傅里葉級數(shù)課程及習題講解

傅里葉級數(shù)課程及習題講解

第15章傅里葉級數(shù)

§15.1傅里葉級數(shù)

■基本內(nèi)容

一、傅里葉級數(shù)

f(x)

在塞級數(shù)討論中a

nInxn,可視為f(x)經(jīng)函數(shù)系

1,x,x,,x,2n

2n線性表出而得.不妨稱｛l,x,x,,x,｝為基，則不同的基就有不同的級數(shù).今用三

角函數(shù)

系作為基，就得到傅里葉級數(shù).

1三角函數(shù)系

函數(shù)列1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,,cosnx,sinnx,稱為三角函數(shù)

系.其有下面兩個重要性質(zhì).

(1)周期性每一個函數(shù)都是以2為周期的周期函數(shù)；

(2)正交性任意兩個不同函數(shù)的積在[,]上的積分等于

零，任意一個函數(shù)的平方在上的積分不等于零.

對于一個在[,]可積的函數(shù)系un(x):x[a,b],n1,2,,定義兩個函

數(shù)的內(nèi)積為un(x),um(x)baun(x)um(x)dx,10mnun(x),um(x)0

mn,則稱函數(shù)系un(x):x[a,b],n1,2,為正交系.如果

由于sinnx

1sinnxdx

1cosnxdx0；sinmx,sinnxmnsinmxsinnxdx

0mn；

mncosmxcosnxdx0mn；cosmx,cosnx

sinmx,cosnx

1sinmxcosnxdx0；

Idx22,

所以三角函數(shù)系在，上具有正交性，故稱為正交系.

利用三角函數(shù)系構(gòu)成的級數(shù)

a0

2a

nIncosnxbnsinnx

稱為三角級數(shù)，其中a0,al,bl,,an,bn,為常數(shù)

2以2為周期的傅里葉級數(shù)

定義1設函數(shù)f(x)在,上可積，bklak1f(x),coskx11

f(x)coskxdx2,；k0,1,f(x),sinkx

f(x)sinkxdx,,k1,2

稱為函數(shù)f(x)的傅里葉系數(shù)，而三角級數(shù)

a0

2a

n1

ncosnxbnsinnx稱為f(x)的傅里葉級數(shù)，記作a0

f(x)?2a

nIncosnxbnsinnx

這里之所以不用等號，是因為函數(shù)f(X)按定義1所得系數(shù)而獲得的傅里葉級數(shù)并不知其

是否收斂于f(x).

二、傅里葉級數(shù)收斂定理

定理1若以2為周期的函數(shù)￡6)在［,］上按段光滑，則

aO

2a

nIncosnxbnsinnxf(x0)f(x0)2,

其中an,bn為f(x)的傅里葉系數(shù).

定義2如果f(x)C［a,b］,則稱f(x)在果b］上光滑.若

x［a,b),f(x0),f(x0)存在；

x(a,b］,f(x0),f(x0)存在，

且至多存在有限個點的左、右極限不相等，則稱f(x)在［a,b］上按段光滑.

幾何解釋如圖.

按段光滑函數(shù)圖象是由有限條

光滑曲線段組成，它至多有有限個

第一類間斷點與角點.

］上按推論如果f(x)是以2

f(x)aO

2

有a

nInconxsbnsnxin.

定義3設六分在(，]上有定義，函數(shù)

f(x)x(，「(x)ff(x2k)

x(2k,2k],k1,2,

稱f(x)為的周期延拓.

二習題解答

1在指定區(qū)間內(nèi)把下列函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)

(1)f(x)x,(i)x,(ii)0x2；

解：(i)、f(x)=x,x(,)作周期延拓的圖象如下.其按段光滑，故可展開為傅

里葉級數(shù).由系數(shù)公式得

a01f(x)dx

11

xdx0.In當nI時，an

Ixcosnxdx

xd(sinnx),nxsinnx|

1

n

1

n

n1InsinnxdxObn1xsinnxdxxd(cosnx)

n1Inxcosnx|cosnxdx(l)2n,

所以

f(x)2(l)nIsinnxn,x(,)為所求.(ii)>f(x)=x,x(0,2)作周

期延拓的圖象如下.其按段光滑，故可展開為傅里葉級數(shù).由系數(shù)公式得

a0120f(x)dx1

2

Oxdx2.

2

0當n1時，an

112Oxcosnxdx2

Oln2xd(sinnx),n

lxsinnx|2

0InlOsinnxdx02Obn

xsinnxdx2

On1Oxd(cosnx)cosnxdx2n,Inxcosnx|

n2

所以f(x)2nIsinnxn,x(0,2)為所求.

2(2)f(x)=x,(i)-3i<x<n,(ii)0<x<2n；

2解：(i)、f(x)=x,x(,)作周期延拓的圖象如下.

由系數(shù)公式得

f(x)dx1

xdx2232.

當n1時，

an

11xcosnxdx221nxd(sinnx)2n2n2

n

122xsinnx|In2xsinnxdxxd(cosnx)

xcosnxl22n2cosnxdx(l)n4n,2bn

xsinnxdx2In2xd(cosnx)2In2n2

n22xcosnx|nxcosnxdxxd(sinnx)xsinnx|2n

2sinnxdx0,

n2f(x)32所以4(1)

nInsinnx,x(,)為所求.

2解：(ii)f(x)=xx(0,2)

其按段光滑，故可展開為傅里葉級數(shù).

由系數(shù)公式得a012

0f(x)dx12

Oxdx2832.

當n1時，

an12

Oxcosnxdx21n20xd(sinnx)2

In2n2n1

22

xsinnx|

2

20

In

20

2xsinnxdx

20

xd(cosnx)

20

xcosnx|

2

2

2n

2

20

cosnxdx

4n,

2

bn

xsinnxdx

2020

In2

20

xd(cosnx)

2

xcosnxdx

Inn

xcosnx|

2

n

2

44n

2n2n43

222

xd(sinnx)

20

xsinnx|

2n

2

20

sinnxdx

4n,

f(x)

所以

cosnxsinnx422

nn,x(0,2)為所求.n1

x00x

(ab,a0,b0)

ax

f(x)

bx(3)

解：函數(shù)f(x),x()作周期延拓的圖象如下.

aO

1

f(x)dx

1

0

axdx

1

0

bxdx

(ba)

2

當n1時，

an

1

0

axcosnxdx

n

2

1

0

bxcosnxdx

[1(1)]

abn

2

bn

1

0

axsinnxdx

abn

(ba)

1

0

bxsinnxdx

(1)

n1

f(x)

所以

4

2(ba)

(2n1)

n1

n1

1

2

cos(2nl)x

,x(,)為所求.

(ab)(1)

n1

sinnxn

2設f是以2為周期的可積函數(shù)，證明對任何實數(shù)c,有anbn

1

1

c2cc2c

f(x)cosnxdxf(x)sinnxdx

1

f(x)cosnxdx,n0,1,2,f(x)sinnxdx,n1,2,

1

證：因為f(x),sinnx,cosnx都是以2為周期的可積函數(shù)，所以令tx2有

c

f(x)cosnxdx

1

1

c2c+2

f(t2)cosn(t2)d(t2)f(t)cosntdt

1

c+2

f(x)cosnxdx

從而

an

an1

1

c2c

f(x)cosnxdx

1

c

c2c

f(x)cosnxdx

1

f(x)cosnxdx

1

f(x)cosnxdx

c+2

f(x)cosnxdx

f(x)cosnxdx

1

c2c

同理可得

bn

f(x)sinnxdx

1

f(x)sinnxdx

4

f(x)

43把函數(shù)

x00x

展開成傅里葉級數(shù)，并由它推出⑴

4

1

13

15

17

15

1715

(2)3(3)

1

11117

113

1

117

117

6

1

111

13

解：函數(shù)f(x),x(,)作周期延拓的圖象如下.

其按段光滑，故可展開為傅里葉級數(shù).由系數(shù)公式得

aO

1

f(x)dx

1

0

4

dx

1

0

4

dx0

當n1時,

an

bn11044cosnxdx1104cosnxdx0.sinnxdxO

sinnxdx

04

1n1[1(1)]n2n01

n2kIn2k,為所求.f(x)

故

⑴取n112nlsin(2nl)x,x(,0)(0,)x

1

3152,則411

7131517⑵由41得

12

131

1319115121,

于是3

(3)取

所以6

41211517111117；x

正

153,則417111111257111317

1111131171.

4設函數(shù)f(x)滿足條件f(x)f(x),問此函數(shù)在，內(nèi)的傅里葉級數(shù)具

有什么特性.

解：因為f(x)滿足條件f(x)f(x),

所以f(x2)f(x)f(x),即f(x)是以2為周期的函數(shù).

于是由系數(shù)公式得

aO

11f(x)dx10f(x)dx01Of(x)dx

0If(t)dt1f(x)dx10If(t2)dtf(t)dt1Of(x)dx

.0

Of(x)dx0

當n1時,

an

110f(x)cosnxdx1Of(x)cosnxdx1

0f(t)cos(nxn)dx

Of(x)cosnxdx

1(1)

n1

0

f(x)cosnxdx

n2kIn2kl

2

Of(x)cosnxdx0bn

1

0

f(x)sinnxdx

0

f(x)sinnxdx

2

Of(x)sinnxdx0

n2kIn2k

故當f(x)f(x)時，函數(shù)f(x)在，內(nèi)的傅里葉級數(shù)的特性是a2k0,

b2k0.

5設函數(shù)f(x)滿足條件：f(x)f(x),問此函數(shù)在，內(nèi)的傅里葉級數(shù)具

有什么特性.

解：因為f(x)滿足條件f(x)f(x),

所以f(x2)f(x)f(x),即f(x)是以2為周期的函數(shù).于是由系數(shù)公式得

a0

1

1

f(x)dx

1

0

f(x)dx

0

1

0

f(x)dx

0

1

f(t)dt

1

f(x)dx

1

0

1

f(t2)dtf(t)dt

1

0

f(x)dx

2

0

0

f(x)dx

0

f(x)dx

當n1時,

an

1

1

0

f(x)cosnxdx

1

0

f(x)cosnxdx

1

0

f(t)cos(nxn)dx

0

f(x)cosnxdx

1(1)

0

f(x)cosnxdx

n2kn2k1.1

2

f(x)cosnxdx00bn

1

0

f(x)sinnxdx

0

f(x)sinnxdx

2

f(x)sinnxdx00n2kn2k1,

故當f(x)f(x)時，函數(shù)f(x)在，內(nèi)的傅里葉級數(shù)的特性是

a2k10,b2k10.

6試證函數(shù)系cosnx,n0,1,2,和sinnx,n1,2,都是［0,］上的正交函數(shù)系,

但他們合起來的卻不是［0,］上的正交函數(shù)系.

證：就函數(shù)系｛1,cosx,cos2x,,cosnx,｝,

因為n,

0

Odx2,12cosnx,cosnxcosnxdx

0(cos2nx1)dx2,又cosnx

Ocosnxdx0；

m,n,mn時，

cosmx,cosnx

1

20cosmxcosnxdxl2.

Ocos(mn)xdxOcos(mn)xdx0

所以｛1,cosx,cos2x,,cosnx,｝在［0,］上是正交系.

就函數(shù)系｛sinx,sin2x,,sinnx,),

因為n,

sinnx,sinnx

0sinnxdx212

0(1cos2nx)dx2,

又m,n,mn時，

sinmx,sinnx

1

20sinmxsinnxdxl2.

Ocos(mn)xdxOcos(mn)xdx0

所以｛sinx,sin2x,,sinnx,｝在［0,］上是正交系.

但｛1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,,sinnx,cosnx,｝不是［0,］上的正交系.實因:

sinx0sinxdx10.

7求下列函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式

(1)

解：

f(x)x2,0x2；f(x)x,0x2

其按段光滑，故可展開為傅里葉級數(shù).由系數(shù)公式得

a0

1

20

f(x)dx

1

20

x2

dx0

20

當n1時,

an

1

20

x2

cosnxdx

20

In

20

x2

d(sinnx)

x2n1

sinnx|

12n

sinnxdx0

20

bn

20

x2

sinnxdx

20

In

2

x2

d(cosnx)

In,

x2n

cosnx|

12n

cosnxdx

f(x)

所以

n1

sinnxn

,x(0,2)為所求.

(2)

yj\-COSX.

f(x)X；

>/l-cosX.

解：f(x)X作周期延拓的圖象如下.

其按段光滑，故可展開為傅里葉級數(shù).

2

石

f(x)

因為

所以由系數(shù)公式得

aO

x2

x

2

x00x

叵

472

f(x)dx

0

sin

x2

dx

sin

x2

dx

當n1時,

an

0

sin

x2x2x2

cosnxdx

242

sin

x2

cosnxdx

sincosnxdx(4n1)

亞

正

bn

0

sinsinnxdx

1

2

sin

x2

sinnxdx0

277

4

X().

f()

f(x)

所以

4n

n1

1

cosnx

f(0)f(0)

而x

8

時，2

2y/1

4石

f(x)

故

2

4n

n1

1

2

1

cosnx

,x[,]為所求.

⑶f(x)axbxc,(i)0x2,(ii)x；解：(i)由系數(shù)公式得

aO

1

1

2020

f(x)dx

(axbxc)dx

2

8a3

2

2b2c

當n1時，

an

1

1

20

(axbxc)cosnxdx

2

2

20

n4a

2

(axbxc)sinnx

In

20

(2axb)sinnxdx

n,1

bn

20

(axbxc)sinnxdx

2

(axbxc)cosnx：

2

20

Inn

In

20

(2axb)cosnxdx

4a

2n,

4a3

2

故

f(x)axbxc

2

bc

4an

2

n1

cosnx

4a2b

n

sinnx,x(0,2)

為所求.

(ii)由系數(shù)公式得aO

1

f(x)dx

1

(axbxc)dx

2

2a3

2

2c

當n1時，

an

1

1

(axbxc)cosnxdx

2

2

n

(axbxc)sinnx

n

In

(2axb)sinnxdx

(1)1

4an,

(axbxc)sinnxdx

22

bn

(axbxc)cosnx

2

In

In

(2axb)cosnxdx

(1)

n12bn,

故

f(x)axbxc

2

2a3

2

c

n

(1)

4a2

cosnx(1)

n

2bsinnx,x(,)

n1

n

n

(4)f(x)chx,x；解：由系數(shù)公式得

al

0

f(x)dx

1

chxdx

2

sh

當n1時,

al

chxcosnxdx

1

chxsinnxl

n

In

shxsinnxdx

ln2

shxd(cosnx)

ln2

shxcosnxl

ln2

chxcosnxdx

(1)

n

2shn2

In

2

an

an2sh所以

n(1)(n2

1)

bl

chxsinnxdx1

n

chxd(cosnx)

Inchxcosnx

1

n

shxcosnxdx

1

n2

shxd(sinnx)

1

n2

shxsinnx

1n2

chxsinnxdx

ln2

shxsinnx|

1

n2

chxsinnxdx

In

2

bn

f

所以bn0,

f(x)chx2

1

n

1

sh

n2Icosnx

故

2(1)

n1

(5)f(x)shx,x

解：由系數(shù)公式得

aO

1

f(x)dx

1

shxdx0

al

shxcosnxdx0

當nIn

時，

為所求.

X(,)為所求.bn

1

shxsinnxdxshxcosnx

1

In

shxd(cosnx)

chxcosnxdx

In

(1)(1)

n1

2n2n2n

n1

shshsh

InInIn

22

chxd(sinnx)

In

2

n1

chxsinnx|bn

shxsinnxdx

(1)

n1

所以故

bn(1)

2nshx(n1),

2

f(x)shx

(1)

n1

n1

2nsh(n1)

2

sinnx

X(,)為所求.

8求函數(shù)解：由

f(x)

2

112

(3x6x2)

4a3

2

22

的傅里葉級數(shù)展開式并應用它推出n1

n

1

2

2

6.

f(x)axbxcbc

n1

4an

2

cosnxIn

2

4a2b

n

sinnx,x(0,2)

得

f(x)

112

(3x6x2)In

2

22

2

3

2

2

2

6

n1

cosnx

n1

cosnx

,x(0,2).

2

而

f(00)f(20)

6,

故由收斂定理得

6

2

f(00)f(20)

2

n1

In

2

cosO

n1

In.

2

9設f(x)為,上光滑函數(shù)，f()).且an,bn為f(x)的傅里葉系

數(shù)，

an,bn

為

f(x)

的導函數(shù)

f(x)

的傅里葉系數(shù).證明

aO0,annbn,bnnan(n1,2,).

證：因為f(x)為，上光滑函數(shù)，所以(x)為，上的連續(xù)函數(shù),

故可積.由系數(shù)公式得

aO

1

f(x)dx

1

f()f()0.

當n1時,

an

f(x)cosnxdx

f(x)cosnx

1

n

f(x)sinnxdxnbn

bn

1

f(x)sinnxdx

1

f(x)sinnx

n

f(x)cosnxdxnan

故結(jié)論成立.

aO

10證明：若三角級數(shù)2

supnan,nbn

n

(a

n1

n

conxsbn

snxin

中的系數(shù)an,bn滿足關系

33

M

aO

,M為常數(shù)，則上述三角級數(shù)收斂，且其和函數(shù)具有連續(xù)的導函數(shù).

證：設

uO(x)

2,un(x)ancosnxbnsinnx,n1,2,.

則n0,un(x)在R上連續(xù)，且

(x)nansinnxnbncosnx亦在R上連續(xù).uO(x)0,un

(x)nansinnxnbncosnx

又xR,un

nannbn

2Mn

2

而

2Mn

2

收斂，

所以故設

(x)un

nb

n

cosnxnansinnx

在R上?致收斂.

s(x)

a02

(a

n1

n

cosnxbnsinnx)

,則

s(x)

(na

n1

n

cosnxnbnsinnx)

u(x)

n

n1

s(x)

且

(na

n1

n

cosnxnbnsinnx)

在R上連續(xù).

§15.2以21為周期的函數(shù)的展開

一基本內(nèi)容

一、以21為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)設f(x)是以21為周期的函數(shù)，作替換

x

It

，則

ItF(t)f

是以2為周期的函數(shù)，且￡&)在(1,1)上可積F(t)?(,)上可積.

F(t)aO

2

于是其中

令tan1anIncontsbnsntin,F(t)sinntdtF(t)cosntdbtn,1

.x

1得

ItnxnxF(t)ff(x)sinntsin,cosntcos11,,

f(x)aOnxnxancosbnsin211.n1

1從而

其中an

bn11111If(x)cosf(x)sinnxlnx

Idx,dx1.

aO

2nxnxacosbsinnn11.n1上式就是以21為周期的函數(shù)f(x)

的傅里葉系數(shù).在按段光滑的條件下，亦有f(x0)f(x0)2

其只含余弦項，故稱為余弦級數(shù).

同理，設f(x)是以21為周期的奇函數(shù)，則

f(x)cosnx奇，f(x)sinnx偶.

1

1

1

11111于是anbnf(x)cosf(x)sin

nxlnxl

IdxOdx21,1Of(x)sinnxldx.f(x)

2

從而nlansinnx其只含正弦項，故稱為由此可知，函數(shù)

f(x),x(0,1)

要展開為余弦級數(shù)必須作偶延拓.

f(x)x(0,1)f(x)f(x)x(1,0)偶延拓函數(shù)f(x),x(0,1)要展

開為正弦級數(shù)必須作奇延拓.

奇延拓

f(x)x(0,1)f(x)f(x)x(1,0).-習題解答

1求下列周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式

⑴f(x)COSX(周期);

解：函數(shù)

八M="sx|,延拓后的函數(shù)如

級數(shù).

因12222由于f(x)按段光滑，所以可展開為傅里葉級數(shù)，又f(x)

O?7

是偶函數(shù)，故其展開式為余弦

2,所以由系數(shù)公式得

2

aO2

2cosxdx420cosxdx4.

當n1時，

an

2222cosxcos2nxdx420cosxcos2nxdx

2

0[cos(2nl)xcos(2nl)x]dx

2

0l(2n1)

(1)2

(2n1)

2nsin(2nl)x|(l)n1201(2n1)nlsin(2nl)x|

2(2n1)(1)4(4n1).2

bn2

2cosxsinnxdx0.

2f(x)cosx

故4

(1)

nIn114n12cos2nx,

x(,)為所求.

(2)f(x)x[x](周期1)；

11x22延拓后的函數(shù)如下圖.解：函數(shù)f(x)x[x],

由于f(x)按段光滑，所以可展開為傅里葉級數(shù).因11

2,所以由系數(shù)公式得

1

2

12a02x[x]dx20x[x]dx2Oxdx111.當n1時，1

an2212x[x]cos2nxdx20x[x]cos2nxdx

1

n12xcos2nxdx011

010xd(sin2nx).1

n

lxsin2nxjOlinsin2nxdxOlbn2212x[x]sin2nxdx2xsin

2nxdxO

In1

n10xd(cos2nx)1xcos2nxIOln

10cos2nxdx

sin2nxIn.f(x)x[x]1

21

故

nlln,x(,)為所求.

4(3)f(x)sinx(周期)；

x42,2f(x)sinx延拓后的函數(shù)如下圖.解：函數(shù)，

級數(shù).因12222由于f(x)按段光滑，所以可展開為傅里葉級數(shù)，又f(x)是偶函數(shù)，

故其展開式為余弦

2,所以由系數(shù)公式得

2

aO

422sinxdx4420sinxdx44201cos2xdx22

2

01313cos2xcos4xdx8824.

當n1時，

an42

0131cos2xcos4xcos2nxdx8821

20

18

bn2nIn1,n2n2.cosxsinnxdx02

2.4

故f(x)sinx3

81

2cos2x1

8cos4x,x(,)為所求.

(4)f(x)sgn(cosx)(周期2).

解：函數(shù)f(x)sgn(cosx),x(,)延拓后的函數(shù)如下圖.

2由于f(x)按段光滑，所以可展開為傅里葉級數(shù)，又f(x)是偶函數(shù)，故其展開式為余弦

級數(shù).

因1，所以由系數(shù)公式得

aO1sgn(cosx)dx

an22Osgn(cosx)dx0.當n1時，

2Osgn(cosx)cosnxdx

sinn

22

Ocosnxdx2

2cosnxdx4n

044n(l)ksin(2k1)n2n2kn2k1.

2nIbn2sgn(cosx)sinnxdx04f(x)sgn(cosx)

故

n1(l)ncos(2nl)x,X).

x0x1

f(x)11x2

3x2x32求函數(shù)的傅里葉級數(shù)并討論其收斂性.

解：函數(shù)f(x),X(0,3)延拓后的函數(shù)如下圖.

3萬

2

由于f(x)按段光滑，所以可展開為傅里葉級數(shù)，又f(x)是偶函數(shù)，故其展開式為余弦

級數(shù).

因13

2,所以由系數(shù)公式得

2

323232343.a0

30f(x)dxlOxdx21dx32(3x)dx當n1時,

an2310xcos2nx3dx2

32

icos

22nx33

2dx2nx3dx3(3x)cos

In

10

2nx12nx

xdsinsin

3n3

2

1

2nx

(3x)dsinn23

112n12nxl4n

sinsindxsinn3n03n3

1

3

In

1

sin

2n3

In

(3x)sin

2nx3

3

2

In

32

sin

2nx3

dx

In

sin

4n3

32n

2

2

cos

2nx3

Insin

4n3

32n

2

2

cos

2nx3

3

2

bn

32n

3n2

2

22

2

cos

2n33

32n3

2

22

2

32n

2

2

cos2n

32n

2

2

cos

4n3

cos

2n

n.

f(x)sinnxdx0

f(x)

23

故

12n2nx1coscos222

n1n33,x(）為所求.n3

3將函數(shù)解：函數(shù)

f(x)

2

x

在［0,］上展開成余弦級數(shù).

f(x)

2

x

，X［0.］作偶延拓后的函數(shù)如下圖.

由于f(x)按段光滑，所以可展開為傅里葉級數(shù)，又f(x)是偶函數(shù)，故其展開式為余弦

級數(shù).

由系數(shù)公式得

a0

2

0

12

xdxxx

222

0

當n1時，

an

2

0

xcosnxdx2

2

xsinnxn2

2n

0

sinnxdx

2n

2

cosnx

4n2

0n2kIn2k.

Ibn0.f(x)

2x4

故

(2n1)n12cos(2n1)x,x[0,].

4將函數(shù)

解:函數(shù)

f(x)cosxx2在[0,]上展開成正弦級數(shù).f(x)cos2,x[0,]作偶延拓后的函數(shù)

如下圖.

級數(shù).

由系數(shù)公式得an0,n0,1,2,

bn

210cosx2sinnxdx

xdx

01sinn21xsinn21cosn121

n21xcosnx2In20

8n

(4n1).

f(x)cosx

282

故在［0,］上

nln4n12sinnx為所求.

1xf(x)x35把函數(shù)0x22x4

在(0,4)上展開成余弦級數(shù).

解：函數(shù)f(x),x(0,4)延拓后的函數(shù)如下圖.

由于f(x)按段光滑，所以可展開為傅里葉級數(shù)，又f(x)是偶函數(shù)，故其展開式為余弦

級數(shù).

因14,所以由系數(shù)公式得

a0

24

40

f(x)dxan

24

12

4

20

(1x)dx

nx4

12

42

(x3)dx0

當n1時，

f(x)cosdx

2n

(1x)sin

nx4

2

124

20

(1x)cos

nx4

dx

12

42

(x3)cos

nx4

dx

2n

20

sin

nx

dx

2n

(x3)sin

nx4

4

2

2n

42

sin

nx4

dx

8n

2

2

cos

nx4

2

8n

2

2

cos

nx4

4

2

n4k2n4k2

08n16n

222cos11)22

n2

1xf(x)

X3所以

0x22x4

2

2

8

2

(2n1)

n1

1

cos

(2n1)x

2

為所求.

6把函數(shù)f(x)x1在(0,1)上展開成余弦級數(shù)，并推出

61

2

12

2

23.

1

解：函數(shù)f(x),x(0,1)延拓為以2為周期的函數(shù)如下圖.

由于f(x)按段光滑，所以可展開為傅里葉級數(shù)，又f(x)是偶函數(shù)，故其展開式為余弦

級數(shù).

因14,所以由系數(shù)公式得

a02

10

1

f(x)dx2(x1)dx

2

23.

當n1時，

2n2n

2

2

an2(x1)cosnxdx

1

2

1

2

(x1)sinnx

1

2n

2

2

10

(x1)sinnxdx

(xl)cosnx

n

2

10

cosnxdx

4n

2

2

bn0.

-2-1°\234

(x1)

2

1313

4

所以

1

4

2

n1

lnl

2

cosnx,x[0,1]

nIn1令x0得

7求下列函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式

2

n,即

2

n

1

2

2

6.

(1)f(x)arcsin(sinx)；

解：函數(shù)f(x)arcsin(sinx)是以2為周期的函數(shù)如下圖.級數(shù).

由系數(shù)公式得

an0,n0,1,2,.

由于f(x)按段光滑，所以可展開為傅里葉級數(shù)，又f(x)是奇函數(shù)，故其展開式為正弦

bn

2

2

arcsin(sinx)sinnxdx

2

x)sinnxdx

xsinnxdx

2

2

(

2

2

2n

xcosnx

2n

cosnxdx

2n

(x)cosnx

2

2n

2

cosnxdx

4n

20

cosnxdx

4n

2

sin

n2

04k

(1)2

n

n2kn2k1

4

f(x)arcsin(sinx)

所以

(2n1)

n1

(1)

n2

sin(2nl)x

,xR.

(2)f(x)arcsin(cosx).

解：

f(x)arcsin(cosx)2級數(shù).

由系數(shù)公式得

由于f(x)按段光滑，所以可展開為傅里葉級數(shù)，又f(x)是偶函數(shù)，故其展開式為余弦

f

2

arcsin(cosx)dx0

2

xcosnxdx2

當n1時，

an

2

arcsin(cosx)cosnxdx

0

n

sinnx

2n

sinnxdx

0

42n

n2kn2k1

4

bn0,n1,2,.

f(x)arcsin(cosx)

所以

(2n1)

n1

1

2

cos(2nl)x

,xR.

0,2

上的可積函數(shù)f(x)延拓到區(qū)間，內(nèi)，使他們的傅里8試問如何把定義在

葉級數(shù)為如下的形式

2n1

(1)

a

n1

cos(2nl)x

;(2)

b

n1

2n1

sin(2nl)x

2

解：(1)先把f(x)延拓到［0,］上，方法如下：

f(x)

f(x)

f(X)

0x

2

x

再把f(x)延拓到［0,2］上，方法如下：

f(x)

f'(x)

f(2x)

0x

x2.

其圖象如下.級數(shù).

由系數(shù)公式得

a0

2

由于f(x)按段光滑，所以可展開為傅里葉級數(shù)，又f(x)是偶函數(shù)，故其展開式為余弦

f(x)dxObn

1

f(x)sinnxdx0

當n1時,

20

Of(x)cosnxdx2202f(x)cosnxdx2f(x)cosnxdx

2

0f(x)［cosnxcos(nnx)］dx

4

2f(x)cosnxdx0

0

n2kIn2k.f(x)

所以nla2nlcos(2n1)xx0,2

(2)先把f(x)延拓到［0,］上，方法如下.

f(x)f(x)

f(X)0X22x；再把f(x)延拓到［0,2］上，方法如下.

f(x)r(x)

由于f(x)按段光滑，所以可展開為傅里葉級數(shù)，又f(x)是偶函數(shù),故其展開式為余弦

級數(shù).

由系數(shù)公式得

aO2

Of(x)dx0

an1,f(x)cosnxdx0當n1時，

bn220

2Of(x)sinnxdx

22

2Of(x)sinnxdxf(x)sinnxdx22

0f(x)[sinnxsin(nnx)]dx

4

2f(x)sinnxdx0

0

n2kIn2k.

f(x)

所以b2nlsin(2nl)x

n1x0,2.§15.3收斂定理的證明

*基本內(nèi)容

一、貝塞爾(Bessel)不等式

定理1設乳乂)在［,］上可積，則

a02

2

anbn

2

2

n1

1

f(x)dx

2

其中an,bn為f(x)的傅里葉系數(shù).

推論1設六外在［,］上可積，則

lim

n

f(x)cosnxdxOlim

,n

f(x)sinnxdx0

推論2設門外在［,］上可積，則

lim

n

0

1

f(x)sinnxdx0

2,

1

f(x)sinnxdx0

2.

lim

n

定理2設以2為周期的函數(shù)￡(外在［,］上可積，則

Sn(x)

a021

n

a

k1

k

coskxbksinkx

1

sinnt

2

f(xt)dt

t2sin

2,

此稱為f(x)的傅里葉級數(shù)的部分和的積分表達式.

二、收斂性定理的證明

定理3(收斂性定理)設以2為周期的函數(shù)￡6)在［,］上按段光滑，則

f(x0)fx(

limn22

0)

Snx()

a02

定理4如果￡6)在［,］上有有限導數(shù)，或有有限的兩個單側(cè)導數(shù)，則

f(x0)f(x0)

2

a

n1

n

cosnxbnsinnx

定理5如果￡(外在［,］按段單調(diào)，則

f(x0)f(x0)

2

a02

a

n1

n

cosnxbnsinnx

二習題解答

1設f(x)以2為周期且具有二階連續(xù)的導函數(shù)，證明f(x)的傅里葉級數(shù)在

(,)上一致收斂于f(x).

證：由題目設知f(x)與f(x)是以2為周期的函數(shù)，且光滑，f(x)

a02a02

故

f(x)

(a

n1

n

cosnxbnsinnx)

(acosnxbsinnx)

n

n

n1

且

aO

1

f(x)dx1

1

f()f()0

當n1時，

an

f(x)cosnxdx

f(x)cosnxi

1

n

f(x)sinnxdxnbn

bn

1

f(x)sinnxdx

annl2

1

bnn

f(x)sinnx

f(x)cosnxdxnan

于是

anbn

121121

abnn222n2n

In.

2

2

收斂，又nIn收斂，

2bn2)(an

2

由貝塞爾不等式得n1

aO

(a

2

n

)bn

1

從而2

aO

a

n1

n

n

bn

收斂，

在(，)上一致收斂.

故2

(a

n1

cosnxbnsinnx)

2設f為，上可積函數(shù)，證明：若f的傅里葉級數(shù)在［］上一致收斂于

f,則成立貝塞爾(Parseval)等式

1

f(x)dx

2

a02

2

a

n1

2

n

bn

2

這里an,bn為f的傅里葉系數(shù).

證：設

Sm

a02

m

a

n1

n

cosnxbnsinnx

因為f(x)的傅里葉級數(shù)在[,]上一致收斂于f(x),所以N0,

“mN,x[,]f(x)Sm”

于是

f(x)Sm,f(x)Sm

2

.而

20

m

20

f(x)Sm,f(x)Smf(x),f(x)2f(x),SmSm,Sm

m

aa2222

f(x)dx2anbnanbn

2nIn122

f(x)dx

2

a02

2

anbn

2

n1

m

2

2

m

所以mN時，

aO

2

f(x)dx

2

aO

2

anbn

2

n1

2

2

故2

a

n1

2n

bn

2

1

f(x)dx

2

3由于貝塞爾等式對于在［,］上滿足收斂定理條件的函數(shù)也成立.請應用這個結(jié)

果證明下列各式.

2

(1)

8

(2n1)

n1

1

2

2

；(2)6

n

n1

1

2

4

；(3)90

In.

4

4

f(x)

4解：(1)取

x00x

，由§1習題3得

,x(,0)(0,)

f(x)

n1

sin(2nl)x2n1

2

1

由貝塞爾等式得

2

2

2

16

dx

(2n1)

n1

1

即8

(2n1)

n1

1

⑵取f(x)x,x(,)，由§1習題1(1)得

f(x)2(1)

n1

n1

sinnxn

2

,x(,)

1

由貝塞爾等式得

2

(l)n122

xdx

nn1,

故6

n

n1

1

2

2

⑶取f(x)x,x[,由§1習題1⑵得

X

1

2

2

3

4

n1

2

n

cosxn

2

,x(,)

2

由貝塞爾等式得

2

14

xdx

23

(l)n4n2n1,

故90

In.

4

4證明：若f,g均為［,］上可積函數(shù)，且他們的傅里葉級數(shù)在［,］上分別一

致收斂于f和g,則1

f(x)g(x)dx

a002

(a

n

n1

n

bnn)

其中an,bn為f的傅里葉系數(shù),n為g的傅里葉系數(shù).

f(x)

a02

證：由題設知

g(x)

(a

n1

n

cosnxbnsinnx)

0

2

n1

n

cosnxnsinnx)

1

于是

f(x)g(x)dxf(x),g(x)

f(x),

0

2

(

n1

n

cosnxnsinnx)

f(x),

02

n1

f(x),ncosnxf(x),nsinnx

cosnxbnsinnx,

f(x),

0

2

a02

而

a

n1

0

2

n

f(x),ncosnx

aO0

,22

a02

aO02

n

a

n1

cosnxbnsinnx,ncosnx

ancosnx,ncosnxann

f(x),nsinnx

a02

a

n1

n

cosnxbnsinnx,nsinnx

bncosnx,ncosnxbnn

1

f

所以

f(x)g(x)dx

aO02

(a

n

n1

n

bnn)

f(x)dx0

5證明若f及其導函數(shù)f均在［］上可積,

f()f(),且成立貝塞爾等式，則

f(x)dx

2

f(x)dx

2

f(x)dx0證：因為f(x)、f(x)在，上可積，，f()f(),

f(x)

a02a02

設

f(x)

(a

n1

n

cosnxbnsinnx)

(acosnxbsinnx)

n

n1

由系數(shù)公式得

aO

f(x)dx

1

f()f()0.

當n1時，

an

f(x)cosnxdx

f(x)cosnxi

1

f(x)sinnxdxnbn

bn

1

f(x)sinnxdx

1

f(x)sinnx;

n

f(x)cosnxdxnan

于是由貝塞爾等式得

f(x)dx

2

a

n1

2

n

bn

2

n

2

2

2n

n

n1

2

anb

2

a

n1

2n

bn

2

f(x)dx

總練習題15

1試求三角多項式

的傅里葉級數(shù)展開式.

解：因為

Tn(x)

A02Tn(x)

A02

n

(Acoskxk

k1

k

Bsinkx)

n

(A

k1

k

coskxBksinkx)

是以2為周期的光滑函數(shù)，所以可展為

傅里葉級數(shù)，

由系數(shù)公式得

aOTn(x),1

A02

n

(A

k1

k

coskxBksinkx),1AO

當k1時，

akTn(x),coskx

knkn

A02

Ak

(AcoskxBsinkx),coskxkkk10

n

bkTn(x),sinkx

knkn

A02

Bk

(AcoskxBsinkx),sinkxkkk10

n

故在(，),

Tn(x)

A02

n

(A

k1

k

coskxBksinkx)

的傅里葉級數(shù)就是其本身.

2設￡為［,］上可積函數(shù)，aO,ak,bk(k1,2,,。)為￡的傅里葉系數(shù)，試證

明，當AOaO,Akak,Bkbk(k1,2,,n)時，積分

f(x)Tn(x)

2

dx

取最小值，且最小值為

f(x)

a02

n

2

2aO

dx

2

22

(ab)kkk1.

n

上述Tn(x)是第1題中的三角多項式,AO,A