2020-2021學年北京市豐臺區(qū)高三（上）期末數學試卷

第1頁（共1頁）2020-2021學年北京市豐臺區(qū)高三（上）期末數學試卷一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．（4分）已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x∈Z|﹣2＜x＜2}，那么A∩B＝（）A．{0，1} B．{x|0≤x＜2} C．{﹣1，0} D．{0，1，2}2．（4分）在等差數列{an}中，若a1＝1，a2+a4＝10，則a20＝（）A．35 B．37 C．39 D．413．（4分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于（）A． B． C． D．4．（4分）若函數f（x）＝，則函數f（x）的值域為（）A．[0，1） B．（﹣∞，0] C．（﹣∞，0）∪（0，1） D．（﹣∞，1）5．（4分）若關于x，y的方程組（a∈R）無解，則a＝（）A．2 B． C．1 D．6．（4分）下列函數中，同時滿足①對于定義域內的任意x，都有f（﹣x）＝﹣f（x）；②存在區(qū)間D，f（x）在區(qū)間D上單調遞減的函數是（）A．y＝sinx B．y＝x3 C． D．y＝lnx7．（4分）已知{an}是等比數列，Sn為其前n項和，那么“a1＞0”是“數列{Sn}為遞增數列”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．（4分）某校實行選科走班制度（語文、數學、英語為必選科目，此外學生需在物理、化學、生物、歷史、地理、政治六科中任選三科）．根據學生選科情況，該校計劃利用三天請專家對九個學科分別進行學法指導，每天依次安排三節(jié)課，每節(jié)課一個學科．語文、數學、英語只排在第二節(jié)；物理、政治排在同一天，化學、地理排在同一天，生物、歷史排在同一天，則不同的排課方案的種數為（）A．36 B．48 C．144 D．2889．（4分）在平面直角坐標系中，A，B是直線x+y＝m上的兩點，且|AB|＝10．若對于任意點P（cosθ，sinθ）（0≤θ＜2π），存在A，B使∠APB＝90°成立，則m的最大值為（）A． B．4 C． D．810．（4分）為了預防某種病毒，某商場需要通過噴灑藥物對內部空間進行全面消毒．出于對顧客身體健康的考慮，相關部門規(guī)定空氣中這種藥物的濃度不超過0.25毫克/立方米時，顧客方可進入商場．已知從噴灑藥物開始，商場內部的藥物濃度y（毫克/立方米）與時間t（分鐘）之間的函數關系為y＝（a為常數），函數圖象如圖所示．如果商場規(guī)定10：00顧客可以進入商場，那么開始噴灑藥物的時間最遲是（）A．9：40 B．9：30 C．9：20 D．9：10二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．（5分）在復平面內，復數z＝i（a+i）對應的點在直線x+y＝0上，則實數a＝．12．（5分）已知雙曲線﹣＝1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為y＝x，那么該雙曲線的離心率為．13．（5分）已知正六邊形ABCDEF的邊長為1，那么＝；若，則x+y＝．14．（5分）函數的最小正周期T＝，將函數f（x）的圖象向左平移φ（φ＞0）個單位長度，得到函數g（x）的圖象．若函數y＝f（x）﹣g（x）的最大值為2，則φ的值可以為．15．（5分）對于平面直角坐標系內的任意兩點P（x1，y1），Q（x2，y2），定義它們之間的一種“距離”為||PQ||＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|．已知不同三點A，B，C滿足||AC||+||CB||＝||AB||，給出下列四個結論：①A，B，C三點可能共線；②A，B，C三點可能構成銳角三角形；③A，B，C三點可能構成直角三角形；④A，B，C三點可能構成鈍角三角形．其中所有正確結論的序號是．三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16．（13分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側面ABB1A1和BCC1B1都是正方形，平面ABB1A1⊥平面BCC1B1，D，E分別為BB1，AC的中點．（Ⅰ）求證：BE∥平面A1CD；（Ⅱ）求直線B1E與平面A1CD所成角的正弦值．17．（13分）在△ABC中，已知b＝5，，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知．（Ⅰ）求sinA；（Ⅱ）求△ABC的面積．條件①：；條件②：a＝4．18．（14分）全社會厲行勤儉節(jié)約，反對餐飲浪費．某市為了解居民外出就餐有剩余時是否打包，進行了一項“舌尖上的浪費”的調查，對該市的居民進行簡單隨機抽樣，將獲得的數據按不同年齡段整理如表：男性女性打包不打包打包不打包第1段250650450650第2段300600550550第3段600400750250第4段850350650150假設所有居民外出就餐有剩余時是否打包相互獨立．（Ⅰ）分別估計該市男性居民外出就餐有剩余時打包的概率，該市女性居民外出就餐有剩余時打包的概率；（Ⅱ）從該市男性居民中隨機抽取1人，女性居民中隨機抽取1人，記這2人中恰有X人外出就餐有剩余時打包，求X的分布列；（Ⅲ）假設每年齡段居民外出就餐有剩余時打包的概率與表格中該段居民外出就餐有剩余時打包的頻率相等，用“ξk＝1”表示第k段居民外出就餐有剩余時打包，“ξk＝0”表示第k段居民外出就餐有剩余時不打包（k＝1，2，3，4），寫出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4的大小關系．（只需寫出結論）19．（15分）已知函數f（x）＝（x﹣a）ex（a∈R）．（Ⅰ）當a＝1時，求曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（Ⅱ）如果函數f（x）在區(qū)間（0，1）上有極值，且f（x）+a≤0對于x∈[0，1]恒成立，求a的取值范圍．20．（15分）已知橢圓過A（0，2），B（﹣3，﹣1）兩點．（Ⅰ）求橢圓W的方程；（Ⅱ）直線AB與x軸交于點M（m，0），過點M作不垂直于坐標軸且與AB不重合的直線l，l與橢圓W交于C，D兩點，直線AC，BD分別交直線x＝m于P，Q兩點，求證：為定值．21．（15分）已知{an}是由正整數組成的無窮數列，該數列前n項的最大值記為An，最小值記為Bn，令．（Ⅰ）若an＝2n（n＝1，2，3，…），寫出b1，b2，b3的值；（Ⅱ）證明：bn+1≥bn（n＝1，2，3，???）；（Ⅲ）若{bn}是等比數列，證明：存在正整數n0，當n≥n0時，an，an+1，an+2，…是等比數列．

2020-2021學年北京市豐臺區(qū)高三（上）期末數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．（4分）已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x∈Z|﹣2＜x＜2}，那么A∩B＝（）A．{0，1} B．{x|0≤x＜2} C．{﹣1，0} D．{0，1，2}【分析】可求出集合B，然后進行交集的運算即可．【解答】解：∵A＝{x|x≥0}，B＝{﹣1，0，1}，∴A∩B＝{0，1}．故選：A．【點評】本題考查了描述法、列舉法的定義，交集及其運算，考查了計算能力，屬于基礎題．2．（4分）在等差數列{an}中，若a1＝1，a2+a4＝10，則a20＝（）A．35 B．37 C．39 D．41【分析】由已知結合等差數列的通項公式可求d，進而可求．【解答】解：∵等差數列{an}中，a1＝1，a2+a4＝2a1+4d＝10，所以d＝2，則a20＝a1+19d＝1+38＝39．故選：C．【點評】本題主要考查了等差數列的通項公式的應用，屬于基礎題．3．（4分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于（）A． B． C． D．【分析】首先把三視圖轉換為幾何體的直觀圖，進一步求出幾何體的表面積．【解答】解：根據三視圖轉換為直觀圖為：該幾何體為四棱柱體．如圖所示：所以＝11+2．故選：B．【點評】本題考查的知識要點：三視圖和幾何體的直觀圖之間的轉換，幾何體的表面積公式的應用，主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題．4．（4分）若函數f（x）＝，則函數f（x）的值域為（）A．[0，1） B．（﹣∞，0] C．（﹣∞，0）∪（0，1） D．（﹣∞，1）【分析】根據分段函數f（x）的解析式即可求出每段上f（x）的范圍，然后即可得出f（x）的值域．【解答】解：∵x≥0時，﹣x2≤0；x＜0時，0＜2x＜1，∴f（x）的值域為：（﹣∞，1）．故選：D．【點評】本題考查了函數值域的定義及求法，分段函數值域的求法，二次函數和指數函數值域的求法，考查了計算能力，屬于基礎題．5．（4分）若關于x，y的方程組（a∈R）無解，則a＝（）A．2 B． C．1 D．【分析】由方程組無解得到直線4x+2y+1＝0與直線2x+ay+1＝0平行，再由直線與直線平行的性質能求出a．【解答】解：∵關于x，y的方程組（a∈R）無解，∴直線4x+2y+1＝0與直線2x+ay+1＝0平行，∴，解得a＝1．故選：C．【點評】本題考查實數值的求法，考查直線與直線平行的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．6．（4分）下列函數中，同時滿足①對于定義域內的任意x，都有f（﹣x）＝﹣f（x）；②存在區(qū)間D，f（x）在區(qū)間D上單調遞減的函數是（）A．y＝sinx B．y＝x3 C． D．y＝lnx【分析】由基本初等函數的單調性與奇偶性逐一判斷即可．【解答】解：對于A，y＝sinx為奇函數，滿足①，且在區(qū)間（，π）上單調遞減，滿足②，故A符合題意；對于B，y＝x3為奇函數，滿足①，但在R上單調遞增，不滿足②，故B不符合題意；對于C，y＝為偶函數，不滿足①，故C不符合題意；對于D，y＝lnx為非奇非偶函數，不滿足①，故D不符合題意．故選：A．【點評】本題主要考查函數的單調性與奇偶性的判斷，熟練掌握基本初等函數的性質是解題的關鍵，屬于基礎題．7．（4分）已知{an}是等比數列，Sn為其前n項和，那么“a1＞0”是“數列{Sn}為遞增數列”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】根據等比數列的求和公式可知前n項和的單調性與首項和公比有關，結合充分條件必要條件的定義進行判定即可．【解答】解：當a1＞0時，若q＜0，因為若an＞0則an+1＜0，即Sn＞Sn+1，顯然{Sn}不是遞增函數；若數列{Sn}為遞增數列，則Sn﹣Sn﹣1＞0，Sn+1﹣Sn＞0，即an＞0，an+1＞0，所以，而，所以“a1＞0”是“數列{Sn}為遞增數列”的必要不充分條件．故選：B．【點評】本題主要考查等比數列的求和，以及充分條件、必要條件的判定，解題的關鍵是弄清等比數列前n項和的單調性與什么有關．8．（4分）某校實行選科走班制度（語文、數學、英語為必選科目，此外學生需在物理、化學、生物、歷史、地理、政治六科中任選三科）．根據學生選科情況，該校計劃利用三天請專家對九個學科分別進行學法指導，每天依次安排三節(jié)課，每節(jié)課一個學科．語文、數學、英語只排在第二節(jié)；物理、政治排在同一天，化學、地理排在同一天，生物、歷史排在同一天，則不同的排課方案的種數為（）A．36 B．48 C．144 D．288【分析】根據題意，對于6門小科，將物理、政治看成一組，將化學、地理看成一組，將生物、歷史看成一組，分3步進行分析3天的安排方法數目，由分步計數原理計算可得答案．【解答】解：根據題意，對于6門小科，將物理、政治看成一組，將化學、地理看成一組，將生物、歷史看成一組，分3步進行分析：①在語文、數學、英語中任選1節(jié)，安排在第一天的第二節(jié)，在三組小科中任選1組，安排在第一天的其他兩節(jié)，有3×3×2＝18種選，②在剩下的兩門主科中任選1節(jié)，安排在第二天的第二節(jié)，在剩下的2組小科中任選1組，安排在第二天的其他兩節(jié)，有2×2×2＝8種選，③將最后的一門主科安排在第三天的第二節(jié)，最后的一組小科安排在第三天的其他兩節(jié)，有2種情況，則有18×8×2＝288種排課方法，故選：D．【點評】本題考查排列組合的應用，涉及分步分類計數原理的應用，屬于基礎題．9．（4分）在平面直角坐標系中，A，B是直線x+y＝m上的兩點，且|AB|＝10．若對于任意點P（cosθ，sinθ）（0≤θ＜2π），存在A，B使∠APB＝90°成立，則m的最大值為（）A． B．4 C． D．8【分析】由題意可得點P在單位圓O：x2+y2＝1上，圓O上的點到直線x+y＝m的最大距離不能超過5，即d+1≤5，由點到直線的距離公式即可求得m的最大值．【解答】解：由已知可得點P（cosθ，sinθ）（0≤θ＜2π）在單位圓O：x2+y2＝1上，因為∠APB＝90°，所以點P在以AB為直徑的圓上，因為|AB|＝10．所以半徑為5，所以點P到AB中點C的距離為5，所以圓O上任意點P，總能找到一點C，使|CP|＝5，且點C在直線x+y＝m上，當x＝0時，y＝m，所以m為直線x+y＝m在y軸上的截距，m最大，即直線x+y＝m的截距最大，直線越往上，因為對于任意點P（cosθ，sinθ）（0≤θ＜2π），存在A，B使∠APB＝90°成立，所以圓O上的點到直線x+y＝m的最大距離不能超過5，而圓O上的點到直線x+y＝m的最大距離為圓心O到直線x+y＝m的距離d加圓O的半徑1，即d+1≤5，d≤4，所以≤4，所以m≤4，所以m的最大值為4．故選：C．【點評】本題主要考查直線與圓的位置關系，點到直線的距離公式，考查轉化思想與運算求解能力，屬于中檔題．10．（4分）為了預防某種病毒，某商場需要通過噴灑藥物對內部空間進行全面消毒．出于對顧客身體健康的考慮，相關部門規(guī)定空氣中這種藥物的濃度不超過0.25毫克/立方米時，顧客方可進入商場．已知從噴灑藥物開始，商場內部的藥物濃度y（毫克/立方米）與時間t（分鐘）之間的函數關系為y＝（a為常數），函數圖象如圖所示．如果商場規(guī)定10：00顧客可以進入商場，那么開始噴灑藥物的時間最遲是（）A．9：40 B．9：30 C．9：20 D．9：10【分析】由圖象可知當t＝10時y＝1，代入求出a的值，再令≤0.25，即可求出t的取值范圍．【解答】解：由圖象可知，當t＝10時，y＝1，∴＝1，解得a＝1，∴y＝，令≤0.25，得：，解得t≥30，所以開始噴灑藥物的時間最遲是9點30分，故選：B．【點評】本題主要考查了函數的實際應用，考查了指數的運算性質，是基礎題．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．（5分）在復平面內，復數z＝i（a+i）對應的點在直線x+y＝0上，則實數a＝1．【分析】利用復數的運算法則、幾何意義即可得出．【解答】解：在復平面內，復數z＝i（a+i）＝﹣1+ai對應的點（﹣1，a）在直線x+y＝0上，∴﹣1+a＝0，解得a＝1．故答案為：1．【點評】本題考查了復數的運算法則、幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．12．（5分）已知雙曲線﹣＝1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為y＝x，那么該雙曲線的離心率為．【分析】由題意可得＝，即a2＝4b2，結合a2+b2＝c2，可得＝，開方可得e＝的值．【解答】解：由題意可得雙曲線的漸近線方程為y＝x，故可得＝，即a2＝4b2，又a2+b2＝c2，故，＝，解得e＝＝故答案為：【點評】本題考查雙曲線的簡單性質，涉及離心率的求解，屬中檔題．13．（5分）已知正六邊形ABCDEF的邊長為1，那么＝﹣；若，則x+y＝4．【分析】可畫出圖形，根據圖形可得出∠BAF＝120°，AB＝AF＝1，從而求出的值；然后得出，進而可求出x+y的值．【解答】解：如圖，∠BAF＝120°，AB＝AF＝1，∴，又，∴根據平面向量基本定理，x＝2，y＝2，∴x+y＝4．故答案為：．【點評】本題考查了正六邊形的特點，向量數量積的計算公式，平面向量基本定理，向量數乘運算，考查了計算能力，屬于基礎題．14．（5分）函數的最小正周期T＝π，將函數f（x）的圖象向左平移φ（φ＞0）個單位長度，得到函數g（x）的圖象．若函數y＝f（x）﹣g（x）的最大值為2，則φ的值可以為．【分析】由題意利用函數y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數的性質，得出結論．【解答】解：函數的最小正周期T＝＝π，將函數f（x）的圖象向左平移φ（φ＞0）個單位長度，得到函數g（x）＝sin（2x+2φ+）的圖象．若函數y＝f（x）﹣g（x）＝sin（2x+）﹣sin（2x+2φ+）的最大值為2，則當sin（2x+）＝1時，sin（2x+2φ+）＝﹣1，則2φ＝（2k﹣1）?π，k∈Z．令k＝1，可得φ＝，故答案為：π；．【點評】本題主要考查函數y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數的性質，屬于中檔題．15．（5分）對于平面直角坐標系內的任意兩點P（x1，y1），Q（x2，y2），定義它們之間的一種“距離”為||PQ||＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|．已知不同三點A，B，C滿足||AC||+||CB||＝||AB||，給出下列四個結論：①A，B，C三點可能共線；②A，B，C三點可能構成銳角三角形；③A，B，C三點可能構成直角三角形；④A，B，C三點可能構成鈍角三角形．其中所有正確結論的序號是①③④．【分析】不妨設C（0，0），A（1，0），B（x1，y1），則||AC||＝1，||CB||＝|x1|+|y1|，||AB||＝|x1﹣1|+|y1|，討論x1，y1的值即可判定．【解答】解：不妨設C（0，0），A（1，0），B（x1，y1），則||AC||＝1，||CB||＝|x1|+|y1|，||AB||＝|x1﹣1|+|y1|，當y1＝0，x1＜0時，此時A，B，C三點共線，||AC||+||CB||＝x1+1＝||AB||成立，故①正確；由||AC||+||CB||＝||AB||，可知1+|x1|＝|x1﹣1|，當x1＝0，y1≠0時1+|x1|＝|x1﹣1|成立，此時△ABC為直角三角形，故③正確；當x1＞0時，無解，故②錯；當x1＜0時，此時∠BCA為鈍角，且1+|x1|＝|x1﹣1|成立，故④正確．故答案為：①③④．【點評】本題主要考查了以命題的真假為載體，考查新定義，解題的關鍵是理解新的定義，同時考查了學生的推理能力．三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16．（13分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側面ABB1A1和BCC1B1都是正方形，平面ABB1A1⊥平面BCC1B1，D，E分別為BB1，AC的中點．（Ⅰ）求證：BE∥平面A1CD；（Ⅱ）求直線B1E與平面A1CD所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）取A1C中點F，連接DF，EF，證明EF∥AA1，BD∥EF，說明四邊形BEFD為平行四邊形．推出BE∥DF．然后證明BE∥平面A1CD．（Ⅱ）建立平面直角坐標系B﹣xyz．如圖，求出平面A1CD的法向量，設直線B1E與平面A1CD所成的角為θ，利用空間向量的數量積求解直線與平面的處境的直線函數值即可．【解答】（Ⅰ）證明：取A1C中點F，連接DF，EF，在△AA1C中，E，F分別是AC，A1C的中點，所以EF∥AA1，．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四邊形AA1B1B為正方形，D為BB1中點，所以BD∥AA1，．所以BD∥EF，BD＝EF．所以四邊形BEFD為平行四邊形．所以BE∥DF．因為DF?平面A1CD，BE?平面A1CD，所以BE∥平面A1CD．（Ⅱ）解：因為平面ABB1A1⊥平面BCC1B1，平面ABB1A1∩平面BCC1B1＝BB1，AB?平面ABB1A1，正方形ABB1A1中AB⊥BB1，所以AB⊥平面BCC1B1．所以AB⊥BC．正方形BCC1B1中BC⊥BB1．如圖建立平面直角坐標系B﹣xyz．不妨設AB＝BC＝BB1＝2，則B（0，0，0），A（0，0，2），C（2，0，0），B1（0，2，0），A1（0，2，2），D（0，1，0），E（1，0，1）．所以，，．設平面A1CD的法向量＝（x，y，z），則，即．令x＝1，則y＝2，z＝﹣1．于是＝（1，2，﹣1）．設直線B1E與平面A1CD所成的角為θ，所以．所以直線B1E與平面A1CD所成角的正弦值為．【點評】本題考查直線與平面所成角的求法，直線與平面平行的判定定理的應用，考查空間想象能力，轉化思想以及計算能力．17．（13分）在△ABC中，已知b＝5，，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知．（Ⅰ）求sinA；（Ⅱ）求△ABC的面積．條件①：；條件②：a＝4．【分析】若選擇條件①：（Ⅰ）利用同角三角函數基本關系式可求sinB，sinC的值，利用兩角和的正弦公式即可求解sinA的值．（Ⅱ）由正弦定理可求a的值，根據三角形的面積公式即可求解．若選擇條件②：（Ⅰ）由同角三角函數基本關系式可求sinB的值，利用正弦定理可求sinA的值．（Ⅱ）由已知利用余弦定理可得2c2﹣9c﹣18＝0，解得c的值，根據三角形的面積公式即可求解．【解答】解：若選擇條件①：（Ⅰ）因為，所以．所以．所以．（Ⅱ）由正弦定理得．所以．若選擇條件②：（Ⅰ）由，可得．由正弦定理得．（Ⅱ）由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，得．即2c2﹣9c﹣18＝0，解得c＝6，（舍）．所以．【點評】本題主要考查了同角三角函數基本關系式，兩角和的正弦公式，正弦定理，三角形的面積公式，余弦定理在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．18．（14分）全社會厲行勤儉節(jié)約，反對餐飲浪費．某市為了解居民外出就餐有剩余時是否打包，進行了一項“舌尖上的浪費”的調查，對該市的居民進行簡單隨機抽樣，將獲得的數據按不同年齡段整理如表：男性女性打包不打包打包不打包第1段250650450650第2段300600550550第3段600400750250第4段850350650150假設所有居民外出就餐有剩余時是否打包相互獨立．（Ⅰ）分別估計該市男性居民外出就餐有剩余時打包的概率，該市女性居民外出就餐有剩余時打包的概率；（Ⅱ）從該市男性居民中隨機抽取1人，女性居民中隨機抽取1人，記這2人中恰有X人外出就餐有剩余時打包，求X的分布列；（Ⅲ）假設每年齡段居民外出就餐有剩余時打包的概率與表格中該段居民外出就餐有剩余時打包的頻率相等，用“ξk＝1”表示第k段居民外出就餐有剩余時打包，“ξk＝0”表示第k段居民外出就餐有剩余時不打包（k＝1，2，3，4），寫出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4的大小關系．（只需寫出結論）【分析】（Ⅰ）設該市男性居民外出就餐有剩余時打包為事件A；設該市女性居民外出就餐有剩余時打包為事件B．求出男性居民外出就餐有剩余時打包的人數，男性居民外出就餐有剩余時不打包的人數，然后求解概率．女性居民外出就餐有剩余時打包的人數，女性居民外出就餐有剩余時不打包的人數，然后求解概率．（Ⅱ）X的所有可能取值為0，1，2．求出概率即可得到分布列．（Ⅲ）寫出Dξ4＜Dξ3＜Dξ1＜Dξ2．【解答】（Ⅰ）解：設該市男性居民外出就餐有剩余時打包為事件A；設該市女性居民外出就餐有剩余時打包為事件B．男性居民外出就餐有剩余時打包的有250+300+600+850＝2000人，男性居民外出就餐有剩余時不打包的有650+600+400+350＝2000人，被調查的男性居民有2000+2000＝4000人，所以．女性居民外出就餐有剩余時打包的有450+550+750+650＝2400人，女性居民外出就餐有剩余時不打包的有650+550+250+150＝1600人，被調查的女性居民有2400+1600＝4000人，所以．（Ⅱ）解：X的所有可能取值為0，1，2．由題設知，事件A與B相互獨立，且，．所以，，．所以X的分布列為X012P（Ⅲ）解：Dξ4＜Dξ3＜Dξ1＜Dξ2．【點評】本題考查離散型隨機變量的分布列以及方程的求法，古典概型概率的求法，是中檔題．19．（15分）已知函數f（x）＝（x﹣a）ex（a∈R）．（Ⅰ）當a＝1時，求曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（Ⅱ）如果函數f（x）在區(qū)間（0，1）上有極值，且f（x）+a≤0對于x∈[0，1]恒成立，求a的取值范圍．【分析】（Ⅰ）求出導函數，切線的斜率，切點坐標，然后求解切線方程．（Ⅱ）求出f'（x）＝（x﹣a+1）ex，通過函數f（x）在區(qū)間（0，1）上有極值，得到1＜a＜2．利用導函數的符號判斷函數的單調性，結合f（x）+a≤0對于x∈[0，1]恒成立，得到不等式（1﹣a）e+a≤0，求解即可．【解答】解：（Ⅰ）當a＝1時，因為f（x）＝（x﹣1）ex，所以f'（x）＝xex．因為f（1）＝0，f'（1）＝e，所以曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y＝e（x﹣1），即ex﹣y﹣e＝0．（Ⅱ）因為f'（x）＝（x﹣a+1）ex，函數f（x）在區(qū)間（0，1）上有極值，所以0＜a﹣1＜1．所以1＜a＜2．當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：x0（0，a﹣1）a﹣1（a﹣1，1）1f'（x）﹣0+f（x）﹣a↘f（a﹣1）↗（1﹣a）e因為f（x）+a≤0對于x∈[0，1]恒成立，所以f（0）+a≤0，且f（1）+a≤0．所以（1﹣a）e+a≤0，即．因為1＜a＜2，所以．【點評】本題考查切線方程的求法，函數的對數的應用，函數的單調性以及函數的最值的求法，考查轉化思想以及計算能力．20．（15分）已知橢圓過A（0，2），B（﹣3，﹣1）兩點．（Ⅰ）求橢圓W的方程；（Ⅱ）直線AB與x軸交于點M（m，0），過點M作不垂直于坐標軸且與AB不重合的直線l，l與橢圓W交于C，D兩點，直線A