菲涅耳衍射與夫瑯禾費(fèi)衍射演示文稿

菲涅耳衍射與夫瑯禾費(fèi)衍射演示文稿目前一頁\總數(shù)二十六頁\編于十三點(diǎn)優(yōu)選菲涅耳衍射與夫瑯禾費(fèi)衍射目前二頁\總數(shù)二十六頁\編于十三點(diǎn)1.2直角坐標(biāo)系中的惠更斯—菲涅耳原理假設(shè)衍射孔徑處于平面內(nèi)，在正Z方向被照明。我們要計算平行于平面且與其法向距離為Z的平面上的波場。Z軸在這兩個平面的原點(diǎn)穿過。則惠更斯—菲涅耳原理可以表述為：而精確值為：，則：其中，距離為：在上式的推導(dǎo)中用到了兩個近似，一個是標(biāo)量理論所固有的，另一個是從孔徑到觀察點(diǎn)的距離比波長大得多的假設(shè)，即。目前三頁\總數(shù)二十六頁\編于十三點(diǎn)衍射的幾何關(guān)系示意圖：1.3.屏幕的振幅透射比一個屏幕的振幅透射比定義為緊貼屏幕后的場的復(fù)振幅與入射到屏幕上的復(fù)振幅的比值。值的范圍為0~1。目前四頁\總數(shù)二十六頁\編于十三點(diǎn)2.菲涅耳近似考慮表示式，二項式可展開為：其中，為了得到給定精度所需的項數(shù)取決于b的大小。由此將變換為：

由于棄去除Z以外各項所帶來的誤差一般很小，但是對于出現(xiàn)在指數(shù)中的，誤差就比較大，基于這個原因，在指數(shù)中保留二項式展開的兩項。于是處的場的表示式變成：這是一個卷積，可表示為：

（1）

目前五頁\總數(shù)二十六頁\編于十三點(diǎn)卷積的核為如果將因子提到積分號外，可得到另外一種形式：

（2）

（2）式是除了一個相乘因子外，它是緊靠孔徑右方的復(fù)場與一個二次相位因子的乘積的傅立葉變換。我們把結(jié)果形式（1）和（2）都叫做菲涅耳衍射積分，當(dāng)這個近似成立時，我們就說處于菲涅耳衍射區(qū)，或等效地是在孔徑的近場。菲涅耳衍射的作用相當(dāng)于一個空不變線性系統(tǒng)，必具有傳遞函數(shù)：我們近似的要點(diǎn)：把球面波的表示式換成二次相位指數(shù)函數(shù)。目前六頁\總數(shù)二十六頁\編于十三點(diǎn)在頻域中描述:（1）各個頻率分量傳遞的振幅為1（2）表示各個分量到達(dá)平面都有相同的延遲（3）各頻率分量不同，相位延遲不同，表示位相的色散（4）可看出菲衍可看作空間傳播的一種特殊情況。目前七頁\總數(shù)二十六頁\編于十三點(diǎn)

2.1.正相位or負(fù)相位相位符號不僅與二次相位指數(shù)函數(shù)有關(guān)，而且與考慮球面波的精確表示式及與光軸傳播的角度有關(guān)。因此，如果穿過空間的運(yùn)動方式是截?fù)舨ǖ陌l(fā)射更晚的部分，那么相矢量將會在順時針方向上有所進(jìn)展，相位必定會變得更負(fù)。相反，如果在空間運(yùn)動是截?fù)舨ǖ陌l(fā)射更早的部分，那么相矢量還沒有時間在順時針方向上轉(zhuǎn)那么遠(yuǎn)，而相位必定變得更正。因此，遠(yuǎn)離遠(yuǎn)點(diǎn)時相位必須在正向增加，會聚球面波時且Z仍為正，則相位減少。目前八頁\總數(shù)二十六頁\編于十三點(diǎn)

2.2.菲涅耳近似的精度菲涅耳近似的精度是由二項式棄去高于一次項的各項所引入誤差決定的。保證精度的充分條件是，棄去高次項所引進(jìn)的最大相位變化遠(yuǎn)小于1弧度。如果距離Z滿足：因而這個要求的觀察距離比較大。但是只要高次項不顯著改變菲涅耳衍射積分之值就行了，考慮上面卷積形式（2）式，如果對積分的主要貢獻(xiàn)來自的那些點(diǎn)，那么展開式的高次項的具體值就不重要了，短得多的距離就可以得到很好的精度。 目前九頁\總數(shù)二十六頁\編于十三點(diǎn)

二次相位指數(shù)函數(shù)的積分如圖：

從圖可以看出，隨著X的增大，積分之值趨于其漸進(jìn)值1，之后圍繞1振蕩，但是漲落越來越小，因此，對這個函數(shù)與另一光滑而且緩變的函數(shù)的卷積的主要貢獻(xiàn)來自-2<X<2，因?yàn)樵诖朔秶獗环e函數(shù)快速振蕩，不會對總面積造成實(shí)質(zhì)的增加。目前十頁\總數(shù)二十六頁\編于十三點(diǎn)故有，對卷積積分的貢獻(xiàn)主要來自平面上的一個正方形，其中心在點(diǎn)，寬度為。隨著孔徑后的距離z的增大，這個正方形增大。當(dāng)這個正方形完全處于孔徑的敞開部分之內(nèi)時，在距離z處觀察到的場，在很好的近似程度上就是如果沒有這個孔徑時的場。當(dāng)這個正方形完全處于孔徑的障礙的后面時，觀察點(diǎn)所在的區(qū)域在很好的近似程度上就是一個暗區(qū)，暗示由于孔徑的陰影。當(dāng)這個正方形跨在孔徑的敞開和障礙兩部分之間時，觀察到的場處于亮區(qū)與暗區(qū)之間的過渡區(qū)內(nèi)。對于一維矩形狹縫的情況，可以證明，亮區(qū)與過渡區(qū)之間的邊界，以及暗區(qū)與過渡區(qū)之間的邊界，都是拋物線。注意，如果振幅透射比和/或衍射孔徑的照明不是一個比較光滑和緩變的函數(shù)，那么上述結(jié)論不一定成立。不過，只要衍射孔徑不包含精細(xì)結(jié)構(gòu)，并且他們由均勻的平面波照明，上述結(jié)論就成立。目前十一頁\總數(shù)二十六頁\編于十三點(diǎn)矩形狹縫區(qū)域示意圖如果允許z趨于零，也就是說允許觀察點(diǎn)趨近衍射孔徑，那么二維的二次相位函數(shù)在極限下的行為就像是一個函數(shù)，產(chǎn)生一個與孔徑中的場全同的場。這樣的處理方法將預(yù)言：在孔徑后觀察到的場只不過是孔徑上的場在觀察平面上的投影。相關(guān)穩(wěn)相原理和菲涅耳近似精度的考察都有結(jié)論：一直到非常接近孔徑的距離，菲涅耳近似的精度都非常之好。目前十二頁\總數(shù)二十六頁\編于十三點(diǎn)

2.3.菲涅耳近似和角譜現(xiàn)從角譜分析方法的觀點(diǎn)來理解菲涅耳近似的涵義。自由空間傳播的傳遞函數(shù)為：菲涅耳衍射的脈沖響應(yīng)做傅里葉變換，得到菲涅耳衍射的傳遞函數(shù)：由此可見，在菲涅耳近似中，表示傳播的一般的空間相位彌散化為一個二次相位彌散。上式右端的因子代表一個恒定的相位延遲，另一項則代表在不同方向行進(jìn)的平面波所遭受的不同的相位延遲。從角譜的視角來看，只要涉及的衍射角小，菲涅耳近似就是夠精確的，因此，菲涅耳近似和傍軸近似是等價的。目前十三頁\總數(shù)二十六頁\編于十三點(diǎn)

2.4.兩個共焦球面之間的菲涅耳衍射共焦的兩個球面，如果一個球面的球心在另一個球面上，兩個球面和前面所用的平面相切，切點(diǎn)是Z軸穿過這些平面的交點(diǎn)，距離是兩個球冠之間的距離。寫出兩球面的方程，通過方程求出兩個球冠上兩點(diǎn)的距離，再通過二項式展開化簡（即對球面做傍軸近似）得到菲涅耳衍射方程：目前十四頁\總數(shù)二十六頁\編于十三點(diǎn)它表示除了常數(shù)相乘因子和標(biāo)度因子外，右邊的球冠上觀察到的場是左邊的帽形球面上的場的傅里葉變換。當(dāng)分析球冠間的衍射時，用瑞利索末菲的結(jié)果作為計算的基礎(chǔ)實(shí)際上是不對的，因?yàn)檫@個結(jié)果顯然只對平面孔徑造成的衍射才成立。但是，基爾霍夫的分析仍然正確，只要傍軸條件成立，它的預(yù)言同瑞利索末菲的預(yù)言是一樣的。目前十五頁\總數(shù)二十六頁\編于十三點(diǎn)

3.夫瑯禾費(fèi)衍射考慮另一個條件更苛刻的近似，這個近似如果成立的話，將會對計算有極大的簡化。在菲涅耳衍射區(qū)內(nèi)，觀察到的場可以通過對孔徑上的場分布與二次相位函數(shù)的乘積做傅里葉變換求出。如果除菲涅耳近似外還滿足更強(qiáng)的（夫瑯禾費(fèi)）近似Z>>那么（2）式中積分號下的二次相位因子在整個孔徑上近似等于1，而觀察的場就可以從孔徑上的場分布本身的傅里葉變換直接求出，因此在夫瑯禾費(fèi)衍射區(qū)內(nèi)，如前所述，在光學(xué)頻段，夫瑯禾費(fèi)近似成立所要求的條件可以是相當(dāng)苛刻的。例如，當(dāng)波長為0.6(紅光）、孔徑寬度為2.5cm（一英寸）時，觀察距離Z必須滿足Z>>1600m。目前十六頁\總數(shù)二十六頁\編于十三點(diǎn)但是孔徑用一個向觀察者會聚的球面波照明，或者將一個會聚透鏡放在觀察者和孔徑之間的適當(dāng)位置上，夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣能夠在比指定的距離更近的距離上觀察到。最后，既然夫瑯禾費(fèi)衍射只是菲涅耳衍射的特殊情形，傳遞函數(shù)式（3）就應(yīng)該對菲涅耳衍射與夫瑯禾費(fèi)衍射二者都有效。這就是說，永遠(yuǎn)能以菲涅耳近似的全部精度計算夫瑯禾費(fèi)內(nèi)的衍射場。目前十七頁\總數(shù)二十六頁\編于十三點(diǎn)

4.夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣的例子計算夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣的步驟：振幅透射比孔徑上的場分布強(qiáng)度分布夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣單位振幅的單色平面波垂直入射照明對場分布做傅立葉變換傅里葉逆變換目前十八頁\總數(shù)二十六頁\編于十三點(diǎn)

4.1.矩形孔徑其振幅透射比為孔徑產(chǎn)生的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣為：強(qiáng)度分布為：夫瑯禾費(fèi)圖樣沿X軸的截面和矩形孔徑所產(chǎn)生的衍射圖樣的照片：

目前十九頁\總數(shù)二十六頁\編于十三點(diǎn)

4.2.圓形孔徑振幅透射比為：夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣的振幅分布為：強(qiáng)度分布為：愛麗圖樣的截面圖和圓孔徑產(chǎn)生的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣的照片：

目前二十頁\總數(shù)二十六頁\編于十三點(diǎn)4.3.薄正弦振幅光柵透射比函數(shù)：夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣為：強(qiáng)度分布為：薄正弦振幅光柵的衍射圖樣為：目前二十一頁\總數(shù)二十六頁\編于十三點(diǎn)由于一部分入射光被光柵吸收，此外，孔徑上的透射比的正弦式變化將中央衍射圖樣中的一部分能量偏轉(zhuǎn)到新加的兩個邊旁圖樣中去了。中央衍射圖樣稱為夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣的零級，而兩個邊旁圖樣稱為一級。另一個在全息術(shù)和光學(xué)信息處理中有某些實(shí)用價值的量是光柵的衍射效率。衍射效率的定義為入射的光功率中有多少份額出現(xiàn)在該光柵的某個單一的衍射級上。目前二十二頁\總數(shù)二十六頁\編于十三點(diǎn)

4.4.薄正弦相位光柵振幅透射比函數(shù)定義為：緊貼屏幕后的場分布為：假設(shè)在限界孔徑內(nèi)有光柵的許多個周期（）,那么各個衍射項之間的交疊可以忽略，相應(yīng)的強(qiáng)度圖樣變?yōu)椋阂虼?，正弦相位光柵的引入把能量從零級衍射偏轉(zhuǎn)到許多更高級的衍射上去。以下是相位延遲的峰峰值m為8弧度時強(qiáng)度圖樣的截面圖。目前二十三頁\總數(shù)二十六頁\編于十三點(diǎn)根據(jù)系數(shù)大小的平方，可以求得薄正弦相位光柵的衍射效率。于是此光柵的q級衍射效率為：下圖為不同q值下的和的關(guān)系曲線圖：由圖可知，其比薄正弦振幅光柵的效率高得多，這個光柵不吸收光功率，因此出現(xiàn)在各級之上的功率之和為常數(shù)，不隨m而變，并且等于入射功率。目前二十四頁\總數(shù)二十六頁\編于十三點(diǎn)

4.菲涅耳衍射的例子本節(jié)主要講述了兩種計算菲涅耳衍射圖樣的方法，第一種為方孔徑產(chǎn)生的菲涅耳衍射下，基于衍射計算的卷積表示的經(jīng)典方法的應(yīng)用；第二個介紹了塔爾伯特成像的情況，主要說明了頻域方法的巨大優(yōu)點(diǎn)。4.1.方孔徑的菲涅耳衍射設(shè)一個寬度為2w的方