黑龍江省七臺河市田家炳高中等五所高中聯(lián)考2017屆高三(上)期中數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版)

2016-2017學(xué)年黑龍江省七臺河市田家炳中學(xué)等五所中學(xué)聯(lián)考高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合A={1，2，3}，B={x|x＜a），若A?B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（﹣∞，3） D．（3，+∞）【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系推斷及應(yīng)用．【分析】依據(jù)A?B，建立條件關(guān)系即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：由題意：集合A={1，2，3}，B={x|x＜a），∵A?B，∴3＜a，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（3，+∞）．故選D．2．若復(fù)數(shù)z滿意i（1﹣z）=2﹣i，則z的實(shí)部為（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】把已知等式變形，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案．【解答】解：由i（1﹣z）=2﹣i，得1﹣z=，∴z=1﹣=1﹣=2+2i，∴z的實(shí)部為2，故選：B．3．“tanx＞0”是“sin2x＞0“的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的推斷．【分析】依據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系和二倍角公式即可得到tanx=＞0?sin2x＞0，再依據(jù)充要條件的定義即可推斷．【解答】解：tanx=＞0?sinxcosx＞0?2sinxcosx＞0?sin2x＞0，故“tanx＞0”是“sin2x＞0“充分必要條件，故選：C4．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a6=﹣3，S6=12，則a5等于（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．4【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】由等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出a5．【解答】解：∵等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a6=﹣3，S6=12，∴，解得a1=7，d=﹣2，∴a5=7+4×（﹣2）=﹣1．故選：B．5．已知平面對量，滿意||=3||=|﹣3|=3，則，的夾角為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】平面對量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】由條件可求出的值，從而對兩邊平方，即可求出cos的值，從而便可得出的夾角．【解答】解：依據(jù)條件，，；∴==9；∴；∴的夾角為．故選B．6．已知角α的終邊上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為（），則=（）A．﹣ B． C．﹣7 D．7【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用；隨意角的三角函數(shù)的定義．【分析】依據(jù)三角函數(shù)的定義和二倍角公式求解．【解答】解：角α的終邊上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為（），∴sinα==，cosα==．那么：===．故選A．7．已知函數(shù)f（x）=cos（ωx+φ）的部分圖象如圖，則f（0）=（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】余弦函數(shù)的圖象．【分析】依據(jù)函數(shù)的圖象求出解析式，再計算f（0）的值．【解答】解：由函數(shù)的圖象可得函數(shù)的周期為T==4×（﹣），解得ω=2，∴f（x）=cos（2x+φ），又當(dāng)x=時，f（x）=cos（2×+φ）=1，解得φ=﹣+2kπ，k∈Z，∴f（x）=cos（2x﹣），∴f（0）=cos（﹣）=．故選：D．8．設(shè)函數(shù)f（x）=，若f（f（﹣3））=﹣3，則b=（）A．5 B．4 C．3 D．2【考點(diǎn)】函數(shù)的值．【分析】由已知得f（﹣3）=log2（1+3）=2，從而f（f（﹣3））=f（2）=2﹣b=﹣3，由此能求出b．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=，∴f（﹣3）=log2（1+3）=2，∵f（f（﹣3））=﹣3，∴f（f（﹣3））=f（2）=2﹣b=﹣3，解得b=5．故選：A．9．設(shè)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，若對?n∈N*，有＜5，則q的取值范圍是（）A．（0，1] B．（，2） C．[1，） D．（，2）【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】當(dāng)q≠1時，由＜5得qn＜4，對q分類探討求得q的范圍，當(dāng)q=1時，＜5恒成立，由此得答案．【解答】解：當(dāng)q≠1時，∵＜5，∴，則qn＜4．若q＞1，n＜logq4對?n∈N*恒成立，∴l(xiāng)ogq4＞nmax不成立，舍去；若0＜q＜1，n＞logq4對?n∈N*恒成立，∴l(xiāng)ogq4＜nmin，則logq4＜1，即0＜q＜4，又0＜q＜1．∴0＜q＜1．當(dāng)q=1時，S2n=2Sn＜5Sn成立．綜上可得：0＜q≤1．故選：A．10．已知函數(shù)f（x）=sin2x﹣cos2x﹣m在[0，]上有兩個零點(diǎn)，則m的取值范圍是（）A．（1，2） B．[1，2] C．（1，2] D．[1，2）【考點(diǎn)】兩角和與差的正弦函數(shù)；正弦函數(shù)的圖象．【分析】由題意，利用兩角差的正弦函數(shù)公式可得2sin（2x﹣）=m，利用x∈[0，]時，可求2x﹣∈[﹣，]，利用正弦函數(shù)的圖象即可得解．【解答】解：因?yàn)閒（x）=sin2x﹣cos2x﹣m=2sin（2x﹣）﹣m，則2sin（2x﹣）=m，當(dāng)x∈[0，]時，t=2x﹣∈[﹣，]，結(jié)合y=2sint，t∈[﹣，]的函數(shù)圖象知1≤m＜2．故選：D．11．在Rt△ABC中，直角邊AC，BC長分別為3，6，點(diǎn)E，F(xiàn)是AB的三等分點(diǎn)，D是BC中點(diǎn)，AD交CE，CF分別于點(diǎn)G，H，則?=（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】平面對量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】依據(jù)條件，可分別以CB，CA為x軸，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，然后可求出C，A，B，E，F(xiàn)，D這幾點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可分別求出直線AD，CE，CF的方程，聯(lián)立方程即可分別求出點(diǎn)G，H的坐標(biāo)，進(jìn)而求出向量的坐標(biāo)，從而求出該數(shù)量積的值．【解答】解：如圖，分別以CB，CA為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則：C（0，0），A（0，3），B（6，0），E（2，2），F(xiàn)（4，1），D（3，0）；∴；∴直線AD的方程為y﹣3=﹣x，即y=3﹣x；直線CE：y=x，直線CF：y=；解得，，G（，）；解得，，；∴=．故選D．12．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，f（﹣x）+f（x+3）=0；當(dāng)x∈（0，3）時，f（x）=，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，且e≈2.72，則方程6f（x）﹣x=0在[﹣9，9]上的解的個數(shù)為（）A．4 B．5 C．6 D．7【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】確定f（x）的周期為3，函數(shù)在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，3）上單調(diào)遞減，在[0，9]上作出y=f（x）的圖象，作出y=的圖象，即可得出結(jié)論．【解答】解：依題意，f′（x）=，故函數(shù)f（x）在上（0，e）單調(diào)遞增，在（e，3）上單調(diào)遞減，故當(dāng)x∈（0，3）時，f（x）max=f（e）=1，又函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且x＞0時，f（﹣x）+f（x+3）=0，即f（x+3）=f（x），且f（0）=0；由6f（x）﹣x=0可知，f（x）=．在同始終角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)y=f（x）與y=在[﹣9，9]上的圖象如下圖所示，視察可知，y=f（x）與y=有7個交點(diǎn)，即方程6f（x）﹣x=0的解有7個，故選D．二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13．已知i是虛數(shù)單位，x，y∈R，若x+2i=y﹣1+yi，則x+y=3．【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】由復(fù)數(shù)相等的條件列關(guān)于x，y的方程組，求解得到x，y的值，則答案可求．【解答】解：由x+2i=y﹣1+yi，得，解得，∴x+y=3．故答案為：3．14．已知向量=（1，1），=（x，﹣2）=（﹣1，y），若且∥，則x+y=1．【考點(diǎn)】平面對量共線（平行）的坐標(biāo)表示．【分析】利用向量垂直與共線列出方程化簡求解即可．【解答】解：向量=（1，1），=（x，﹣2），=（﹣1，y），且∥，可得：x﹣2=0，y=﹣1，則x+y=2﹣1=1．故答案為：1．15．（x﹣x2）dx=．【考點(diǎn)】定積分．【分析】找出被積函數(shù)的原函數(shù)，代入積分的上限和下限計算即可．【解答】解：（x﹣x2）dx=（）|=；故答案為：．16．在三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若b﹣c=a，sinB=2sinA，則tan（B+C）=．【考點(diǎn)】兩角和與差的正切函數(shù)．【分析】由已知利用正弦定理化角為邊，得到b=2a，c=，再由余弦定理求得cosA，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式得答案．【解答】解：由sinB=2sinA，得b=2a，又b﹣c=a，∴b=2a，c=，∴cosA=，∴sinA=，則tanA=．故答案為：．三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17．已知A（3，2）、B（﹣2，1）、C（1，﹣1）且（1）證明：△ABC是等腰直角三角形（2）求cos∠APC．【考點(diǎn)】平面對量的綜合題．【分析】（1）由題意得，，由，，能夠證明△ABC是等腰直角三角形．（2）設(shè)點(diǎn)P（x，y），則，．由，知x﹣3=4+2x且y﹣2=2y﹣2，由此能求出cos∠APC．【解答】（1）證明：由題意得，因?yàn)?，所以CA⊥CB所以△ABC是直角三角形又∵，，∴，∴△ABC是等腰直角三角形（2）解：設(shè)點(diǎn)P（x，y），則，∵，∴x﹣3=4+2x且y﹣2=2y﹣2，解得x=﹣7，y=0，∴P（﹣7，0），∴，∴=78，，，∴cos∠APC==．18．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿意（a+c）（sinA﹣sinC）=（b+c）sinB．（1）求A角的大??；（2）若a=3，S△ABC=，求b，c．【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由已知及正弦定理，整理可得b2+c2﹣a2=﹣bc，利用余弦定理可求cosA=﹣，結(jié)合范圍0＜A＜π，即可得解A的值．（2）由已知利用三角形面積公式可求bc=3，結(jié)合a=3，b2+c2﹣a2=﹣bc，即可解得b，c的值．【解答】解：（1）由（a+c）（sinA﹣sinC）=（b+c）sinB及正弦定理得（a+c）（a﹣c）=b（b+c），∴b2+c2﹣a2=﹣bc，∴cosA==﹣，∵0＜A＜π，∴A=．（2）∵S△ABC==bcsinA，即bcsin=，∴bc=3，①又a=3，b2+c2﹣a2=﹣bc，∴b2+c2=6，②又①②得b=c=．19．對于數(shù)列{an}、{bn}，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn+1﹣（n+1）=Sn+an+n，a1=b1=1，bn+1=3bn+2，n∈N*．（1）求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式；（2）令cn=，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】（1）由Sn+1﹣Sn=an+2n+1，則an+1﹣an=2n+1，利用“累加法”即可求得an=n2，由bn+1+1=3（bn+1），可知數(shù)列{bn+1}是以2為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，即可求得{bn}的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可知：cn===，利用“錯位相減法”即可求得數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．【解答】解：（1）由Sn+1﹣（n+1）=Sn+an+n，∴Sn+1﹣Sn=an+2n+1，∴an+1﹣an=2n+1，∴a2﹣a1=2×1+1，a3﹣a2=2×2+1，a4﹣a3=2×3+1，…an﹣an﹣1=2（n﹣1）+1，以上各式相加可得：an﹣a1=2×（1+2+3+…+n﹣1）+（n﹣1），∴an=2×+（n﹣1）+1=n2，∴an=n2，∵bn+1=3bn+2，即bn+1+1=3（bn+1），b1+1=2，∴數(shù)列{bn+1}是以2為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，bn+1=2×3n﹣1，∴bn=2×3n﹣1﹣1；（2）由（1）可知：cn===，∴Tn=c1+c2+…+cn=+++…+，Tn=+++…+，∴Tn=2++++…+﹣，=2+﹣，=﹣，∴Tn=﹣，數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn，Tn=﹣．20．已知函數(shù)f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0），且f（x）的最小正周期為π（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；（2）若f（﹣）=，f（﹣）=，且α、β∈（﹣），求cos（α+β）的值．【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的圖象．【分析】（1）由三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=sin（2ωx+），由周期可得ω=1，可得函數(shù)解析式，解2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得單調(diào)增區(qū)間；（2）由題意易得sinα=，sinβ=，由α、β范圍和同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得cosα和cosβ，代入cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ可得．【解答】解：（1）由三角函數(shù)公式化簡可得：f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx=sin（2ωx+），∵f（x）的最小正周期為π，∴=π，解得ω=1，∴f（x）=sin（2x+），解2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得kπ﹣≤x≤kπ+，∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（2）∵f（﹣）=，f（﹣）=，∴sin（α﹣+）=，sin（β﹣+）=，∴sinα=，sinβ=，又α、β∈（﹣），∴cosα==，同理cosβ=，∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=×﹣×=21．已知函數(shù)f（x）=lnx﹣ax2，a∈R．（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≤（a﹣1）x﹣1恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)恒成立問題．【分析】（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過探討a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）運(yùn)用參數(shù)分別可得a≥在x＞0恒成立．運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，推斷單調(diào)性，求得右邊函數(shù)的最大值，留意結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)存在定理，即可得到a的最小值．【解答】解：（1）∵f（x）=lnx﹣ax2，函數(shù)的定義域是（0，+∞），∴f′（x）=﹣ax=，a≤0時：f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）遞增；a＞0時：令f′（x）＞0，即1﹣ax2＞0，解得：0＜x＜，∴f（x）在（0，）遞增；（2）f（x）≤（a﹣1）x﹣1恒成立，可得lnx﹣ax2≤（a﹣1）x﹣1恒成立，等價為a≥在x＞0恒成立．令g（x）=，只需a≥g（x）max，g′（x）=，令g′（x）=0，可得﹣x