數(shù)學(xué)常用公式-人教版

高考數(shù)學(xué)常用公式及結(jié)論

1.元素與集合的關(guān)系

xeA<^>CL,A,xeCUAxgA.

2.德摩根公式

CL,(An8)=/4uCuB;Cu(Au8)="AQB

3.包含關(guān)系

AC\B=A^A\JB=BCb,BcCVA

==G=g，AUB=R

5.集合也,電,…,4｝的子集個(gè)數(shù)共有2"個(gè)；真子集有2"-1個(gè)；非空子集有2"-1個(gè)；非空的

真子集有2"-2個(gè).

6.二次函數(shù)的解析式的三種形式

⑴一般式/(幻=以2+bx+c(a。0);

(2)頂點(diǎn)式f(x)=a(x-h)2+k(a豐0);

⑶零點(diǎn)式f(x)-a(x-玉)(x-x2)(aH0).

7.解連不等式N<f(x)<M常有以下轉(zhuǎn)化形式

N<f(x)<MQ

12.真值表

Pq非PP或qP且q

真真假真真

真假假真假

假真真真假

假假典假假

13.常見結(jié)論的否定形式

原結(jié)論反設(shè)詞原結(jié)論反設(shè)詞

是不是至少有一個(gè)一個(gè)也沒有

都是不都是至多有一個(gè)至少有兩個(gè)

大于不大于至少有〃個(gè)至多有(〃一1)個(gè)

小于不小于至多有〃個(gè)至少有(〃+1)個(gè)

對(duì)所有X,存在某無，p或4—\p且一、q

成立不成立

對(duì)任何X,存在某X，P且4—ip或一ig

不成立成立

14.四種命題的相互關(guān)系

(1)充分條件：若p=>q,則p是q充分條件.

(2)必要條件：若qnp,則p是q必要條件.

(3)充要條件：若pnq,且qnp,則p是q充要條件.

注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.

16.函數(shù)的單調(diào)性

(1)設(shè)X]-x2G[。,/?],工產(chǎn)人2那么

(._》2)[/(石)_/*2)]〉0=/⑷1/⑷〉0=/(X)在上是增函數(shù)；

X\~X2

._々)"(北_/*2)]<0Q“"士)<0o“X)在[a,以上是減函數(shù).

玉f

⑵設(shè)函數(shù)y=/(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f(x)>Q,則〃x)為增函數(shù)；如果f(x)<Q,則/(x)

為減函數(shù).

17.如果函數(shù)/(x)和g(x)都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi)，和函數(shù)/(x)+g(x)也是減函數(shù)；如果函

數(shù)),=/(“)和"=g(x)在其對(duì)應(yīng)的定義域上都是減函數(shù),則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]是增函數(shù).

18.奇偶函數(shù)的圖象特征

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;反過來，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

稱，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)：如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù).

19.若函數(shù)y=/(x)是偶函數(shù)，則/(x+a)=/(-x—a)；若函數(shù)y=/(x+a)是偶函數(shù)，則

f(x+a)=f(-x+a).

20.若函數(shù)y=/(x)是奇函數(shù)，則

22.多項(xiàng)式函數(shù)尸(x)=a"x"+…+劭的奇偶性

多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是奇函數(shù)QP(x)的偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.

多項(xiàng)式函數(shù)尸(x)是偶函數(shù)=P(x)的奇次項(xiàng)(即偶數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.

23.函數(shù)y=/(x)的圖象的對(duì)稱性

(1)函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱=/(o+x)=f(a-x)

=/(2a-x)=/(x).

24.兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱性

(1)函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=/(-x)的圖象關(guān)于直線x=0(即y軸)對(duì)稱.

(2)函數(shù)y=/(x)和y=f''(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.

25.若將函數(shù)y=/(x)的圖象右移。、上移6個(gè)單位，得到函數(shù)y=/(x—a)+b的圖象；若將曲線

/(x,y)=0的圖象右移a、上移b個(gè)單位，得到曲線/(x-a,y-6)=0的圖象.

26.互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系

f(a)=b<^/T,(b)=a.

28.幾個(gè)常見的函數(shù)方程

⑴正比例函數(shù)/(x)=ex,f(x+y)=f(x)+/(y),/(l)=c.

⑵指數(shù)函數(shù)f(x)=ax,f{x+y)=/(x)/(y),/(l)=a/0.

⑶對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)=log(,x,f(xy)=f(x)+f(y),/(a)=l(a>0,a1).

(4)基函數(shù)/(x)=x。,/(盯)=/(x)/(y),/'(l)=a.

⑸余弦函數(shù)/(x)=cosx,正弦函數(shù)g(x)=sinx,f(x-y)=f(x)f(y)+g(x)g(y),

〃0)=l,lim幽=1.

X

29.幾個(gè)函數(shù)方程的周期(約定a>0)

(1)f(x)=f(x+a),則/(x)的周期T=a；

(2)f(x+a)=-l-(/(x)0),

f(x)

或/(x+a)="(/(x)W。)，

/(x)

則/(x)的周期T=2a；

30.分?jǐn)?shù)指數(shù)基

㈣1

(1)an=,——(a>G,m,neN,，且〃>1).

ZJ/_/n

yja

-巴1

(2)an--(a>0,加,〃￡N*,且〃>1).

an

31.根式的性質(zhì)

(1)(標(biāo))”=Q.

(2)當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，=a；

I—[a.a>0

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，(優(yōu)二|。|=八.

一a,a<0

32.有理指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì)

(1)aras=ar+s(a>0,r,se。).

(2)(a)s=a,s(a>0,r,s￡Q).

(3)(aby=abr(a>0,b>0,reQ).

注：若a>0,p是一個(gè)無理數(shù)，則才表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù).上述有理指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于無理

數(shù)指數(shù)哥都適用.

33.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式

log,N=hab=N(a>0,aH1,N>0)

34.對(duì)數(shù)的換底公式

logN

logaN=--—(?！?,且。。1,〃？>0,且加工1,N>0).

log,"a

Yl

推論logb"=—log“b(a>0,且。>1,〃?,〃>0,且〃zW1,〃W1,N>0).

°m

35.對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則

若a>0,aWl,M>0,N>0,則

(1)log,,(MN)=log“M+log“N;

⑵bg.!=bg“M-bg,,N;

(3)log,Mn=nlog”M(neR).

36.設(shè)函數(shù)y(x)=log,,,(ax2+hx+c)(a-0),記△=從-4ac.若f(x)的定義域?yàn)镽,則a>0,且

△<0;若/(x)的值域?yàn)镽,則a>0,且△20.對(duì)于a=0的情形,需要單獨(dú)檢驗(yàn).

38.平均增長(zhǎng)率的問題

如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N,平均增長(zhǎng)率為p,則對(duì)于時(shí)間x的總產(chǎn)值y,有>='(1+/2):

39.數(shù)列的同項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系

n=1

a〃=<(數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)的和為s〃=q+〃2+…

？2

40.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

an=q+(?-1)</=dn+%-d(neN")；

其前n項(xiàng)和公式為

〃(％+%)n(n-l),

5?=——!——=na1+------d

22

d2/1八

=2〃一+("1—24.

41.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

an=%q"T=%-q"(〃eN*)；

q

其前n項(xiàng)的和公式為

S.=jl-q

=1

]-q

n%,q='

43.分期付款（按揭貸款）

每次還款X=；：：；?；元（貸款a元,〃次還清，每期利率為b）.

44.常見三角不等式

兀

（1）若%￡（0,5）,則sinx<x<tanx.

(2)若xc(0,、)，jflij1<sinx4-cosx<V2.

(3)|sinx|+1cosx|>1.

45.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

sin204-cos2=1,tan。=-----，tan0-cotO-1.

cos?

46.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式

n

.產(chǎn)兀、(-1)2sina,(n為偶數(shù))

sin(—+a)=<—

[(-1)2cosa,(n為奇數(shù))

n

(n為偶數(shù))(-Ipcosa,

cos(+a)=<

2M+l

(n為奇數(shù))(-1)2sina,

47.和角與差角公式

sin(a±/?)=sinacos4土cosasinp;

cos(a±/?)=cosacos/?干sinasind；

/,c、tana±tanA

tan(a±B)=-----------—

1+tanatan/?

asina+bcosa二J^"7P_sin(a+8)(輔助角e所在象限由點(diǎn)(〃,/?)的象限決定，tan^=—).

a

48.二倍角公式

sin2a=sinacosa.

cos2a=cos2a—sin2a=2cos2a—1=1-2sin2a.

2tana

tan2a=

1-tan2a

50.三角函數(shù)的周期公式

函數(shù)y=sin（0x+e）,x￡R及函數(shù)y=cos（5+9）,x￡R（A,3,9為常數(shù)，且AWO,3>0）的周期

T=—；函數(shù)y=tan(69x+(p)?xWk兀-\—,keZ(A,3,3為常數(shù)，且A#0,3>o)的周期7=—.

co'2co

51.正弦定理

sinAsinBsinC

52.余弦定理

a2=b2+c2-2hccosA;

b2=c2+a2-2cacosB;

c2=a2+b2-2abcosC.

53.面積定理

(1)S=—ah=—bh.=—ch(h>九、4分別表示a、b、c邊上的高).

2a202ca°c

(2)S=—absmC=—bcsinA=—easinB.

222

54.三角形內(nèi)角和定理

在aABC中，有A+8+C=/r=C=乃一(A+B)

"?=三一^1^=2。=2%—2(A+8).

57.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律

設(shè)入、U為實(shí)數(shù)，那么

(1)結(jié)合律：入(ua)=(入u)a;

⑵第一分配律：(X+u)a=Xa+ua;

(3)第二分配律：X(a+b)=Xa+Xb.

58.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：

(1)a?b=b?a(交換律)；

(2)(4a)?b=2(a?b)=7a?b=a?(4b);

(3)(a^b),c-a,c+b?c.

59.平面向量基本定理

如果6、ez是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)人

I、入2,使得a=入i&+入汜2.

不共線的向量&、已叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

60.向量平行的坐標(biāo)表示

設(shè)@=(…，必)/=(》2，%)，且bHO,則ab(b*O)<=^xty2-x2yt=0.

53.a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)

a?b=|a||b|cos。.

61.a?b的幾何意義

數(shù)量積a,b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos0的乘積.

62.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

⑴設(shè)a=(XQ]),b=(X2，y2)，則a+b=a+x2,y,+y2).

⑵設(shè)a=(X|,yJ,b=(X2，y2)，則a-b=a-程%一內(nèi))一

(3)設(shè)A(X|,y),B(x2,y2),則AB-OB-0A-(x2-x1,y2-y,).

(4)設(shè)a=(x,y)"eR,則％a=(4x,4y).

⑸設(shè)a=(x,,y,),b=(x2,y2),則a?b=(x,x2+弘力)?

63.兩向量的夾角公式

cos8=-7=7=-7=^(天(內(nèi),>J,b=(/,%))?

64.平面兩點(diǎn)間的距離公式

dAB=\AB\-,而.而

22

=7(x2-x1)+(y2-yl)(A^.y,),B(x2,y2)).

65.向量的平行與垂直

設(shè)a=(x”M),b=(X2，y2)，且bWO,則

A|Ib<=>b=Xa<^>x]y2-x2y}=0.

a_Lb(aW0)=a?b=0<=>x[x2+yxy2-0.

66.線段的定比分公式

設(shè)片(石,%)，P2(x2,y2)9P(x,y)是線段《6的分點(diǎn)，4是實(shí)數(shù)，且耳乃=4班，貝U

_玉+AX2

「1+4Q而=。4+〃生

_y+4y21+4

r=-r^

67.三角形的重心坐標(biāo)公式

三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、丫則△的重心的坐標(biāo)是

△ABCA(X[,y)B(x2,y2),C(X3,3),ABC

%+%+七玉+%+%

G().

3'3

68.點(diǎn)的平移公式

x=x+h\x-x-h

<^OP=OP+PP

y=y+k[y=y'-A:

注：圖形F上的任意一點(diǎn)P(x,y)在平移后圖形戶上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為尸'(x',y')，S.PP'的坐標(biāo)為(/2,k).

69.“按向量平移”的幾個(gè)結(jié)論

⑴點(diǎn)P(x,y)按向量a=(6,&)平移后得到點(diǎn)P'(x+用,y+&).

(2)函數(shù)y=/(x)的圖象C按向量a=(h,k)平移后得到圖象C'，則C’的函數(shù)解析式為

y=f(x-h)+k.

(3)圖象C'按向量a=(/7,A)平移后得到圖象。，若。的解析式y(tǒng)=/(x),則C'的函數(shù)解析式為

y=f(x+h)-k.

(4)曲線C:/(x,y)=0按向量a=(1幻平移后得到圖象C',則C'的方程為f(x-h,y-k)=O.

(5)向量m=(x,y)按向量a=(/?,A)平移后得到的向量仍然為m=(x,y).

70.三角形4“心”向量形式的充要條件

設(shè)。為A4BC所在平面上一點(diǎn)，角A,B,C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a/,c,則

(1)。為A4BC的外心=況？=而，=沅1

(2)。為AABC的重心=次+礪+反=6.

(3)。為AABC的垂心Q方?麗=而灰=花京.

(4)。為AA8C的內(nèi)心Q4萬+b歷+c反=6.

71.常用不等式：

(1)a,beR=>a2+b2>2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b忖取“=”號(hào)).

。)€/?+=巴心而(當(dāng)且僅當(dāng)@=時(shí)取“=”號(hào)).

(2)21)

2

(5)|a|-\b\<\a+b\<|a|+|b|.

72.極值定理

已知x,y都是正數(shù)，則有

(1)若積盯是定值0,則當(dāng)x=y時(shí)和x+y有最小值24；

1,

(2)若和x+y是定值s,則當(dāng)x=y時(shí)積盯有最大值:

74.含有絕對(duì)值的不等式

當(dāng)a>0時(shí)，有

|x|<a<=>x2<?'=-a<x<a.

〉a<=>〉/0x>a或x<-a

75.無理不等式

f/(x)>0

⑴"(X)>Jg(x)=<g(x)?o

f(x)>g(x)

⑵"(x)>g(x)Q<g(x)20或然8

J(x)>[g(x)f

/W>0

⑶"(x)<g(x)=,g(x)>0

,/(x)<[g(x)]2

76.指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式

(1)當(dāng)a>l時(shí)?，

―出)Q/(x)>g(x);

7W>0

loga/(x)>log"g(x)U><g(x)>0.

f(x)>g(x)

(2)當(dāng)Ova<1時(shí)，

aIM>agMQf(x)<g(x);

7w>o

log"/(x)>log。g(x)Q'g(x)>o

f(x)<g(x)

77.斜率公式

k=%。（<（X］，M）、P2（x2,y2））.

x2—xy

78.直線的五種方程

⑴點(diǎn)斜式.一y=余（尤一石）（直線/過點(diǎn)4（演,凹）,且斜率為左）.

（2）斜截式y(tǒng)=+b（b為直線/在y軸上的截距）.

（3）兩點(diǎn)式~—%。（4（王，y|）、AG，%）（玉。%2））.

乃一弘々一斗

（4）截距式￡+工=1（“、6分別為直線的橫、縱截距，a、b#0）

ab

（5）一般式Ax+5y+C=0（其中A、B不同時(shí)為0）.

79.兩條直線的平行和垂直

（1）若4:y=Z|X+仿，l2'.y=k2x+h2

①4||4=匕=憶2,仇H:

②4U=3="!?

（2）若4:Ax+&y+G=0,：Ax+Bz^+G=0,且Ai、A2>B,>B?都不為零,

①/也。今*咤；

②41/2=44+用82=0；

80.夾角公式

(l)tana=|'-|.

1+k〉k]

(4:y=kix+b],l2:y=k2x+b2.kxk2W-l)

直線時(shí)，直線/l與，2的夾角是生.

2

81.4到，2的角公式

(l)tana=―—―.

1+k2kl

&:y=k|X+4,l2:y=k2x+h2,ktk2W-l)

82.四種常用直線系方程

(1)定點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過定點(diǎn)兄(玉),％)的直線系方程為y—%=k(x-x0)(除直線x=x°),其中七

是待定的系數(shù)；經(jīng)過定點(diǎn)6(后,%)的直線系方程為A(x-X。)+B(y-%)=0,其中A,8是待定的系數(shù).

(2)共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過兩直線4：4x+81y+G=0,/2：4犬+82)，+。2=0的交點(diǎn)的直線系方程

為(AX+8J+G)+〃A2X+B2)，+C2)=0(除4)，其中人是待定的系數(shù).

(3)平行直線系方程：直線y=M+b中當(dāng)斜率k一定而b變動(dòng)時(shí)，表示平行直線系方程.與直線

4》+5)，+。=0平行的直線系方程是4*+6)，+/1=0(2。0),人是參變量.

⑷垂直直線系方程：與直線Ax+By+C=0(AWO,B#0)垂直的直線系方程是

Bx-Ay+A=0,8是參變量.

83.點(diǎn)到直線的距離

d=?A]+8.V°+C1(點(diǎn)尸(,>),直線/：加+By+C=0).

y/A2+B2

86.圓的四種方程

(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2.

(2)圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).

,x=a+rcos0

(3)圓的參數(shù)方程\

y=/7+rsin。

88.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

點(diǎn)尸(X0,光)與圓(X—a)2+(y—b)2=/的位置關(guān)系有三種

若d=J("Xo)2+3->0)2,貝I]

d>rc點(diǎn)P在圓外；d=r=點(diǎn)P在圓上；d<rQ點(diǎn)尸在圓內(nèi).

89.直線與圓的位置關(guān)系

直線4犬+8)，+。=0與圓(》—。)2+(>-6)2=尸的位置關(guān)系有三種：

d>r。相離=△<();

d=r=相切=△=();

d<r=相交=△>().

|Ao+Bb+C|

其中d

7A2+52

90.兩圓位置關(guān)系的判定方法

設(shè)兩圓圓心分別為6,02,半徑分別為r”r2,\0.02\=d

d>ri+r2Q外離=4條公切線；

d="+-2=外切Q3條公切線；

|r,-r2\<d<rx+r2=相交Q2條公切線；

d=卜1-々|Q內(nèi)切Q1條公切線；

0cdeh|=內(nèi)含=無公切線.

91.圓的切線方程

(1)已知圓x~+y~+Dx+Ey+F=Q.

①若已知切點(diǎn)(x0,%)在圓上，則切線只有一條，其方程是

xx+vv+D(X°+X)+E(y°+y)+F-0

x()x+yoy+~~

②過圓外一點(diǎn)的切線方程可設(shè)為y-%=Hx-Xo),再利用相切條件求k,這時(shí)必有兩條切線，

注意不要漏掉平行于y軸的切線.

③斜率為k的切線方程可設(shè)為y=kx+b,再利用相切條件求b,必有兩條切線.

(2)已知圓Y+y2=產(chǎn).

①過圓上的《(/，為)點(diǎn)的切線方程為/x+y。)，=/；

100.拋物線V=2px的焦半徑公式

拋物線y=2px(p>0)焦半徑|CF|=%+g

過焦點(diǎn)弦長(zhǎng)|CZ)|=X]+y+x2+y=+x2+p.

2

101.拋物線y2=2px上的動(dòng)點(diǎn)可設(shè)為P(￡-,%)或尸(2pd,2pf)或P(x*x),其中y：=2px。.

2P

109.證明直線與直線的平行的思考途徑

(2)轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；

(3)轉(zhuǎn)化為線面平行；

(4)轉(zhuǎn)化為線面垂直；

(5)轉(zhuǎn)化為面面平行.

110.證明直線與平面的平行的思考途徑

(1)轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點(diǎn)；

(2)轉(zhuǎn)化為線線平行；

(3)轉(zhuǎn)化為面面平行.

111.證明平面與平面平行的思考途徑

(I)轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點(diǎn)；

(2)轉(zhuǎn)化為線面平行；

(3)轉(zhuǎn)化為線面垂直.

112.證明直線與直線的垂直的思考途徑

(1)轉(zhuǎn)化為相交垂直；

(2)轉(zhuǎn)化為線面垂直；

(3)轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；

(4)轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.

113.證明直線與平面垂直的思考途徑

(1)轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；

(2)轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；

(3)轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；

(4)轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面；

(5)轉(zhuǎn)化為該直線與兩個(gè)垂直平面的交線垂直.

114.證明平面與平面的垂直的思考途徑

(1)轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角：

(2)轉(zhuǎn)化為線面垂直.

115.空間向量的加法與數(shù)乘向量運(yùn)算的運(yùn)算律

⑴加法交換律：a+b=b+a.

(2)加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c).

(3)數(shù)乘分配律：X(a+b)=Xa+Xb.

117.共線向量定理

對(duì)空間任意兩個(gè)向量a、b(bWO),a竺了他實(shí)數(shù)上使2=入1).

P、A、8三點(diǎn)共線=AP\\ABQAP^tAB=OP^(1-t)OA+tOB.

AB\\CD^AB,而共線且A3、CO不共線o族=f而且A3、CD不共線.

118.共面向量定理

向量P與兩個(gè)不共線的向量a、b共面的0存在實(shí)數(shù)對(duì)x,y,使p=ax+by.

120.空間向量基本定理

如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對(duì)空間任一向量p,存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組X,y,z,使p

=xa+yb+zc.

推論設(shè)0、A、是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P,都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x,y,z,使

OP=xOA+yOB+zOC.

121.射影終

已知向量而=a和軸/,e是/上與/同方向的單位向量.作A點(diǎn)在/上的射影A',作B點(diǎn)在/上的射影

B,則

AB=|AB|cos〈a,e〉-a,e

122.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算

設(shè)a=(a”的,%)，b=(4，&,b3)則

⑴a+b=(%+bt,a2+b2,a3+b})；

⑵a—b=(q-b],a2-b2,a3—b3)；

(3)Xa=(Aat,Aa2,Aa3)(A.GR)；

⑷a?b=afy+a2b2+a3b3；

123.設(shè)AQ，M，ZJ，B(X2，〉2，Z2)，則

AB=OB-OA=(x2-x],y2-yl,z2-Zi).

124.空間的線線平行或垂直

11

設(shè)。=(X1,%,Zi)，。二(%2，為，[2)，則

x,=AX

111ri12

。P/?=〃=Ab(bW0)=<y=2y2；

-4=心2

1111

0.

aLb<=>ab-0<=>x[x2+yxy2+z1z2-

125.夾角公式

設(shè)a=(4,々,與)，b=("也也),則

cos〈ab)-。也+」1+的-

擊；+樞+用+區(qū)

(3+2(a；+a；+a；

推論a2b2+a3b3)<煙+后+公)，此即三維柯西不等式.

127.異面直線所成角

cos0=|cosa,b\

ir

=_ML=「1』%2+\|%+2送2!

\a\-\b\Jx；+y；+q2.4+才+1

（其中。（0°<^<90°）為異面直線。力所成角，分別表示異面直線。力的方向向量）

128.直線A8與平面所成角

AR?tti一

B=arcsin-==——（m為平血a的法向量）.

\AB\\m\

131.二面角a-/-/?的平面角

H7?/?/??,n—?—

6-arccos—~h或萬一arccos-=：——（m,〃為平面a,7?的法向量）.

|m||n||???||n|

132.三余弦定理

設(shè)AC是a內(nèi)的任一條直線，且BCJ_AC,垂足為C,又設(shè)A0與AB所成的角為且，AB與AC所成的角為

02,A0與AC所成的角為6.則cos6=cosgcos%.

133.三射線定理

若夾在平面角為夕的二面角間的線段與二面角的兩個(gè)半平面所成的角是4,&，與二面角的棱所成的

角是。，則有sin?psin?6=sin?4+sin?%-2sin61sin。2cos夕；

|仇一旦區(qū)*<180°-（q+%）（當(dāng)且僅當(dāng)0=90°時(shí)等號(hào)成立）.

134.空間兩點(diǎn)間的距離公式

若人（西,弘,7］）,B（x2,y2,z2）,則

dA,8=\AB1=飛ABAB=,（工2—X|）2+（%—必甘+仁？一%）??

136.異面直線間的距離

I而石-

4=上一是兩異面直線，其公垂向量為“，。、。分別是4上任一點(diǎn)，d為。間的距離）.

1?1

137?點(diǎn)8到平面a的距離

I而石-

d=?叱?（〃為平面1的法向量，A8是經(jīng)過面1的一條斜線，Aea）.

1?1

141.面積射影定理

S=J

cos0

（平面多邊形及其射影的面積分別是S、S',它們所在平面所成銳二面角的為6）.

142.斜棱柱的直截面

已知斜棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)是/，側(cè)面積和體積分別是S斜極柱1M和丫斜棱柱，它的直截面的周長(zhǎng)和面積分別是c,

和S1,則

①S斜棱柱側(cè)=cj?

②V斜棱柱=5/.

145.歐拉定理（歐拉公式）

V+F-E^2（簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F）.

146.球的半徑是R,則

其體積丫=一4；TR3,

3

其表面積S=4〃R2.

147.球的組合體

（1）球與長(zhǎng)方體的組合體：

長(zhǎng)方體的外接球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng).

（2）球與正方體的組合體：

正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長(zhǎng)，正方體的棱切球的直徑是正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)，正方體的

外接球的直徑是正方體的體對(duì)角線長(zhǎng).

（3）球與正四面體的組合體：

棱長(zhǎng)為。的正四面體的內(nèi)切球的半徑為如。，外接球的半徑為逅4.

124

148.柱體、錐體的體積

%體=Sh（S是柱體的底面積、h是柱體的高）.

V錐體（S是錐體的底面積、/z是錐體的高）?

149.分類計(jì)數(shù)原理（加法原理）

N=機(jī)]+優(yōu)2------7%.

150.分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）

N=//x小2x???x加〃.

151.排列數(shù)公式

兒!

A"'=n（n--zn+1）=-----——.（〃，meN\0.n?<n）.

—m）l

注:規(guī)定0!=1.

153.組合數(shù)公式

C'=-2!-=------------------=-----------（”GN,meN,且mW〃）.

A：1x2x??■x/?im!（n-m）!

154.組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)

⑴C：=C：f;

⑵.

注:規(guī)定C：=l.

155.組合恒等式

（5）仁+不+%+…+c；=C；

（6）C；+C：++…+C：+…+C：=2".

（7）C\+c；+C；+…=C：++C；+…2"T.

156.排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系

然=加g.

157.單條件排列

以下各條的大前提是從〃個(gè)元素中取機(jī)個(gè)元素的排列.

（1）“在位”與“不在位”

①某（特）元必在某位有種：②某（特）元不在某位有4"（補(bǔ)集思想）（著

眼位置）=<]+&?（著眼元素）種.

（2）緊貼與插空（即相鄰與不相鄰）

①定位緊貼：k（k<m<n）個(gè)元在固定位的排列有種.

②浮動(dòng)緊貼：〃個(gè)元素的全排列把k個(gè)元排在一起的排法有A：二種.注：此類問題常用捆綁法；

③插空：兩組元素分別有k、h個(gè)（女</?+1）,把它們合在一起來作全排列，k個(gè)的一組互不能挨近

的所有排列數(shù)有4A3種.

（3）兩組元素各相同的插空

〃2個(gè)大球〃個(gè)小球排成一列，小球必分開，問有多少種排法？

A"

當(dāng)〃＞加+1時(shí)，無解；當(dāng)〃時(shí)，有T=C：1種排法.

（4）兩組相同元素的排列：兩組元素有m個(gè)和n個(gè)，各組元素分別相同的排列數(shù)為C：；.

158.分配問題

（1）（平均分組有歸屬問題）將相異的機(jī)、〃個(gè)物件等分給加個(gè)人，各得〃件，其分配方法數(shù)共有

N=.C"c'；,C=

^tnnmn-nmn-2n(〃!)"'

（2）（平均分組無歸屬問題）將相異的機(jī)?〃個(gè)物體等分為無記號(hào)或無順序的機(jī)堆，其分配方法數(shù)共有

N，,—??一&"：（加〃）！

=Ci=

ml機(jī)!（〃!）”

（3）（非平均分組有歸屬問題）將相異的P（P=\+n2+…+%）個(gè)物體分給機(jī)個(gè)人，物件必須被分完，

分別得到〃-4，…，％,件，且々，々，…，％這根個(gè)數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)共有

N=C；：1?C：“…C,；”?加!=—0!加.

（4）（非完全平均分組有歸屬問題）將相異的P（P=\+n2+…+%）個(gè)物體分給m個(gè)人，物件必須被分

完，分別得到〃-n2,???,〃叫件，且〃1，n2,???,這機(jī)個(gè)數(shù)中分別有a、b、c、…個(gè)相等，則其分

配方法數(shù)有N=。六.二小…。"，：,"?!=-------必空-------.

a\b\c\...nx\n2\-.nm!（a!Z?!c!...）

⑸（非平均分組無歸屬問題）將相異的P（P=、+電+???+\）個(gè)物體分為任意的々，馬，…，勺件無

記號(hào)的〃?堆，且〃I，〃，，…，〃，“這機(jī)個(gè)數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)有N=―2一.

（6）（非完全平均分組無歸屬問題）將相異的P（P=n1+r）2+…+、）個(gè)物體分為任意的〃?,n2,nm

件無記號(hào)的機(jī)堆，且〃「々，…，〃,，這〃？個(gè)數(shù)中分別有a、b、c、…個(gè)相等，則其分配方法數(shù)有

（7）（限定分組有歸屬問題）將相異的p（〃=々+〃2+…）個(gè)物體分給甲、乙、丙，……等機(jī)個(gè)

人,物體必須被分完，如果指定甲得〃?件，乙得〃2件，丙得〃3件，…時(shí)，則無論〃|，〃2,…，〃山等機(jī)個(gè)

數(shù)是否全相異或不全相異其分配方法數(shù)恒有

N=C-：：=P!

nn2

161.二項(xiàng)式定理(?+b)=C[a"+C'na-'b+C^b+???+C^b/+???+C；；b";

二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式

T-i=C,；a"(廠=0,1,2…，〃).

162.等可能性事件的概率

m

P(A)=一.

n

163.互斥事件A,B分別發(fā)生的概率的和

P(A+B)=P(A)+P(B).

164.〃個(gè)互斥事件分別發(fā)生的概率的和

P(A1+A2+-+An)=P(A1)+P(A2)+-+P(An).

165.獨(dú)立事件A,B同時(shí)發(fā)生的概率

P(A?B)=P(A)?P(B).

166.n個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率

P(Ai?A2.........An)=P(A0?P(A2).........P(An).

167.n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件恰好發(fā)生k次的概率

5伙)=。2(1一尸)"工

168.離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個(gè)性質(zhì)

(1)/p0(i=l,2,…)；

(2)[+￡+…=1.

169.數(shù)學(xué)期望

E^=xiPi+x2P2+-+xnPn+-

170.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

(1)E(a4+/?)=〃￡1(J)+h.

(2)若&?B(%p),則Ej=叩.

(3)若4服從幾何分布，且PG=k)=g&p)=/Tp,則=

P

171.方差

=(玉一?Pi+H-野>?0?+…+(X"一?p"+…

172.標(biāo)準(zhǔn)差

喈=75?.

173.方差的性質(zhì)

(1)。(喈+與=/。3

(2)若J?8(〃,p),則Z)J=〃p(l-p).

(3)若J服從幾何分布，且PC=k)=g(A,p)=g*Tp,則。4=工.

P

174.方差與期望的關(guān)系

D”歐一(那廣

175.正態(tài)分布密度函數(shù)

1(廠4

=2儲(chǔ)，xe(-8,+oo),式中的實(shí)數(shù)u,(T(。>0)是參數(shù)，分別表示個(gè)體的平均數(shù)

兀6

與標(biāo)準(zhǔn)差.

176.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)

1"

"“)=71荔e2,xe(-8,+8).

177.對(duì)于陽〃,。2),取值小于x的概率

aX)可于)

P(尤]<x0<x2)=P(x<x2)-P(X<Xj)

=F(X2)-F(X1)

180.特殊數(shù)列的極限

0⑺<1

(1)limqn=<\

A—>8q=i

不存在|g|>1或q=T

0(k<t)

/6r---Haa

(2)lim------_：---------0=<—(k=t)

x

“I-b,n'+bt_xn'~H—+b0bk

不存在(k>t)

(3)S=lim-^-----(S無窮等比數(shù)列｛qq}(|q[<l)的和).

"T8\-q

181.函數(shù)的極限定理

lim/(x)=〃=limf(x)=limf(x)=a.

X-^XQXT，。-XTxJ

183.幾個(gè)常用極限

(1)lim—=0,liman=0(⑷<1)；

“Too"rt—>oo

(2)limx=x0,lim—=一.

x->與XT*。xx0

184.兩個(gè)重要的極限

八、].sinx1

(I)lim---=I；

?2°X

(2)lim|l+-|=e(e=2.7l828l845…).

181XJ

185.函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則

若lim/(X)=〃，limg(x)=b,則

X—>xo

(l)lim