2023年小升初數(shù)學必考應用題大全

小升初數(shù)學必考應用題應用題類型：1歸一問題【含義】在解題時，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為標準，求出所規(guī)定的數(shù)量。這類應用題叫做歸一問題?！緮?shù)量關(guān)系】總量÷份數(shù)＝1份數(shù)量1份數(shù)量×所占份數(shù)＝所求幾份的數(shù)量另一總量÷（總量÷份數(shù)）＝所求份數(shù)【解題思緒和方法】先求出單一量，以單一量為標準，求出所規(guī)定的數(shù)量。例1買5支鉛筆要0.6元錢，買同樣的鉛筆16支，需要多少錢？解（1）買1支鉛筆多少錢？0.6÷5＝0.12（元）（2）買16支鉛筆需要多少錢？0.12×16＝1.92（元）列成綜合算式0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元）答：需要1.92元。例23臺拖拉機3天耕地90公頃，照這樣計算，5臺拖拉機6天耕地多少公頃？解（1）1臺拖拉機1天耕地多少公頃？90÷3÷3＝10（公頃）（2）5臺拖拉機6天耕地多少公頃？10×5×6＝300（公頃）列成綜合算式90÷3÷3×5×6＝10×30＝300（公頃）答：5臺拖拉機6天耕地300公頃。例35輛汽車4次可以運送100噸鋼材，假如用同樣的7輛汽車運送105噸鋼材，需要運幾次？解（1）1輛汽車1次能運多少噸鋼材？100÷5÷4＝5（噸）（2）7輛汽車1次能運多少噸鋼材？5×7＝35（噸）（3）105噸鋼材7輛汽車需要運幾次？105÷35＝3（次）列成綜合算式105÷（100÷5÷4×7）＝3（次）答：需要運3次。2歸總問題【含義】解題時，經(jīng)常先找出“總數(shù)量”，然后再根據(jù)其它條件算出所求的問題，叫歸總問題。所謂“總數(shù)量”是指貨品的總價、幾小時（幾天）的總工作量、幾公畝地上的總產(chǎn)量、幾小時行的總路程等?！緮?shù)量關(guān)系】1份數(shù)量×份數(shù)＝總量總量÷1份數(shù)量＝份數(shù)總量÷另一份數(shù)＝另一每份數(shù)量【解題思緒和方法】先求出總數(shù)量，再根據(jù)題意得出所求的數(shù)量。例1服裝廠本來做一套衣服用布3.2米，改善裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。本來做791套衣服的布，現(xiàn)在可以做多少套？解（1）這批布總共有多少米？3.2×791＝2531.2（米）（2）現(xiàn)在可以做多少套？2531.2÷2.8＝904（套）列成綜合算式3.2×791÷2.8＝904（套）答：現(xiàn)在可以做904套。例2小華天天讀24頁書，12天讀完了《紅巖》一書。小明天天讀36頁書，幾天可以讀完《紅巖》？解（1）《紅巖》這本書總共多少頁？24×12＝288（頁）（2）小明幾天可以讀完《紅巖》？288÷36＝8（天）列成綜合算式24×12÷36＝8（天）答：小明8天可以讀完《紅巖》。例3食堂運來一批蔬菜，原計劃天天吃50公斤，30天慢慢消費完這批蔬菜。后來根據(jù)大家的意見，天天比原計劃多吃10公斤，這批蔬菜可以吃多少天？解（1）這批蔬菜共有多少公斤？50×30＝1500（公斤）（2）這批蔬菜可以吃多少天？1500÷（50＋10）＝25（天）列成綜合算式50×30÷（50＋10）＝1500÷60＝25（天）答：這批蔬菜可以吃25天。3和差問題【含義】已知兩個數(shù)量的和與差，求這兩個數(shù)量各是多少，這類應用題叫和差問題?！緮?shù)量關(guān)系】大數(shù)＝（和＋差）÷2小數(shù)＝（和－差）÷2【解題思緒和方法】簡樸的題目可以直接套用公式；復雜的題目變通后再用公式。例1甲乙兩班共有學生98人，甲班比乙班多6人，求兩班各有多少人？解甲班人數(shù)＝（98＋6）÷2＝52（人）乙班人數(shù)＝（98－6）÷2＝46（人）答：甲班有52人，乙班有46人。例2長方形的長和寬之和為18厘米，長比寬多2厘米，求長方形的面積。解長＝（18＋2）÷2＝10（厘米）寬＝（18－2）÷2＝8（厘米）長方形的面積＝10×8＝80（平方厘米）答：長方形的面積為80平方厘米。例3有甲乙丙三袋化肥，甲乙兩袋共重32公斤，乙丙兩袋共重30公斤，甲丙兩袋共重22公斤，求三袋化肥各重多少公斤。解甲乙兩袋、乙丙兩袋都具有乙，從中可以看出甲比丙多（32－30）＝2公斤，且甲是大數(shù)，丙是小數(shù)。由此可知甲袋化肥重量＝（22＋2）÷2＝12（公斤）丙袋化肥重量＝（22－2）÷2＝10（公斤）乙袋化肥重量＝32－12＝20（公斤）答：甲袋化肥重12公斤，乙袋化肥重20公斤，丙袋化肥重10公斤。例4甲乙兩車本來共裝蘋果97筐，從甲車取下14筐放到乙車上，結(jié)果甲車比乙車還多3筐，兩車本來各裝蘋果多少筐？解“從甲車取下14筐放到乙車上，結(jié)果甲車比乙車還多3筐”，這說明甲車是大數(shù)，乙車是小數(shù)，甲與乙的差是（14×2＋3），甲與乙的和是97，因此甲車筐數(shù)＝（97＋14×2＋3）÷2＝64（筐）乙車筐數(shù)＝97－64＝33（筐）答：甲車本來裝蘋果64筐，乙車本來裝蘋果33筐。4和倍問題【含義】已知兩個數(shù)的和及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），規(guī)定這兩個數(shù)各是多少，這類應用題叫做和倍問題。【數(shù)量關(guān)系】總和÷（幾倍＋1）＝較小的數(shù)總和－較小的數(shù)＝較大的數(shù)較小的數(shù)×幾倍＝較大的數(shù)【解題思緒和方法】簡樸的題目直接運用公式，復雜的題目變通后運用公式。例1果園里有杏樹和桃樹共248棵，桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，求杏樹、桃樹各多少棵？解（1）杏樹有多少棵？248÷（3＋1）＝62（棵）（2）桃樹有多少棵？62×3＝186（棵）答：杏樹有62棵，桃樹有186棵。例2東西兩個倉庫共存糧480噸，東庫存糧數(shù)是西庫存糧數(shù)的1.4倍，求兩庫各存糧多少噸？解（1）西庫存糧數(shù)＝480÷（1.4＋1）＝200（噸）（2）東庫存糧數(shù)＝480－200＝280（噸）答：東庫存糧280噸，西庫存糧200噸。例3甲站原有車52輛，乙站原有車32輛，若天天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，幾天后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍？解天天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，相稱于天天從甲站開往乙站（28－24）輛。把幾天以后甲站的車輛數(shù)當作1倍量，這時乙站的車輛數(shù)就是2倍量，兩站的車輛總數(shù)（52＋32）就相稱于（2＋1）倍，那么，幾天以后甲站的車輛數(shù)減少為（52＋32）÷（2＋1）＝28（輛）所求天數(shù)為（52－28）÷（28－24）＝6（天）答：6天以后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍。例4甲乙丙三數(shù)之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三數(shù)各是多少？解乙丙兩數(shù)都與甲數(shù)有直接關(guān)系，因此把甲數(shù)作為1倍量。由于乙比甲的2倍少4，所以給乙加上4，乙數(shù)就變成甲數(shù)的2倍；又由于丙比甲的3倍多6，所以丙數(shù)減去6就變?yōu)榧讛?shù)的3倍；這時（170＋4－6）就相稱于（1＋2＋3）倍。那么，甲數(shù)＝（170＋4－6）÷（1＋2＋3）＝28乙數(shù)＝28×2－4＝52丙數(shù)＝28×3＋6＝90答：甲數(shù)是28，乙數(shù)是52，丙數(shù)是90。5差倍問題【含義】已知兩個數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），規(guī)定這兩個數(shù)各是多少，這類應用題叫做差倍問題?！緮?shù)量關(guān)系】兩個數(shù)的差÷（幾倍－1）＝較小的數(shù)較小的數(shù)×幾倍＝較大的數(shù)【解題思緒和方法】簡樸的題目直接運用公式，復雜的題目變通后運用公式。例1果園里桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，并且桃樹比杏樹多124棵。求杏樹、桃樹各多少棵？解（1）杏樹有多少棵？124÷（3－1）＝62（棵）（2）桃樹有多少棵？62×3＝186（棵）答：果園里杏樹是62棵，桃樹是186棵。例2爸爸比兒子大27歲，今年，爸爸的年齡是兒子年齡的4倍，求父子二人今年各是多少歲？解（1）兒子年齡＝27÷（4－1）＝9（歲）（2）爸爸年齡＝9×4＝36（歲）答：父子二人今年的年齡分別是36歲和9歲。例3商場改革經(jīng)營管理辦法后，本月賺錢比上月賺錢的2倍還多12萬元，又知本月賺錢比上月賺錢多30萬元，求這兩個月賺錢各是多少萬元？解假如把上月賺錢作為1倍量，則（30－12）萬元就相稱于上月賺錢的（2－1）倍，因此上月賺錢＝（30－12）÷（2－1）＝18（萬元）本月賺錢＝18＋30＝48（萬元）答：上月賺錢是18萬元，本月賺錢是48萬元。例4糧庫有94噸小麥和138噸玉米，假如天天運出小麥和玉米各是9噸，問幾天后剩下的玉米是小麥的3倍？解由于天天運出的小麥和玉米的數(shù)量相等，所以剩下的數(shù)量差等于本來的數(shù)量差（138－94）。把幾天后剩下的小麥看作1倍量，則幾天后剩下的玉米就是3倍量，那么，（138－94）就相稱于（3－1）倍，因此剩下的小麥數(shù)量＝（138－94）÷（3－1）＝22（噸）運出的小麥數(shù)量＝94－22＝72（噸）運糧的天數(shù)＝72÷9＝8（天）答：8天以后剩下的玉米是小麥的3倍。6倍比問題【含義】有兩個已知的同類量，其中一個量是另一個量的若干倍，解題時先求出這個倍數(shù)，再用倍比的方法算出規(guī)定的數(shù)，這類應用題叫做倍比問題?！緮?shù)量關(guān)系】總量÷一個數(shù)量＝倍數(shù)另一個數(shù)量×倍數(shù)＝另一總量【解題思緒和方法】先求出倍數(shù)，再用倍比關(guān)系求出規(guī)定的數(shù)。例1100公斤油菜籽可以榨油40公斤，現(xiàn)在有油菜籽3700公斤，可以榨油多少？解（1）3700公斤是100公斤的多少倍？3700÷100＝37（倍）（2）可以榨油多少公斤？40×37＝1480（公斤）列成綜合算式40×（3700÷100）＝1480（公斤）答：可以榨油1480公斤。例2今年植樹節(jié)這天，某小學300名師生共植樹400棵，照這樣計算，全縣48000名師生共植樹多少棵？解（1）48000名是300名的多少倍？48000÷300＝160（倍）（2）共植樹多少棵？400×160＝64000（棵）列成綜合算式400×（48000÷300）＝64000（棵）答：全縣48000名師生共植樹64000棵。例3鳳翔縣今年蘋果大豐收，田家莊一戶人家4畝果園收入11111元，照這樣計算，全鄉(xiāng)800畝果園共收入多少元？全縣16000畝果園共收入多少元？解（1）800畝是4畝的幾倍？800÷4＝200（倍）（2）800畝收入多少元？11111×200＝2222200（元）（3）16000畝是800畝的幾倍？16000÷800＝20（倍）（4）16000畝收入多少元？2222200×20＝44444000（元）答：全鄉(xiāng)800畝果園共收入2222200元，全縣16000畝果園共收入44444000元。7相遇問題【含義】兩個運動的物體同時由兩地出發(fā)相向而行，在途中相遇。這類應用題叫做相遇問題?！緮?shù)量關(guān)系】相遇時間＝總路程÷（甲速＋乙速）總路程＝（甲速＋乙速）×相遇時間【解題思緒和方法】簡樸的題目可直接運用公式，復雜的題目變通后再運用公式。例1南京到上海的水路長392千米，同時從兩港各開出一艘輪船相對而行，從南京開出的船每小時行28千米，從上海開出的船每小時行21千米，通過幾小時兩船相遇？解392÷（28＋21）＝8（小時）答：通過8小時兩船相遇。例2小李和小劉在周長為400米的環(huán)形跑道上跑步，小李每秒鐘跑5米，小劉每秒鐘跑3米，他們從同一地點同時出發(fā)，反向而跑，那么，二人從出發(fā)到第二次相遇需多長時間？解“第二次相遇”可以理解為二人跑了兩圈。因此總路程為400×2相遇時間＝（400×2）÷（5＋3）＝100（秒）答：二人從出發(fā)到第二次相遇需100秒時間。例3甲乙二人同時從兩地騎自行車相向而行，甲每小時行15千米，乙每小時行13千米，兩人在距中點3千米處相遇，求兩地的距離。解“兩人在距中點3千米處相遇”是對的理解本題題意的關(guān)鍵。從題中可知甲騎得快，乙騎得慢，甲過了中點3千米，乙距中點3千米，就是說甲比乙多走的路程是（3×2）千米，因此，相遇時間＝（3×2）÷（15－13）＝3（小時）兩地距離＝（15＋13）×3＝84（千米）答：兩地距離是84千米。8追及問題【含義】兩個運動物體在不同地點同時出發(fā)（或者在同一地點而不是同時出發(fā)，或者在不同地點又不是同時出發(fā)）作同向運動，在后面的，行進速度要快些，在前面的，行進速度較慢些，在一定期間之內(nèi)，后面的追上前面的物體。這類應用題就叫做追及問題?！緮?shù)量關(guān)系】追及時間＝追及路程÷（快速－慢速）追及路程＝（快速－慢速）×追及時間【解題思緒和方法】簡樸的題目直接運用公式，復雜的題目變通后運用公式。例1好馬天天走120千米，劣馬天天走75千米，劣馬先走12天，好馬幾天能追上劣馬？解（1）劣馬先走12天能走多少千米？75×12＝900（千米）（2）好馬幾天追上劣馬？900÷（120－75）＝20（天）列成綜合算式75×12÷（120－75）＝900÷45＝20（天）答：好馬20天能追上劣馬。例2小明和小亮在200米環(huán)形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他們從同一地點同時出發(fā)，同向而跑。小明第一次追上小亮時跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。解小明第一次追上小亮時比小亮多跑一圈，即200米，此時小亮跑了（500－200）米，要知小亮的速度，須知追及時間，即小明跑500米所用的時間。又知小明跑200米用40秒，則跑500米用［40×（500÷200）］秒，所以小亮的速度是（500－200）÷［40×（500÷200）］＝300÷100＝3（米）答：小亮的速度是每秒3米。例3我人民解放軍追擊一股逃竄的敵人，敵人在下午16點開始從甲地以每小時10千米的速度逃跑，解放軍在晚上22點接到命令，以每小時30千米的速度開始從乙地追擊。已知甲乙兩地相距60千米，問解放軍幾個小時可以追上敵人？解敵人逃跑時間與解放軍追擊時間的時差是（22－16）小時，這段時間敵人逃跑的路程是［10×（22－16）］千米，甲乙兩地相距60千米。由此推知追及時間＝［10×（22－16）＋60］÷（30－10）＝120÷20＝6（小時）答：解放軍在6小時后可以追上敵人。例4一輛客車從甲站開往乙站，每小時行48千米；一輛貨車同時從乙站開往甲站，每小時行40千米，兩車在距兩站中點16千米處相遇，求甲乙兩站的距離。解這道題可以由相遇問題轉(zhuǎn)化為追及問題來解決。從題中可知客車落后于貨車（16×2）千米，客車追上貨車的時間就是前面所說的相遇時間，這個時間為16×2÷（48－40）＝4（小時）所以兩站間的距離為（48＋40）×4＝352（千米）列成綜合算式（48＋40）×［16×2÷（48－40）］＝88×4＝352（千米）答：甲乙兩站的距離是352千米。例5兄妹二人同時由家上學，哥哥每分鐘走90米，妹妹每分鐘走60米。哥哥到校門口時發(fā)現(xiàn)忘掉帶課本，立即沿原路回家去取，行至離校180米處和妹妹相遇。問他們家離學校有多遠？解規(guī)定距離，速度已知，所以關(guān)鍵是求出相遇時間。從題中可知，在相同時間（從出發(fā)到相遇）內(nèi)哥哥比妹妹多走（180×2）米，這是由于哥哥比妹妹每分鐘多走（90－60）米，那么，二人從家出走到相遇所用時間為180×2÷（90－60）＝12（分鐘）家離學校的距離為90×12－180＝900（米）答：家離學校有900米遠。例6孫亮打算上課前5分鐘到學校，他以每小時4千米的速度從家步行去學校，當他走了1千米時，發(fā)現(xiàn)手表慢了10分鐘，因此立即跑步前進，到學校恰好準時上課。后來算了一下，假如孫亮從家一開始就跑步，可比本來步行早9分鐘到學校。求孫亮跑步的速度。解手表慢了10分鐘，就等于晚出發(fā)10分鐘，假如按原速走下去，就要遲到（10－5）分鐘，后段路程跑步恰準時到學校，說明后段路程跑比走少用了（10－5）分鐘。假如從家一開始就跑步，可比步行少9分鐘，由此可知，行1千米，跑步比步行少用［9－（10－5）］分鐘。所以步行1千米所用時間為1÷［9－（10－5）］＝0.25（小時）＝15（分鐘）跑步1千米所用時間為15－［9－（10－5）］＝11（分鐘）跑步速度為每小時1÷11／60＝5.5（千米）答：孫亮跑步速度為每小時5.5千米。9植樹問題【含義】按相等的距離植樹，在距離、棵距、棵數(shù)這三個量之間，已知其中的兩個量，規(guī)定第三個量，這類應用題叫做植樹問題?！緮?shù)量關(guān)系】線形植樹棵數(shù)＝距離÷棵距＋1環(huán)形植樹棵數(shù)＝距離÷棵距方形植樹棵數(shù)＝距離÷棵距－4三角形植樹棵數(shù)＝距離÷棵距－3面積植樹棵數(shù)＝面積÷（棵距×行距）【解題思緒和方法】先弄清楚植樹問題的類型，然后可以運用公式。例1一條河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，頭尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？解136÷2＋1＝68＋1＝69（棵）答：一共要栽69棵垂柳。例2一個圓形池塘周長為400米，在岸邊每隔4米栽一棵白楊樹，一共能栽多少棵白楊樹？解400÷4＝100（棵）答：一共能栽100棵白楊樹。例3一個正方形的運動場，每邊長220米，每隔8米安裝一個照明燈，一共可以安裝多少個照明燈？解220×4÷8－4＝110－4＝106（個）答：一共可以安裝106個照明燈。例4給一個面積為96平方米的住宅鋪設(shè)地板磚，所用地板磚的長和寬分別是60厘米和40厘米，問至少需要多少塊地板磚？解96÷（0.6×0.4）＝96÷0.24＝400（塊）答：至少需要400塊地板磚。例5一座大橋長500米，給橋兩邊的電桿上安裝路燈，若每隔50米有一個電桿，每個電桿上安裝2盞路燈，一共可以安裝多少盞路燈？解（1）橋的一邊有多少個電桿？500÷50＋1＝11（個）（2）橋的兩邊有多少個電桿？11×2＝22（個）（3）大橋兩邊可安裝多少盞路燈？22×2＝44（盞）答：大橋兩邊一共可以安裝44盞路燈。10年齡問題【含義】這類問題是根據(jù)題目的內(nèi)容而得名，它的重要特點是兩人的年齡差不變，但是，兩人年齡之間的倍數(shù)關(guān)系隨著年齡的增長在發(fā)生變化?！緮?shù)量關(guān)系】年齡問題往往與和差、和倍、差倍問題有著密切聯(lián)系，特別與差倍問題的解題思緒是一致的，要緊緊抓住“年齡差不變”這個特點?！窘忸}思緒和方法】可以運用“差倍問題”的解題思緒和方法。兩個數(shù)的差÷（幾倍－1）＝較小的數(shù)例1爸爸今年35歲，亮亮今年5歲，今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍？明年呢？解35÷5＝7（倍）（35+1）÷（5+1）＝6（倍）答：今年爸爸的年齡是亮亮的7倍，明年爸爸的年齡是亮亮的6倍。例2母親今年37歲，女兒今年7歲，幾年后母親的年齡是女兒的4倍？解（1）母親比女兒的年齡大多少歲？37－7＝30（歲）（2）幾年后母親的年齡是女兒的4倍？30÷（4－1）－7＝3（年）列成綜合算式（37－7）÷（4－1）－7＝3（年）答：3年后母親的年齡是女兒的4倍。例33年前父子的年齡和是49歲，今年父親的年齡是兒子年齡的4倍，父子今年各多少歲？解今年父子的年齡和應當比3年前增長（3×2）歲，今年二人的年齡和為49＋3×2＝55（歲）把今年兒子年齡作為1倍量，則今年父子年齡和相稱于（4＋1）倍，因此，今年兒子年齡為55÷（4＋1）＝11（歲）今年父親年齡為11×4＝44（歲）答：今年父親年齡是44歲，兒子年齡是11歲。例4甲對乙說：“當我的歲數(shù)曾經(jīng)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時，你才4歲”。乙對甲說：“當我的歲數(shù)將來是你現(xiàn)在的歲數(shù)時，你將61歲”。求甲乙現(xiàn)在的歲數(shù)各是多少？（可用方程解）解這里涉及到三個年份：過去某一年、今年、將來某一年。列表分析：

過去某一年今年將來某一年甲□歲△歲61歲乙4歲□歲△歲表中兩個“□”表達同一個數(shù)，兩個“△”表達同一個數(shù)。由于兩個人的年齡差總相等：□－4＝△－□＝61－△，也就是4，□，△，61成等差數(shù)列，所以，61應當比4大3個年齡差，因此二人年齡差為（61－4）÷3＝19（歲）甲今年的歲數(shù)為△＝61－19＝42（歲）乙今年的歲數(shù)為□＝42－19＝23（歲）答：甲今年的歲數(shù)是42歲，乙今年的歲數(shù)是23歲。11列車問題【含義】這是與列車行駛有關(guān)的一些問題，解答時要注意列車車身的長度?！緮?shù)量關(guān)系】火車過橋：過橋時間＝（車長＋橋長）÷車速火車追及：追及時間＝（甲車長＋乙車長＋距離）÷（甲車速－乙車速）火車相遇：相遇時間＝（甲車長＋乙車長＋距離）÷（甲車速＋乙車速）【解題思緒和方法】大多數(shù)情況可以直接運用數(shù)量關(guān)系的公式。例1一座大橋長2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過大橋，從車頭開上橋到車尾離開橋共需要3分鐘。這列火車長多少米？解火車3分鐘所行的路程，就是橋長與火車車身長度的和。（1）火車3分鐘行多少米？900×3＝2700（米）（2）這列火車長多少米？2700－2400＝300（米）列成綜合算式900×3－2400＝300（米）答：這列火車長300米。例2一列長200米的火車以每秒8米的速度通過一座大橋，用了2分5秒鐘時間，求大橋的長度是多少米？解火車過橋所用的時間是2分5秒＝125秒，所走的路程是（8×125）米，這段路程就是（200米＋橋長），所以，橋長為8×125－200＝800（米）答：大橋的長度是800米。例3一列長225米的慢車以每秒17米的速度行駛，一列長140米的快車以每秒22米的速度在后面追趕，求快車從追上到追過慢車需要多長時間？解從追上到追過，快車比慢車要多行（225＋140）米，而快車比慢車每秒多行（22－17）米，因此，所求的時間為（225＋140）÷（22－17）＝73（秒）答：需要73秒。例4一列長150米的列車以每秒22米的速度行駛，有一個扳道工人以每秒3米的速度迎面走來，那么，火車從工人身旁駛過需要多少時間？解假如把人看作一列長度為零的火車，原題就相稱于火車相遇問題。150÷（22＋3）＝6（秒）答：火車從工人身旁駛過需要6秒鐘。例5一列火車穿越一條長2023米的隧道用了88秒，以同樣的速度通過一條長1250米的大橋用了58秒。求這列火車的車速和車身長度各是多少？解車速和車長都沒有變，但通過隧道和大橋所用的時間不同，是由于隧道比大橋長?？芍疖囋冢?8－58）秒的時間內(nèi)行駛了（2023－1250）米的路程，因此，火車的車速為每秒（2023－1250）÷（88－58）＝25（米）進而可知，車長和橋長的和為（25×58）米，因此，車長為25×58－1250＝200（米）答：這列火車的車速是每秒25米，車身長200米。13盈虧問題【含義】根據(jù)一定的人數(shù)，分派一定的物品，在兩次分派中，一次有余（盈），一次局限性（虧），或兩次都有余，或兩次都局限性，求人數(shù)或物品數(shù)，這類應用題叫做盈虧問題?！緮?shù)量關(guān)系】一般地說，在兩次分派中，假如一次盈，一次虧，則有：參與分派總?cè)藬?shù)＝（盈＋虧）÷分派差假如兩次都盈或都虧，則有：參與分派總?cè)藬?shù)＝（大盈－小盈）÷分派差參與分派總?cè)藬?shù)＝（大虧－小虧）÷分派差【解題思緒和方法】大多數(shù)情況可以直接運用數(shù)量關(guān)系的公式。例1給幼兒園小朋友分蘋果，若每人分3個就余11個；若每人分4個就少1個。問有多少小朋友？有多少個蘋果？解按照“參與分派的總?cè)藬?shù)＝（盈＋虧）÷分派差”的數(shù)量關(guān)系：（1）有小朋友多少人？（11＋1）÷（4－3）＝12（人）（2）有多少個蘋果？3×12＋11＝47（個）答：有小朋友12人，有47個蘋果。例2修一條公路，假如天天修260米，修完全長就得延長8天；假如天天修300米，修完全長仍得延長4天。這條路全長多少米？解題中原定完畢任務的天數(shù)，就相稱于“參與分派的總?cè)藬?shù)”，按照“參與分派的總?cè)藬?shù)＝（大虧－小虧）÷分派差”的數(shù)量關(guān)系，可以得知原定完畢任務的天數(shù)為（260×8－300×4）÷（300－260）＝22（天）這條路全長為300×（22＋4）＝7800（米）答：這條路全長7800米。例3學校組織春游，假如每輛車坐40人，就余下30人；假如每輛車坐45人，就剛好坐完。問有多少車？多少人？解本題中的車輛數(shù)就相稱于“參與分派的總?cè)藬?shù)”，于是就有（1）有多少車？（30－0）÷（45－40）＝6（輛）（2）有多少人？40×6＋30＝270（人）答：有6輛車，有270人。14工程問題【含義】工程問題重要研究工作量、工作效率和工作時間三者之間的關(guān)系。這類問題在已知條件中，經(jīng)常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出“一項工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時，經(jīng)常用單位“1”表達工作總量?！緮?shù)量關(guān)系】解答工程問題的關(guān)鍵是把工作總量看作“1”，這樣，工作效率就是工作時間的倒數(shù)（它表達單位時間內(nèi)完畢工作總量的幾分之幾），進而就可以根據(jù)工作量、工作效率、工作時間三者之間的關(guān)系列出算式。工作量＝工作效率×工作時間工作時間＝工作量÷工作效率工作時間＝總工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）【解題思緒和方法】變通后可以運用上述數(shù)量關(guān)系的公式。例1一項工程，甲隊單獨做需要10天完畢，乙隊單獨做需要15天完畢，現(xiàn)在兩隊合作，需要幾天完畢？解題中的“一項工程”是工作總量，由于沒有給出這項工程的具體數(shù)量，因此，把此項工程看作單位“1”。由于甲隊獨做需10天完畢，那么天天完畢這項工程的1/10；乙隊單獨做需15天完畢，天天完畢這項工程的1/15；兩隊合做，天天可以完畢這項工程的（1/10＋1/15）。由此可以列出算式：1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天）答：兩隊合做需要6天完畢。例2一批零件，甲獨做6小時完畢，乙獨做8小時完畢。現(xiàn)在兩人合做，完畢任務時甲比乙多做24個，求這批零件共有多少個？解設(shè)總工作量為1，則甲每小時完畢1/6，乙每小時完畢1/8，甲比乙每小時多完畢（1/6－1/8），二人合做時每小時完畢（1/6＋1/8）。由于二人合做需要［1÷（1/6＋1/8）］小時，這個時間內(nèi)，甲比乙多做24個零件，所以（1）每小時甲比乙多做多少零件？24÷［1÷（1/6＋1/8）］＝7（個）（2）這批零件共有多少個？7÷（1/6－1/8）＝168（個）答：這批零件共有168個。解二上面這道題還可以用另一種方法計算：兩人合做，完畢任務時甲乙的工作量之比為1/6∶1/8＝4∶3由此可知，甲比乙多完畢總工作量的4－3/4＋3＝1/7所以，這批零件共有24÷1/7＝168（個）例3一件工作，甲獨做12小時完畢，乙獨做10小時完畢，丙獨做15小時完畢。現(xiàn)在甲先做2小時，余下的由乙丙二人合做，還需幾小時才干完畢？解必須先求出各人每小時的工作效率。假如能把效率用整數(shù)表達，就會給計算帶來方便，因此，我們設(shè)總工作量為12、10、和15的某一公倍數(shù)，例如最小公倍數(shù)60，則甲乙丙三人的工作效率分別是60÷12＝560÷10＝660÷15＝4因此余下的工作量由乙丙合做還需要（60－5×2）÷（6＋4）＝5（小時）答：還需要5小時才干完畢。也可以用（1-1/12*2）/（1/10+1/15）例4一個水池，底部裝有一個常開的排水管，上部裝有若干個同樣粗細的進水管。當打開4個進水管時，需要5小時才干注滿水池；當打開2個進水管時，需要15小時才干注滿水池；現(xiàn)在要用2小時將水池注滿，至少要打開多少個進水管？解注（排）水問題是一類特殊的工程問題。往水池注水或從水池排水相稱于一項工程，水的流量就是工作量，單位時間內(nèi)水的流量就是工作效率。要2小時內(nèi)將水池注滿，即要使2小時內(nèi)的進水量與排水量之差剛好是一池水。為此需要知道進水管、排水管的工作效率及總工作量（一池水）。只要設(shè)某一個量為單位1，其余兩個量便可由條件推出。我們設(shè)每個同樣的進水管每小時注水量為1，則4個進水管5小時注水量為（1×4×5），2個進水管15小時注水量為（1×2×15），從而可知每小時的排水量為（1×2×15－1×4×5）÷（15－5）＝1即一個排水管與每個進水管的工作效率相同。由此可知一池水的總工作量為1×4×5－1×5＝15又由于在2小時內(nèi)，每個進水管的注水量為1×2，所以，2小時內(nèi)注滿一池水至少需要多少個進水管？（15＋1×2）÷（1×2）＝8.5≈9（個）答：至少需要9個進水管。15正反比例問題【含義】兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，假如這兩種量中相相應的兩個數(shù)的比的比值一定（即商一定），那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。正比例應用題是正比例意義和解比例等知識的綜合運用。兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，假如這兩種量中相相應的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。反比例應用題是反比例的意義和解比例等知識的綜合運用。【數(shù)量關(guān)系】判斷正比例或反比例關(guān)系是解這類應用題的關(guān)鍵。許多典型應用題都可以轉(zhuǎn)化為正反比例問題去解決，并且比較簡捷?！窘忸}思緒和方法】解決這類問題的重要方法是：把分率（倍數(shù)）轉(zhuǎn)化為比，應用比和比例的性質(zhì)去解應用題。正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。例1修一條公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的變成未修的1/2，求這條公路總長是多少米？解由條件知，公路總長不變。原已修長度∶總長度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12現(xiàn)已修長度∶總長度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12比較以上兩式可知，把總長度當作12份，則300米相稱于（4－3）份，從而知公路總長為300÷（4－3）×12＝3600（米）答：這條公路總長3600米。例2張晗做4道應用題用了28分鐘，照這樣計算，91分鐘可以做幾道應用題？解做題效率一定，做題數(shù)量與做題時間成正比例關(guān)系設(shè)91分鐘可以做X應用題則有28∶4＝91∶X28X＝91×4X＝91×4÷28X＝13答：91分鐘可以做13道應用題。例3孫亮看《十萬個為什么》這本書，天天看24頁，15天看完，假如天天看36頁，幾天就可以看完？解書的頁數(shù)一定，天天看的頁數(shù)與需要的天數(shù)成反比例關(guān)系設(shè)X天可以看完，就有24∶36＝X∶1536X＝24×15X＝10答：10天就可以看完。例4一個大矩形被提成六個小矩形，其中四個小矩形的面積如圖所示，求大矩形的面積。A252036B16解由面積÷寬＝長可知，當長一定期，面積與寬成正比，所以每一上下兩個小矩形面積之比就等于它們的寬的正比。又由于第一行三個小矩形的寬相等，第二行三個小矩形的寬也相等。因此，A∶36＝20∶1625∶B＝20∶16解這兩個比例，得A＝45B＝20所以，大矩形面積為45＋36＋25＋20＋20＋16＝162答：大矩形的面積是162.16按比例分派問題【含義】所謂按比例分派，就是把一個數(shù)按照一定的比提成若干份。這類題的已知條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各部分占總數(shù)量的份數(shù)，另一種是直接給出份數(shù)。【數(shù)量關(guān)系】從條件看，已知總量和幾個部分量的比；從問題看，求幾個部分量各是多少?？偡輸?shù)＝比的前后項之和【解題思緒和方法】先把各部分量的比轉(zhuǎn)化為各占總量的幾分之幾，把比的前后項相加求出總份數(shù)，再求各部分占總量的幾分之幾（以總份數(shù)作分母，比的前后項分別作分子），再按照求一個數(shù)的幾分之幾是多少的計算方法，分別求出各部分量的值。例1學校把植樹560棵的任務按人數(shù)分派給五年級三個班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三個班各植樹多少棵？解總份數(shù)為47＋48＋45＝140一班植樹560×47/140＝188（棵）二班植樹560×48/140＝192（棵）三班植樹560×45/140＝180（棵）答：一、二、三班分別植樹188棵、192棵、180棵。例2用60厘米長的鐵絲圍成一個三角形，三角形三條邊的比是3∶4∶5。三條邊的長各是多少厘米？解3＋4＋5＝1260×3/12＝15（厘米）60×4/12＝20（厘米）60×5/12＝25（厘米）答：三角形三條邊的長分別是15厘米、20厘米、25厘米。例3從前有個牧民，臨死前留下遺言，要把17只羊分給三個兒子，大兒子分總數(shù)的1/2，二兒子分總數(shù)的1/3，三兒子分總數(shù)的1/9，并規(guī)定不許把羊宰割分，求三個兒子各分多少只羊。解假如用總數(shù)乘以分率的方法解答，顯然得不到符合題意的整數(shù)解。假如用按比例分派的方法解，則很容易得到1/2∶1/3∶1/9＝9∶6∶29＋6＋2＝1717×9/17＝917×6/17＝617×2/17＝2答：大兒子分得9只羊，二兒子分得6只羊，三兒子分得2只羊。例4某工廠第一、二、三車間人數(shù)之比為8∶12∶21，第一車間比第二車間少80人，三個車間共多少人？人數(shù)80人一共多少人？相應的份數(shù)12－88＋12＋21解80÷（12－8）×（8＋12＋21）＝820（人）答：三個車間一共820人。17百分數(shù)問題【含義】百分數(shù)是表達一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)。百分數(shù)是一種特殊的分數(shù)。分數(shù)經(jīng)?？梢酝ǚ帧⒓s分，而百分數(shù)則無需；分數(shù)既可以表達“率”，也可以表達“量”，而百分數(shù)只能表達“率”；分數(shù)的分子、分母必須是自然數(shù)，而百分數(shù)的分子可以是小數(shù)；百分數(shù)有一個專門的記號“%”。在實際中和常用到“百分點”這個概念，一個百分點就是1%，兩個百分點就是2%。【數(shù)量關(guān)系】掌握“百分數(shù)”、“標準量”“比較量”三者之間的數(shù)量關(guān)系：百分數(shù)＝比較量÷標準量標準量＝比較量÷百分數(shù)【解題思緒和方法】一般有三種基本類型：（1）求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾；（2）已知一個數(shù)，求它的百分之幾是多少；（3）已知一個數(shù)的百分之幾是多少，求這個數(shù)。例1倉庫里有一批化肥，用去720公斤，剩下6480公斤，用去的與剩下的各占原重量的百分之幾？解（1）用去的占720÷（720＋6480）＝10%（2）剩下的占6480÷（720＋6480）＝90%答：用去了10%，剩下90%。例2紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，男職工人數(shù)比女職工少百分之幾？解本題中女職工人數(shù)為標準量，男職工比女職工少的人數(shù)是比較量所以（525－420）÷525＝0.2＝20%或者1－420÷525＝0.2＝20%答：男職工人數(shù)比女職工少20%。例3紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，女職工比男職工人數(shù)多百分之幾？解本題中以男職工人數(shù)為標準量，女職工比男職工多的人數(shù)為比較量，因此（525－420）÷420＝0.25＝25%或者525÷420－1＝0.25＝25%答：女職工人數(shù)比男職工多25%。例4紅旗化工廠有男職工420人，有女職工525人，男、女職工各占全廠職工總數(shù)的百分之幾？解（1）男職工占420÷（420＋525）＝0.444＝44.4%（2）女職工占525÷（420＋525）＝0.556＝55.6%答：男職工占全廠職工總數(shù)的44.4%，女職工占55.6%。例5百分數(shù)又叫百分率，百分率在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中應用很廣泛，常見的百分率有：增長率＝增長數(shù)÷本來基數(shù)×100%合格率＝合格產(chǎn)品數(shù)÷產(chǎn)品總數(shù)×100%出勤率＝實際出勤人數(shù)÷應出勤人數(shù)×100%出勤率＝實際出勤天數(shù)÷應出勤天數(shù)×100%缺席率＝缺席人數(shù)÷實有總?cè)藬?shù)×100%發(fā)芽率＝發(fā)芽種子數(shù)÷實驗種子總數(shù)×100%成活率＝成活棵數(shù)÷種植總棵數(shù)×100%出粉率＝面粉重量÷小麥重量×100%出油率＝油的重量÷油料重量×100%廢品率＝廢品數(shù)量÷所有產(chǎn)品數(shù)量×100%命中率＝命中次數(shù)÷總次數(shù)×100%烘干率＝烘干后重量÷烘前重量×100%及格率＝及格人數(shù)÷參與考試人數(shù)×100%18雞兔同籠問題【含義】這是古典的算術(shù)問題。已知籠子里雞、兔共有多少只和多少只腳，求雞、兔各有多少只的問題，叫做第一雞兔同籠問題。已知雞兔的總數(shù)和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問題叫做第二雞兔同籠問題。【數(shù)量關(guān)系】第一雞兔同籠問題：假設(shè)全都是雞，則有兔數(shù)＝（實際腳數(shù)－2×雞兔總數(shù)）÷（4－2）假設(shè)全都是兔，則有雞數(shù)＝（4×雞兔總數(shù)－實際腳數(shù)）÷（4－2）第二雞兔同籠問題：假設(shè)全都是雞，則有兔數(shù)＝（2×雞兔總數(shù)－雞與兔腳之差）÷（4＋2）假設(shè)全都是兔，則有雞數(shù)＝（4×雞兔總數(shù)＋雞與兔腳之差）÷（4＋2）【解題思緒和方法】解答此類題目一般都用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞，也可以假設(shè)都是兔。假如先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞；假如先假設(shè)都是兔，然后以雞換兔。這類問題也叫置換問題。通過先假設(shè)，再置換，使問題得到解決。例1長毛兔子蘆花雞，雞兔圈在一籠里。數(shù)數(shù)頭有三十五，腳數(shù)共有九十四。請你仔細算一算，多少兔子多少雞？解假設(shè)35只全為兔，則雞數(shù)＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）兔數(shù)＝35－23＝12（只）也可以先假設(shè)35只全為雞，則兔數(shù)＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）雞數(shù)＝35－12＝23（只）答：有雞23只，有兔12只。例22畝菠菜要施肥1公斤，5畝白菜要施肥3公斤，兩種菜共16畝，施肥9公斤，求白菜有多少畝？解此題事實上是改頭換面的“雞兔同籠”問題?！懊慨€菠菜施肥（1÷2）公斤”與“每只雞有兩個腳”相相應，“每畝白菜施肥（3÷5）公斤”與“每只兔有4只腳”相相應，“16畝”與“雞兔總數(shù)”相相應，“9公斤”與“雞兔總腳數(shù)”相相應。假設(shè)16畝全都是菠菜，則有白菜畝數(shù)＝（9－1÷2×16）÷（3÷5－1÷2）＝10（畝）答：白菜地有10畝。例3李老師用69元給學校買作業(yè)本和日記本共45本，作業(yè)本每本3.20元，日記本每本0.70元。問作業(yè)本和日記本各買了多少本？解此題可以變通為“雞兔同籠”問題。假設(shè)45本全都是日記本，則有作業(yè)本數(shù)＝（69－0.70×45）÷（3.20－0.70）＝15（本）日記本數(shù)＝45－15＝30（本）答：作業(yè)本有15本，日記本有30本。例4（第二雞兔同籠問題）雞兔共有100只，雞的腳比兔的腳多80只，問雞與兔各多少只？解假設(shè)100只全都是雞，則有兔數(shù)＝（2×100－80）÷（4＋2）＝20（只）雞數(shù)＝100－20＝80（只）答：有雞80只，有兔20只。例5有100個饃100個和尚吃，大和尚一人吃3個饃，小和尚3人吃1個饃，問大小和尚各多少人？解假設(shè)全為大和尚，則共吃饃（3×100）個，比實際多吃（3×100－100）個，這是由于把小和尚也算成了大和尚，因此我們在保證和尚總數(shù)100不變的情況下，以“小”換“大”，一個小和尚換掉一個大和尚可減少饃（3－1/3）個。因此，共有小和尚（3×100－100）÷（3－1/3）＝75（人）共有大和尚100－75＝25（人）答：共有大和尚25人，有小和尚75人。19方陣問題【含義】將若干人或物依一定條件排成正方形（簡稱方陣），根據(jù)已知條件求總?cè)藬?shù)或總物數(shù)，這類問題就叫做方陣問題?！緮?shù)量關(guān)系】（1）方陣每邊人數(shù)與四周人數(shù)的關(guān)系：四周人數(shù)＝（每邊人數(shù)－1）×4每邊人數(shù)＝四周人數(shù)÷4＋1（2）方陣總?cè)藬?shù)的求法：實心方陣：總?cè)藬?shù)＝每邊人數(shù)×每邊人數(shù)空心方陣：總?cè)藬?shù)＝（外邊人數(shù)）－（內(nèi)邊人數(shù)）內(nèi)邊人數(shù)＝外邊人數(shù)－層數(shù)×2（3）若將空心方陣提成四個相等的矩形計算，則：總?cè)藬?shù)＝（每邊人數(shù)－層數(shù)）×層數(shù)×4【解題思緒和方法】方陣問題有實心與空心兩種。實心方陣的求法是以每邊的數(shù)自乘；空心方陣的變化較多，其解答方法應根據(jù)具體情況擬定。例1在育才小學的運動會上，進行體操表演的同學排成方陣，每行22人，參與體操表演的同學一共有多少人？解22×22＝484（人）答：參與體操表演的同學一共有484人。例2有一個3層中空方陣，最外邊一層有10人，求全方陣的人數(shù)。解10*10－（10－3×2）*（10－3×2）＝84（人）答：全方陣84人。例3有一隊學生，排成一個中空方陣，最外層人數(shù)是52人，最內(nèi)層人數(shù)是28人，這隊學生共多少人？解（1）中空方陣外層每邊人數(shù)＝52÷4＋1＝14（人）（2）中空方陣內(nèi)層每邊人數(shù)＝28÷4－1＝6（人）（3）中空方陣的總?cè)藬?shù)＝14×14－6×6＝160（人）答：這隊學生共160人。例4一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形縱橫兩個方向各增長一層，則缺少9只棋子，問有棋子多少個？解（1）縱橫方向各增長一層所需棋子數(shù)＝4＋9＝13（只）（2）縱橫增長一層后正方形每邊棋子數(shù)＝（13＋1）÷2＝7（只）（3）原有棋子數(shù)＝7×7－9＝40（只）答：棋子有40只。例5有一個三角形樹林，頂點上有1棵樹，以下每排的樹都比前一排多1棵，最下面一排有5棵樹。這個樹林一共有多少棵樹？解第一種方法：1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）第二種方法：（5＋1）×5÷2＝15（棵）答：這個三角形樹林一共有15棵樹。20商品利潤問題【含義】這是一種在生產(chǎn)經(jīng)營中經(jīng)常碰到的問題，涉及成本、利潤、利潤率和虧損、虧損率等方面的問題?！緮?shù)量關(guān)系】利潤＝售價－進貨價利潤率＝（售價－進貨價）÷進貨價×100%售價＝進貨價×（1＋利潤率）虧損＝進貨價－售價虧損率＝（進貨價－售價）÷進貨價×100%【解題思緒和方法】簡樸的題目可以直接運用公式，復雜的題目變通后運用公式。例1某商品的平均價格在一月份上調(diào)了10%，到二月份又下調(diào)了10%，這種商品從原價到二月份的價格變動情況如何？解設(shè)這種商品的原價為1，則一月份售價為（1＋10%），二月份的售價為（1＋10%）×（1－10%），所以二月份售價比原價下降了1－（1＋10%）×（1－10%）＝1%答：二月份比原價下降了1%。例2某服裝店因搬遷，店內(nèi)商品八折銷售。苗苗買了一件衣服用去52元，已知衣服本來按盼望賺錢30%定價，那么該店是虧本還是賺錢？虧（盈）率是多少？解要知虧還是盈，得知實際售價52元比成本少多少或多多少元，進而需知成本。由于52元是原價的80%，所以原價為（52÷80%）元；又由于原價是按盼望賺錢30%定的，所以成本為52÷80%÷（1＋30%）＝50（元）可以看出該店是賺錢的，賺錢率為（52－50）÷50＝4%答：該店是賺錢的，賺錢率是4%。例3成本0.25元的作業(yè)本1200冊，按盼望獲得40%的利潤定價出售，當銷售出80%后，剩下的作業(yè)本打折扣，結(jié)果獲得的利潤是預定的86%。問剩下的作業(yè)本出售時按定價打了多少折扣？解問題是要計算剩下的作業(yè)本每冊實際售價是原定價的百分之幾。從題意可知，每冊的原定價是0.25×（1＋40%），所以關(guān)鍵是求出剩下的每冊的實際售價，為此要知道剩下的每冊賺錢多少元。剩下的作業(yè)本售出后的賺錢額等于實際總賺錢與先售出的80%的賺錢額之差，即0.25×1200×40%×86%－0.25×1200×40%×80%＝7.20（元）剩下的作業(yè)本每冊賺錢7.20÷［1200×（1－80%）］＝0.03（元）又可知（0.25＋0.03）÷［0.25×（1＋40%）］＝80%答：剩下的作業(yè)本是按原定價的八折出售的。例4某種商品，甲店的進貨價比乙店的進貨價便宜10%，甲店按30%的利潤定價，乙店按20%的利潤定價，結(jié)果乙店的定價比甲店的定價貴6元，求乙店的定價。解設(shè)乙店的進貨價為1，則甲店的進貨價為1－10%＝0.9甲店定價為0.9×（1＋30%）＝1.17乙店定價為1×（1＋20%）＝1.20由此可得乙店進貨價為6÷（1.20－1.17）＝200（元）乙店定價為200×1.2＝240（元）答：乙店的定價是240元。21存款利率問題【含義】把錢存入銀行是有一定利息的，利息的多少，與本金、利率、存期這三個因素有關(guān)。利率一般有年利率和月利率兩種。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分數(shù)；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分數(shù)?！緮?shù)量關(guān)系】年（月）利率＝利息÷本金÷存款年（月）數(shù)×100%利息＝本金×存款年（月）數(shù)×年（月）利率本利和＝本金＋利息＝本金×［1＋年（月）利率×存款年（月）數(shù)］【解題思緒和方法】簡樸的題目可直接運用公式，復雜的題目變通后再運用公式。例1李大強存入銀行1200元，月利率0.8%，到期后連本帶利共取出1488元，求存款期多長。解由于存款期內(nèi)的總利息是（1488－1200）元，所以總利率為（1488－1200）÷1200又由于已知月利率，所以存款月數(shù)為（1488－1200）÷1200÷0.8%＝30（月）答：李大強的存款期是30月即兩年半。例2銀行定期整存整取的年利率是：二年期7.92%，三年期8.28%，五年期9%。假如甲乙二人同時各存入1萬元，甲先存二年期，到期后連本帶利改存三年期；乙直存五年期。五年后二人同時取出，那么，誰的收益多？多多少元？解甲的總利息［10000×7.92%×2＋［10000×（1＋7.92%×2）］×8.28%×3＝1584＋11584×8.28%×3＝4461.47（元）乙的總利息10000×9%×5＝4500（元）4500－4461.47＝38.53（元）答：乙的收益較多，乙比甲多38.53元。22溶液濃度問題【含義】在生產(chǎn)和生活中，我們經(jīng)常會碰到溶液濃度問題。這類問題研究的重要是溶劑（水或其它液體）、溶質(zhì)、溶液、濃度這幾個量的關(guān)系。例如，水是一種溶劑，被溶解的東西叫溶質(zhì)，溶解后的混合物叫溶液。溶質(zhì)的量在溶液的量中所占的百分數(shù)叫濃度，也叫比例濃度?！緮?shù)量關(guān)系】溶液＝溶劑＋溶質(zhì)濃度＝溶質(zhì)÷溶液×100%【解題思緒和方法】簡樸的題目可直接運用公式，復雜的題目變通后再運用公式。例1爺爺有16%的糖水50克，（1）要把它稀釋成10%的糖水，需加水多少克？（2）若要把它變成30%的糖水，需加糖多少克？解（1）需要加水多少克？50×16%÷10%－50＝30（克）（2）需要加糖多少克？50×（1－16%）÷（1－30%）－50＝10（克）答：（1）需要加水30克，（2）需要加糖10克。例2要把30%的糖水與15%的糖水混合，配成25%的糖水600克，需要30%和15%的糖水各多少克？解假設(shè)全用30%的糖水溶液，那么含糖量就會多余600×（30%－25%）＝30（克）這是由于30%的糖水多用了。于是，我們設(shè)想在保證總重量600克不變的情況下，用15%的溶液來“換掉”一部分30%的溶液。這樣，每“換掉”100克，就會減少糖100×（30%－15%）＝15（克）所以需要“換掉”30%的溶液（即“換上”15%的溶液）100×（30÷15）＝200（克）由此可知，需要15%的溶液200克。需要30%的溶液600－200＝400（克）答：需要15%的糖水溶液200克，需要30%的糖水400克。例3甲容器有濃度為12%的鹽水500克，乙容器有500克水。把甲中鹽水的一半倒入乙中，混合后再把乙中現(xiàn)有鹽水的一半倒入甲中，混合后又把甲中的一部分鹽水倒入乙中，使甲乙兩容器中的鹽水同樣多。求最后乙中鹽水的比例濃度。解由條件知，倒了三次后，甲乙兩容器中溶液重量相等，各為500克，因此，只要算出乙容器中最后的含鹽量，便會知所求的濃度。下面列表推算：

甲容器乙容器原有鹽水500鹽500×12%＝60水500第一次把甲中一半倒入乙中后鹽水500÷2＝250鹽60÷2＝30鹽水500＋250＝750鹽30第而次把乙中一半倒入甲中后鹽水250＋375＝625鹽30＋15＝45鹽水750÷2＝375鹽30÷2＝15第三次使甲乙中鹽水同樣多鹽水500鹽45－9＝36鹽水500鹽45－36＋15＝24由以上推算可知，乙容器中最后鹽水的比例濃度為24÷500＝4.8%答：乙容器中最后的比例濃度是4.8%。23構(gòu)圖布數(shù)問題【含義】這是一種數(shù)學游戲，也是現(xiàn)實生活中常用的數(shù)學問題。所謂“構(gòu)圖”，就是設(shè)計出一種圖形；所謂“布數(shù)”，就是把一定的數(shù)字填入圖中。“構(gòu)圖布數(shù)”問題的關(guān)鍵是要符合所給的條件?！緮?shù)量關(guān)系】根據(jù)不同題目的規(guī)定而定?！窘忸}思緒和方法】通常多從三角形、正方形、圓形和五角星等圖形方面考慮。按照題意來構(gòu)圖布數(shù)，符合題目所給的條件。例1十棵樹苗子，要栽五行子，每行四棵子，請你想法子。解符合題目規(guī)定的圖形應是一個五角星。4×5÷2＝10由于五角星的5條邊交叉反復，應減去一半。例2九棵樹苗子，要栽十行子，每行三棵子，請你想法子。解符合題目規(guī)定的圖形是兩個倒立交叉的等腰三角形，一個三角形的頂點在另一個三角形底邊的中線上。例3九棵樹苗子，要栽三行子，每行四棵子，請你想法子。解符合題目規(guī)定的圖形是一個三角形，每邊栽4棵樹，三個頂點上反復應減去，正好9棵。4×3－3＝9例4把12拆成1到7這七個數(shù)中三個不同數(shù)的和，有幾種寫法？請設(shè)計一種圖形，填入這七個數(shù)，每個數(shù)只填一處，且每條線上三個數(shù)的和都等于12。解共有五種寫法，即12＝1＋4＋712＝1＋5＋612＝2＋3＋712＝2＋4＋612＝3＋4＋5在這五個算式中，4出現(xiàn)三次，其余的1、2、3、5、6、7各出現(xiàn)兩次，因此，4應位于三條線的交點處，其余數(shù)都位于兩條線的交點處。24幻方問題【含義】把n×n個自然數(shù)排在正方形的格子中，使各行、各列以及對角線上的各數(shù)之和都相等，這樣的圖叫做幻方。最簡樸的幻方是三級幻方?！緮?shù)量關(guān)系】每行、每列、每條對角線上各數(shù)的和都相等，這個“和”叫做“幻和”。三級幻方的幻和＝45÷3＝15五級幻方的幻和＝325÷5＝65【解題思緒和方法】一方面要擬定每行、每列以及每條對角線上各數(shù)的和（即幻和），另一方面是擬定正中間方格的數(shù)，然后再擬定其它方格中的數(shù)。例1把1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數(shù)填入九個方格中，使每行、每列、每條對角線上三個數(shù)的和相等。解幻和的3倍正好等于這九個數(shù)的和，所以幻和為（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）÷3＝45÷3＝15九個數(shù)在這八條線上反復出現(xiàn)構(gòu)成幻和時，每個數(shù)用到的次數(shù)不全相同，最中心的那個數(shù)要用到四次（即出現(xiàn)在中行、中列、和兩條對角線這四條線上），四角的四個數(shù)各用到三次，其余的四個數(shù)各用到兩次?？磥恚玫剿拇蔚摹爸行臄?shù)”地位重要，宜優(yōu)先考慮。設(shè)“中心數(shù)”為Χ，由于Χ出現(xiàn)在四條線上，而每條線上三個數(shù)之和等于15，所以（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）＋（4－1）Χ＝15×4即45＋3Χ＝60所以Χ＝5接著用奇偶分析法尋找其余四個偶數(shù)的位置，它們276951438分別在四個角，再擬定其余四個奇數(shù)的位置，它們分別在中行、中列，進一步嘗試，容易得到對的的結(jié)果。例2把2，3，4，5，6，7，8，9，10這九個數(shù)填到九個方格中，使每行、每列、以及對角線上的各數(shù)之和都相等。解只有三行，三行用完了所給的9個數(shù)，所以每行三數(shù)之和為（2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）÷3＝189274685103假設(shè)符合規(guī)定的數(shù)都已經(jīng)填好，那么三行、三列、兩條對角線共8行上的三個數(shù)之和都等于18，我們看18能寫成哪三個數(shù)之和：最大數(shù)是10：18＝10＋6＋2＝10＋5＋3最大數(shù)是9：18＝9＋7＋2＝9＋6＋3＝9＋5＋4最大數(shù)是8：18＝8＋7＋3＝8＋6＋4最大數(shù)是7：18＝7＋6＋5剛好寫成8個算式。一方面擬定正中間方格的數(shù)。第二橫行、第二豎行、兩個斜行都用到正中間方格的數(shù)，共用了四次。觀測上述8個算式，只有6被用了4次，所以正中間方格中應填6。然后擬定四個角的數(shù)。四個角的數(shù)都用了三次，而上述8個算式中只有9、7、5、3被用了三次，所以9、7、5、3應填在四個角上。但還應兼顧兩條對角線上三個數(shù)的和都為18。最后擬定其它方格中的數(shù)。如圖。25抽屜原則問題【含義】把3只蘋果放進兩個抽屜中，會出現(xiàn)哪些結(jié)果呢？要么把2只蘋果放進一個抽屜，剩下的一個放進另一個抽屜；要么把3只蘋果都放進同一個抽屜中。這兩種情況可用一句話表達：一定有一個抽屜中放了2只或2只以上的蘋果。這就是數(shù)學中的抽屜原則問題。【數(shù)量關(guān)系】基本的抽屜原則是：假如把n＋1個物體（也叫元素）放到n個抽屜中，那么至少有一個抽屜中放著2個或更多的物體（元素）。抽屜原則可以推廣為：假如有m個抽屜，有k×m＋r（0＜r≤m）個元素那么至少有一個抽屜中要放（k＋1）個或更多的元素。通俗地說，假如元素的個數(shù)是抽屜個數(shù)的k倍多一些，那么至少有一個抽屜要放（k＋1）個或更多的元素。【解題思緒和方法】（1）改造抽屜，指出元素；（2）把元素放入（或取出）抽屜；（3）說明理由，得出結(jié)論。例1育才小學有367個2023年出生的學生，那么其中至少有幾個學生的生日是同一天的？解由于2023年是潤年，全年共有366天，可以看作366個“抽屜”，把367個1999年出生的學生看作367個“元素”。367個“元素”放進366個“抽屜”中，至少有一個“抽屜”中放有2個或更多的“元素”。這說明至少有2個學生的生日是同一天的。例2據(jù)說人的頭發(fā)不超過20萬跟，假如陜西省有3645萬人，根據(jù)這些數(shù)據(jù)，你知道陜西省至少有多少人頭發(fā)根數(shù)同樣多嗎？解人的頭發(fā)不超過20萬根，可看作20萬個“抽屜”，3645萬人可看作3645萬個“元素”，把3645萬個“元素”放到20萬個“抽屜”中，得到3645÷20＝182……5根據(jù)抽屜原則的推廣規(guī)律，可知k＋1＝183答：陜西省至少有183人的頭發(fā)根數(shù)同樣多。例3一個袋子里有一些球，這些球僅只有顏色不同。其中紅球10個，白球9個，黃球8個，藍球2個。某人閉著眼睛從中取出若干個，試問他至少要取多少個球，才干保證至少有4個球顏色相同？解把四種顏色的球的總數(shù)（3＋3＋3＋2）＝11看作11個“抽屜”，那么，至少要?。?1＋1）個球才干保證至少有4個球的顏色相同。答；他至少要取12個球才干保證至少有4個球的顏色相同。28公約公倍問題【含義】需要用公約數(shù)、公倍數(shù)來解答的應用題叫做公約數(shù)、公倍數(shù)問題。【數(shù)量關(guān)系】絕大多數(shù)要用最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)來解答?！窘忸}思緒和方法】先擬定題目中要用最大公約數(shù)或者最小公倍數(shù)，再求出答案。最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的求法，最常用的是“短除法”。例1一張硬紙板長60厘米，寬56厘米，現(xiàn)在需要把它剪成若干個大小相同的最大的正方形，不許有剩余。問正方形的邊長是多少？解硬紙板的長和寬的最大公約數(shù)就是所求的邊長。60和56的最大公約數(shù)是4。答：正方形的邊長是4厘米。例2甲、乙、丙三輛汽車在環(huán)形馬路上同向行駛，甲車行一周要36分鐘，乙車行一周要30分鐘，丙車行一周要48分鐘，三輛汽車同時從同一個起點出發(fā)，問至少要多少時間這三輛汽車才干同時又在起點相遇？解規(guī)定多少時間才干在同一起點相遇，這個時間必然同時是36、30、48的倍數(shù)。由于問至少要多少時間，所以應是36、30、48的最小公倍數(shù)。36、30、48的最小公倍數(shù)是720。答：至少要720分鐘（即12小時）這三輛汽車才干同時又在起點相遇。例3一個四邊形廣場，邊長分別為60米，72米，96米，84米，現(xiàn)要在四角和四邊植樹，若四邊上每兩棵樹間距相等，至少要植多少棵樹？解相鄰兩樹的間距應是60、72、96、84的公約數(shù)，要使植樹的棵數(shù)盡量少，須使相鄰兩樹的間距盡量大，那么這個相等的間距應是60、72、96、84這幾個數(shù)的最