測量誤差與數(shù)據(jù)處理演示文稿

測量誤差與數(shù)據(jù)處理演示文稿目前一頁\總數(shù)五十頁\編于十五點（優(yōu)選）測量誤差與數(shù)據(jù)處理目前二頁\總數(shù)五十頁\編于十五點第2章誤差傳播與最小二乘法原理

方差與協(xié)方差傳播律

協(xié)方差：描述兩個隨機(jī)變量之間的誤差相關(guān)關(guān)系。，x和y不相關(guān)，相互獨立，誤差不相關(guān)，x和y是相關(guān)的，不獨立目前三頁\總數(shù)五十頁\編于十五點方差與協(xié)方差傳播律隨機(jī)向量及其協(xié)方差陣

n維隨機(jī)向量方差—協(xié)方差陣非對角線元素對角線元素目前四頁\總數(shù)五十頁\編于十五點方差與協(xié)方差傳播律協(xié)方差傳播律觀測值線性函數(shù)的方差特例：當(dāng)隨機(jī)向量X中的各個分量兩兩相互獨立時，它們之間的協(xié)方差為0，方差陣為對角陣，此時z的方差上式變?yōu)椋?.13）目前五頁\總數(shù)五十頁\編于十五點方差與協(xié)方差傳播律【例2.1】用長度為L的鋼尺量距，連續(xù)丈量了N個尺段。已知每一尺段的距離都是獨立觀測值，且其中誤差均為m，求全長S的中誤差。＊解：由于共丈量了N個尺段，故全長由（2.13）知，，即。呵，原來是這樣啊！目前六頁\總數(shù)五十頁\編于十五點方差與協(xié)方差傳播律【例2.2】設(shè)有觀測值L1、L2和L3的函數(shù)已知其方差分別為，，兩兩之間的協(xié)方差分別為，，。求函數(shù)F的方差。＊解：由方差陣的定義知，觀測值的方差陣為：

F的矩陣形式函數(shù)F的方差目前七頁\總數(shù)五十頁\編于十五點方差與協(xié)方差傳播律非線性函數(shù)的方差問題：已知變量x的方差和協(xié)方差，求函數(shù)的方差。核心：將非線性函數(shù)化為線性函數(shù)。方法：將函數(shù)在處展開為泰勒級數(shù)。令：則有：目前八頁\總數(shù)五十頁\編于十五點方差與協(xié)方差傳播律非線性函數(shù)的方差函數(shù)的全微分或?qū)懗捎捎?，x與dx具有相同的方差，因而z與dz方差相同。因此，對于非線性函數(shù)線性化，也可以先列出函數(shù)式，然后對其求全微分。目前九頁\總數(shù)五十頁\編于十五點方差與協(xié)方差傳播律【例2.3】設(shè)有觀測向量，已知其方差陣為求的函數(shù)當(dāng)L1=2，L2=3，L3=4時的方差。＊解：因函數(shù)F是個非線性函數(shù)，求其全微分

目前十頁\總數(shù)五十頁\編于十五點方差與協(xié)方差傳播律誤差傳播律在測量中的應(yīng)用水準(zhǔn)測量的精度

已知每站高差測量中誤差，求測段AB中誤差

A、B兩點間的總高差：

目前十一頁\總數(shù)五十頁\編于十五點方差與協(xié)方差傳播律水準(zhǔn)測量的精度

已知每千米高差測量中誤差，求測段AB中誤差

設(shè)測段長為S,各測站距離s大致相等，則測站數(shù)N=S/s由于每千米高差中誤差：于是有：因此：目前十二頁\總數(shù)五十頁\編于十五點方差與協(xié)方差傳播律【例2.4】水準(zhǔn)測量中若要求每千米觀測高差中誤差不超過10mm，水準(zhǔn)路線全長高差中誤差不超過60mm，則該水準(zhǔn)路線長度不應(yīng)超過多少千米？＊解：由公式

因此有：該水準(zhǔn)路線長度不應(yīng)超過36千米。目前十三頁\總數(shù)五十頁\編于十五點方差與協(xié)方差傳播律導(dǎo)線方位角的精度導(dǎo)線測量示意圖已知同精度角度觀測中誤差為，求第N條導(dǎo)線邊方位中誤差。方位角公式：方位角中誤差：目前十四頁\總數(shù)五十頁\編于十五點方差與協(xié)方差傳播律同精度獨立觀測值的算術(shù)平均值的精度對某量同精度獨立觀測n次，其觀測值為L1、L2、…Ln，它們的中誤差均等于，求平均值的中誤差。n次算術(shù)平均值：由方差-協(xié)方差傳播公式，有：即有：目前十五頁\總數(shù)五十頁\編于十五點方差與協(xié)方差傳播律

【例2.5】已知某臺經(jīng)緯儀一測回測角中誤差為6"，如果要使各測回的平均值的中誤差不超過2"，則至少應(yīng)測多少測回？＊解：由公式

可得所以，至少應(yīng)觀測9個測回。目前十六頁\總數(shù)五十頁\編于十五點第2章誤差傳播與最小二乘法原理權(quán)與定權(quán)的常用方法

權(quán)的定義：設(shè)有觀測值，它們的方差為設(shè)不等于零任意常數(shù)，則定義

的權(quán)為

式中的方差可以是同一個量的觀測值的方差，也可以是不同量的觀測值的方差，

稱為單位權(quán)中誤差。權(quán)比：目前十七頁\總數(shù)五十頁\編于十五點權(quán)與定權(quán)的常用方法單位權(quán)中誤差從權(quán)的定義式上看，只起著一個比例常數(shù)的作用，而其值一經(jīng)選定，它還有著具體的含義，可以理解為衡量誤差大小的“單位誤差標(biāo)準(zhǔn)”。凡是中誤差等于的觀測值，其權(quán)必然等于1；或者說，權(quán)為1的觀測值的中誤差必然等于。因此，通常稱為單位權(quán)中誤差，而稱為單位權(quán)方差或方差因子，把權(quán)等于1的觀測值，稱為單位權(quán)觀測值。目前十八頁\總數(shù)五十頁\編于十五點【例2.6】已知三個角度觀測值的中誤差分別為3″，4″和5″，試求各角的權(quán)。

＊解:若取

則有

若取

則有

上例說明σ0取值不同，則各觀測值的權(quán)不同，但權(quán)之間的比值不變，即權(quán)與定權(quán)的常用方法目前十九頁\總數(shù)五十頁\編于十五點【例2.7】已知A角的中誤差σA=2″，權(quán)PA=4，B角的權(quán)PB=16，試求單位權(quán)中誤差σ0及B角的中誤差σB。

＊解:由權(quán)的定義式可得

將σA、PA之值代入上式可解出

又由權(quán)的定義式可得

權(quán)與定權(quán)的常用方法目前二十頁\總數(shù)五十頁\編于十五點水準(zhǔn)測量定權(quán)已知同精度觀測Ni個測站的水準(zhǔn)高差hi的方差為：

取C個測站的觀測高差的方差為單位權(quán)方差，即按定權(quán)公式可得用測站數(shù)定權(quán)的公式用測站數(shù)定權(quán)（用于山地）

權(quán)與定權(quán)的常用方法目前二十一頁\總數(shù)五十頁\編于十五點

已知每公里觀測高差的方差相等時，Si公里觀測高差的方差為

取C公里觀測高差的方差為單位權(quán)方差，即按定權(quán)公式可得用路線長度定權(quán)的公式：

上式說明，當(dāng)每公里觀測高差等精度時，水準(zhǔn)測量高差的權(quán)與距離成反比。

用路線長度定權(quán)（用于平地）權(quán)與定權(quán)的常用方法目前二十二頁\總數(shù)五十頁\編于十五點權(quán)與定權(quán)的常用方法【例2.8】如下圖，確定水準(zhǔn)路線觀測值的權(quán)。圖2.3水準(zhǔn)路線圖＊假定每千米觀測高差的中誤差為

則由各線路觀測高差的中誤差為：

如令則有：權(quán)比：目前二十三頁\總數(shù)五十頁\編于十五點權(quán)與定權(quán)的常用方法下面按路線長度定權(quán)的公式定權(quán)：

上式中令C=1，即取每千米高差中誤差為單位權(quán)中誤差，于是有：

上式中令C=3，即取3千米高差中誤差為單位權(quán)中誤差，于是有：權(quán)比：權(quán)比：目前二十四頁\總數(shù)五十頁\編于十五點權(quán)與定權(quán)的常用方法【例2.9】在平坦地區(qū)測得兩段觀測高差及水準(zhǔn)路線的長分別為：h1=10.125米，S1=3.8km，h2=-8.375米，S2=5.5km，設(shè)每一測站的觀測精度相同，那么h1和h2哪一個權(quán)大？哪一個精度高？

＊解：由水準(zhǔn)測量的定權(quán)公式知，水準(zhǔn)測量的權(quán)與路線長度成反比，因為S2大于S1

，所以，h1的權(quán)比h2的權(quán)大，h1精度高。目前二十五頁\總數(shù)五十頁\編于十五點權(quán)與定權(quán)的常用方法【例2.10】在相同觀測條件下進(jìn)行的四等水準(zhǔn)測量中，設(shè)以4公里的觀測高差為單位權(quán)觀測高差，已知單位權(quán)中誤差σ0=±1mm，則64公里觀測高差的中誤差等于多少？

＊解：根據(jù)題意知，C=4公里，σ0=

±1mm，S=64公里，由水準(zhǔn)測量的定權(quán)公式求64公里觀測高差的權(quán)

再由權(quán)的定義式

可得

所以，64公里觀測高差的中誤差為4mm。

目前二十六頁\總數(shù)五十頁\編于十五點距離量測定權(quán)

1、鋼尺量距的權(quán)

設(shè)單位長度距離丈量的方差為σ2

，則丈量距離Si

的方差為取丈量長度C的方差為單位權(quán)方差，即取則按定權(quán)公式得

上式說明，當(dāng)單位長度距離丈量的精度相同時，距離丈量的權(quán)與長度成反比。權(quán)與定權(quán)的常用方法目前二十七頁\總數(shù)五十頁\編于十五點距離量測定權(quán)測距儀測距的權(quán)可按定權(quán)公式直接求得，即

式中為任選的單位權(quán)方差；為測距方差，它包含固定誤差和比例誤差兩部分。即mmkm2、光電測距的權(quán)權(quán)與定權(quán)的常用方法目前二十八頁\總數(shù)五十頁\編于十五點等精度觀測算術(shù)平均值的權(quán)

已知一組等精度的獨立觀測值(方差均為σ2)算術(shù)平均值的方差為：

若取C次觀測值的算術(shù)平均值為單位權(quán)觀測值，即取

按定權(quán)公式可得算術(shù)平均值的權(quán)

上式說明，算術(shù)平均值的權(quán)與觀測次數(shù)成正比。

權(quán)與定權(quán)的常用方法目前二十九頁\總數(shù)五十頁\編于十五點協(xié)因數(shù)

單位權(quán)方差與觀測值方差之比可作為衡量精度的相對指標(biāo)，反過來，觀測值方差與單位權(quán)方差之比同樣可作為衡量精度的相對指標(biāo)，我們稱其為協(xié)因數(shù)，用符號Qii表示，即

與權(quán)的定義式比較可得

由協(xié)因數(shù)定義式又可得到

協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播律

目前三十頁\總數(shù)五十頁\編于十五點協(xié)因數(shù)陣1、n維隨機(jī)向量X的協(xié)因數(shù)陣仿協(xié)因數(shù)定義,定義兩隨機(jī)變量的互協(xié)因數(shù)

將n維隨機(jī)向量X的方差陣的定義式乘以，得:上列矩陣稱為協(xié)因數(shù)陣，記作QX，即

上式矩陣中，當(dāng)Qij=0(i≠j)時，則Xi和Xj互相獨立。協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播律目前三十一頁\總數(shù)五十頁\編于十五點協(xié)因數(shù)陣當(dāng)向量Z是向量X和Y的分塊向量時，即則有

式中，QX、QY分別為X、Y向量的自協(xié)因數(shù)陣，而QXY、QYX分別為X向量關(guān)于Y向量的互協(xié)因數(shù)陣，QXY與QYX互為轉(zhuǎn)置。當(dāng)QXY=0時，表示X、Y互相獨立。

2、分塊向量的協(xié)因數(shù)陣協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播律目前三十二頁\總數(shù)五十頁\編于十五點權(quán)陣

平差計算中，往往用協(xié)因數(shù)陣的逆陣參與運(yùn)算，為表達(dá)方便，將其逆陣用符號P表示，并稱其為權(quán)陣，即

觀測值的權(quán)一般要通過對權(quán)陣求逆得到協(xié)因數(shù)陣，再利用權(quán)與協(xié)因數(shù)的倒數(shù)關(guān)系求權(quán)。當(dāng)權(quán)陣為對角陣時，Qii=1/Pii，再由權(quán)與協(xié)因數(shù)的關(guān)系得協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播律目前三十三頁\總數(shù)五十頁\編于十五點協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播定律【例2.11】

已知觀測值向量L的協(xié)因數(shù)陣為試求:1)觀測值L1、L2的權(quán)P1和P2；

2)觀測值向量L的權(quán)陣P。解:1)由權(quán)與協(xié)因數(shù)的關(guān)系式可得

2)由權(quán)陣的定義式可得觀測向量L的權(quán)陣為目前三十四頁\總數(shù)五十頁\編于十五點

協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播定律【例2.12】已知觀測向量L的權(quán)陣為

試求觀測值L1，L2的權(quán)。解:由權(quán)陣與協(xié)因數(shù)陣的關(guān)系式得觀測值向量L的協(xié)因數(shù)陣為再由權(quán)與協(xié)因數(shù)的關(guān)系式得:

目前三十五頁\總數(shù)五十頁\編于十五點

協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播定律

協(xié)因數(shù)傳播律設(shè)有隨機(jī)向量X的一個線性函數(shù)為：

用矩陣表示為：由于：因此：當(dāng)隨機(jī)向量X中的各個分量兩兩之間相互獨立時，它們之間的協(xié)因數(shù)為零，此時z的協(xié)因數(shù)為：或：目前三十六頁\總數(shù)五十頁\編于十五點

協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播定律

協(xié)因數(shù)傳播律目前三十七頁\總數(shù)五十頁\編于十五點

協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播定律【例2.13】在測站O上觀測了A、B、C三個方向，如圖所示，得觀測值L1、L2、L3。設(shè)各方向值之間互相獨立且等精度，其權(quán)逆陣為試求角度β=(β1β2)T的權(quán)逆陣Q。

解:因為

上式中，說明在一個測站上當(dāng)有二個以上方向時,由方向觀測值求出的角度之間是相關(guān)的。目前三十八頁\總數(shù)五十頁\編于十五點

協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播定律【例2.14】已知獨立觀測值Li的權(quán)為Pi(i=1，2，…，n)，求加權(quán)平均值x=［PL］/［P］的權(quán)Px。解:因為按協(xié)因數(shù)傳播公式，得由權(quán)與協(xié)因數(shù)的關(guān)系式，得目前三十九頁\總數(shù)五十頁\編于十五點設(shè)在一個三角網(wǎng)中，以同精度獨立分別觀測n個三角形的三個內(nèi)角,則第i個三角形的閉合差為：由真誤差計算中誤差菲列羅公式

（i=1,2,…,n）

三角形內(nèi)角和的中誤差三角形閉合差計算測角中誤差的計算公式

目前四十頁\總數(shù)五十頁\編于十五點由真誤差計算中誤差

用不同精度的真誤差計算單位權(quán)中誤差

設(shè)一系列不等精度的觀測值、觀測值的真誤差、觀測值的權(quán)分別為L1,L2,…,Ln

Δ1,Δ2,…,Δn

P1,P2,…,Pn

再假設(shè)一列觀測值為

其真誤差為

由協(xié)因數(shù)傳播律可得

即說明（i=1,2,…,n）是等精度的,且權(quán)都等于1。目前四十一頁\總數(shù)五十頁\編于十五點

由真誤差計算中誤差按等精度觀測計算中誤差的公式，有

將代入上式，可得

上式即為按不等精度觀測值的真誤差求單位權(quán)中誤差的公式。

如果要求第i個觀測值的中誤差，只要由權(quán)的定義式通過變換便可得到計算公式，即

目前四十二頁\總數(shù)五十頁\編于十五點

由真誤差計算中誤差利用雙觀測列之差求中誤差1、利用雙觀測列之差求單位權(quán)中誤差設(shè)一組量的雙觀測列分別為

和為第i個量的往返觀測值,再設(shè)每個量的雙觀測的權(quán)相等,均為Pi，則同一量的雙觀測之差為其真誤差為利用權(quán)倒數(shù)傳播公式得雙觀測之差的權(quán)倒數(shù)為

目前四十三頁\總數(shù)五十頁\編于十五點

由真誤差計算中誤差利用雙觀測列之差求中誤差雙觀測之差的權(quán)為

由不等精度觀測求單位權(quán)中誤差的公式可得

將和代入上式得

等精度觀測時有

目前四十四頁\總數(shù)五十頁\編于十五點

由真誤差計算中誤差利用雙觀測列之差求中誤差

如果要求任一量的單次觀測的中誤差，根據(jù)權(quán)的定義式可以導(dǎo)出所求結(jié)果為

2、求雙觀測列單次觀測的中誤差目前四十五頁\總數(shù)五十頁\編于十五點

由真誤差計算中誤差利用雙觀測列之差求中誤差根據(jù)協(xié)方差傳播公式得

則雙觀測列平均值的中誤差為

等精度觀測時有

3、求雙觀測列平均值的中誤差如果要求任一對觀測值平均值的中誤差,則由求平均值的函數(shù)式

目前四十六頁\總數(shù)五十頁\編于十五點由真誤差計算中誤差【例2.15】設(shè)在A、B兩水準(zhǔn)點間