數(shù)值分析考試題目匯編

Chi、引論

§1、數(shù)值分析及其特點(diǎn)

1、數(shù)值分析及其主要內(nèi)容

數(shù)值分析也稱計(jì)算方法，主要研究用計(jì)算機(jī)求解數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值方法及理論，內(nèi)容主要

包括：

(1)數(shù)值逼近一插值與擬合、多項(xiàng)式逼近、有理逼近等(Ch2~Ch3)；

(2)數(shù)值積分與微分(Ch4)；

(3)數(shù)值代數(shù)一求解方程(組)以及特征問(wèn)題的數(shù)值方法(Ch6~Ch9)；

(4)常微分方程的數(shù)值解法(Ch5)。

2、數(shù)值分析的特點(diǎn)

(1)首先要有可靠的理論分析，以確保算法在理論上的收斂性和數(shù)值穩(wěn)定性；

(2)其次要對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行誤差估計(jì)，以確定其是否滿足精度；(見(jiàn)例3)

(3)還要考慮算法的運(yùn)行效率，即算法的計(jì)算量與存儲(chǔ)量。

例如Cooley和Tukeyl965年提出FFT,N2/1Nlog?,N=32K,1000倍。

例1、分析用Cramer法則解一個(gè)〃階線性方程組的計(jì)算量。

解：計(jì)算機(jī)的計(jì)算量主要取決于乘除法的次數(shù)。

用Cramer法則解一個(gè)〃階線性方程組需計(jì)算〃+1個(gè)〃階行列式，而用定義計(jì)算〃階行

列式需〃!(〃—1)次乘法，故總計(jì)共需(〃+1)〃!(〃—1)=(〃+1)!(〃—1)。

此外，還需〃次除法。

當(dāng)〃=20時(shí)-，計(jì)算量約為(〃+1)!(〃-1)=9.7X102。次乘法。即使用每秒百億次乘法

的計(jì)算機(jī)，也需計(jì)算3000多年才能完成。

可見(jiàn)，Cramer法則僅僅是理論上的，不是面向計(jì)算機(jī)的。

§2、數(shù)值分析中的誤差

1、誤差的類型與來(lái)源

(1)模型誤差；(2)觀測(cè)誤差；

(3)截?cái)嗾`差(方法誤差)一模型的準(zhǔn)確解與數(shù)值方法準(zhǔn)確解之間的誤差；

(4)舍入誤差一實(shí)數(shù)形式的原始數(shù)據(jù)與有限字長(zhǎng)的計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)之間的誤差。

數(shù)值分析主要研究截?cái)嗾`差與舍入誤差。

2n

Xx

例2、根據(jù)Taylor?展式e"=14-x+--+???+--+/?”(x)計(jì)算(誤差小于0.01)。

2!n\

解…”+（T）+字+岑+哈+M+R"

.J.I??

-——-（截?cái)嗾`差）?0.3667（舍入誤差）.

2624120

2、誤差的基本概念

（1）誤差與誤差限

設(shè)x為某量的精確值，/為x的一個(gè)近似值，則稱e*=|無(wú)一x*|為x*的（絕對(duì)）誤差,

e：=卜-》[/兇為x*的相對(duì)誤差。

用某種方法確定的誤差的某個(gè)上界/稱為X*的誤差限，顯然k-/歸￡*,即

X*—￡WxWx*+￡,￡；=￡*/卜*|稱為尤*的相對(duì)誤差限。

誤差限取決于測(cè)量工具和計(jì)算方法。

（2）函數(shù)值的計(jì)算誤差

設(shè)A=/區(qū),》2,…,X"），X：,X：,…,X：為花,々,…,X”的近似值，則

e（A*）=A*-A=/（x；,X：,…,x：）-/I,…,x.）

=V"'——（x；-xk）+/?!（x；,x；,…x：）（多元函數(shù)一階Taylor展式）

Jt=]_OXk_

n

N

Jl=l如產(chǎn)"J笆圖圖"

§3、算法的數(shù)值穩(wěn)定性與病態(tài)問(wèn)題

1、算法的數(shù)值穩(wěn)定性

例3、計(jì)算/“=i-^—dx（n=0,1,2…,6）,并做誤差分析。

4）x+5

M,『X"+5X"T_5X"T1,,dx6

解一，，=1―示一小一5配+儲(chǔ)/。=In，0.1823=/+。。

5°

I*=0.1823

算法1：《*,1,結(jié)果見(jiàn)下表。

I”=+-

In

xnxnxn11

又上工/_<_——__<i<___2^6x7+5x?J=0.02619=

61+55'6(〃+1)〃5(〃+1)

/；=0.02619

算法2：1/“/*，結(jié)果見(jiàn)下表。

1_5

n算法1算法2準(zhǔn)確值

00.18230.18230.1823

10.08850.08840.0884

20.05750.05800.0580

30.04580.04310.0431

40.02080.03440.0343

50.09580.02810.0285

6-0.31250.02620.0243

誤差分析：

算法1："='一4=g一J--5/；J|=…=5牛。-

=5"￡0）即在計(jì)算過(guò)程中誤差放大了5"倍。

算法2：&邛。一止修一如盧=*一/；|

即誤差縮小了5"倍。

定義1：若某算法受初始誤差或計(jì)算過(guò)程中產(chǎn)生的舍入誤差的影響較小，則稱之是數(shù)值穩(wěn)定

的，反之稱為不穩(wěn)定算法。

2、病態(tài)問(wèn)題

例4、將方程Mx）=（x-D（x-2）…（x-20）=0,即尤20-210x"+…+20!=0改為攝

動(dòng)方程無(wú)2°—（210+￡）x"+.-+20!=0,即p（x）—夕i9=o,其中￡=2<3=10,。

Wilkinson用精密方法計(jì)算出其根為：1.0000,…,6.0000,6.9997,

8.0073,8.9173,10.0953±0.6435/,19.5024±1.9403?,20.8469。

2019

令p（x,E）=X-（210+￡）X+…+20!,其根為xi（￡）,i=1,2,…20,則當(dāng)￡T0

dx（￡）

時(shí)，X,（￡）7i。顯然二q反映了初始數(shù)據(jù)的微小攝動(dòng)對(duì)為（￡）的影響程度即問(wèn)題的

d￡f=0

條件數(shù)。

因p（X,（￡）,￡）三0,故竽=一［?/黑］=h工一=五1

d￡e=0（進(jìn)/加人=0￡n（X.-j）n”J）

k=\

dXj（￡）

de￡=0

110

4KT?

610'

8104

10-19106~1()9

20107(

定義2：若初始數(shù)據(jù)的微小誤差都會(huì)對(duì)最終的計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生極大的影響，則稱這種問(wèn)題為病

態(tài)問(wèn)題（壞條件問(wèn)題），反之稱其為良態(tài)問(wèn)題。

'10787Y32.r'9.2

756522.9-12.6

X=

8610933.14.5

、75930.9,、一1.1,

、

(1078.17.2、X]（32、

7.085.0465X223137

X

85.989.899X333-34

6.994.9999.98人xj、31,、22,

然后用精確方法求解，發(fā)現(xiàn)其解與原方程解相比發(fā)生了很大的變化。

這表明此方程組為病態(tài)方程組。

§4、算法的實(shí)現(xiàn)與常用的數(shù)學(xué)軟件

用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)數(shù)值分析中的算法通常有兩種途徑：（1）用Fortran、C、VB、VC等自編

程序；（2）借助于現(xiàn)成的數(shù)學(xué)工具軟件。

目前常用的數(shù)學(xué)軟件約30余個(gè)，可分為通用與專用兩大類。

專用系統(tǒng)主要是為解決數(shù)學(xué)中某個(gè)分支的特殊問(wèn)題而設(shè)計(jì)的。

1、SAS和SPSS（統(tǒng)計(jì)分析）；

2、Lindo、Lingo和CPLEX（運(yùn)籌與優(yōu)化計(jì)算）；

3、Cayley和GAP（群論研究）;

4、PARI（數(shù)論研究）；

5、Origin（科技繪圖與數(shù)據(jù)分析）；

6、DELiA（微分方程分析）等。

通用系統(tǒng)中又可分為數(shù)值計(jì)算型與解析計(jì)算型。

數(shù)值計(jì)算型：Matlab、Xmath、Gauss、MLAB和Origin等。

解析計(jì)算型：Maple、MathematicalMacsyma、Axiom和Reduce等。

其中Matlab、MathematicalM叩le與另一個(gè)面向大眾的普及型數(shù)學(xué)軟件Mathcad并稱

數(shù)學(xué)軟件中的“四大天王

Matlab意思為“矩陣實(shí)驗(yàn)室”，是美國(guó)計(jì)算機(jī)科學(xué)家CleveMoler在70年代末開(kāi)發(fā)出的

以矩陣數(shù)值計(jì)算為主的數(shù)學(xué)軟件，如今已發(fā)展成為融科技計(jì)算、圖形可視化與程序語(yǔ)言為一

體的功能強(qiáng)大的通用數(shù)學(xué)軟件。Matlab最突出的特點(diǎn)是其帶有一系列的“工具包”，可廣泛

應(yīng)用于自動(dòng)控制、信號(hào)處理、數(shù)據(jù)分析、通訊系統(tǒng)和動(dòng)態(tài)仿真等領(lǐng)域。高版本的Matlab也

可進(jìn)行符號(hào)計(jì)算，不過(guò)它的代數(shù)運(yùn)算系統(tǒng)是從Maple移植過(guò)來(lái)的。Mathematica是美國(guó)物理

學(xué)家StephenWolfram開(kāi)發(fā)出的第一個(gè)將符號(hào)計(jì)算、數(shù)值計(jì)算和圖形顯示很好地結(jié)合在一起

的數(shù)學(xué)軟件，在國(guó)內(nèi)較為流行，擁有廣泛的用戶。Mathcad是MathSoft公司在80年代開(kāi)發(fā)

的一個(gè)交互式數(shù)學(xué)文字軟件，與Matlab和Mathematica不同的是，該軟件的市場(chǎng)定位是：向

廣大教師、學(xué)生、工程技術(shù)人員提供一個(gè)兼?zhèn)湮淖?、?shù)學(xué)和圖形處理能力的集成工作環(huán)境，

而并不致力于復(fù)雜的數(shù)值計(jì)算與符號(hào)計(jì)算問(wèn)題，具有面向大眾普及的特點(diǎn)。不過(guò)，新版

Mathcad的計(jì)算能力已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了其早期的設(shè)計(jì)目標(biāo)。

Maple是加拿大Waterloo大學(xué)符號(hào)計(jì)算研究小組于80年代初開(kāi)始研發(fā)，1985年才面世

的計(jì)算機(jī)代數(shù)軟件，起初并不為人們所注意，但MapleVrelease2于1992年面世后，人們

發(fā)現(xiàn)它是一個(gè)功能強(qiáng)大、界面友好的計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)。隨著版本的不斷更新，Maple已日益

得到廣泛的承認(rèn)和歡迎，用戶越來(lái)越多，聲譽(yù)越來(lái)越高，從1995年以后，Maple一直在IEEE

的數(shù)學(xué)軟件評(píng)比中居符號(hào)計(jì)算軟件的第一名。目前，Maple的最高版本為MapleVreleaseIk

第一章上機(jī)

實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?/p>

1、熟悉Maple中的定義函數(shù)、解方程、積分、循環(huán)語(yǔ)句和列表等命令；

2、通過(guò)具體問(wèn)題的計(jì)算，加深對(duì)數(shù)值穩(wěn)定性和病態(tài)問(wèn)題的理解。

實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：

1、設(shè)/“=fx"eidx,〃=0,l,…，由/°=l-eT=0.6321,/得算法一：

7；=0.6321,.11

i°；又Wx",---------<I?<——，取006839,從而

/；=1一e（〃+1）n+1

7；=0.06839

又得算法二:分別用上述兩種算法計(jì)算/。，L，…，A，根據(jù)計(jì)算結(jié)果判定

/；=(1-

其數(shù)值穩(wěn)定性，并給予證明。

2、將方程p(x)=(x-l)(x-2)--(x-20)=0,即，°一210/9+…+20!=0改為攝動(dòng)

方程(210+￡口|9+…+20!=0,對(duì)不同的￡求解此方程，觀察￡對(duì)解的影響程度，

判定此方程是否為病態(tài)方程。

1JT

15、已知三角形面積S=-a〃sinc,其中c為弧度，0<c<2,且測(cè)量a,b,c的誤差分別

22

^\a,\b,\c,證明面積的誤差A(yù)S滿足—<—+—+—?

Sahc

證：根據(jù)零階多元Taylor公式

AS=；(a+△〃)(8+Ab)sin(c+Ac)-；absinc

M+變

as△建Ac=—Z?sinc-A6Z4--asinc-A/?+—tzfecos乙-Ac

加“4時(shí)加6"222

\S\a\bcos(c+^Xc)

—=—+——+——------------Ac,

Sabsine

sin》則L3(則

令〃、)F(x+^x)cos2+

0|Ar|x,0<^<1,從而0<|電吊</+^\%<5，Wcos(^Vc)>cos2+,

，/、/、/、/、cos(x+6JXr)1

即/(力>0。又"0)=0,故/(尤)>/(0)=0,即一匚-----^<-o

sinxx

AS,AaA/?cos(c+處c)??,Aakb|AC|

從而一<——+—+——--------Ac<——+—+—。

Sabsineab|c|

Ch2、插值法

§1、插值問(wèn)題

引例：礦井中某處的瓦斯?jié)舛葃與該處距地面的距離x有關(guān)，現(xiàn)用儀器測(cè)得從地面到井下

500米每隔50米的瓦斯?jié)舛葦?shù)據(jù)(x,=0,1,2,…,10),根據(jù)這些數(shù)據(jù)完成下列工作：(1)

尋找一個(gè)函數(shù)，要求從此函數(shù)中可近似求得從地面到井下500米之間任意一點(diǎn)處的瓦斯?jié)?/p>

度；(2)估計(jì)井下600米處的瓦斯?jié)舛取?/p>

第一個(gè)問(wèn)題可歸結(jié)為“已知函數(shù)在與,用,…，貓?zhí)幍闹担蠛瘮?shù)在區(qū)間［xo，x,』內(nèi)其它

點(diǎn)處的值”，這種問(wèn)題適宜用插值方法解決。

但對(duì)第二個(gè)問(wèn)題不宜用插值方法，因?yàn)?00米己超出所給數(shù)據(jù)范圍，用插值函數(shù)外推

插值區(qū)間外的數(shù)據(jù)會(huì)產(chǎn)生較大的誤差。

解決第二個(gè)問(wèn)題的常用方法是，根據(jù)地面到井下500處的數(shù)據(jù)求出瓦斯?jié)舛扰c地面到

井下距離之間的函數(shù)關(guān)系/U),由/(x)求井下600米處的瓦斯?jié)舛取?/p>

定義：設(shè)》=/(X)在以力]中”+1個(gè)點(diǎn)X。<X]<…<x"處的值》=/(X,.)為已知，現(xiàn)根

據(jù)上述數(shù)據(jù)構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)p(x),使P(Xj)=%,這種問(wèn)題稱為插值問(wèn)題。

/(x),p(x),Xj,〃(￡)=%分別稱為被插值函數(shù)、插值函數(shù)、插值節(jié)點(diǎn)和插值條件。若

p(x)為多項(xiàng)式，則此問(wèn)題稱為多項(xiàng)式插值或代數(shù)插值。

定理1：在插值節(jié)點(diǎn)與，』，…,X“處，取給定值方,必,…,y,,且次數(shù)不高于〃的插值多項(xiàng)式

是存在且唯一的。

證：令p(x)=劭+qx+…+%x",則根據(jù)插值條件p(xj=y,.有下列等式

p(xn)=a0+alx0+---+anx^=yQ

P3)=%+g+…+《Xf(關(guān)于%的〃+］階線性方程組),

.P(x“)=。0++…+anx".=

其系數(shù)行列式是范德蒙(Vandermonde)行列式

1

1

D==H(x，r)H。。

n>i>j>\

1X.

根據(jù)克萊姆法則,此方程組存在唯一解劭,外，…，氏，即P(x)存在且唯一。

§2、Lagrange插值

1、線性插值與拋物插值

(1)線性插值

/、x-x,x-x記為

卬rX)=----Ly+——Q-

0M=yoloM+y^(x)，

xo一項(xiàng)x}-x0

其中，o(x)/(x)稱為線性插值的基函數(shù)。

(2)拋物插值

設(shè)L2(X)=A(x-尤i)(x-x2)+B(x-xQ)(x-x2)+C(x-xQ)(x-x1),

分別令工=%,玉/2，即得

y。>2

4=,B=,C=

(Xo-%!)(%(,-x2)（X]一Xo）（X1一%2）(X2-x0)(x2-x()

,,,,(x-X|)(無(wú)一/)(x-x)(x-x)

z!02

故L2(X)=y0---------------+月-------......—

(%-%!)(XO-X2)(X]-Xo)(--X2)

其中，O（X）/（x）』2（X）稱為拋物插值的基函數(shù)。

2、Lagrange插值多項(xiàng)式

定義：對(duì)“+1個(gè)插值節(jié)點(diǎn)X（）,X],…X”，令

/.）=（X7。）…（XTI）（XTQ…（Xf,）,心0』,…〃,

（乙一X。）",（X*—）（x?—xk+l）,,1（xk—x“）

Ik=j

則顯然4（演）=<,。此時(shí)，4,（%）=2九43滿足4（毛）=%?=0,1/一,“）稱

Ok*M

之為L(zhǎng)angrange插值多項(xiàng)式，（x）,“（x）稱為L(zhǎng)agrange插值的基函數(shù)。

編程時(shí)宜用L“（X）=￡TJ無(wú)一占

X。

j=0yi%.-%,

i*j

3、插值公式的余項(xiàng)

定理2：設(shè)/⑺（x）[a,b]上一連續(xù)，在（。力）內(nèi)可導(dǎo)，則以插值多項(xiàng)式L“（x）逼近/（x）的截

斷誤差（即余項(xiàng)）

f（M+I）江）〃

R.（x）=/（X）-Ln（x）=-———n（X-巧），4e0力）。

例1、已知函數(shù)Inx的數(shù)據(jù)如下，分別用線性插值和二次插值求ln（0.54）的近似值。

X0.50.60.7

fM-0.693147-0.510826-0.356675

AR1/\X-x,%—0.6,,/、x—x—0.5,八_

解：/,.(%)=------=-------=-10x+6,/,(x)=------=-------=10x-5,

1

0x0-x,0.5-0.6/一/0.6-0.5

L,(x)="(%)+卯|(x)=1.82321Ox-1.604752

ln(0.54)=L,(0.54)=-0.62021860

ln(0.54)=-0.6161861396

(x-x,)(x-x2)_(x-0.6)(x-0.7)

，o(x)==50/-65X+21

(xo—X])(XQ—/)(0.5—0.6)(0.5—0.7)

(x—x0)(x—x2)_(x—0.5)(x—0.7)

4(x)==-100.r2+120x-35

(x,-x0)(x,-x2)(0.6-0.5)(0.6-0.7)

/(X)=(xfXxf)=(x-0.5)(x-0.6)

=50x2-55x+15

"—XQ)(X2—X])(0.7—0.5)(0.7—0.6)

2

L2(X)=y0Z0(^)+y,/,(x)+y2l2(x)=—1.408500%+3.372560%—2.027302

ln(0.54)=4(0.54)=—0.616838200

ln(0.54)=-0.6161861396

§3、逐次線性插值法

對(duì)插值節(jié)點(diǎn)與，勺,……及對(duì)應(yīng)的函數(shù)值MPM，……，用",左=0,1,2…表示」

個(gè)非負(fù)整數(shù)序列，將斤+1個(gè)節(jié)點(diǎn)為0,孫，…，x"所確定的不高于左次的插值多項(xiàng)式記為

Pii：（X）,則

P：,：：（x）-P,：：（x）/\

緣⑶=*「匕（x）+^^3r）,

!k\-l

即k次插值多項(xiàng)式可以用兩個(gè)人-1次插值多項(xiàng)式通過(guò)線性插值獲得一逐次線性插值。

Aitken算法：

k=。k=\k=2k=3

Xo%=4(x)

M=P\(x)^01（X）

x2y2=P2(x)庶2（X）412（工）

X3%=：（x）尸03（X）%3（X）%23（%）

例2、根據(jù)下表近似計(jì)算y=/（x）在x=U5處的值。

10=^(%)

X]ll=6(x)10.7143=

12=g(x)10.6819=%(x)10.7228=%2(x)

13=￡,(x)10.6522=/^3(x)10.7221=%3(x)10.7223=^,123(x)

+鼎（U57°o）=m⑷

同理可得痣2（x），痣3（x）。

綜12（x）="（X）+媼4幻一”|"）（X-X,）=10.7143+186819-10.7143（115_121）=10.7228

x2-X1144-121

類似可得413（%）。

用⑵（X）=%2（X）+&（X）一“2。）（X_/）=10.7236，

X3—X2

故=10.7238。

§4、均差與牛頓插值公式

1、均差（差商）及其性質(zhì)

定義：/[x0,xJ="/）一""）稱為/（幻關(guān)于的一階均差;

/[x。,*,尤』=生"止也鼠稱為f（x）關(guān)于x°,西，/的二階均差;

Xof

類似地可定義九階均差

，，

f[xn,Xl,---,x]=小0'為'…'Z-J一小1/…,X,』。

"Xof,

定理：/[x,X,---,X?]=^/（七）_________________

0）即〃階均差可表

（X,一X。）…（X,-x,._,）（x,.-X）???（%,.-x?）

/=0/+1

示為/（匕）的線性組合，從而〃階均差與節(jié)點(diǎn)的排列次序無(wú)關(guān)。

證：當(dāng)〃=1時(shí)，右=41+/良0_=任正給2=/[尤0，項(xiàng)]=左

X。一無(wú)?X]一x（）尤o—X]

不妨假設(shè)〃-1成立，則

/[xxX]=/[x0'X],…,X“_]]一/卜,:2,…,X”]

0，"'"Xo-X"

=1忖/（X,）_.Aw）-

X。—X,,[總（x,-x0）???（%,.-X?_,）白（X,一芭）…（X,.-X,,）

1j/(X。)1￡/(匹)]

x0-x?[I(/-X|)…(x0-%?_1)白(X,-X。)…(X,.-xn.!)J

_Sg+f(x?)Y

6(X,-XJ…&-X.)(x,-XJ…(x“-X,I)]

=___________/Oo)___________

(x0-x1)---(x0-x?_1)(x0-x?)

Xo-x“l(fā)臺(tái)(七一X。)…&—X,I)(3—X“)白(X,-X。)(者一X|)…

+___________/(Xo)___________=y_________________/(xj________________

(x“一Xo)(x?-X|)…(x,占(x,.-%())???(X,.—X"|)(七一七+J…(X,.-x?)

2、牛頓插值公式

設(shè)插值節(jié)點(diǎn)X0,X1,…,巧上的插值多項(xiàng)式為

p(x)=〃0+Q[(X-10)+g(X_X。)(尤一/)^---FQ〃(九一%)…(X—)。

分別令X=%0，/,…,不〃,則有

〃(%0)=即=/(%0)；

p(xt)=?()+ax(x,-XO)=/(X1)

?;

從而。0=/(%)，

，丁3)-')=力"J

不一與

?2=■■■=/[x^x^x^…，樂(lè)=/卜0，匹,…,X,』,

故p(x)=/[xo]+/[xo，xJ(x-Xo)+/[xo，X],x](x—Xo)(x—xJ+…+

f[xQ,Xl,---,Xn](x-xo)(x-X,)???(X-%?_1)---牛頓插值公式。

例3、P34

K=0K=1K=2K=3K=4K=5

0.400.41075

0.550.578151.11600

0.650.696751.186000.28000

0.800.888111.275730.358930.19733

0.901.026521.384100.433480.213000.03134

1.051.253821.515330.524930.228630.03126?0.00012

0.41075-0.57815

=1.11600,

0.40-0.55

/[xxx]=//卜,々]1.11600-1.18600八…,、,、

---------------=0.28000。

0.40-0.65

Nq(x)=0.41075+1.116(x-0.4)+0.28(x-0.4)(x-0.55)

+0.19733a-0.4)(尤-0.55)(x-0.65)

+0.03134(x-0.4)(x-0.55)(x-0.65)(x-0.8)

/(0.596)=(0.596)=0.63195?

§5、差分與等距節(jié)點(diǎn)插值公式

1、差分及其性質(zhì)

定義：對(duì)等距節(jié)點(diǎn)xk=x0+kh,(k-0,1,????),記X=f(xk)o

向前差分：Nk=fm7k；

向后差分：Nfk=fk-f"\；

hh

中心差分:8fk=f(xk+-)-/(xt--)=+建4_|；

二階差分：2；

A/,=Af,+1-Af,=fk+2-2/A.+I+fk

〃階差分：=A"-7,+1-A--7,0

不變算子/與移位算子E,即o

、Efk=fk+t

由=￡句—/=—伉’=(E—/)/,得△=E-。

(1)差分類似于微分的性質(zhì)

△(f『gJ=fkAgk+gk+Md[f-g)=fdg+gdf

ZfM=一fogo-工gk+Mffdg=f-g\a-fgdf

k=0k=O

(2)函數(shù)值與差分可相互線性表示

A%=岱-"-=￡(—D'CE"/=￡(—l)'C篇I

f=oi=0

i=0

⑶差分與均差的關(guān)系

/上，4+1，…，/+,/二々,白△上，〃?=1,2,…〃o

mlh

證：，”=1時(shí)，/民,々+[=""1）_"4）二組。

々+1一勾h

假設(shè)機(jī)-1時(shí)成立，則

r\]_f卜-I，■???，-+”,]―/卜，???*八”1

JlXk，Xk+1，…4+mJ-

__________—A?_1f____________—A"if

_(m—l)!h”iI(加一1)!fl*】

Xfc+m-1A

OT

______iA-'(ArjiA

(/M-1)!h"-'mhm'.h"'Jk°

2、等距節(jié)點(diǎn)插值公式

令x=+卅，則x—/=妨，x-X]=尤一(尤o+/?)=Q-1)力，…，

x——x—[XQ+(攵-1)6]=卜-(Z—1)]/Z°

代入牛頓插值公式得

/(X)=￡/[XO，X],?、X』,E-XO)(X-X)—(X—XI)

k=0

f禁a-1)…h(huán)dh=￡ST)…JD]

央f。

k=oklhic=ok\

=/。+陽(yáng)。+與內(nèi)+…+D…（「+1）AVo。

2!ni

§6、Runge現(xiàn)象與高次插值的討論

1、Runge現(xiàn)象

例4、/（x）=--------1<X<1,節(jié)點(diǎn)七=-1+」，i=0,l,…10,求插值多項(xiàng)式

1+25/'10

P（x）。

解：p(x)=---10次Langrange插值多項(xiàng)式

1=0

結(jié)果如下：

-220.9417439%10-.12105x9+1.000000000+494.9095054x8-.2010%+.22W5x7

-16.85520363x2-381.4338247x6+.1110-6x3-.7IO-6x5+123.3597288x4

2、討論

(1)節(jié)點(diǎn)的增多固然能使插值函數(shù)P(x)在更多的地方與/(%)相等，但在兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間p(x)

不一定能很好地逼近/(x),有時(shí)差異很大，所以在實(shí)際中，高次插值(7次以上)很少使

用；

(2)可將[a,“分成若干小區(qū)間，在小區(qū)間內(nèi)用低次(二次，三次)插值，即分段低次插值，

如樣條函數(shù)插值。

§7、三次樣條插值

分段低次插值：

(1)分段線性插值(連續(xù))；(2)分段Hermite插值(導(dǎo)數(shù)連續(xù))；

(3)三次樣條插值(二階導(dǎo)數(shù)連續(xù))。

1、三次樣條插值函數(shù)

能夠逐段表示成三次多項(xiàng)式且二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)(具有二階光滑度)的函數(shù)。

定義：設(shè)s(x)eC21，H，且在房，租/々=0,1,…—1)上為三次多項(xiàng)式，其中

a-x0<xi<---<xll-b,則稱s(x)為上的三次樣條函數(shù)。

若對(duì)給定的%=/(x,)(z=0],…〃),s(x)滿足s(xj=yi,則稱s(x)為三次樣條插

值函數(shù)。

邊界條件:

第一種邊界條件：s'(x0)=/'(/),s'(X“)=/'"“)固支梁條件;

第二種邊界條件：/(%)=r'(%),S〃(x“)=/”(x")簡(jiǎn)支梁條件。

特別地，s〃(Xo)=/"(x“)=0時(shí)的樣條稱為自然樣條。

2、三彎距方程與三次樣條的計(jì)算

記《(為)=知,(i=0,1,…〃)一彎距，

因s(x)在［蒼,西十』上為三次多項(xiàng)式，故s”(x)為一次多項(xiàng)式，可令

X.—XX—X.

s"(x)=Mi—-----FM|+1----——Lagrange線性插值。

士+|一巧xi+l-x,.

對(duì)s”(x)積分兩次并代入5(x,)=yt,sQ+i)=yi+l,得

(Mh2L一

%-X+X-Xj

+%一_優(yōu)十匕+1U

%\6)h,

其中

4=XI+|-Xji=0,1,,?,H—1?

對(duì)s(x)求導(dǎo)得s'(x),XG(x,.,x,.+1),從而可得

+0)=-^-M,.~—MM+配二色

36hj

類似可得s'(w-0)=徨1+位〃,+-V,~~V,'~l

(6,-13'h,.

利用s'a-0)=s'(x,.+0)得

/JjMJ、+2M/+4MH]=dj(J=1,2,,,,n—1),

d_$f[苞'七+1]―/Li,七]

其中4=—--,u=——-—

%T+A1%T+4

對(duì)第二種邊界條件，M()=f^Mn=fn\則關(guān)于彎距Mj(i=0,L…〃)的矩陣方程

為

24

24

〃224

2

其中4=0,di)=2/0",4“=0,dn=2fn\

上述方程稱為三彎距方程，其系數(shù)矩陣為三對(duì)角，可用追趕法求解。求出.代入s(x)

即可得每個(gè)值,對(duì)』上的s(x)表達(dá)式。

例5、求§6例中的三次樣條插值函數(shù)s(x)(自然樣條)。

解：s(x)表達(dá)式如下：

.4683132931+1.113272173%+1.025130627x2+.3417102091x3x<-.8

.7507062417+2.172245728x+2.348847570x2+.893258935lx3x<-.6

.7384215205+2.110822123x+2.246474895x2+.8363852265x3x<-A

1.543021427+8.145321403x+17.33272309x2+13.40825872x3x<-.2

1.+.310-8x-23.39388391x2-54.46941962x3x<0

1.+.31O-8x-23.3938839lx2+54.46941952?x<.2

1.543021424-8.145321358x+17.33272289x2-13.40825849x3x<.4

.7384215449-2.110822260x+2.246475147x2-.8363853770x3x<.6

.7507062252-2.172245660x+2.348847480x2-.8932588956x3x<.8

.4683133011-1.113272197x+1.025130651x2-.3417102171/otherwise

3、三次樣條插值的存在唯一性

定理：三彎矩方程中的系數(shù)矩陣A是可逆的，即三次樣條插值存在、唯一。

X]

證：設(shè)x=:為Ax=8的解，r滿足同=max|x/,

因Ax=b,故4rxl+2xr+A,,xr+I=hr,4“=%=0。

又4NO,M20,4+4=1,有

max|Z?,.|>|^|>2|xr|-4kli-Ar\xr+]\

>?\xr\-/Jr\xr\-^r\xr\=\xr\,

即max|x,|<max|i>.|,

若A不可逆，則Ax=0有非零解x,由前所證，應(yīng)有maxpr/WO,矛盾，故A可逆,

存在唯一的M,。

4、樣條函數(shù)的極性

極性定理：對(duì)/(xj=%,i=0,1,…〃，若s(x)為滿足s''。。)=s”(x")=0的三次樣條插

值函數(shù)，則|門訃1|,其中廿『=02(x5。

,2a2aJ2

證：I『"-=f[/"一s[dx=j[/1dx-2￡f\xys\x)dx+￡[sr]dx

=|4-21]廣一力〃小卜*

而C-s'F"x=[/'-s'M"-C-s'K"dx

=LT-s'Mt—[/—sFI：,

七-Ixi-\A/-I

n尸j

故[1b-s"卜"dx=Z-sk=s"(㈤L(zhǎng)/"S)-S0)]-s"(a)[/'⑷-s'(a)]=0,

i=l丫

A/-l

得||,一『『=||/1|2-H220,即|『T琲"『，s(x)二階導(dǎo)數(shù)s"(x)的范數(shù)最小。

第二章上機(jī)

實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?/p>

3、熟悉Maple中的一般插值、樣條插值和序列等命令；

4、通過(guò)對(duì)具體數(shù)據(jù)做高次插值、樣條插值，加深對(duì)龍格現(xiàn)象以及樣條插值優(yōu)越性的理解與

認(rèn)識(shí)。

實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：

對(duì)數(shù)據(jù)

X125678101317

f(X

3.03.73.94.25.76.67.16.74.5

)

1、做出折線圖，得出/(x)的大致形狀;

2、求出般插值多項(xiàng)式(8次)p(x)：

3、求出三次樣條插值多項(xiàng)式s(x)；

4、將p（x）與/（X）、s（x）與/（X）分別做圖對(duì)照，觀察高次插值的危害性以及樣條插值的

優(yōu)越性。

1.矩形區(qū)域二元函數(shù)的分片線性插值

已知平面上一矩形域內(nèi)四個(gè)頂點(diǎn)頂點(diǎn)（芯,弘）,（々，M），（々，％），（王，%）處的函數(shù)值分別

為九人，力，&。

分兩片的函數(shù)表達(dá)式如下：

第一片（下三角形區(qū)域）：（x,y）滿足yW）加-XJ_%）+為,插值函數(shù)為：

Xi+\~Xi

〃蒼?。┒?（/2—工）（，一毛）+5-72）（二一匕）。

第二片一（上三角形區(qū)域）：（x,y）滿足y＞空口■域一））+匕,插值函數(shù)為：

f（x,y）=工+（人一力）（y—力）+（力一。）（一七）。

2.矩形區(qū)域二元函數(shù)的雙線性插值

雙線性插值函數(shù)的形式如下：/（x,y）=（ax+6）（cy+d）,它是分片空間二次曲面。利

用該函數(shù)在矩形的四個(gè)頂點(diǎn)（插值節(jié)點(diǎn)）的函數(shù)值，得到四個(gè)代數(shù)方程，可以確定四個(gè)待定

系數(shù)。

雙線性插值函數(shù)可按下方法計(jì)算。

已知平面上一矩形域內(nèi)四個(gè)頂點(diǎn)頂點(diǎn)（占,%）,（%,%），（》2，%），（々，內(nèi)）處的函數(shù)值分

別為Z”，Z|2,%21,%22，求函數(shù)P（乂＞）=0￥+力+°q+1,使其滿足條件：

P（X|，）'|）=41,尸（石，％）=Z[2,,x）=,尸（％2，%）=3。

令"=口/=J,則有

々一王為一切

。

P（x,y）=Z1!（1-H）（1-v）+Z2IM（1-v）+zl2（1-M）V++z22uv

Ch3、函數(shù)逼近與計(jì)算

§1、引言

1、引例

某氣象儀器廠要在某儀器中設(shè)計(jì)一種專用計(jì)算芯片，以便于計(jì)算觀測(cè)中經(jīng)常遇到的三

角函數(shù)以及其它初等函數(shù)。設(shè)計(jì)要求X在區(qū)間L，口中變化時(shí)，近似函數(shù)在每一點(diǎn)的誤差都

要小于某一指定的正數(shù)￡。

⑴由于插值法的特點(diǎn)是在區(qū)間［a,"中的〃+1個(gè)節(jié)點(diǎn)處，插值函數(shù)尸“(x)與被插值函數(shù)

/*)無(wú)誤差，而在其它點(diǎn)處2(x)=/(x)。對(duì)于XWX,，%(x)逼近/(x)的效果可能很

好，也可能很差。在本問(wèn)題中要求匕(x)在區(qū)間［a,"中的每一點(diǎn)都要“很好”地逼近/(x),

應(yīng)用一般的插值方法顯然是不可行的，龍格現(xiàn)象就是典型的例證。采用樣條插值固然可以在

區(qū)間的每一點(diǎn)上滿足誤差要求。但山于樣條插值的計(jì)算比較復(fù)雜，需要求解一個(gè)大型的三對(duì)

角方程組，在芯片中固化這些計(jì)算過(guò)程較為復(fù)雜。

(2)可以采用泰勒展式解決本問(wèn)題。

將/(x)在特殊點(diǎn)與處做泰勒展開(kāi)