【北師大版】九年級數(shù)學上冊：第1~6章專訓合集（含答案）

專訓1利用矩形的性質(zhì)巧解折疊問題

名師點金：折疊問題往往通過圖形的折疊找出線段或角與原圖形之

間的聯(lián)系，從而得到折疊部分與原圖形或其他圖形之間的關系，即折疊

前后的圖形全等；在計算時，常常通過設未知數(shù)列方程求解.

剛舔笛度L利用矩形的性質(zhì)巧求折疊中的角

1.當身邊沒有量角器時怎樣得到一些特定度數(shù)的角呢？動手操作有

時可以解“燃眉之急”.如圖，已知矩形紙片ABCD(矩形紙片要足夠長)，

我們按如下步驟操作可以得到一個特定的角：

(1)以點A所在直線為折痕，折疊紙片，使點B落在邊AD上,折痕

與BC交于點E；

(2)將紙片展平后，再一次折疊紙片，以點E所在直線為折痕，使點

A落在BC上，折痕EF交AD于F,求NAFE的度數(shù).

s'-----------------'c（第1題）

邈娘笛魂2利用矩形的性質(zhì)巧求折疊中線段的長

2.圖①為長方形紙片ABCD,AD=26,AB=22,直線L,M皆為長

方形的對稱軸.今將長方形紙片沿著L對折后，再沿著M對折，并將對折

后的紙片左上角剪下直角三角形，形成一個五邊形EFGHI,如圖②，最

后將圖②的五邊形展開后形成一個八邊形，如圖③，且八邊形的每一邊

長恰好均相等.

①②③(第2題)

(1)若圖②中的HI長度為x,請用x分別表示剪下的直角三角形的勾

長和股長.

(2)請求出圖③中八邊形的一邊長的數(shù)值，并寫出完整的解題過程.

測綠質(zhì)度3利用矩形的性質(zhì)巧證折疊中線段的關系

3.如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，點C落在點E處，

BE交AD于F,連接AE.

求證：(1)BF=DF；(2)AE〃BD.

測筋隱度土利用矩形的性質(zhì)巧求折疊中線段的比

4.如圖，將一張矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使點C落在點A

處，點D落在點E處，直線MN交BC于點M,交AD于點N.

⑴求證：CM=CN;

MN

若的面積與的面積比為,求的值.

(2)4CMN4CDNDN

E

答案

4；X1-----f

、、,'，\、

\:/\

\'/\

BEA'C

（第1題）

1.解：設折疊后，點A的對應點為點A，,點B的對應點為點B一如

圖，由折疊的性質(zhì)得NAEF=NA，EF,ZBEA=ZAEBf,

ZB=NAB舊，BE=BTE,AE=EA1

ZBAB^ZABE=90°,

NBEB'=90°.

ZBEA=NAEB'=45°.

又ZBEA+ZAEF+ZFEAr=180°,

NFEA'=67.5°.

AD〃BC,ZAFE=ZFEAf=67.5°.

2.解：⑴分別延長HI與FE,相交于點N,如圖.

VHN=1AD=13,NF=；AB=11,HI=EF=x,

.\NI=HN-HI=13-x,NE=NF-EF=11-x.

剪下的直角三角形的勾長為11-x,股長為13-x.

)(第2題)

⑵在/??AENI中，NI=13-x,NE=11-x,

EI=^NI2+NE2=^2x2-48X+290.

???八邊形的每一邊長恰好均相等，

EI=2HI=2x=^2x2-48x+290,

整理得：x?+24x-145=0,

(x-5)(x+29)=0,

解得：x=5,或*=-29(舍去).

.*.EI=2X5=10.

故八邊形的邊長為10.

3.證明：(1)由折疊的性質(zhì)可知，NFBD=NCBD.因為在矩形ABCD

中，AD〃BC,所以NFDB=ZCBD.

所以NFBD=NFDB.所以BF=DF.

(2)因為四邊形ABCD是矩形，所以AB=DC,AD=BC.由折疊的性

質(zhì)可知，DC=ED=AB,BC=BE=AD.

又因為AE=AE,所以4AEB0ZSEAD.所以NAEB=NEAD.

所以NAEB=g(180。-ZAFE).

由(1)知NDBE=ZBDF,

所以NDBE=；(180。-ZBFD).

而NAFE=NBFD,

所以NAEB=ZDBE.

所以AE〃BD.

4.(1)證明：由折疊的性質(zhì)可得點A,(2關于直線MN對稱，；.NANM

=NCNM.?.?四邊形ABCD是矩形，.?.AD〃BC..?.NANM=NCMN.

ZCMN=ZCNM.ACM=CN.

(2)解：過點N作NH±BC于點H,則四邊形NHCD是矩形，，HC

=DN,NH=DC.ACMN的面積與ACDN的面積比為3：1,

al-MCNH-

,.、Z,\CMEN_和2___蒜____MC_

.,.MC=3DN=3HC.

.?.MH=2HC.設DN=x,

貝ijHC=x,MH=2x.ACM=3x=CN.

在^ACDN中，DC=^CN2-DN2=2應x,

NH=2媳x.在/?rAMNH中，MN=^MH2+NH2=2小x.

.MN_2^/3xr-

??DN-x-2"

專訓2利用特殊四邊形的性質(zhì)巧解動點問題

名師點金：利用特殊四邊形的性質(zhì)解動點問題，一般將動點看成特

殊點解決問題，再運用從特殊到一般的思想，將特殊點轉(zhuǎn)化為一般點（動

點）來解答.

st3平行四邊形中的動點問題

1.如圖，在口ABCD中,E,F兩點在對角線BD上運動（E上不重合），

且保持BE=DF,連接AE,CF.請你猜想AE與CF有怎樣的數(shù)量關系和

位置關系，并說明理由.

AD

上

———乂（第1題）

避穌省度2菱形中的動點問題

2.如圖，在菱形ABCD中，NB=60。，動點E在邊BC上，動點F

在邊CD上.

⑴如圖①，若E是BC的中點，ZAEF=60°,求證：BE=DF;

（2）如圖②，若NEAF=60。，求證：Z\AEF是等邊三角形.

（第2題）

測標箱底3矩形中的動點問題

3.在矩形ABCD中，AB=4的，BC=8m,AC的垂直平分線EF

分別交AD,BC于點E,F,垂足為O.

（1）如圖①，連接AF,CE.試說明四邊形AFCE為菱形，并求AF的

長.

(2)如圖②，動點P,Q分別從A,C兩點同時出發(fā)；UAAFB和4CDE

各邊勻速運動一周，即點P自A-*F-*B-*A停止，點Q自C-*DfE-C

停止.在運動過程中，已知點P的速度為5cm/s,點Q的速度為4cm/s,

運動時間為ts,當以A,C,P,Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，

求t的值.

°（第3題）

剛凝逸度4正方形中的動點問題

4.如圖，正方形ABCD的邊長為8cm,E,F,G,H分別是AB,

BC,CD,DA上的動點，且AE=BF=CG=DH.

(1)求證：四邊形EFGH是正方形；

(2)判斷直線EG是否經(jīng)過一個定點，并說明理由.

答案

1.解：AE=CF,AE〃CF.理由如下：

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

.*.AB=CD,AB/7CD.

.*.ZABE=ZCDF.

XVBE=DF,.,.△ABE^ACDF.

AE=CF,ZAEB=ZCFD.

ZAEB+ZAED=ZCFD+ZCFB=180°,

ZAED=NCFB..\AE〃CF.

2.證明：(1)連接AC.?.?在菱形ABCD中，NB=60。，AB=BC=CD,

.*.ZBCD=180°-ZB=120°,AABC是等邊三角形.又..1是BC

的中點，.,.AEIBC,VZAEF=60°,ZFEC=90°-ZAEF=

30°,AZCFE=180°-ZFEC-ZBCD=180°-30°-120°=30°.，ZFEC

=ZCFE.EC=CF.BE=DF.

(2)連接AC.由(1)知aABC是等邊三角形，

/.AB=AC,ZACB=ZBAC=ZEAF=60°.ZBAE=ZCAF.

ZBCD=120°,ZACB=60°,

.*.ZACF=60o=ZB.

.,.△ABE^AACF.

...AE=AF....AAEF是等邊三角形.

3.解：(1)二?四邊形ABCD是矩形，

.?.AD〃BC.

，ZOAE=ZOCF,ZAEO=ZCFO.

VEF垂直平分AC,垂足為O,

.*.OA=OC.

△AOE名△COF.，OE=OF.

...四邊形AFCE為平行四邊形.

又?.?EFLAC,.?.四邊形AFCE為菱形.

設AF=CF=xcm,貝BF=(8-x)cm,

在RtAABF中，AB=4cm,由勾股定理得42+(8-x)2=x2,解得x

=5,

「?AF=5cm.

AEQD

(第3題)

(2)顯然當P點在AF上，Q點在CD上時，A,C,P,Q四點不可

能構(gòu)成平行四邊形；同理P點在AB上時，Q點在DE或CE上，也不可

能構(gòu)成平行四邊形.因此只有當P點在BF上，Q點在ED上時，才能構(gòu)

成平行四邊形，如圖，連接AP,CQ,若以A,C,P,Q四點為頂點的

四邊形是平行四邊形，則PC=QA.

???點P的速度為5cm/s,點Q的速度為4cmJs,運動時間為ts,

PC=5tcm,QA=(12-4t)cm.

4

/.5t=12-4t,解得t=y

4

.?.以A,C,P,Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，t=全

（第4題）

4.⑴證明：?「四邊形ABCD為正方形，

ZA=ZABC=ZC=ZADC=90°,AB=BC=CD=AD.

VAE=BF=CG=DH,ABE=CF=DG=AH.

AAEH^ABFE^ACGF^ADHG.

.*.EH=EF=FG=GH,Z1=Z2.

四邊形EFGH為菱形.

VZ1+Z3=90°,Z1=Z2,

AZ2+Z3=90°.ZHEF=90°.

?.?四邊形EFGH為菱形，

...四邊形EFGH是正方形.

(2)解：直線EG經(jīng)過一個定點.理由如下：如圖，連接BD,DE,BG.

設EG與BD交于O點.

VBE=DG,

...四邊形BGDE為平行四邊形.

ABD,EG互相平分.，BO=OD.

.?.點O為正方形的中心.

直線EG必過正方形的中心.

專訓2根的判別式的六種常見應用

名師點金：對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a^O),式子b?—4ac

的值決定了一元二次方程的根的情況，利用根的判別式可以不解方程直

接判斷方程根的情況，反過來，利用方程根的情況可以確定方程中待定

系數(shù)的值或取值范圍.

■禺：利用根的判別式判斷一元二次方程根的情況

1.已知方程x2-2x-m=0沒有實數(shù)根，其中m是實數(shù)，試判斷方程

x2+2mx+m(m+1)=0有無實數(shù)根.

2.已知關于x的方程x2+2mx+m2-1=0.

(1)不解方程，判別方程根的情況；

(2)若方程有一個根為3,求m的值.

應冕N利用根的判別式求字母的值或取值范圍

3.已知關于x的一元二次方程mx2-(m+2)x+2=0,

(1)證明：不論m為何值，方程總有實數(shù)根；

(2)m為何整數(shù)時，方程有兩個不相等的正整數(shù)根.

應用3利用根的判別式求代數(shù)式的值

4.已知關于x的方程x2+（2m-l）x+4=0有兩個相等的實數(shù)根，求

m-1

的值.

(2m-1)2+2m

，冬能4利用根的判別式解與函數(shù)綜合問題

5.y=、/Hx+l是關于x的一次函數(shù)，則一元二次方程kx?+2x+l

=0的根的情況為（）

A.沒有實數(shù)根

8有一個實數(shù)根

C有兩個不相等的實數(shù)根

D有兩個相等的實數(shù)根

底曳5利用根的判別式確定三角形的形狀

6.已知a,b,c是三角形的三邊長，且關于x的一元二次方程（a+c*

a-c

+bx+丁=0有兩個相等的實數(shù)根，試判斷此三角形的形狀.

，笠闞￡利用根的判別式探求菱形條件

7.（中考?淄博】已知口ABCD的兩邊AB,AD的長是關于x的方程x2

-mx+y-^=0的兩個根.

(l)m為何值時，0ABCD是菱形？并求出菱形的邊長.

(2)若AB的長為2,求QABCD的周長是多少？

答案

1.解：?.?x2-2x-m=0沒有實數(shù)根，

/.Ai=(-2)2-4-(-m)=4+4m<0,即m<-1.

對于方程x2+2mx+m(m+1)=0,

△2=(2m)2-4-m(m+1)=-4m>4,

方程x2+2mx+m(m+l)=0有兩個不相等的實數(shù)根.

2.角星：(1)A=b2-4ac=(2m)2-4X1X(m2-1)=4m2-4m2+4=4>0,

...方程有兩個不相等的實數(shù)根.

(2)將x=3代入方程中，得

9+2mX3+m2-1=0,EPm2+6m+9=1,/.(m+3)2=1./.m+3=

±1.

/.mi=-2,m2=-4.

3.(1)證明：A=[-(m+2)]2-8m=m2-4m+4=(m-2)2.

,不論m為何值,(m-2)2NO,

即ANO.

...不論m為何值，方程總有實數(shù)根.

(2)解：解關于x的一元二次方程mx2-(m+2)x+2=0,得

m+2±\[Xm+2±(m-2)

x=2m2m

2

-'-Xl=—,X2=1.

???方程的兩個根都是正整數(shù)，

2

是正整數(shù)，,m=1或m=2.

又?.?方程的兩個根不相等，

??mW2,??m—1.

4.解：\?關于x的方程x2+(2m-l)x+4=0有兩個相等的實數(shù)根,

.*.A=(2m-I/-4X1X4=0,

即2m1=

一1±4.

53

-或

m=m-

*22

5

-

5m2

-

2

1

3.m-12-5

當m=-1時，

(2m-1)2+2m16-326

5.A點撥：?.?￥二k-lx+1是關于x的一次函數(shù)，

k-IWO.

Ak-l>0,解得k>L

又一元二次方程kx?+2x+1=0的判別式A=4-4k,

.,?A<0.

一元二次方程1?2+2*+1=0無實數(shù)根，故選A.

a-c

6.解：?.?方程(a+c)x2+bx+丁=0有兩個相等的實數(shù)根,

a-c

A=b2-4(a+c>4=b2-(a2-c2)=0.

即b2+c2=a2,

...此三角形是直角三角形.

7.解：(l)「FABCD是菱形，

AAB=AD..\A=0,

即m2-4俘-=n?-2m+1=0,m=1.

此時原方程為x2-x+：=0,

1

=X2=-

XI2

.?.當m=1時，QABCD是菱形，菱形ABCD的邊長為;.

(2)VAB=2,.,.將x=2代入原方程得4-2m+5-1=0,

解得m=|,

故原方程為x2-1x+1=0,

11

1

解得X=-AD=-

X222

故口ABCD的周長為2X(2+0=5.

專訓2根與系數(shù)的關系的四種應用類型

名師點金：利用一元二次方程的根與系數(shù)的關系可以不解方程，僅

通過系數(shù)就反映出方程兩根的特征.在實數(shù)范圍內(nèi)運用一元二次方程的

根與系數(shù)的關系時，必須注意ANO這個前提，而應用判別式△的前提

是二次項系數(shù)不為0.因此，解題時要注意分析題目中有沒有隱含條件

△204口aHO.

送和利用根與系數(shù)的關系求代數(shù)式的值

L設方程4x2-7x-3=0的兩根為X1速2，不解方程求下列各式的值.

(l)(xi-3)(X2-3)；

&產(chǎn);+弋；

Xi+1X2+1

(3)X1-X2.

基矍2利用根與系數(shù)的關系構(gòu)造一元二次方程

2.構(gòu)造一個一元二次方程，使它的兩根分別是方程5x2+2x-3=0各

根的負倒數(shù).

;奧型3利用根與系數(shù)的關系求字母的值或取值范圍

3.已知關于x的一元二次方程x2-4x+m=0.

⑴若方程有實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍；

⑵若方程兩實數(shù)根分別為X.,X2,且滿足5x,+2X2=2,求實數(shù)m的

值.

藻理4巧用根與系數(shù)的關系確定字母系數(shù)的存在性

4.已知Xi,X2是關于X的一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的兩個

3

實數(shù)根，是否存在實數(shù)k,使(2xi-X2)(xi-2x2)=-^成立？若存在，求

出k的值；若不存在，請說明理由.

答案

1.解：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系，有

73

X1+X2=彳，X1X2=~

37

⑴(xi-3)(x2-3)=xiX2-3(xi+X2)+9=-a-3X-+9=3.

(2)弋+小二

X|+1X2+1

X2(X2+1)+X1(Xl+1)

(X]+1)(X2+1)

Xl2+X22+X|+X2

X|X2+X1+X2+1

(X|+X2)2-2X1X2+(X|+X2)

X]X2+(X]+X2)+1

32

34+Z4+i1-

(3)；(Xl-X2)2=(X1+X2)2-4X1X2=4X(-小瑞

2.解：設方程5x2+2x-3=0的兩根為xi,X2,

23

貝|JXl+X2=-5，X1X2=-亍

設所求方程為y2+py+q=0,其兩根為yi,y2,

A_=_L=1

■nJyi--Xl',JV2"-X2?

.finiixi+x

+22

..p=-(y1+y2)==--=—=3.

所求的方程為y2+f2y-15=0,即3y2+2y-5=0.

3.解:(1)：方程*2-4*+01=0有實數(shù)根，

A=b2-4ac=(-4)2-4m20,

.?.mW4.

(2),.,方程x?-4x+m=0的兩實數(shù)根為xi,X2,

/.Xl+X2=4,①

XV5xi+2x2=2,②

fxi=-2,

聯(lián)立①②解方程組得j

[x2=6.

/.m=xi-X2=-2X6=-12.

4.解：不存在.理由如下：

?.?一元二次方程4kx2-4kx+k+l=0有兩個實數(shù)根，

.?.kWO，且△=(-4k產(chǎn)-4X4k(k+1)=-16k20,

..k<0.

Vxi,X2是方程4kx2-41^+1<+1=0的兩個實數(shù)根,

k+1

?*.X1+X2=1,X]X2=

k+9

(2xi-X2)(X1-2X2)=2(X1+X2)2-9X1X2=--7]^.

3

又(2X1-X2)(X1-2X2)="21

k+939

?*,4k-2-,，,k=5-

9

經(jīng)檢驗，是該分式方程的根.

.3

X*.*k<0，，不存在實數(shù)k,使(2xi-X2)(xi-2x2)=-］成立.

專訓1一元二次方程的解法歸類

名師點金：解一元二次方程時，主要考慮降次，其解法有直接開平

方法.配方法.公式法和因式分解法等.在具體的解題過程中，結(jié)合方程的

特點選擇合適的方法，往往會達到事半功倍的效果.

續(xù)型1限定方法解一元二次方程

方法1形如(x+m)2=n(n20)的一元二次方程用直接開平方法求解

1.方程4x2-25=0的解為()

25

A.x=gB.X=2

52

C.x=±2D.x=士弓

2.用直接開平方法解下列一元二次方程，其中無解的方程為()

A.x2-5=5B.-3x2=0

C.x2+4=0D.(x+1)2=0

方法2當二次項系數(shù)為1,且一次項系數(shù)為偶數(shù)時，用配方法求解

3.用配方法解方程X2+3=4X,配方后的方程變?yōu)?)

A.(x-2)2=7B.(x+2)2=1

C.(x-2)2=1D(x+2>=2

4.解方程：x2+4x-2=0.

5.已知x2-10x+y2-16y+89=0,求j的值.

方法3能化成形如(x+a)(x+b)=0的一元二次方程用因式分解法求

解

6.(中考?寧夏)一元二次方程x(x-2)=2-x的根是()

A.-1B.0

C.1和2D-1和2

7.解下列一元二次方程：

(l)x2-2x=0;

(2)16x2-9=0;

(3)4x2=4x-1.

方法4如果一個一元二次方程易于化為它的一般式，則用公式法求

解

8.用公式法解一元二次方程x2-1=2x,方程的解應是()

-2±^5

A.x=-2—Bx=2

「1巡

Cx-2Dx=2

9.用公式法解下列方程.

(l)3(x2+1)-7x=0；

(2)4x2-3x-5=x-2.

套型2選擇合適的方法解一元二次方程

10.方程4x2-49=0的解為（）

27

A.x=B.x=^

7722

----

C=2--X2=

XI22XI77

11.一元二次方程x2-9=3-x的根是（）

A.xi=X2=3B.xi=X2=-4

C.xi=3和X2=-4Dxi=3和X2=4

12.方程(x+l)(x-3)=5的解是(I

A.xi=1,x2="3B.xi=4,X2=-2

C.xi-~1,X2=3D.xi=-4,X2=2

13.解下列方程.

(l)3y2-3y-6=0；

（2）2x2-3x+1=0.

整型3用特殊方法解一元二次方程

方法1構(gòu)造法

14.解方程：6x2+19x+10=0.

15.若m,n,p滿足m-n=8,mn+p2+16=0,求m+n+p的直

方法2換元法

。.整體換元

16.解方程：(x-l)(x-2)(x-3)(x-4)=48.

17送2+±-2[+，-1=0.

b.降次換元

18.解方程：6x4-35x3+62X2_35X+6=0.

c.倒數(shù)換元

x-23x

19.解方程：丁-』"二2.

xx-2

方法3特殊值法

20.解方程：(x-2013)(x-2014)=2015X2016.

答案

l.C2.C3.C

4.解：x2+4x-2=0,

x2+4x=2,

(x+2>=6,

x+2=±^/6,

/.xi=-2+^/6,X2=-2-玳.

5.解：x2-10x+y2-16y+89=0,

(x2-10x+25)+(y2-16y+64)=0,

(x-5>+(y-8>=0,

x=5,y=8./.-=g.

6.D

7.解：(1)x2-2x=0,x(x-2)=0,

??Xi=0,X2=2.

33

(2)16x2-9=0,(4x+3)(4x-3)=0,/.xi=-,X2=^.

(3)4x2=4x-1,4x2-4x+1=0,

(2x-l)2=0,.*.X1=X2=g.

8.3

9.解：(l)3(x2+1)-7x=0,3x2-7x+3=0,

Vb2-4ac=(-7)2-4X3X3=13.

7世二7±yn

,2X3_6,

7+V137-V13

Axi=6'X2=6?

⑵4x2-3X-5=X-2,4X2-4X-3=0,

4i\/641±2

b2-4ac=(-4)2-4X4X(-3)=64./.x=-七一=

.31

..Xi=2,X2=-2-

10.Cll.C12.5

13.解:⑴3y2-3y-6=0,y2-y-2=0,[y-,

13,,

y-2=±2>--yi=2,y2=-1.

(2)2x2-3x+1=0,

Vb2-4ac=(-3)2-4X2X1=1,

3±yi_3±i

:?X=2X2二工

即xi=1,x2=2.

14.解:將原方程兩邊同乘6，得(6x>+19*5)+60=0.解得6*=_

156x--4.??X]—-$,X2=""不

15.解：因為m-n=8,所以m=n+8.

將m=n+8代入mn+p?+16=0中，得n(n+8)+p2+16=0,所以

n2+8n+16+p2=0,即(n+4)2+p2=0.

又因為(n+4>20,p2與0,

fn+4=0,fn=-4,

所以〈解得〈

IP=O，lP=0.

所以m=n+8=4.

所以m+n+p=4+(-4)+0=0.

16.解：原方程可變?yōu)閇(x-l)(x-4)][(x-2)(x-3)]=48,

即(X?-5x+4)(x2-5x+6)=48.

設y=x2-5x+5,則原方程變?yōu)?y-l)(y+1)=48.

解得yi=7,y2=-7.

5+7335-^33

當x2-5x+5=7時，解得xi=-2，X2=-2；

當x2-5x+5=-7時，△=(-5)2-4X1X12=-23<0,方程無實數(shù)

根.

5+^33

原方程的根為x產(chǎn)二

5-^33

X2=2-

17.解：x2+±-21+?-1=0,

設X+1=y,則原方程為y2-2y-3=0.

X

Ayi=3,y2=-1.

當y=3時，x+-=3,

X

,3+巾3-小

，X]=2，X2=2?

當丫=-1時，x+：=-1,無實數(shù)解.

X

3+小X2=W且都是原方程的根，

經(jīng)檢驗，Xi=-2—

一、，3+巾3-小

；?原方程的根為xi=-2—，X2=-2-1

18.解：經(jīng)驗證x=0不是方程的根，原方程兩邊同除以x：,得6x2-

356

35X+62-「”=0,

即6k+J-35(X+0+62=0.

設y=x+J,貝ljx2+%=y?-2,

AX

原方程可變?yōu)?(y2-2)-35y+62=0.

解得yi=|,y?=y.

當x+；=|時,

解得Xi=2,X2=1；

當x+卜竽時,

解得X3=3,X4=1.

經(jīng)檢驗，均符合題意.

，原方程的解為X1=2,X2=；,X3=3,X4=1.

x-2

19.解：^――=y,

A.

3

則原方程化為y-；=2,

整理得y2-2y-3=0,

?*?yi=3,y2=-1.

x-2

當y=3時，——=3,.\x=-1;

A

X-2

當y=-1時，----=-1,/.x=1.

X

經(jīng)檢驗，x=±l都是原方程的根，

...原方程的根為X|=l,X2=-1.

fx-2013=2016,

20.解：方程組＜的解一定是原方程的解,解得x

[x-2014=2015

=4029.

fx-2013=-2015,

方程組《的解也一定是原方程的解，解得x=-

[x-2014=-2016

2.

?.?原方程最多有兩個實數(shù)解，

原方程的解為xi=4029,x2=-2.

點撥：解本題也可采用換元法.設x-2014=t，則x-2013=t+l,

原方程可化為t（t+1）=2015X2016,先求出t的值，進而求出x的值.

專訓1一元二次方程與三角形的綜合

名師點金：一元二次方程是初中數(shù)學重點內(nèi)容之一，常常與其他知

識結(jié)合，其中一元二次方程與三角形的綜合應用就是非常重要的一種，

主要考查一元二次方程的根的概念.根的判別式的應用.一元二次方程的

解法及與等腰三角形.直角三角形的性質(zhì)等知識的綜合運用.

測標速度1一元二次方程與三角形三邊關系的綜合

1.三角形的兩邊長分別為4和6,第三邊長是方程x2-7x+12=0的

解，則第三邊的長為（）

A.3BAC.3或4。.無法確定

2.根據(jù)一元二次方程根的定義，解答下列問題.

一個三角形兩邊長分別為3cm和7cm,第三邊長為acm,且整數(shù)a

滿足a2-10a+21=0,求三角形的周長.

解：由已知可得4<a<10，則a可取5,6,7,8,9.（第一步）

當a=5時，代入a2-10a+21,得52-10X5+21W0,故a=5不是

方程的根.

同理可知a=6,a=8,a=9都不是方程的根，a=7是方程的根.（第

二步）

，三角形的周長是3+7+7=17（cm）.

上述過程中，第一步是根據(jù)

第二步應用的數(shù)學思想是確定a值的大小是根據(jù)

渺微箱度2—元二次方程與直角三角形的綜合

3.已知一個直角三角形的兩條直角邊的長恰好是方程x2-17x+60=

0的兩個根，則這個直角三角形的斜邊長為.

4.已知a,b,c分別是4ABC的三邊長，當m>0時，關于x的一元

二次方程c(x2+m)+b(x2-m)-2而ax=0有兩個相等的實數(shù)根，試判斷

△ABC的形狀，并說明理由.

渺微篇度3—元二次方程與等腰三角形的綜合

5.已知關于x的一元二次方程x2-(2k+l)x+k2+k=0.

(1)求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)若AABC的兩邊AB,AC的長是這個方程的兩個實數(shù)根，第三邊

BC的長為5.當4ABC是等腰三角形時，求k的值.

沙逸圓度4一元二次方程與動態(tài)幾何的綜合

6.如圖，在4ABC中，ZB=90°,AB=5cm,BC=7c九點P從點

A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊

向點C以2cm/s的速度移動.

(1)如果點P,Q分別從點A,B同時出發(fā)，那么幾秒后，aPBQ的

面積為4cm??

(2)如果點P,Q分別從點A,B同時出發(fā)，那么幾秒后，PQ的長度

為5cm?

(3)在⑴中，aPBQ的面積能否為7c、病?并說明理由.

答案

l.C

2.三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊；分類

討論思想；方程根的定義

3.13

4.解：AABC是直角三角形.理由如下：

原方程可化為(b+c)x2-2giax+cm-bm=0,

A=4ma2-4m(c-b)(c+b)=4m(a2+b2-c2).

Vm>0,且原方程有兩個相等的實數(shù)根，

a2+b2-c2=0,HPa2+b2=c2.

.'.△ABC是直角三角形.

5.(1)證明：a=1,b=-(2k+1),c=k2+k,

.*.△=[-(2k+l)]2-4(k2+k)=1>0.

此方程有兩個不相等的實數(shù)根.

(2)解：:△ABC的兩邊AB,AC的長是方程x2-(2k+l)x+k2+k

=0的兩個實數(shù)根，

...由(1)知，ABWAC,V△ABC的第三邊BC的長為5,fiAABC

是等腰三角形，

AB=5或AC=5,即x=5是方程x?-(2k+l)x+1?+k=0的一個

解.

將x=5代入方程x2-(2k+l)x+k2+k=0,得25-5(2k+l)+k2+k

=0,解得k=4或k=5.

當k=4時，原方程為x2-9x+20=0,

解得xi=5,X2=4,以5,5,4為邊長能構(gòu)成等腰三角形；

當k=5時,原方程為x2-llx+30=0,

解得xi=5,X2=6,以5,5,6為邊長能構(gòu)成等腰三角形.

綜上，k的值為4或5.

6.解：設A,P運動的時間為xs,則由題意知AP=xcm,BP=(5-

x)cm,BQ=2xcm,CQ=(7-2x)cm.

(1)SAPBQ=1-PB-BQ=1X(5-x)X2x=4.

解得xi=1,X2=4.

當x=l時，5-1>0,7-2義1>0,滿足題意；

當x=4時，5-4>0,7-2X4<0,不滿足題意，舍去.

故1s后，Z^BQ的面積為4cm2.

(2)由題意知PQ2=PB2+BQ2=(5-x)2+(2x>,

若PQ=5cm,貝4(5-x)2+(2x)2=25.

解得xi=0(舍去),x2=2.

故2s后，PQ的長度為5cm.

(3)不能.理由如下：仿照(1),

得］(5-x)-2x=7,

整理，得x2-5x+7=0,

VA=b2-4ac=25-4X1X7=-3<0,

...此方程無實數(shù)解.

/.△PBQ的面積不能為1cm2.

專訓1概率應用的四種求法

名師點金概率是通過大量重復試驗中頻率的穩(wěn)定性得到的一個。?

1的常數(shù)，它反映了事件發(fā)生的可能性的大小，需要注意的是：概率是針

對大量重復試驗而言的，大量重復試驗反映的規(guī)律并不一定出現(xiàn)在每次

試驗中.常見的計算概率的方法有公式法(僅適用于等可能事件).列表法.

畫樹狀圖法和頻率估算法等.

，安.法工用公式法求概率

1一個不透明的袋中裝有5個黃球，13個黑球和22個紅球，它們除

顏色外都相同.

(1)求從袋中隨機摸出一個球是黃球的概率.

(2)現(xiàn)從袋中取出若干個黑球，并放入相同數(shù)量的黃球，攪拌均勻后

使從袋中摸出一個球是黃球的概率不小于g，問至少取出了多少個黑球？

?:方法,2：.用列表法求概率

2.某校為了解九年級學生近兩個月“推薦書目”的閱讀情況，隨機抽

取了該年級的部分學生，調(diào)查了他們每人“推薦書目”的閱讀本數(shù).設每

名學生的閱讀本數(shù)為n，并按以下規(guī)定分為四檔：當n<3時，為“偏少”；

當3Wn<5時，為“一般"；當5Wn<8時，為“良好”；當n28時，

為“優(yōu)秀”.將調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計后繪制成如下不完整的統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖(如

圖):

閱讀本數(shù)n123456789

人數(shù)126712X7y1

請根據(jù)以上信息回答下列問題：

(1)分別求出統(tǒng)計表中的x,y的值；

(2)估計該校九年級400名學生中為“優(yōu)秀”檔次的人數(shù)；

(3)從被調(diào)查的“優(yōu)秀”檔次的學生中隨機抽取2名學生介紹讀書體

會，請用列表或畫樹狀圖的方法求抽取的2名學生中有1名閱讀本數(shù)為9

的概率.

落選3用畫樹狀圖法求概率

3.經(jīng)過某十字路口的車，它可能繼續(xù)直行，也可能向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn).

如果這三種可能性的大小是相同的，三輛車經(jīng)過這個十字路口，求下列

事件的概率.

(1)三輛車全部繼續(xù)直行；

(2)兩輛車向右轉(zhuǎn)，一輛車向左轉(zhuǎn)；

(3)至少有兩輛車向左轉(zhuǎn).

法4：用頻率估算法求概率

4.一只不透明的袋中裝有4個小球，分別標有數(shù)字2,3,4,x,這

些球除數(shù)字外都相同.甲.乙兩人每次同時從袋中各隨機摸出1個球，并計

算摸出的這2個球上數(shù)字之和.記錄后都將小球放回袋中攪勻，進行重復

試驗.試驗數(shù)據(jù)如下表:

摸球總

1020306090120180240330450

次數(shù)

“和為7”出

19142426375882109150

現(xiàn)的頻數(shù)

“和為7”出

0.100.450.470.400.290.310.320.340.330.33

現(xiàn)的頻率

解答下列問題:

(1)如果試驗繼續(xù)進行下去，根據(jù)上表數(shù)據(jù)，出現(xiàn)“和為7”的頻率

將穩(wěn)定在它的概率附近，試估計出現(xiàn)“和為7”的概率；

(2)根據(jù)⑴，若x是不等于2,3,4的自然數(shù)，試求x的值.

答案

1.解：(1)P(摸出一個球是黃球)=——-——

5+13+22

5+x1

⑵設取出了X個黑球，則放入了X個黃球，由題意得---------

5+13+223

解得x2右二、為正整數(shù)，...x最小取9,則至少取出了9個黑球.

2.解：⑴由圖表可知被調(diào)查學生中“一般”檔次的有13人，所占比

例是26%,所以共調(diào)查的學生人數(shù)是13?26%=50,

則調(diào)查學生中“良好”檔次的人數(shù)為50X60%=30,

所以％=30-(12+7)=11,

^=50-(1+2+6+7+12+11+7+1)=3.

3+1

(2)由樣本數(shù)據(jù)可知“優(yōu)秀”檔次所占的比例是不鼠=0.08=8%.所

以估計九年級400名學生中為“優(yōu)秀”檔次的人數(shù)為400X8%=32.

(3)用A,B,C表示閱讀本數(shù)是8的學生，用D表示閱讀本數(shù)是9

的學生，列表：

ABCD

A(A,B)(A,C)(A,D)

B(B,A)(B,C)(B,D)

C(C,A)(C,B)(C,D)

D(D,A)(D,B)(D,C)

由列表可知，共有12種等可能的情況，其中所抽取的2名學生中有

1名閱讀本數(shù)為9的有6種.

所以抽取的2名學生中有1名閱讀本數(shù)為9的概率為『今

3.解：用樹狀圖表示出三輛車經(jīng)過該十字路口時所有可能出現(xiàn)的情

況，如圖：

開始

算至左右直左右直左右直

第三

輛:乍左宕直左宕直左右直左右直左若直左右直左右直左后直左右直3

由樹狀圖可以看出，三輛車經(jīng)過該十