數(shù)值積分與數(shù)值微分

關(guān)于數(shù)值積分與數(shù)值微分第1頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

2（1）f(x)不是連續(xù)函數(shù)，甚至也不是解析函數(shù)，而是通過實(shí)驗(yàn)、測(cè)量或計(jì)算得出的一組數(shù)據(jù)。（2）f(x)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示。如被積函數(shù)為（3）f(x)的原函數(shù)表達(dá)式相當(dāng)復(fù)雜，而且不同的被積函數(shù)f(x)，其原函數(shù)的表達(dá)形式一般來說是不同的。如

因此在工程計(jì)算中，需要構(gòu)造一種積分方法，使其在誤差范圍內(nèi)計(jì)算時(shí)既能節(jié)省工作量，又方便可行，這就是數(shù)值積分所要解決的問題第2頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

3二、數(shù)值積分的基本思想由定積分的定義其中。我們希望用被積函數(shù)f(x)在積分區(qū)間[a,b]內(nèi)某些點(diǎn)處函數(shù)值的線性組合來近似代替定積分，即有求積公式其中稱為求積節(jié)點(diǎn)，它只與積分區(qū)間[a,b]有關(guān)。Aj稱為求積系數(shù)，它與求積節(jié)點(diǎn)xj有關(guān)，與f(x)的具體表達(dá)形式無(wú)關(guān)。E(f)稱為余項(xiàng)。第3頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

4三、代數(shù)精度與插值型求積公式定義8.1

若求積公式（8.2）對(duì)所有次數(shù)不超過r次的多項(xiàng)式均能準(zhǔn)確成立，而至少有一個(gè)r+1次多項(xiàng)式不能準(zhǔn)確成立。則稱求積公式（8.2）具有r次代數(shù)精度定理8.1

對(duì)任意給定的n+1個(gè)相異節(jié)點(diǎn)總存在相應(yīng)的求積系數(shù)使求積公式（8.2）至少具有n次代數(shù)精度證明在求積公式（8.2）中分別令則有線性方程組第4頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

5

方程組（8.3）的系數(shù)行列式是Vandermonde行列式。由于節(jié)點(diǎn)是相異節(jié)點(diǎn)，故方程組（8.3）的系數(shù)行列式不等于0。由Cramer法則，方程組有唯一的解第5頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

6四、插值型求積公式

可以通過求解方程組（8.3）的方法來構(gòu)造求積公式，稱之為待定系數(shù)法。但當(dāng)n比較大時(shí)，求解方程組（8.3）是較困難的事。由求積公式的唯一性，可采取對(duì)被積函數(shù)利用插值多項(xiàng)式近似代替的方法來構(gòu)造求積公式。以求積節(jié)點(diǎn)xj為插值節(jié)點(diǎn)對(duì)f(x)進(jìn)行Langrange插值有其中對(duì)（8.4）兩端在[a,b]上積分，有第6頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

7令其中且與ξ有關(guān)由（8.5）式得求積公式當(dāng)時(shí)由（8.5）式求積公式具有n次代數(shù)精度。第7頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

8

定義8.2

若積分區(qū)間的端點(diǎn)為求積節(jié)點(diǎn)，稱此類求積公式為閉型公式。若積分區(qū)間的端點(diǎn)不是求積節(jié)點(diǎn)，稱求積公式為開型公式。若只有一個(gè)端點(diǎn)是求積節(jié)點(diǎn)，稱求積公式為半開半閉公式。應(yīng)用中對(duì)求積公式（8.2），常將余項(xiàng)E(f)舍去，得近似公式稱E(f)為截?cái)嗾`差第8頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

9§2Newton—Cotes公式一、Newton—Cotes公式

將區(qū)間[a,b]n等分，步長(zhǎng)，求積節(jié)點(diǎn)為令，Lagrange插值基函數(shù)為求積系數(shù)Aj可表示為第9頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

10令稱為Cotes系數(shù)，則求積公式可化為若取，由（8.9）有常見的Newton—Cotes公式1．梯形公式（n=1）由（8.8），(8.9)式有第10頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

11故有求積公式近似公式為截?cái)嗾`差第11頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

12其幾何意義為用梯形的面積近似代替曲邊梯形的面積。如圖所示。第12頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

132．Simpson公式（n=2，拋物形公式）故有近似公式

其幾何意義是用拋物線圍成曲邊梯形的面積近似代替以f(x)圍成的曲邊梯形的面積。如圖所示第13頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

143．Cotes公式（n=4）定理8.2

設(shè)，則Simpson積分公式的余項(xiàng)為其中第14頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

15n11/21/221/64/61/631/83/83/81/847/9032/9012/9032/907/90519/28875/28850/28850/28875/28819/288641/840216/84027/840272/84027/840216/84041/840幾個(gè)低階Cotes公式的求積系數(shù)第15頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

16定理8.3

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，n+1個(gè)求積節(jié)點(diǎn)的Newton—Cotes公式至少具有n+1次代數(shù)精度。

當(dāng)n=8和n≥10時(shí)的n階Newton—Cotes系數(shù)中，系數(shù)將有正有負(fù)。從定理8.1知，n+1個(gè)求積節(jié)點(diǎn)的Newton—Cotes求積公式至少具有n次代數(shù)精度，但由定理8.2知，當(dāng)n=2時(shí)，Simpson公式具有3次代數(shù)精度。事實(shí)上當(dāng)為偶數(shù)時(shí)有如下定理。例8.1

對(duì)定積分，試分別用梯形公式,Simpson公式，Cotes公式作近似計(jì)算。解:(1)Newton—Leibniz公式，得準(zhǔn)確值第16頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

17(2)梯形公式

(3)Simpson公式(4)Cotes公式第17頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

18二、Newton—Cotes公式的穩(wěn)定性

穩(wěn)定性，即計(jì)算過程中舍入誤差對(duì)最后計(jì)算結(jié)果的影響。設(shè)節(jié)點(diǎn)xj處的準(zhǔn)確值為，參加計(jì)算的近似值記為，令令，利用（8.6）式計(jì)算引起計(jì)算結(jié)果的誤差有估計(jì)式第18頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

19當(dāng)Cotes系數(shù)同號(hào)時(shí)有從而即公式（8.6）是穩(wěn)定的。當(dāng)Cotes系數(shù)不同號(hào)時(shí)有從而有可能很大，穩(wěn)定性得不到保證。事實(shí)上，僅當(dāng)n≤7和n=9時(shí)Cotes系數(shù)才全是正的，其余的Cotes系數(shù)有正有負(fù)故一般不采用高階的Newton—Cotes公式做數(shù)值積分。第19頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

20§3復(fù)化求積公式

由于高次Newton—Cotes公式的求積系數(shù)有正有負(fù)，引起數(shù)值計(jì)算的不穩(wěn)定。另一方面,，Newton—Cotes公式是通過對(duì)被積函數(shù)f(x)進(jìn)行Lagrange插值而構(gòu)造出的積分公式，由于高次插值將會(huì)出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象。因此在實(shí)用中一般不采用高次Newton—Cotes公式進(jìn)行數(shù)值積分。

受分段插值的啟示，對(duì)積分也可進(jìn)行分段積分，稱之為復(fù)化求積。其基本思想是將區(qū)間[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上用低次Newton—Cotes公式作數(shù)值積分，再求和。將區(qū)間[a,b]n等分，步長(zhǎng)，節(jié)點(diǎn)為第20頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

21為計(jì)算的方便，常取由定積分對(duì)積分區(qū)間的可加性有一、復(fù)化梯形公式在（8.15）式右端對(duì)每個(gè)子區(qū)間上的積分使用梯形求積公式，有第21頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

22

稱（8.16）式為復(fù)化梯形公式。用Tn表示將區(qū)間[a,b]n等分的復(fù)化梯形公式，進(jìn)一步將子區(qū)間分為2個(gè)子區(qū)間也即將區(qū)間[a,b]進(jìn)行2n等分，此時(shí)有此時(shí)的復(fù)化梯形公式為第22頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

23記

由（8.16）和（8.17）有同理

由（8.9）式得復(fù)化梯形公式Tn的余項(xiàng)表達(dá)式為設(shè)，則第23頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

24由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理，存在使故復(fù)化梯形公式的余項(xiàng)為

二、復(fù)化Simpson公式在（8.15）式右端對(duì)每個(gè)子區(qū)間上的積分使用Simpson公式得復(fù)化Simpson公式第24頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

25由(8.16),(8.17)有由(8.18),(8.20)有第25頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

26同理類似于復(fù)化梯形公式余項(xiàng)的推導(dǎo)，可得復(fù)化Simpson公式的余項(xiàng)為三、復(fù)化Cotes公式在（8.15）式右端對(duì)每個(gè)子區(qū)間上的積分使用Cotes公式，得復(fù)化Cotes公式第26頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

27遞推公式為當(dāng)時(shí)，復(fù)化Cotes公式的余項(xiàng)為第27頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

28四、變步長(zhǎng)方法

做數(shù)值積分可以用定步長(zhǎng)積分法。定步長(zhǎng)法在使用前，需首先確定一個(gè)適當(dāng)?shù)牟介L(zhǎng)，即確定區(qū)間[a,b]的等分?jǐn)?shù)n。但步長(zhǎng)的選取是相當(dāng)困難的，步長(zhǎng)取大了，難以保證精度，取小了，將會(huì)增加計(jì)算工作量。因此實(shí)用中常用變步長(zhǎng)法求積分

變步長(zhǎng)法也稱逐次折半法，反復(fù)使用復(fù)化求積公式計(jì)算積分，直到相鄰兩次結(jié)果之差的絕對(duì)值小于誤差精度為止。為便于計(jì)算機(jī)的編程，常取等分，對(duì)復(fù)化梯形公式，反復(fù)利用（8.17），（8.18）式計(jì)算積分值，直到第28頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

29對(duì)復(fù)化Simpson公式，反復(fù)利用（8.17），（8.18），（8.21）式直到對(duì)復(fù)化Cotes公式，反復(fù)利用（8.17），（8.18），（8.21）和（8.23）式直到為止

例8.3

對(duì)積分，利用變步長(zhǎng)方法求其近似值，使其精度達(dá)到第29頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

30解取(1)復(fù)化梯形公式，由（8.17），（8.18）式有繼續(xù)以上過程的計(jì)算，結(jié)果如表所示

kTnkTnkTn00.920735540.945985080.946082710.939793350.946059690.946083020.944513560.9460765100.946083130.945690970.9460815第30頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

31(2)復(fù)化Simpson公式

由復(fù)化梯形公式表中的數(shù)據(jù)和公式（8.21）得復(fù)化Simpson公式的計(jì)算結(jié)果如表所示kSnkSn00.946145930.946083010.946086940.946083120.9460833

由復(fù)化Simpson公式表中的數(shù)據(jù)和公式（8.23）得計(jì)算結(jié)果如表所示。顯然復(fù)化Cotes公式比復(fù)化Simpson公式的計(jì)算工作量少，而復(fù)化Simpson公式比復(fù)化梯形公式的計(jì)算工作量少。(3)復(fù)化Cotes公式kCn00.946082910.946083020.9460831第31頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

32§4Romberg求積公式

一、Richardson外推法在工程計(jì)算中，有時(shí)函數(shù)y=f(x)在x=0處的值f(0)是無(wú)法求出收斂于f(0)的數(shù)列，Richardson外推法就是構(gòu)造該數(shù)列的的，只能通過實(shí)驗(yàn)，測(cè)量等方法，逐次求出來逼近f(0)。但h越小，實(shí)驗(yàn)和測(cè)量的難度就越大。因此我們希望從已有的數(shù)據(jù)構(gòu)造出一個(gè)能很快一種技巧設(shè)f(x)在x=0處的Maclaurin級(jí)數(shù)為第32頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

33若則用逼近f(0)截?cái)嗾`差為h的同階無(wú)窮小,令則有若用來逼近f(0)，其截?cái)嗾`差為h2的同階無(wú)窮小第33頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

34二、Romberg積分法

Romberg積分法，是根據(jù)Richardson外推技巧，利用變步長(zhǎng)的復(fù)化梯形公式推導(dǎo)出的數(shù)值積分公式。令

若則用f2(h)逼近f(0)的截?cái)嗾`差為h3的同階無(wú)窮小。這種加速收斂方法就是Richardson外推法的一個(gè)特例。第34頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

35其中T0(h)是將[a,b]n等分后構(gòu)造的復(fù)化梯形公式。則由（8.25）式產(chǎn)生的Tm(h)逼近積分誤差的階為（8.25）的方法稱為Romberg積分法

由（8.21）和（8.23）式，Romberg積分公式（8.25）中的T1(h)是復(fù)化Simpson公式，T2(h)是復(fù)化Cotes公式。但對(duì)m≥3時(shí)的Tm(h)與Newton—Cotes公式就沒有直接的聯(lián)系了，僅是一種遞推技巧而已。

為了計(jì)算方便，將區(qū)間[a,b]進(jìn)行n=2i等分，用T0i表示將區(qū)間[a,b]進(jìn)行2i等分后的復(fù)化梯形公式的計(jì)算值，則由公式(8.25)產(chǎn)生的Romberg序列的計(jì)算步驟為(1)在[a,b]上，由梯形公式第35頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

36（2）利用遞推公式計(jì)算（3）設(shè)已計(jì)算出，則計(jì)算第36頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

37（4）計(jì)算

(5)若則停止計(jì)算，輸出否則，轉(zhuǎn)（3）。對(duì)（3）,（4）步可用Romberg積分表來表示

第37頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

38

m

i01230123Romberg積分表第38頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

39例8.4

用Romberg積分法計(jì)算，精度解由例8.3中復(fù)化梯形公式的數(shù)據(jù)，再利用(8.28)式得計(jì)算結(jié)果如下表012300.920735510.93979330.946145920.94451350.94608690.946082930.94569090.94608330.94608300.9460830例8.5利用Romberg積分法求

第39頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

40解由公式(8.26),(8.27),(8.28)對(duì)在[0,1]有繼續(xù)以上步驟，計(jì)算結(jié)果如下表所示

第40頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

410123403.0000013.100003.1333323.131183.141573.1421233.138993.141593.141593.1415943.140943.141593.141593.141593.14159第41頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

42§5Gauss型求積公式一、Gauss求積公式及其性質(zhì)對(duì)求積公式前面介紹的數(shù)值積分方法，是先給定n+1個(gè)求積節(jié)點(diǎn)xj，再由求積節(jié)點(diǎn)來構(gòu)造n+1個(gè)求積系數(shù)Aj，從而得到數(shù)值積分公式，且其代數(shù)精度為n或n+1?，F(xiàn)我們希望適當(dāng)?shù)剡x擇求積節(jié)點(diǎn)，從而確定相應(yīng)的求積系數(shù)，使（8.29）式的代數(shù)精度能有盡量地提高第42頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

43定義8.3

若求積公式（8.29）具有2n+1次的代數(shù)精度，則稱該求積公式為Gauss型求積公式，相應(yīng)的求積節(jié)點(diǎn)xj稱為Gauss節(jié)點(diǎn)。（8.29）中取，有方程組構(gòu)造Gauss型求積公式可用待定系數(shù)法，在求積公式第43頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

44方程組（8.30）是具有2n+2個(gè)未知量xj，Aj，2n+2個(gè)方程的非線性方程組，求解此方程組便得求積節(jié)點(diǎn)xj和求積系數(shù)Aj例8.6

對(duì)積分構(gòu)造其Gauss型求積公式。解取代入（8.31）式有方程組

第44頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

45解之得故有求積公式由于方程組（8.30）是非線性方程組，當(dāng)n較大時(shí)，求解（

8.30）非常困難，因此需從其它途徑來構(gòu)造Gauss型求積公式考查被積函數(shù)f(x)的Hermite插值多項(xiàng)式第45頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

46其中為Hermite插值基函數(shù)對(duì)（8.32）式兩端同時(shí)在[a,b]上積分有令其中

第46頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

47則有求積公式

當(dāng)時(shí)，由，知故求積公式(8.33)具有2n+1次的代數(shù)精度?，F(xiàn)適當(dāng)?shù)剡x擇求積節(jié)點(diǎn)使則求積公式(8.33)就變?yōu)榈?7頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

48定理在[a,b]上以權(quán)函數(shù)正交的多項(xiàng)式序列{gk(x)}中正交多項(xiàng)式gn+1(x)的零點(diǎn)是Gauss點(diǎn)。記為以Gauss點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)，由和(8.34)式有故求積公式(8.34)也可寫為(8.29)形式其中Aj由(8.37)式給出。第48頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

49故求積公式(8.34)也可寫為(8.29)形式其中Aj由(8.37)式給出。定理8.6Gauss型求積公式數(shù)值計(jì)算穩(wěn)定。證明取，代入(8.29)式有且由和(8.37)式有第49頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

50設(shè)f(xj)的計(jì)算值為，記令故Gauss型求積公式數(shù)值計(jì)算穩(wěn)定。第50頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

51二、一般的Gauss型求積公式

在（8.32）式兩端同乘以權(quán)函數(shù)后再在[a,b]上積分有令

其中第51頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

52則（8.38）式可化為同理，取[a,b]上以權(quán)函數(shù)正交的多項(xiàng)式序列{gk(x)}中，正交多項(xiàng)式gn+1(x)的零點(diǎn)為求積節(jié)點(diǎn)，可以使此時(shí)（8.39）式為仍取為以Gauss點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)，由（8.40）有

第52頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

53故帶權(quán)函數(shù)的Gauss型求積公式為二、常用的Gauss型求積公式1．Gauss—Legendre求積公式

由于Legendre多項(xiàng)式是[－1，1]上以的正交多項(xiàng)式序列，以Legendre多項(xiàng)式的零點(diǎn)為求積節(jié)點(diǎn)，構(gòu)造的積分公式稱為Gauss—Legendre求積公式，求積系數(shù)為第53頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

54余項(xiàng)為其中為n次Legendre正交多項(xiàng)式。例8.7

分別利用Newton—Cotes公式及Gauss—Legendre公式計(jì)算積分解（1）準(zhǔn)確值第54頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

55（2）兩點(diǎn)Gauss—Legendre公式（3）兩個(gè)節(jié)點(diǎn)梯形公式（4）三點(diǎn)Gauss—Legendre公式（5）三個(gè)節(jié)點(diǎn)Simpson公式第55頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

56以xj為求積節(jié)點(diǎn)，求積系數(shù)為Gauss—Chebyschev求積公式為余項(xiàng)為2．Gauss—Chebyschev求積公式第56頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

573．Gauss—Lagurre求積公式由于Lagurre多項(xiàng)式是上以權(quán)函數(shù)的正交多項(xiàng)式，其求積系數(shù)為余項(xiàng)表達(dá)式為其中是n次Lagurre正交多項(xiàng)式第57頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

584．Gauss—Hermite求積公式

由于Hermite多項(xiàng)式是上關(guān)于權(quán)函數(shù)的正交多項(xiàng)式，求積系數(shù)為余項(xiàng)第58頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

59四、復(fù)化Gauss型求積公式以Gauss—Legendre求積公式為例，將區(qū)間[a,b]劃分為m個(gè)小區(qū)間由在每個(gè)小區(qū)間上運(yùn)用n+1個(gè)點(diǎn)的Gauss—Legendre求積公式，作代換第59頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

60則其中其中tj是n+1次Legendre正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)，Aj是相應(yīng)的系數(shù)，故有近似公式余項(xiàng)為第60頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

61節(jié)點(diǎn)特別，若采用等距劃分，即將[a,b]m等分，步長(zhǎng)則復(fù)化Gauss—Legendre求積公式為余項(xiàng)第61頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

62例8.12

取m=2,n=1應(yīng)用復(fù)化Gauss—Legendre公式計(jì)算解準(zhǔn)確值第62頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

63本章介紹的求積公式的特點(diǎn)（1）梯形公式和Simpson公式是低精度的方法，但對(duì)于光滑性比較差的被積函數(shù)有時(shí)效果比用高精度的方法要好，而且由于公式簡(jiǎn)單，因此使用非常廣泛。特別在計(jì)算機(jī)上，復(fù)化梯形公式和復(fù)化Simpson公式便于采用逐次對(duì)分的方法，計(jì)算程序十分簡(jiǎn)單（2）Romberg積分公式，其算法簡(jiǎn)單，程序也便于實(shí)現(xiàn)。當(dāng)節(jié)點(diǎn)增加時(shí)，前面的計(jì)算結(jié)果可以直接參與后面的計(jì)算，因而減少了計(jì)算量。同時(shí)有比較簡(jiǎn)單的誤差估計(jì)法，由于能同時(shí)得到多個(gè)積分序列，在做收斂控制時(shí)，對(duì)不同性態(tài)的函數(shù)可采用不同的收斂序列作為精度控制，以其中最快的收斂序列來逼近積分，此方法的一個(gè)最大缺點(diǎn)是節(jié)點(diǎn)的增加是成倍的。

(3)Gauss型求積公式的最大優(yōu)點(diǎn)是精度高，數(shù)值計(jì)算穩(wěn)定。但求積節(jié)點(diǎn)和求積系數(shù)都沒有規(guī)則,，當(dāng)節(jié)點(diǎn)增加時(shí)，前面的計(jì)算結(jié)果不能被利用，只能重新計(jì)算，因此利用計(jì)算機(jī)計(jì)算時(shí)，需先輸入節(jié)點(diǎn)數(shù)和各種Gauss型求積公式的節(jié)點(diǎn)和系數(shù)數(shù)據(jù)。Gauss型求積公式的另一優(yōu)點(diǎn)是適用于某些區(qū)間上的廣義積分計(jì)算第63頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

64§6數(shù)值微分一、數(shù)據(jù)的數(shù)值微分設(shè)函數(shù)f(x)給出了一組數(shù)據(jù)其中節(jié)點(diǎn)xi滿足1．利用Lagrange插值多項(xiàng)式求數(shù)值微分

對(duì)f(x)進(jìn)行Lagrange插值第64頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

65其中對(duì)（8.43）兩端求k階導(dǎo)數(shù)有故有近似計(jì)算公式余項(xiàng)為第65頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

66（1）兩點(diǎn)公式（n=1）（2）三點(diǎn)公式（n=2）第66頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

672．利用三次樣條插值函數(shù)作數(shù)值微分若用三次樣條插值函數(shù)S(x)作為f(x)的近似函數(shù)，不僅可以使函數(shù)值非常接近，而且使導(dǎo)數(shù)值也非常接近，并且有其中表示的同階無(wú)窮小以三轉(zhuǎn)角插值法為例當(dāng)時(shí)，第67頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

68求導(dǎo)有第68頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

69特別二、函數(shù)的數(shù)值微分1．差商代替微商（1）向前差商第69頁(yè)，課件共80頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

70（2）向后差商（3）中心差商（4）二階中心差商

差商近似代替微商的誤差除取決于函數(shù)本身的解析性質(zhì)外，