù)；其中u稱為中間變量，函數(shù)y=f(u)稱為外層函數(shù)，函數(shù)u=g(x)稱為內(nèi)層函數(shù)；復(fù)合函數(shù)的定義域由內(nèi)層函數(shù)的值域來確定；復(fù)合函數(shù)的主要特征是外層函數(shù)的自變量又是一個函數(shù)。復(fù)合函數(shù)的問題主要包括：①復(fù)合函數(shù)解析式的求法；②復(fù)合函數(shù)函數(shù)值的求法；③復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷（或證明）；④復(fù)合函數(shù)奇偶性的判斷（或證明）。那么在實際的數(shù)學(xué)問題中，到底如何才能準(zhǔn)確，快捷地解答復(fù)合函數(shù)的問題呢？下面通過典型例題的解析來回答這個問題?！镜淅?】解答下列各題：1、已知=，求f(x)；2、已知f(2x+1)=4+2x+1，求f(x)；3、已知f(+1)=x+2，求f(x)4、如果f()=，則當(dāng)x0且x1時，f(x)=()ABCD-15、已知=，求f(x)；6、已知f（，求f(x)；7、已知f()=+，求f(x)的解析式。〖解析〗 1、【知識點】①兩項和的完全平方公式；②拼湊法的數(shù)學(xué)思想；③拼湊法的基本法方法；【解題思路】把看成整體未知數(shù)，將化成-2，就可得到函數(shù)f(x)的解析式；【詳細解答】==-2，f(x)=-2；2、【知識點】①兩項和的完全平方公式；②拼湊法的數(shù)學(xué)思想；③拼湊法的基本法方法；【解題思路】由=4+4x+1可知，在原解析式中加上2x就能得到，為保證式子不變，同時還需要減去2x，f(2x+1)=4+2x+1=-（2x+1）+1，從而得到函數(shù)f(x)的解析式；【詳細解答】f(2x+1)=4+2x+1=-（2x+1）+1，f(x)=-x+1；3、【知識點】①兩項和的完全平方公式；②拼湊法的數(shù)學(xué)思想；③拼湊法的基本法方法；【解題思路】由=x+2+1可知，在原解析式中加上1就能得到，為保證式子不變，同時還需要減去1，f(+1)=x+2=-1，從而得到函數(shù)f(x)的解析式；【詳細解答】f(+1)=x+2=-1，f(x)=-1；4、【知識點】①換元法的數(shù)學(xué)思想；②換元法的基本方法；【解題思路】設(shè)t=，x=，f(t)==，從而得到函數(shù)f(x)的解析式；【詳細解答】設(shè)t=，x=，f(t)==，f(x)=，B正確，選B；5、【知識點】①換元法的數(shù)學(xué)思想；②換元法的基本方法；【解題思路】設(shè)t=，x=，f(t)===，從而得到函數(shù)f(x)的解析式；【詳細解答】設(shè)t=，x=，f(t)===，f(x)=；6、【知識點】①換元法的數(shù)學(xué)思想；②換元法的基本方法；③對數(shù)的定義與性質(zhì)；【解題思路】設(shè)t=，x=lnt+1，f(t)=2-1=2t+4lnt+1，從而得到函數(shù)f(x)的解析式；【詳細解答】設(shè)t=，x=lnt+1，f(t)=2-1=2t+4lnt+1，f(x)=2x+4lnx+1；7、【知識點】①換元法的數(shù)學(xué)思想；②換元法的基本方法；【解題思路】設(shè)t=，x=，f(t)=+=1++t-1=-t+1，從而得到函數(shù)f(x)的解析式；【詳細解答】設(shè)t=，x=，f(t)=+=1++t-1=-t+1，f(x)=-x+1。『思考問題1』（1）【典例1】的共同特點是：①f(t)中的t是函數(shù)，②f(t)的解析式是關(guān)于x的；（2）【典例1】是已知的解析式，求f(x)的解析式的問題，解答這種問題的基本方法有：①法；②法。（3）拼湊法是把已知關(guān)于x的解析式通過拼或湊的方法，使之成為關(guān)于g(x)的式子的形式，再將g(x)換成整體未知數(shù)x，從而得到f(x)的解析式；（4）換元法是把g(x)用一個整體未知數(shù)t去替換，同時將x表示成關(guān)于t的式子，再把解析式中的x都換成t，得到關(guān)于t的解析式，最后再將解析式中的t都換成x即可。〔練習(xí)1〕解答下列問題：1、已知f(1-x)=-3x+2，求f(x)；2、已知f(1-cosx)=，求f(x)；3、已知f()=，求f(x)。4、若f()=，則f(x)等于（）A(x-1)B(x0)C(x-1)D1+x(x-1)5、已知f(+1)=lgx，則f(x)=?！镜淅?】解答下列各題： 1、已知f(x)=2x-1，g(x)=，（x≥0），-1，(x＜0)。①求f〔g(x)〕，②求g〔f(x)〕；2、已知f(x)=ln(x+1)，（x＞-1），g(x)=-x+2。，（x-1），①求f〔g(x)〕，②求g〔f(x)〕?！冀馕觥?、【知識點】①分段函數(shù)的定義與性質(zhì)；②復(fù)合函數(shù)的定義與性質(zhì)；③分段函數(shù)，復(fù)合函數(shù)求值的基本方法；【解題思路】f〔g(x)〕，中的自變量是g(x)，g(x)又是一個分段函數(shù)，從而得到f〔g(x)〕也是一個分段函數(shù)，且自變量的分段與g(x)的分段一致，從而得到函數(shù)f〔g(x)〕的解析式；g〔f(x)〕中的自變量是f(x)，由g(x)是分段函數(shù)，需先確定2x-1≥0和2x-1＜0中x的取值范圍，從而得到函數(shù)g〔f(x)〕的解析式；【詳細解答】f(x)=2x-1，g(x)=，（x≥0），f〔g(x)〕=2-1，（x≥0），g〔f(x)〕=，x≥，-1，(x＜0)；-3，(x＜0)，-1，x＜；2、【知識點】①分段函數(shù)的定義與性質(zhì)；②復(fù)合函數(shù)的定義與性質(zhì)；③分段函數(shù)，復(fù)合函數(shù)求值的基本方法；【解題思路】f〔g(x)〕，中的自變量是g(x)，g(x)的函數(shù)值需滿足-x+2＞-1或-x+2-1，從而得到f〔g(x)〕是一個分段函數(shù)，且自變量的分段為x＜3或x≥3，從而得到函數(shù)f〔g(x)〕的解析式；g〔f(x)〕中的自變量是f(x)，由f(x)是分段函數(shù)，得到g〔f(x)〕也是一個分段函數(shù)，自變量的分段與f(x)的分段一致，從而得到函數(shù)g〔f(x)〕的解析式；【詳細解答】g(x)=-x+2，f(x)=ln(x+1)，（x＞-1），f〔g(x)〕=ln(-x+3)，（x＜3），-ln(x+1)+2，（x＞-1），，（x-1），，（x≥3）；g〔f(x)〕=-+2，（x-1）；『思考問題2』（1）【典例2】的特點是：①已知兩個函數(shù)的解析式，其中一個函數(shù)是函數(shù)；②求復(fù)合函數(shù)的解析式，涉及到自變量確定的問題；（2）【典例2】是求復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式的問題，解答的基本思路是代入，由分段函數(shù)各段的定義域確定非分段函數(shù)中自變量x的取值范圍，再求復(fù)合函數(shù)的解析式?！簿毩?xí)2〕解答下列問題：1、已知f(x)=3x-6，+x（x≥0） g(x)=1(x＜0)①求f〔g(x)〕，②求g〔f(x)〕；2、已知f(x)=2x-1，g(x)=-3x+2，求f〔g(x)〕?！镜淅?】解答下列問題：1、設(shè)函數(shù)f(x)=+1，x1，則f(f(3))=（）A，x＞1，B3CD2、已知函數(shù)f(x)=f(x+1)，x＜4，3、已知函數(shù)f(x)=+1，x≥0，若f(x)=10，求f(2+3)的值；，x≥4，則x=；-2x，x＜0，4、已知實數(shù)a0，函數(shù)f(x)=2x+a，x＜1，若f(1-a)=f(1+a)，則實數(shù)a的值為；-x-2a，x≥1，5、設(shè)函數(shù)f(x)=3x-1，x＜1，則滿足f(f(a))=，的a的取值范圍是（）（2015全國高考山東卷），x≥1，A［，1］B［0，1］C［，+）D［1，+）『解析』1、【知識點】①分段函數(shù)的定義與性質(zhì)；②復(fù)合函數(shù)的定義與性質(zhì)；③復(fù)合函數(shù)函數(shù)值的求法；【解題思路】由3＞1，f(3)=，根據(jù)＜1，f()=+1=，f(f(3))=f()=+1=，D正確，選D；【詳細解答】3＞1，f(3)=，＜1，f()=+1=，f(f(3))=f()=+1=，D正確，選D；2、【知識點】①分段函數(shù)的定義與性質(zhì)；②復(fù)合函數(shù)的定義與性質(zhì)；③對數(shù)的定義與性質(zhì)；④復(fù)合函數(shù)函數(shù)值的求法；【解題思路】由3＜2+3＜4，f(2+3)=f(2+3+1)=f(3+3)，根據(jù)4＜3+3＜5，f(3+3)====；【詳細解答】3＜2+3＜4，f(2+3)=f(2+3+1)=f(3+3)，4＜3+3＜5，f(3+3)====；3、【知識點】①分段函數(shù)的定義與性質(zhì)；②復(fù)合函數(shù)的定義與性質(zhì)；③復(fù)合函數(shù)函數(shù)值的求法；【解題思路】由f(x)=10，①若x≥0，+1=10，x=3；②若x＜0，-2x=10，x=-5，綜上所述，當(dāng)f(x)=10時，x=3或x=-5；【詳細解答】f(x)=10，①若x≥0，+1=10，x=3；②若x＜0，-2x=10，x=-5，綜上所述，當(dāng)f(x)=10時，x=3或x=-5；4、【知識點】①分段函數(shù)的定義與性質(zhì)；②復(fù)合函數(shù)的定義與性質(zhì)；③復(fù)合函數(shù)函數(shù)值的求法；④方程的定義與解法；⑤分類討論的原則與方法；【解題思路】由a0，①當(dāng)0＜a時，1-a＜1,f(1-a)=3(1-a)-1=-3a+2，1+a＞1，f(1+a)=-(1+a)-2a=-3a-1，f(1-a)=f(1+a)，-3a+2=-3a-1，2=-1不成立，②當(dāng)a＜0時，1-a＞1，f(1-a)=-(1-a)-2a=-a-1，1+a＜1，f(1+a)=3(1+a)-1=3a+2，f(1-a)=f(1+a)，-a-1=3a+2，a=-，綜上所述，當(dāng)f(1-a)=f(1+a)時，a=-；【詳細解答】a0，①當(dāng)a＞0時，1-a＜1,f(1-a)=3(1-a)-1=-3a+2，1+a＞1，f(1+a)=-(1+a)-2a=-3a-1，f(1-a)=f(1+a)，-3a+2=-3a-1，2=-1不成立，②當(dāng)a＜0時，1-a＞1，f(1-a)=-(1-a)-2a=-a-1，1+a＜1，f(1+a)=3(1+a)-1=3a+2，f(1-a)=f(1+a)，-a-1=3a+2，a=-，綜上所述，當(dāng)f(1-a)=f(1+a)時，a=-；5、【知識點】①分段函數(shù)的定義與性質(zhì)；②復(fù)合函數(shù)的定義與性質(zhì)；③復(fù)合函數(shù)函數(shù)值的求法；④指數(shù)的定義與性質(zhì)；⑤分類討論的原則與方法；【解題思路】①當(dāng)a＜時，由f(a)=3a-1＜1，f(f(a))=f(3a-1)=3(3a-1)-1=-9a-4，②當(dāng)a＜1時，由f(a)=3a-1＞1，f(f(a))=f(3a-1)==，③當(dāng)a≥1，由f(a)=＞1，f(f(a))=f()==，綜上所述，當(dāng)f(f(a))=時，實數(shù)a的取值范圍是［，+），C正確，選C；【詳細解答】①當(dāng)a＜時，由f(a)=3a-1＜1，f(f(a))=f(3a-1)=3(3a-1)-1=-9a-4，②當(dāng)a＜1時，由f(a)=3a-1＞1，f(f(a))=f(3a-1)==，③當(dāng)a≥1，由f(a)=＞1，f(f(a))=f()==，綜上所述，當(dāng)f(f(a))=時，實數(shù)a的取值范圍是［，+），C正確，選C；『思考問題3』（1）【典例3】是復(fù)合函數(shù)的求值問題，解答這類問題需要理解復(fù)合函數(shù)的定義，注意復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，掌握復(fù)合函數(shù)求值的基本方法；（2）復(fù)合函數(shù)求值的基本方法是：①確定給定的自變量屬于哪一段，在此基礎(chǔ)上選定函數(shù)求值時符合的解析式并求出內(nèi)層函數(shù)g(x)的函數(shù)值；②把g(x)的函數(shù)值視為外層函數(shù)f(u)的自變量確定屬于該段的解析式，并通過運算求出結(jié)果?！簿毩?xí)3〕解答下列各題：1、已知f(x)=（1-2a）x+3a，x＜1，的值域為R，那么a的取值范圍是（）（2016唐山期末）A（-，-1］lnx，x≥1，B（-1，）C［-1，）D（0，）2、根據(jù)統(tǒng)計，一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時間（單位：分鐘）為f(x)=，x＜A，（A，c為常數(shù)），已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時30分鐘，組裝第A件產(chǎn)品，x≥A，用時15分鐘，那么c和A的值分別是（）A71,25，x＜1，B75,16C60,25D60，163、設(shè)函數(shù)f(x)=，x≥1，則使得f(x)2成立的x的取值范圍是?！镜淅?】解答下列問題：1、函數(shù)f(x)=（-4）的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A（0，+∞）B（-∞，0）C（2，+∞）D（-∞，-2）2、判斷函數(shù)f(x)=(2-3x)的單調(diào)性； 3、判斷函數(shù)f(x)=|-x-12|的單調(diào)性；4、求函數(shù)f(x)=的單調(diào)區(qū)間。5、是否存在實數(shù)a，使函數(shù)f(x)=（a-x）在閉區(qū)間［2，4］上是增函數(shù)？如果存在說明a可以取哪些值；如果不存在，請說明理由?！航馕觥?、【知識點】①復(fù)合函數(shù)的定義與性質(zhì)；②二次函數(shù)的定義與性質(zhì)；③對數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)；④復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷（或證明）的基本方法；【解題思路】設(shè)g(x)=-4，根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，確定函數(shù)f(x)的定義域，并判斷函數(shù)g(x)在定義域上的單調(diào)性，把函數(shù)g(x)視為中間變量，判斷f（g(x)）在定義域上的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷法則判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；【詳細解答】設(shè)g(x)=-4，作出函數(shù)g(x)的圖像y如圖所示，由圖知函數(shù)f(x)的定義域是（-，-2）（2，+），函數(shù)g(x)在（-，-2）上單調(diào)遞減，在（2，+）上單調(diào)遞增，0<<1，函數(shù)f（g(x)）-2-1012x在（-，-2），（2，+）上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x)在（-，-2）上單調(diào)遞增，在（2，+）上單調(diào)遞減，D正確，選D。2、【知識點】①復(fù)合函數(shù)的定義與性質(zhì)；②一次函數(shù)的定義與性質(zhì)；③對數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)；④復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷（或證明）的基本方法；【解題思路】設(shè)g(x)=2-3x，根據(jù)一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，確定函數(shù)f(x)的定義域，并判斷函數(shù)g(x)在定義域上的單調(diào)性，把函數(shù)g(x)視為中間變量，判斷f（g(x)）在定義域上的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷法則判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；y【詳細解答】設(shè)g(x)=2-3x，作出函數(shù)g(x)的圖像如圖所示，由圖知函數(shù)f(x)的定義域是（-，），函數(shù)g(x)在（-，）上單調(diào)遞減，3>1，函數(shù)0f（g(x)）)在（-，）上單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)在（-，）上單調(diào)遞減，3、【知識點】①復(fù)合函數(shù)的定義與性質(zhì)；②二次函數(shù)的定義與性質(zhì)；③對數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)；④復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷（或證明）的基本方法；【解題思路】設(shè)g(x)=|-x-12|，根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，確定函數(shù)f(x)的定義域，并判斷函數(shù)g(x)在定義域上的單調(diào)性，把函數(shù)g(x)視為中間變量，判斷f（g(x)）在定義域上的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷法則判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；y【詳細解答】設(shè)g(x)=|-x-12|，作出函數(shù)g(x)的圖像如圖所示，由圖知函數(shù)f(x)的定義域是（-，-3）（-3，4）（4，+），函數(shù)g(x)在（-，-3），（，-3-2-1012344）上單調(diào)遞減，在（-3，），（4，+）上單調(diào)遞增，0<0.5<1，函數(shù)f（g(x)）在（-，-3），（-3，），（，4），（4，+）上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x)在（-，-3），（，4）上單調(diào)遞增，在（-3，），（4，+）上單調(diào)遞減。4、【知識點】①復(fù)合函數(shù)的定義與性質(zhì)；②二次函數(shù)的定義與性質(zhì)；③指數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)；④復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷（或證明）的基本方法；【解題思路】設(shè)g(x)=-3x-4，根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，確定函數(shù)f(x)的定義域，并判斷函數(shù)g(x)在定義域上的單調(diào)性，把函數(shù)g(x)視為中間變量，判斷f（g(x)）在定義域上的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷法則判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；【詳細解答】設(shè)g(x)=-3x-4，作出函數(shù)g(x)的圖像y如圖所示，由圖知函數(shù)f(x)的定義域是R，函數(shù)g(x)在（-，）上單調(diào)遞減，在（，+）上單調(diào)遞增，e>1，函數(shù)f（g(x)）在（-，），（，+）上-2-101234x單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)在（-，）上單調(diào)遞減，在（，+）上單調(diào)遞增。5、【知識點】①復(fù)合函數(shù)的定義與性質(zhì)；②二次函數(shù)的定義與性質(zhì)；③對數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)；④復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷（或證明）的基本方法；【解題思路】設(shè)g(x)=a-x，根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，確定函數(shù)f(x)的定義域，并判斷函數(shù)g(x)在定義域上的單調(diào)性，把函數(shù)g(x)視為中間變量，判斷f（g(x)）在定義域上的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷法則判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；【詳細解答】設(shè)g(x)=a-x，作出函數(shù)g(x)的圖像y如圖所示，由圖知函數(shù)f(x)的定義域是（-，0）（，+），函數(shù)g(x)在（-，0）上單調(diào)遞減，在（，+）上單調(diào)遞增，①當(dāng)0<a<1時，函數(shù)-10xf（g(x)）在（-，0），（，+）上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x)在（-，0）上單調(diào)遞增，在（，+）上單調(diào)遞減與題設(shè)不符；②當(dāng)a>1時，函數(shù)f（g(x)）在（-，0），（，+）上單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)在（-，0）上單調(diào)遞減，在（，+）上單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)=（a-x）在閉區(qū)間［2，4］上是增函數(shù)，<2，且a>1，a>1，存在實數(shù)a（1，+），使函數(shù)f(x)=（a-x）在閉區(qū)間［2，4］上是增函數(shù)?！核伎紗栴}4』（1）【典例4】中的函數(shù)的共同特點是：①將函數(shù)解析式中的某個式子視為一個整體未知數(shù)可以得到一個簡單的函數(shù)；②簡單函數(shù)的自變量又是函數(shù)；具有這種特點的函數(shù)稱為函數(shù)；（2）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷（或證明）的法則是增減；（3）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷（或證明）的法則中的“同”是指函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性相同；“異”是指函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性相異?！簿毩?xí)4〕解答下列問題：1、判斷函數(shù)f(x)=的單調(diào)性；2、判斷函數(shù)f(x)=(3-2x)的單調(diào)性；3、判斷函數(shù)f(x)=|+2x-15|的單調(diào)性。【典例5】解答下列問題：1、函數(shù)f(x)=(xR)與g(x)=lg|x-2|分別為函數(shù)和函數(shù)（填奇、偶、既奇又偶或非奇非偶）（2012山東日照三模）2、已知函數(shù)f(x)=(a＞0,且a≠1)。（1）求函數(shù)f(x)的定義域；（2）證明函數(shù)f(x)是奇函數(shù)；（3）判斷并證明函數(shù)f(x)在定義域上的單調(diào)性；（4）求使f(x)＞0成立的x的取值范圍?！航馕觥?、【知識點】①復(fù)合函數(shù)的定義與性質(zhì)；②二次根式的定義與性質(zhì)；③對數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)；④復(fù)合函數(shù)奇偶性的判斷（或證明）的基本方法；【解題思路】由>|x|知函數(shù)f(x)的定義域為R關(guān)于原點對稱，判斷函數(shù)f(-x)與f(x)的關(guān)系，從而可判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；設(shè)u(x)=|x-2|，根據(jù)|x-2|>0得到函數(shù)g(x)的定義域為（-，2）（2，+）關(guān)于原點不對稱，可以判斷函數(shù)g(x)不具有奇偶性；【詳細解答】>|x|，x+>0在R上恒成立，函數(shù)f(x)的定義域為R關(guān)于原點對稱，f(-x)=（-x+）=（-x+）===-=-f(x)，函數(shù)f(x)是奇函數(shù)；，根據(jù)|x-2|>0得到函數(shù)g(x)的定義域為（-，2）（2，+）關(guān)于原點不對稱，函數(shù)g(x)不具有奇偶性。1