2018年高考數(shù)學分類匯編：專題三函數(shù)與導數(shù)

《2018年高考數(shù)學分類匯編》第三篇:函數(shù)與導數(shù)選擇題1.【2018全國一卷5】設函數(shù)，若為奇函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為A． B． C． D．2.【2018全國二卷10】若在是減函數(shù)，則的最大值是A． B． C． D．3.【2018全國三卷7】函數(shù)的圖像大致為4.【2018浙江卷5】函數(shù)y=sin2x的圖象可能是A． B． C． D．二、填空題1.【2018全國一卷16】已知函數(shù)，則的最小值是_____________．2.【2018全國二卷13】曲線在點處的切線方程為__________．3.【2018全國三卷14】曲線在點處的切線的斜率為，則________．4.【2018江蘇卷11】若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點，則在上的最大值與最小值的和為．解答題1.【2018全國一卷21】已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在兩個極值點，證明：．2.【2018全國二卷21】已知函數(shù)．（1）若，證明：當時，；（2）若在只有一個零點，求．3．【2018全國三卷21】已知函數(shù)．（1）若，證明：當時，；當時，；（2）若是的極大值點，求．4.【2018北京卷18】設函數(shù)．（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（1，）處的切線與軸平行，求a；（Ⅱ）若在x=2處取得極小值，求a的取值范圍．5.【2018天津卷20】已知函數(shù)，，其中a>1.（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（II）若曲線在點處的切線與曲線在點處的切線平行，證明；（III）證明當時，存在直線l，使l是曲線的切線，也是曲線的切線.6．【2018江蘇卷17】某農(nóng)場有一塊農(nóng)田，如圖所示，它的邊界由圓O的一段圓?。≒為此圓弧的中點）和線段MN構(gòu)成．已知圓O的半徑為40米，點P到MN的距離為50米．現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個溫室大棚，大棚Ⅰ內(nèi)的地塊形狀為矩形ABCD，大棚Ⅱ內(nèi)的地塊形狀為，要求均在線段上，均在圓弧上．設OC與MN所成的角為．（1）用分別表示矩形和的面積，并確定的取值范圍；（2）若大棚Ⅰ內(nèi)種植甲種蔬菜，大棚Ⅱ內(nèi)種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為．求當為何值時，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大．7.【2018江蘇卷19】（本小題滿分16分）記分別為函數(shù)的導函數(shù)．若存在，滿足且，則稱為函數(shù)與的一個“S點”．（1）證明：函數(shù)與不存在“S點”；（2）若函數(shù)與存在“S點”，求實數(shù)a的值（3）已知函數(shù)對任意判斷是否存在,使函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)存在”S點”,并說明理由.8.【2018浙江卷22】已知函數(shù)f(x)=?lnx．（Ⅰ）若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)處導數(shù)相等，證明：f(x1)+f(x2)>8?8ln2；（Ⅱ）若a≤3?4ln2，證明：對于任意k>0，直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一公共點．9.【2018上海卷19】（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）某群體的人均通勤時間，是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到工作地的平均用時，某地上班族S中的成員僅以自駕或公交方式通勤，分析顯示：當S中的成員自駕時，自駕群體的人均通勤時間為（單位：分鐘），而公交群體的人均通勤時間不受x影響，恒為40分鐘，試根據(jù)上述分析結(jié)果回答下列問題：[來~源:=1\*ROMANI）當x在什么范圍內(nèi)時，公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間？=2\*ROMANII）求該地上班族S的人均通勤時間的表達式；討論的單調(diào)性，并說明其實際意義.參考答案選擇題1.D2.A3.D4.D二、填空題1.2. 3．4．三．解答題1.解:（1）的定義域為，.（i）若，則，當且僅當，時，所以在單調(diào)遞減.（ii）若，令得，或.當時，；當時，.所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）由（1）知，存在兩個極值點當且僅當.由于的兩個極值點滿足，所以，不妨設，則.由于，所以等價于.設函數(shù)，由（1）知，在單調(diào)遞減，又，從而當時，.所以，即.2．解：（1）當時，等價于．設函數(shù)，則．當時，，所以在單調(diào)遞減．而，故當時，，即．（2）設函數(shù)．在只有一個零點當且僅當在只有一個零點．（i）當時，，沒有零點；（ii）當時，．當時，；當時，．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．故是在的最小值．①若，即，在沒有零點；②若，即，在只有一個零點；③若，即，由于，所以在有一個零點，由（1）知，當時，，所以．故在有一個零點，因此在有兩個零點．綜上，在只有一個零點時，．3.解：（1）當時，，.設函數(shù)，則.當時，；當時，.故當時，，且僅當時，，從而，且僅當時，.所以在單調(diào)遞增.學.科網(wǎng)又，故當時，；當時，.（2）（i）若，由（1）知，當時，，這與是的極大值點矛盾.（ii）若，設函數(shù).由于當時，，故與符號相同.又，故是的極大值點當且僅當是的極大值點..如果，則當，且時，，故不是的極大值點.如果，則存在根，故當，且時，，所以不是的極大值點.如果，則.則當時，；當時，.所以是的極大值點，從而是的極大值點綜上，.4.解：（Ⅰ）因為=[]，所以f′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex=［ax2–（2a+1）x+2］ex．f′(1)=(1–a)e．由題設知f′(1)=0，即(1–a)e=0，解得a=1．此時f(1)=3e≠0．所以a的值為1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex．若a>，則當x∈(，2)時，f′(x)<0；當x∈(2，+∞)時，f′(x)>0．所以f(x)在x=2處取得極小值．若a≤，則當x∈(0，2)時，x–2<0，ax–1≤x–1<0，所以f′(x)>0．所以2不是f(x)的極小值點．綜上可知，a的取值范圍是（，+∞）．5.（I）解：由已知，，有.令，解得x=0.由a>1，可知當x變化時，，的變化情況如下表：x00+極小值所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（II）證明：由，可得曲線在點處的切線斜率為.由，可得曲線在點處的切線斜率為.因為這兩條切線平行，故有，即.兩邊取以a為底的對數(shù)，得，所以.（III）證明：曲線在點處的切線l1：.曲線在點處的切線l2：.要證明當時，存在直線l，使l是曲線的切線，也是曲線的切線，只需證明當時，存在，，使得l1與l2重合.即只需證明當時，方程組有解．由①得，代入②，得.③因此，只需證明當時，關于x1的方程③存在實數(shù)解.設函數(shù)，即要證明當時，函數(shù)存在零點.，可知時，；時，單調(diào)遞減，又，，故存在唯一的x0，且x0>0，使得，即.由此可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.在處取得極大值.因為，故，所以下面證明存在實數(shù)t，使得.由（I）可得，當時，有，所以存在實數(shù)t，使得．因此，當時，存在，使得.所以，當時，存在直線l，使l是曲線的切線，也是曲線的切線.6．解：（1）連結(jié)PO并延長交MN于H，則PH⊥MN，所以OH=10．過O作OE⊥BC于E，則OE∥MN，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，則矩形ABCD的面積為2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），△CDP的面積為×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．過N作GN⊥MN，分別交圓弧和OE的延長線于G和K，則GK=KN=10．令∠GOK=θ0，則sinθ0=，θ0∈（0，）．當θ∈[θ0，）時，才能作出滿足條件的矩形ABCD，所以sinθ的取值范圍是[，1）．答：矩形ABCD的面積為800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面積為1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范圍是[，1）．（2）因為甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4∶3，設甲的單位面積的年產(chǎn)值為4k，乙的單位面積的年產(chǎn)值為3k（k>0），則年總產(chǎn)值為4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，）．設f（θ）=sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，），則．令，得θ=，當θ∈（θ0，）時，，所以f（θ）為增函數(shù)；當θ∈（，）時，，所以f（θ）為減函數(shù)，因此，當θ=時，f（θ）取到最大值．答：當θ=時，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大．7.解：（1）函數(shù)f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，則f′（x）=1，g′（x）=2x+2．由f（x）=g（x）且f′（x）=g′（x），得，此方程組無解，因此，f（x）與g（x）不存在“S”點．（2）函數(shù)，，則．設x0為f（x）與g（x）的“S”點，由f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），得，即，（*）得，即，則．當時，滿足方程組（*），即為f（x）與g（x）的“S”點．因此，a的值為．（3）對任意a>0，設．因為，且h（x）的圖象是不間斷的，所以存在∈（0，1），使得．令，則b>0．函數(shù)，則．由f（x）=g（x）且f′（x）=g′（x），得，即，（**）此時，滿足方程組（**），即是函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)的一個“S點”．因此，對任意a>0，存在b>0，使函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)存在“S點”．8.解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的導函數(shù)，由得，因為，所以．由基本不等式得．因為，所以．由題意得．設，則，所以x（0，16）16（16，+∞）?0+2?4ln2所以g（x）在[256，+∞）上單調(diào)遞增，故，即．（Ⅱ）令m=，n=，則f（m）–km–a>|a|+k–k–a≥0，f（n）–kn–a<≤<0，所以，存在x0∈（m，n）使f（x0）=kx0+a，所以，對于任意的a∈R及k∈（0，+∞），直線y=kx+a與曲線y=f（x）有公共點．由f（x）=kx+a得．設h（x）=，則h′（x）=，其中g（x）=．由（Ⅰ）可知g（x）≥g（16），又a≤3–4ln2，故–g（x）–1+a≤–g（16）–1+a=–3+4ln2+a≤0，所以h′（x）≤0，即函數(shù)h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，因此方程f（x）–kx–a=0至多1個實根．綜上，當a≤3–4ln2時，對于任意k>0，直線y=kx+a與曲線y=f（x）有唯一公共點．9.解（1）①當時，自駕群體人均通勤時間為分鐘，公交群體人均通勤時間為分鐘，此時公交群體人均通勤時間大于自駕群體人均通勤時間。②當