數(shù)學(xué)經(jīng)典易錯(cuò)題會(huì)診與高考試題預(yù)測(cè)2

高考數(shù)學(xué)經(jīng)典易錯(cuò)題會(huì)診(二)

考點(diǎn)-2函數(shù)⑴

函數(shù)的定義域和值域

函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

函數(shù)的奇偶性和周期性的應(yīng)用

反函數(shù)的概念和性質(zhì)的應(yīng)用

借助函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值或證明不等式

綜合運(yùn)用函數(shù)奇偶性、周期性、單調(diào)性進(jìn)行命題

反函數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的綜合

經(jīng)典易錯(cuò)題會(huì)診

命題角度1函數(shù)的定義域和值域

1.(典型例題)對(duì)定義域D「、瓦的函數(shù)y=f(x),y=g(x),規(guī)定：函數(shù)

f(x)?g(x)當(dāng)xeD/JLreDg

h(x)=-f(x)當(dāng)xeD/班Dg

g(x)當(dāng)x任D/且xGDg

(1)若函數(shù)f(x)=—L,g(x)=x2,寫出函數(shù)h(x)的解析式；

x-1

⑵求問題(1)中函數(shù)h(x)的值域.

［考場(chǎng)錯(cuò)解］(1)??丫6)的定義域》為(-8,1)口(1,+8),g(x)的定義域2為R.???

x2

x-1

1

h(x)二(元工1)

1(x=l)

⑵當(dāng)xWl時(shí)，h(x)=E=xT+」一+224fh(x)=—e(-?>,o)U(0,+°°).

x-1x-\x-\

h(x)的值域?yàn)?4,+8),當(dāng)X=1時(shí),h(x)=l.綜合,得h(x)的值域?yàn)閧1}U［4,+8］.

［專家把脈］以上解答有兩處錯(cuò)誤：一是當(dāng)xGDr但X史D"時(shí)，應(yīng)是空集而不是x#L二

是求h(x)的值域時(shí)，由xWl求h(x)=xT+—L+2的值域應(yīng)分x>l和x<l兩種情況的討論.

X-1

［對(duì)癥下藥］⑴的定義域Dr=(-8,l)U(L+8)?g(x)的定義域是瓦=(-8,+

■x2

8).所以，h(x)=-F'xe(Y，l)U(l,4<o).

1,x=l.

(2)當(dāng)xWl時(shí)，h(x)=—=%2~l+l=x-l+—+2.

x-1x-1x-\

若X>1,則xT>0,.?.h(x)^21(x-D—+2=4.

Vx-1

當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)等號(hào)成立.

若xVl,則xT〈O.，h(x)=-[-(xT)-」一]+2W-2+2=0.當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立.

x-1

當(dāng)x=l時(shí)，h(x)=l.

綜上,得h(x)的值域?yàn)?-8,O)u{l}u[4,+8].

2.(典型例題)記函數(shù)f(x)=，T|||的定義域?yàn)锳,g(x)=lg[(x-a-l)(2a-x)](a^l)

的定義域?yàn)锽.

⑴求A；

(2)若B=A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

[考場(chǎng)錯(cuò)解](1)由2-衛(wèi)，0,得或x》l,即A=(-8,-I)U[1,+

x-31

°°].

(2)由(x-aT)(2a-x)>0得(x-aT)(x-2a)<0當(dāng)a=l時(shí)，B=0./.BcA.

當(dāng)a<l時(shí),a+l>2a,/.B=(2a,a+1),

VBcA,...Zaei或a+lW-1.即a2,或aW-2而a〈l,二,WaWl或a<-2.

22

故當(dāng)BuA時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-8,-2)U[l,1].

2

[專家把脈]由函數(shù)的概念知函數(shù)的定義域?yàn)榉强占?，所以錯(cuò)解中a=l時(shí)B=0,說

明函數(shù)不存在，因此a=l不適合.

[對(duì)癥下藥](1)由2-9)0,得出」》0,

x-3x+l

.?.x〈T或x》l.即A=(-8,-1)U[1,+8].

(2)由(x-a-1)(2a-x)>0,得(x-a-l)(x-2a)<0,

當(dāng)a=l時(shí)，B=0,???定義域?yàn)榉强占?，?dāng)時(shí)，a+l>2a,：.B=(2a,a+1),

VBcA,.?.2a2l或a+lWT,即a2；或a

W-2.而a<LLWaWl或aW-2,

2

故當(dāng)B^A時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-8,-2)U[1,1].

3.(典型例題)記函數(shù)f(x)=lg(2x-3)的定義域?yàn)榧螹,函數(shù)g(x)=/^的定義域?yàn)?/p>

集合N.求

(1)集合M,N；

(2)集合MC1N.MUN.

［考場(chǎng)錯(cuò)解］⑴由2x-3>。解得x>?由1仔》。得x-14-3

A-l^-3.??.N=0.

(2)AMnN=0.MUN={x|x>-}.

2

［專家把脈］求集合N時(shí)解不等式1-二-20兩邊同乘以(x-1)不等號(hào)不改變方向，不

X-1

符合不等式性質(zhì)，應(yīng)先移項(xiàng)化為△也20的形式再轉(zhuǎn)化為有理不等式，求解，另外定義域不

g(x)

可能為非空集合.，加。顯然是錯(cuò)誤的.

［對(duì)癥下藥］⑴由2x-3>0,得x>A.AM={x|x>-}.由1-二-20得

22x-l

x—3、八f(x-3)(x-l)>0

--->0=><

x-l[x^1

，xN3或x〈L.'N={x|x23或x<l}.

(2).,.MnN={x|x>-}n{x|x>3或x>l}={x|x>3}.MUN={x|x>-}U{x|x>3或

22

x>l}={x|x>2或x〈l}.

2

4.(典型例題)若集合M={y|y=2T,P={y|y=/TT},則MCIP等于()

A.{y|y>l}B.{y|y》l}

C.{y|y>0}D.{y|y>0}

［考場(chǎng)錯(cuò)解］選A或B

［專家把脈］錯(cuò)誤地認(rèn)為是求函數(shù)y=2'和y=Q的定義域的交集.實(shí)際上是求兩函

數(shù)的值域的交集.

［對(duì)癥下藥］?.?集合中的代表元素為y,二兩集合表示兩函數(shù)的值域，又二

M={y|y=2'}={y|y〉0},P={yIy=Ff}={yIy20}..*.MnP={y|y>0),故選C.

專家會(huì)診

1.對(duì)于含有字母的函數(shù)求定義域或已知其定義域求字母參數(shù)的取值范圍，必須對(duì)字母

酌取值情況進(jìn)行討論，特別注意定義域不能

為空集。2.求函數(shù)的值域，不但要重視對(duì)應(yīng)法則的作用，而且要特別注意定義域?qū)χ涤虻?/p>

制約作用.

考場(chǎng)思維訓(xùn)練

1若函數(shù)y=lg(4-a?25的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(0,+8)B.(0,2)

C.(一，2)D.S，o)

答案：D解析：?.?4—?2'>0的解集為&=〃<上在/?上恒成立&>0,;.。50.

2X2X

2已知函數(shù)f(x)的值域是-2,3］,則函數(shù)f(x-2)的值域?yàn)?)

A.［-4,1］B.［0,5］

C.［-4,1］U［0,5］D.［-2,3］

答案：D解析：f(x-2)的圖象是把f(x)的圖象向右平移2個(gè)單位.因此f(x-2)的值域不變.

3已知函數(shù)f(x)=lg(x'-2mx+m+2)

(1)若該函數(shù)的定義域?yàn)镽,試求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

答案：解析：(1)由題設(shè)，得不等式x2-2mx+m+2>0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，

△=(-2m)--4(m+2)<0,解得-

(2)若該函數(shù)的值域?yàn)镽,試求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

答案：由題設(shè)，得不等式△=(-2m)~~4(m+2)20解得mWl或m22.

4已知函數(shù)f(x)=log3‘"：8x+〃的定義域?yàn)镽,值域?yàn)椋?,2］,求實(shí)數(shù)m,n的值.

x2+l

答案：解析：...f(x)=log3g2：8X+"的值域是［0,2］..?.u=g(x)="i；8x+”的值域?yàn)榭?

x2+lx2+l

9］.由u=必：8入+〃得(上小)x，—8x+(u-n)=0.*.*xeR,當(dāng)"一mw=(-8)2-4(M-m)(u-n)>0.

x2+l

當(dāng)u-m=0時(shí)上式仍成立，即有u2-(m+n)u+(mn-16)WO.

，關(guān)于u的方程u-(m+n)u+mn-16=0有兩根1和9,由韋達(dá)定理得卜"〃一解得m=n=5.

［mn-16=1x9

即為所求。

命題角度2函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

1.(典型例題H)已知a,0,且函數(shù)￡?)二62-22*)&在［-1,1］上是單調(diào)函數(shù)，求a的

取值范圍.

［考場(chǎng)錯(cuò)解］:f'(x)=ex(x2-2ax)+ex(2x-2a)=ex［x2+2(1-a)x-2a］又:f(x)在［-1,1］

上是單調(diào)函數(shù)，f'(x)20在［T,1］上恒成立.即

e'［x~+2(1-a)x-2a20在［T,1］上恒成立.

Vex>0,g(x)=X2+2(l-a)x-2a^0在［T,1］上恒成立.

2(1-〃)v[

即2-或△=4(1-a)2+8aV0或

g(-l)>0g⑴沁

解得：a60.

故f(x)在［T,1］上不可能為單調(diào)函數(shù).

［專家把脈］上面解答認(rèn)為f(x)為單調(diào)函數(shù),f(x)就只能為單調(diào)增函數(shù),其實(shí)f(X)還有

可能為單調(diào)減函數(shù)，因此應(yīng)令f'(函20或f’(令W0在［T,1］上恒成立.

［對(duì)癥下藥］f'(xhelx'-ZaxHeYZx-ZaAelx'+Za-a紜-Za］

：f(x)在［-1,1］上是單調(diào)函數(shù).

⑴若f(x)在［-1,1］上是單調(diào)遞增函數(shù).

則f'(x)20在［T,1］上恒成立，即e”［x?+2(1-a)x-2a］20在［T,1］上恒成立.???e*>0....

g(x)=X2+2(1-a)x-2a>0?E［-1,口上恒成立，貝ij有卜~~或△Way+gaVO或卜

U(-D>0U(D>0

解得，a￡0.

(2)若f(x)在［T,1］上是單調(diào)遞減函數(shù)，

則f'(x)WO在［-1,1］上恒成立.

ex［x2+2(l_a)x_2a］WO在［-1,1］上恒成立.

Ves>0.Ah(x)=x+2(1-a)x-2a<0it［-1,1］上恒成立.

則有七)，。=尸。.心3.

［/?(1)<O［3-4a<04

.?.當(dāng)aC［2,+8］時(shí)，f(x)在［-1,I上是單調(diào)函數(shù).

4

2.(典型例題)己知函數(shù)f(x)=a'+土工(a>l)

X+1

(1)證明：函數(shù)f(x)在(-1,+8)上為增函數(shù)；

(2)用反證法證明方程f(x)=O沒有負(fù)數(shù)根.

［考場(chǎng)錯(cuò)解］⑴設(shè)TVxiV刈，

x2

f(x2)-f(Xl)=a+上二2---上二=a5+上三-上二>0.

X2+1X］+1X［+1X］+1

...f(x)在(T,+8)上是增函數(shù).

(2)設(shè)X。為方程f(x)=O的負(fù)數(shù)根，則有a"+椀3=0.即，°=上也=-1+二一，①

XQ+1XQ+1XQ+1

Vxo^-1,.?.當(dāng)TVxoCO時(shí)，O<xo+Kl.-^->3,-1+」—>2,而與①矛盾.

1+XQ1+XQ(I

原方程沒有負(fù)數(shù)根.

[專家把脈]第(D問錯(cuò)在用定義證明函數(shù)單調(diào)性時(shí)，沒有真正地證明f(X2)>f(xJ.而

只是象征性地令f(x2)-f(x,)>0這是許多學(xué)生解這類題的一個(gè)通病.第(2)問錯(cuò)在把第(1)

問的條件當(dāng)成第(2)問的條件，因而除了上述證明外，還需證明x0<T時(shí)，方程也沒有負(fù)根.

[對(duì)癥下藥]

(1)設(shè)-1〈XKX2,f(Xz)-f(Xi)=a*2+“2-2_3-2=

X2+1X]+1

2x2二

a?_a?>+2_X\-2=a1l(X|+1)(-2-2)-(X]-2)(X2+1)=a?l3(*2-X])

X2+1X]+1*2+1)(-Vj+1)(工2+D(X]+1)

Vx2-xi>0,又a>L

Aa'2X1>1.而-l〈x《X2.，Xi+l>0,x>+l>0.

/.f(x2)-f(xi)>0

???f(x)在(T,+8)上為增函數(shù).

(2)設(shè)X。為方程f(x)=0的負(fù)數(shù)根,則有a*°+==0.即a也2=3~(1+%0)=T+二一.

XQ+1XQ+1XQ+1XQ+1

顯然xoWT,

當(dāng)0>x()>T時(shí)，l>x+l>O,——>3,-1+——>2.而這是不可能的，

o1+%o1+a

即不存在O>x0>-1的解.

當(dāng)xo<T時(shí).xo+l<O—-一<0,-1+--一<-1,而a'°>0矛盾.即不存在xo<T的解.

1+沏1+

3.(典型例題)若函數(shù)f(x)=10g<x3-ax)(a>0且a>l)在區(qū)間(-L0)內(nèi)單調(diào)遞增，則

2

a的取值范圍是()

A.[1,1]B.[1,1]

44

C.+8]D.(1,--)

44

[考場(chǎng)錯(cuò)解]A當(dāng)aG(0,1)時(shí)，要使f(x)=log,(x3-ax)在區(qū)間(-0)上單調(diào)遞增.，

2

x^-ax>。在(-L,o)上恒成立，.?.綜合得aG[1,1].當(dāng)a〉l0t,x3-ax>0

22244

在(-L。)上不可能成立.

2

[專家把脈]上面解答根本沒有按復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則進(jìn)行判斷，而只是考慮函數(shù)的定

義域，這樣的答案肯定是錯(cuò)誤的.

[對(duì)癥下藥]設(shè)0(x)=x~ax

當(dāng)0<a<l時(shí)，依題意，(x)在(-；，0)上單調(diào)遞減且夕收)在(-；,0)上大于0.

(x)=3x、a.即0'(x)W0在(-L0)上恒成立oa》3x2在(-',0)上恒成立.

22

VxG(-1,0).,.3X2G(0,-).

24

Aa>-.此時(shí)O(x)〉0.

44

當(dāng)a>l時(shí),*(x)在(-',0)上單調(diào)遞增,

2

:?(p'(x)=3乂2-@20在,0)上恒成立.

2

???aW3x2在(-1，0)上恒成立.

2

又3x'e(0,—)?.,.aWO與a>l矛盾.

4

??.a的取值范圍是1].

4

故選B.

專家會(huì)診

1.討論函數(shù)單調(diào)性必須在定義域內(nèi)進(jìn)行，因此討論函數(shù)的單調(diào)性必須求函數(shù)定義域.

2.函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)區(qū)間而言的，如果f(x)在區(qū)間(a,b)與(c,d)上都是增(減)函數(shù),

不能說f(x)在(a,b)U(c,d)上一定是增(減)函數(shù).

3.設(shè)函數(shù)y=f(u),u=g(x)都是單調(diào)函數(shù)，那么復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]在其定義域上也是

單調(diào)函數(shù).若y=f(數(shù)與u=g(x)的單調(diào)性相同,則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]是增函數(shù)；若y=f(u),

u=g(x)的單調(diào)性相反，則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]是減函數(shù).列出下表以助記憶.

y=f(uu=g(Xy=f[g(x

)))]

///

/\

\X/

\/\

上述規(guī)律可概括為“同性則增，異性則減”.

考場(chǎng)思維訓(xùn)練

1函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)X都有f(x)<f(x+l)那么()

A.f(x)是增函數(shù)

B.f(x)沒有單調(diào)減區(qū)間

C.f(x)可能存在單調(diào)增區(qū)間，也可能不存在單調(diào)減區(qū)間

D.f(x)沒有單調(diào)增區(qū)間

C解析：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義進(jìn)行判斷.

2函數(shù)y=log|(x,-3x+2)的單調(diào)增區(qū)間是一單調(diào)遞減區(qū)間是

2

解析：(-8,1),(2,+8)根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則進(jìn)行求解。

3如果函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b滿足f(a+b)=f(a)?f(b).

(1)設(shè)f(l)=k(k/0),試求f(n)(ndN*)

答案：解析

(1)

-//(n+l)=/(?)?川),二.』^上D=/(1)=?#0.，依"))是以《為首項(xiàng),%為公比的等比數(shù)例二/(")=/(1)?[/(1)尸=1("€1^*)

/(?)

(2)設(shè)當(dāng)xVO時(shí),f(x)>l,試解不等式f(x+5)>」_.

f(x)

答案：(2)對(duì)任意的

xeR.f(x)=+/(，)20,假定存eR,卿(%)=0,則%<0,有f(x)=/(x-x。+%)=/(x-%)?/(%)=0.這與已知相

*0,于是對(duì)任意xeR,必旬(x)>0.

???f(0)=f(0+0)=f2(0)#0.

.*.f(0)=l,設(shè)Xl<X2,則Xl-X2<0則f(Xi-X2)>l,又；f(X2)〉0.

.?.f(Xi)=f［(Xi-X2)+X2］=f(Xl-X2)?f(X2)>f(X2).

；.f(x)為R上的減函數(shù)，解不等式f(x+5)〉」一

/(x)

???f(x)〉O,.?.不等式等價(jià)于f(x+5)?f(x)>1.即f(2x+5)>f(O),又；f(x)為減函數(shù)，...

2x+5<0.

解得不等式的解集為卜I一1

4是否存在實(shí)數(shù)a,使函數(shù)f(x)=log.(ax2-x)在區(qū)間［2,4］上是減函數(shù)？

1.答案：解析：設(shè)(p(x)=ax2-x=a(X-—)2a>1時(shí)，要使f(x)在區(qū)間［2,4］上是

2a4a

減函數(shù)，則有：

、/

-1-4aW—84

。(4)>0a>—

2

當(dāng)0<a〈l時(shí)，要使f(x)在［2,4］上是減函數(shù)，則有-<

)>O

即工<a<1.

2

綜合，得存在實(shí)數(shù)a,且a的范圍為(；』).

命題角度3函數(shù)的奇偶性和周期性的應(yīng)用

1.(典型例題)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足?)=?+2),當(dāng)*6［3,4］時(shí)，f(x)=x-2.則

A.f(sin—)<f(cos—)B.f(sin—)>f(cos—)

2233

C.f(sinl)<f(cosl)D.f(sin—)<f(cos—)

22

[考場(chǎng)錯(cuò)解]A由f(x)=f(x+2)知T=2為f(x)的一個(gè)周期.設(shè)xd[T,0]知x+4G[3,

4]

，f(x)=f(x+4)=x+4-2=x+2.

.?.f(x)在［T,0］上是增函數(shù)

又f(x)為偶函數(shù)....f(x)=f(-x)

；.xG［0,1］時(shí),f(x)=x+2,即f(x)在［0,1］上也是增函數(shù).XVsin—<cos—=>f(sin—)

222

<f(cos—).

2

［專家把脈］上面解答錯(cuò)在由f(x)=f(-x)得f(x)=x+2這一步上，導(dǎo)致錯(cuò)誤的原因主要

是對(duì)偶函數(shù)圖像不熟悉.

［對(duì)癥下藥］C由f(x)=f(x+2)知T=2為f(x)的一個(gè)周期，設(shè)xG［T,0］,知x+4G［3,

4］

f(x)=f(x+4)=x+4-2=x+2.

???f(x)在［-1,0］上是增函數(shù).

又???f(x)為偶函數(shù)，...f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱.

，f(x)在［0,1］上是減函數(shù).

A：sin—<cos—=>f(sin—)>f(cos—)

2222

B：sin—>cos—=>f(sin—)>f(cos—).

3333

C：sinl>cosl=>f(sinl)<f(cosl).

故正確答案C.

2.(典型例題)若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在(-8,0)上是減函數(shù)，且f(2)=0,

則使得f(x)<0的x的取值范圍是()

A.(-8,2)

B.⑵+8)

C.(-8,-2)U(2,+8)

D.(-2,2)

［考場(chǎng)錯(cuò)解］Cf(-x)=f(x)<0=f(2).；.x>2或x<-2.

［專家把脈］以上解答沒有注意到偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間的單調(diào)性相反.錯(cuò)誤地認(rèn)為f(x)

在［0,+8］上仍是減函數(shù)，導(dǎo)致答案選錯(cuò).

［對(duì)癥下藥］D???f(x)是偶函數(shù)，，f(-x)=f(x)=f(|x|)....f(x)<0.f(|x|)<f(2).又

?.?f(x)在(-8,0)上是減函數(shù)，.?.f(x)在［0,+8］上是增函數(shù)，|x|<2n-2〈x〈2.選D.

3.(典型例題)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=L對(duì)稱，則

2

f(l)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=

［考場(chǎng)錯(cuò)解］填-f(0)???f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，???f(-x)=-f(x).又f(x)的圖

像關(guān)于x=L對(duì)稱.

2

/.f(x)=f(1-x):.f(-x)+f(-x+l)=0.

/.f(x)+f(x-l)=0

/.f(5)+f(4)=0.f(3)+f(2)=0.f(l)+f(0)=0.

:.f(5)+f(4)+f(3)+f(2)+f(l)=-f(0)

［專家把脈］上面解答忽視了奇函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用.即f(x)在x=()處有定義of(0)=0.

［對(duì)癥下藥］填0依題意f(-x)=-f(x).f(x)=f(l-x)..?.f(-x)=-f(l-x)即

f(-x)+f(l-x)=0f(x)+f(x-l)=0.\f(5)+f(4)=0,f(3)+f(2)=0.f(l)+f(0)=0.又：f(x)

在x=0處有定義，Af(0)=0Af(5)+f(4)+f(3)+f(2)+f(1)=f(1)-f(0)=0.

4.(典型例題)設(shè)函數(shù)f(x)在(-8,+8)上滿足f(2-x)=f(2+x).f(7-x)=f(7+x),且在

閉區(qū)間［0,7］上，只有f(l)=f(3)=0.

(1)試判斷函數(shù)y=f(x)的奇偶性；

(2)試求方程f(x)=0在閉區(qū)間［-2005,2005］上根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.

［考場(chǎng)錯(cuò)解］依題意f(x)=f(4-x).f(x)=f(14-x)..,.f(4-x)=f(14-x),/.f(x)=f(x+10)

；.f(x)是以10為周期的函數(shù),f(3)=0.，f(-3)=f(7)=0.

...f(3)=f(-3)=-f(3).，f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

(2)由⑴知f(x)是周期為10的周期函數(shù)，又f(3)=f(l)=0,

f(ll)=f(13)=f(-)=f(-9)=0.

故f(x)在［0,10］上有兩個(gè)解，從而可知函數(shù)y=f(x)在［0,2005］上有401個(gè)解.［-2005,

0］上有401個(gè)解,所以函數(shù)丁y=f(x)在［-2005,2005］上有802個(gè)解.

［專家把脈］(1)對(duì)題意理解錯(cuò)誤，題設(shè)中“在閉區(qū)間［0,7］上，只有f(l)=f(3)=0”

說明除了f(D、f(3)等于0外再不可能有f(7)=0.(2)因f(x)在R上既不是奇函數(shù)，又不

是偶函數(shù).不能認(rèn)為xG［0,10］,［-10,0］上各有兩個(gè)解,則認(rèn)為在［0,2005］與在［-2005,

0］上解的個(gè)數(shù)相同是錯(cuò)誤的，并且f(x)=0在［0,2005］上解的個(gè)數(shù)不是401個(gè)，而是402

個(gè).

［對(duì)癥下藥］由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函數(shù)丁y=f(x)的對(duì)稱軸為x=2和

x=7.

從而知函數(shù)y=f(x)不是奇函數(shù).

/(2-x)=/(2+x)

由/(x)=/(4-x)=f(4-x)=f(14-x)=f(x)=f(x+10).從而知f(x)

/(7-x)=/(7+x)/(x)=/(14-x)

是周期為10的周期函數(shù).

又f(3)=f(l)=0,而f(7)=f(-3)W0.

故函數(shù)y=f(x)是非奇非偶函數(shù).

(2)由⑴知f(x)是以周期為10的周期函數(shù).

，f(l)=f(ll)="=f(2001)=0

f(3)=f(13)=-=f(2003)=0

f(x)=O在［0,2005］上共有402個(gè)解.同理可求得f(x)=0在［-2005,0］上共有400個(gè)

解.

；.f(x)=O在［-2005,2005］上有802個(gè)解.

專家會(huì)診

1.函數(shù)奇偶性定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)，為了便于判斷有時(shí)需要將函數(shù)進(jìn)行

化簡.

2.要注意從數(shù)和形兩個(gè)角度理解函數(shù)的奇偶性，要充分利用f(x)與f(-x)之間的轉(zhuǎn)化

關(guān)系和圖像的對(duì)稱性解決有關(guān)問題.

3.解題中要注意以下性質(zhì)的靈活運(yùn)用.

(1)f(X)為偶函數(shù)。f(x)=f(-X)=f(IXI).

(2)若奇函數(shù)f(x)的定義域包含0,則f(0)=0.

考場(chǎng)思維訓(xùn)練

1f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且g(x)是奇函數(shù),已知g(x)=f(x-1),若g(T)=2006,

則f(2006)的值為()

A.2005B.-2005

C.-2006D.2006

答案:D解析：由題設(shè)條件易得￡&+4)=￡?),；」(2006)=我2).又n-2)=9(-1)=2006.，

f(2006)=2006.

2,XY-1,

2函數(shù)f(x)=lg(l+x2),g(x)=.Mx)=tan2x中是偶函數(shù).

-x+2,XA1,

答案：解析：f(x)、g(x).運(yùn)用奇偶性定義進(jìn)行判斷。

3設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒滿足f(x+2)=-f(x).當(dāng)xW[0,2]

時(shí)，f(x)=2x+x?.

(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；

答案：解析：(1)f(x+2)=-f(-X),Vf(x+4)=-f(x+2)=f(x)

；.f(x)是周期為4的周期函數(shù)。

(2)當(dāng)xG[2,4]時(shí)，求f(x)的解析式；

答案：當(dāng)XG[-2,0]時(shí)，-xc[0,2],由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2.

又f(x)是奇函數(shù)，，f(-x)=-f(x)=-2x-x2.，f(x)=x2+2x.

又當(dāng)xe[2,4]時(shí)，x-4e[-2,0],/.f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).

又f(x)是周期為4的周期函數(shù)。

.*.f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.

因而求得xe[2,4]時(shí)f(x)=x2-6x+8.

(3)計(jì)算：(0+)f⑴+f⑵+…+f(2004)

答案：f(0)=0f(2)=0f(l)=lf(3)=-l,又f(x)是周期為4的周期函數(shù)。

f(0)+f(l)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=...=f(2000)+f(2001)+f(2002)+f(2003)=0

Xf(2004)=f(0)=0,/.f(O)+f(l)+f(2)+...+f(2004)=0.

4設(shè)a、bwR,且a#2定義在區(qū)間(-b,b)內(nèi)的函數(shù)f(x)=lglt竺是奇函數(shù)，求b的

l+2x

取值范圍.

答案：解析：f(x)=lg上絲是奇函數(shù)，等價(jià)于，對(duì)任意xw(-b,b)都有：

14-2x

f(-x)=-f(x)

?1+2以八①

--------->0

[\+2x

②

①式即為1g上竺=igT.即a2x2=4x2.此式對(duì)任意xe(-b,b)都成立相當(dāng)于a2=4,「a

\-2x\+ax

￥2,.,.a=-2.代入(2)得上W>o

1+2x

即__L<x<■!■.此式對(duì)任氤e(4"都成立相當(dāng)于<-b<b<■!■所以得)的取值范圍為(0」］.

22222

命題角度4反函數(shù)的概念和性質(zhì)的應(yīng)用

1.(典型例題)函數(shù)f(x)=x?-2ax-3在區(qū)間［1,2］上存在反函數(shù)的充分必要條件是

()

A.ae(-00,1)

B.ae［2,+°°］

C.aG［l,2］

D.aG(-8,i)u［2,+oo］

［考場(chǎng)錯(cuò)解］選A或B???aG(-8,在區(qū)間［1,2］上是增函數(shù).，f(x)存在

反函數(shù).當(dāng)aG［2,+8).對(duì)稱軸x=a在區(qū)間［1,2］的右側(cè)，.If(x)在［1,2］上是減函數(shù).二

f(x)存在反函數(shù).

［專家把脈］上面解答只能說明A或B是f(x)存在反函數(shù)的充分條件，并不是充要條

件.

［對(duì)癥下藥］：一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上存在反函數(shù)的充要條件是此函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上是

單調(diào)函數(shù).

二對(duì)稱軸x=a不應(yīng)在(1,2)內(nèi)，；.aWl或a22.故選C.

2.(典型例題I)丫=亞二7(l〈xW2)的反函數(shù)是()

A.y-l+yji-x2(TWxWl)

B.y=l+"-2(OWxWD

Cy=l-〃-x2(TWxWl)

D.y=l-Jl-x2(OWxWl)

［考場(chǎng)錯(cuò)解］C\'y2=2x-x'./.(x-l)"=l-y2./.x-l--^l-y2,x-\-^］-y2.x、y

對(duì)換得y=l-Jl-V又l-x>0....-IWxWl.因而f(x)的反函數(shù)為y=l~7?二2(T〈xW

1).

［專家把脈］上面解答有兩處錯(cuò)誤(一)..TWxW2,.?.x-l20.由(x-l)z=l-y2開方取“正

號(hào)”而不是取“負(fù)號(hào)”；(二)反函數(shù)的定義域應(yīng)通過求原函數(shù)的值域而得到，而不是由反函

數(shù)解析式確定.

［對(duì)癥下藥］B由y=y12x-x2=>(x-l)2=l-yJ./.xG［1,2］xTG［0,+°°］.

x-l=>j\-y2=>-l+yji-y2.x、y對(duì)換得y=l+又■:y=/zx-x2=J-(x-l)2+1(IWx

W2)....OWyWl即原函數(shù)值域?yàn)椋?,1］.所以反函數(shù)為y=l-7T7(OWxWl).選B.

3.(典型例題)設(shè)f?)是函數(shù)f(x)J(aY)(a>l)的反函數(shù)，則使f%)>l成立的

x的取值范圍為()

291

A.("二L,+8)B.(-8,匚1)

2a2a

2

C.(二二l,a)D.(a,+8)

2a

［考場(chǎng)錯(cuò)解］c：y=i(ax-ax),.,.a2x-2y-as-l=O.a=2>，+2^+'.：.

2-121

x=logH(y+Jy+1),x>y對(duì)換./.f(x)=loga(x+7x+l)(xeR)XVf(x)>1,/.

XY42

2

loga(x+4*+1)>1=>x+^x+1>a.J/+i>a-x<=>2_］A￡1Z1<x<a.選C.

x^-~-2a

2a

［專家把脈］上面解答錯(cuò)在最后解不等式戶I>a-x,這一步，因?yàn)閤+戶？>a-x

"XA0

應(yīng)等價(jià)于或aWx.錯(cuò)解中只有前面一個(gè)不等式組.答案顯然錯(cuò)了.

--------

2a

［對(duì)癥下藥］A解法一?壯(—42"十。"=空羋型刊+行.?.

21

x=loga(y+Jy2+i)....「(x)=log；1(x+ylx+1)(x￡R).Vf(x)>1

22

log.(x+檸+1)>1=>x+7x+1>an^x+1>a_x<=>\""或〃_、V0o"T

［x2+\>{a-x)22a

<x<+°°.

解法2：利用原函數(shù)與反函數(shù)的定丈域、值域的關(guān)系.原題等價(jià)于x>l時(shí)，f(x)=L(a'-a、)

2

2

的值域，???f(x)=L(a*-a*)在R上單調(diào)遞增....f(x)>L(a-L)=佇二1.選A.

22a2a

4.(典型例題)設(shè)函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,2)對(duì)稱，且存在反函數(shù)f"(x),f(4)=0,

f'(4)=________.

［考場(chǎng)錯(cuò)解］填0???y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,2)對(duì)稱，又(4)=0,.?，(())=4,...

〃(4)=0

［專家把脈］上面解答錯(cuò)在由圖像過點(diǎn)(4,0)得到圖像過點(diǎn)(4,0)上，因?yàn)閒(x)圖像

關(guān)于點(diǎn)(1,2)對(duì)稱不是關(guān)于y=x對(duì)稱，因此應(yīng)找出圖像過點(diǎn)(-2,4)是關(guān)鍵.

［對(duì)癥下藥］填-2.

解法1???f(4)=0,；.f(x)的圖像過點(diǎn)(4,0).又的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,2)對(duì)稱，二

f(x)的圖像過點(diǎn)(2-4,4-0)即(-2,4).."(-2)=4.(4)=-2.

解法2設(shè)y=f(x)上任一點(diǎn)P(x、y)關(guān)于點(diǎn)(1,2)對(duì)稱的點(diǎn)為P'(2-x,4-y).依題意

4-y=f(2-x),.\4-f(x)=f(2-x)=>f(x)+f(2-x)=4.令x=4.Af(4)+f(-2)=4.Xf(4)=0,

Af(-2)=4.，fT(4)=-2.

專家會(huì)診

1.求反函數(shù)時(shí)必須注意：(D由原解析式解出x=fYy),如求出的x不唯一，要根據(jù)條

件中x的范圍決定取舍，只能取一個(gè)；(2)要求反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域.

2.分段函數(shù)的反函數(shù)可以分別求出各段函數(shù)的反函數(shù)后再合成.

3.若點(diǎn)(a,b)在原函數(shù)y=f(x)的圖像上，則(b,a)在反函數(shù)y=fFx)的圖像上.

考場(chǎng)思維訓(xùn)練

1函數(shù)y=3x?T(TWx<0)的反函數(shù)是()

A.y=Jl+bg3x(x2,)

B.y=-Jl+log3x(x)；)

C.y=Jl+1og3x(：<xWl)

D.y=-A/l+log3x(；<x<1)

答案：D解析：由y=3x2-i得x2-l=log3yV-l<x<0,/.

x=-互換得y=-Jk>g3X+l,

v-1<x<0,.'.-1<x2-1<0,.,.j<3/-1V1.故原函數(shù)的反函數(shù)為：y=-"l+log3xg<x<l)i&￡>.

2(典型例題)定義在R上的函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù)，最小正周期為T,若函數(shù)y=f(x),

*6(0,11)時(shí)￡有反函數(shù)丫=「'小w1).則函數(shù)y=f(x),xG(2T,3T)的反函數(shù)為()

A.y=f1(x),xGD

B.y=f-'(x-2T),xGD

C.y=f-'(x+2T),x《D

D.y=f'(x)+2T.xGD

答案:D解析：???xc(2T,3T),.?.x-2T=(0,T).又???f(x)的周期為2T,y=f(x)=f(x-2T).，

x-2T=f-i(y)+2T,x,y互換，得

y=f-i(x)+2T.當(dāng)xe(2T,3T)的反函數(shù)為y=f-i(x)+2T,x?D.

3已知f(x)=，二的反函數(shù).fFx)的圖像的對(duì)稱中心是(-1,3),求實(shí)數(shù)a的值.

x-a-\

答案：解析：；f(x)=-l----的對(duì)稱中心是(a+l,-l)；.f-i(x)的對(duì)稱中心是(-l,a+l),

工一(。+1)

；.a+l=3,從而a=2.

探究開放題預(yù)測(cè)

預(yù)測(cè)角度1借助函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值或證明不等式

1.已知定義域?yàn)椋?,1)的函數(shù)f(x)同時(shí)滿足①對(duì)任意xe［0,1］,總有f(x)20；②

f(1)=1；③若Xi20,X220,X1+X2WI,則有f(X1+X2)》f(x］)+f(X2).

(1)求f(0)的值；

(2)求函數(shù)f(x)的最大值.

［解題思路］(D令xi=X2=0可得答案(2),先證f(x)在［0,1］上是單調(diào)函數(shù)，再求其最

大值.

［解答］(1)令xi=X2=0,由條件①得f(0)N0,由條件③得f(0)W0.故f(0)=0.

(2)任取OWX1WX2WI,可知X2-X1G(O,1),則f(X2)=f［(X2-Xi)+Xi］》f(X2-Xi)+f(X).又

Vxi-x2e(0,1),.,.f(X2-X1)>0.Af(x)(xi)，f(x)在［0,1］上是增函數(shù)，于是當(dāng)0

WxWl時(shí)，有f(x)Wf(l)=l....當(dāng)x=l時(shí)，［f(x)］*=l.即f(x)的最大值為1.

2.設(shè)f(x)是定義在(0,+8)上的函數(shù)，k是正常數(shù)，且對(duì)任意的xW(0,+8),恒有

f［f(x)］=kx成立.

(1)若f(x)是(0,+8)上的增函數(shù)，且k=l,求證：f(x)=x.

(2)對(duì)于任意的x卜x2e(0,+8),當(dāng)X2X1時(shí)，有f(x2)-f(xi)>X2』成立，如果k=2,

證明：4</W<31

3x2

［解題思路］(1)用反證法證明；(2)用反證法先證f(x)>x,再運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行放

縮.

[解答](1)假設(shè)f(x)>x

■￡&)在(0,+8)上是增函數(shù),且f(f(x)]二x.

Af(x)>f[f(x)].

???x>f(x)這與假設(shè)矛盾.，f(x)>x不可能成立

同理可證f(x)<x也是不可能成立的.

綜合，得f(x)=X.

(2)先證f(x)>x,假設(shè)存在x()e(0,+8),使得f(xo)WxO,若f(x0)=x0,則

f[f(Xo)]=f(Xo).即2xo=f(Xo)=xo,，Xo矛盾；若f(xo)<Xo,由條件可知f(x)在(0,+8)

上是增函數(shù)，且f(xo)>O.

/.f[f(xo)]<f(xo)>即2xo<f(xo)?

.?.2xo<Xo=Xo〈O矛盾,Af(x)>x

因此f{f[f(x)])-f[f(x)]>f[f(x)]-f(x)>f(x)-X.

即2f(x)-2x>2x-f(x)>f(x)-x

解得￡<久立<3.

3x2

預(yù)測(cè)角度2綜合運(yùn)用函數(shù)奇偶性、周期性、單調(diào)性進(jìn)行命題

1.設(shè)f(x)是定義在[T,1]上的偶函數(shù).當(dāng)xe[-l,0]時(shí)，f(x)=g(2-x),且當(dāng)xG[2,3]

時(shí)，g(x)=2a(x-2)-4(x-2)

(1)求f(x)的表達(dá)式；

(2)是否存在正實(shí)數(shù)a(a>6),使函數(shù)f(x)的圖像的最高點(diǎn)在直線y=12上，若存在，求

出正實(shí)數(shù)a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

[解題思路](1)運(yùn)用函數(shù)奇偶性和條件f(x)=g(2-x)可求得f(x)的解析式.(2)利用導(dǎo)

數(shù)可求得f(x)的最大值.令最大值等于12可知是否存在正實(shí)數(shù)a.

[解答]⑴當(dāng)xW[-l,0]時(shí),2-xG⑵3]

f(x)=g(2-x)-2a(-x)-4(-x)3=4x3-2ax

得f(x)=4x'-2ax(xW[T,0])

?；y=f(x)在[-1,1]上是偶函數(shù)

.,.當(dāng)xC[0,1]時(shí)，f(x)=f(-x)=-4xJ+2ax

.-/\4*3-2ax_]Vxy0,

..f(