流體力學(xué)基本方程

關(guān)于流體力學(xué)基本方程第1頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3流體力學(xué)基本方程

流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律遵循物理學(xué)三大守恒定律，即：質(zhì)量守恒定律、動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律。流體動(dòng)力學(xué)基本方程組就是這三大定律對(duì)流體運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)描述。但是，流體力學(xué)基本方程組是不封閉的，要使其封閉還需增加輔助的物性關(guān)系，如：密度、比熱、粘性系數(shù)和熱傳導(dǎo)系數(shù)隨溫度、壓強(qiáng)的變化關(guān)系等。目前尚不能求得這一方程組的解析解，但研究這一方程組的性質(zhì)卻具有極其重要的意義，因?yàn)閷?shí)際流體的流動(dòng)過(guò)程遵循這一基本方程組。第2頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.1系統(tǒng)和控制體的概念

3.1.1系統(tǒng)包含著確定不變的物質(zhì)的任何集合，稱(chēng)之為系統(tǒng)，系統(tǒng)以外的一切，統(tǒng)稱(chēng)為外界。系統(tǒng)的邊界是把系統(tǒng)和外界分開(kāi)的真實(shí)或假想的表面。在流體力學(xué)中，系統(tǒng)就是指由確定的流體質(zhì)點(diǎn)所組成的流體團(tuán)。第3頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.1.1系統(tǒng)

流體系統(tǒng)的邊界有如下特點(diǎn)：①系統(tǒng)的邊界隨著流體一起運(yùn)動(dòng)。系統(tǒng)的體積邊界面的形狀和大小可以隨時(shí)間變化；②在系統(tǒng)的邊界處沒(méi)有質(zhì)量交換，即沒(méi)有流體進(jìn)入或跑出系統(tǒng)的邊界；③在系統(tǒng)的邊界上，受到外界作用在系統(tǒng)上的表面力；④在系統(tǒng)邊界上可以有能量交換，即可以有能量(熱或功)通過(guò)邊界進(jìn)入或離開(kāi)系統(tǒng)。

第4頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.1.1系統(tǒng)

如果我們使用系統(tǒng)來(lái)研究連續(xù)介質(zhì)的流動(dòng)，那就意味著采用拉格朗日觀點(diǎn)，即以確定的流體質(zhì)點(diǎn)所組成的流體團(tuán)作為研究的對(duì)象。但是對(duì)大多數(shù)實(shí)際的流體力學(xué)問(wèn)題來(lái)說(shuō)，采用歐拉觀點(diǎn)更為方便，與此相應(yīng)，必須引進(jìn)控制體的概念。

第5頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.1系統(tǒng)和控制體的概念

3.1.2控制體

被流體所流過(guò)的相對(duì)于某個(gè)坐標(biāo)系來(lái)說(shuō)是固定不變的任何體積稱(chēng)之為控制體?？刂企w的邊界面，稱(chēng)之為控制面。它總是封閉表面。占據(jù)控制體的諸流體質(zhì)點(diǎn)是隨著時(shí)間而改變的。

第6頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.1.2控制體

控制面有如下待點(diǎn)：①控制體的邊界(控制面)相對(duì)于坐標(biāo)系是固定的；②在控制面上可以有質(zhì)量交換，即有流體跑進(jìn)或跑出控制面；③在控制面上受到控制體以外物體加在控制體之內(nèi)物體上的力；④在控制面上可以有能量交換，即可以有能量(內(nèi)能、動(dòng)能、熱或功)跑進(jìn)或跑出控制面。

第7頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.2連續(xù)性方程

連續(xù)性方程是質(zhì)量守恒定律在運(yùn)動(dòng)流體中的數(shù)學(xué)表達(dá)式。連續(xù)性方程是運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，它與力無(wú)關(guān)，所以既適用于理想流體也適用于粘性流體。在流動(dòng)空間中，考察一微元控制體，其體積為dxdydz，對(duì)某一固定參考系統(tǒng)，它是固定在空間中的，如下圖所示。

第8頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.2連續(xù)性方程

質(zhì)量守恒定律可表述如下：控制體內(nèi)流體質(zhì)量的減少量應(yīng)等于從控制體凈流出的流體質(zhì)量。

控制體內(nèi)流體的流入與流出yxρuxdzdxdyoz第9頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.2連續(xù)性方程

(1)控制體內(nèi)流體質(zhì)量的變化

dt時(shí)間中控制體內(nèi)流體密度的變化為dt時(shí)間中控制體內(nèi)流體質(zhì)量的減少量為第10頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.2連續(xù)性方程

(2)

通過(guò)控制面凈流出控制體的流體質(zhì)量

dt時(shí)間內(nèi)在x方向通過(guò)左右兩個(gè)側(cè)面(控制面)凈流出的流體質(zhì)量為同理，dt時(shí)間中在y、z方向通過(guò)相應(yīng)控制面凈流出的流體質(zhì)量分別為

第11頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.2連續(xù)性方程

(3)流體流動(dòng)的連續(xù)性方程

根據(jù)質(zhì)量守恒定律，由上述分析可得出對(duì)于單位時(shí)間單位體積空間而言這就是直角坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程式，將之寫(xiě)成向量形式即得第12頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.2連續(xù)性方程

按求和約定，連續(xù)性方程可表示成使用恒等式，連續(xù)性方程可寫(xiě)成其中：

第13頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.2連續(xù)性方程

對(duì)于定常流動(dòng)，，連續(xù)性方程變成按求和約定，上式表示成它表示了單位時(shí)間流出單位體積空間的質(zhì)量等于流入該體積空間的質(zhì)量，也可以說(shuō)微元控制體內(nèi)的流體密度不隨時(shí)間而改變。

第14頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.2連續(xù)性方程

對(duì)于不可壓縮流體的流動(dòng)問(wèn)題，，不可壓縮流體流動(dòng)的連續(xù)性方程為按求和約定，上式表示成上式說(shuō)明，由于流體微團(tuán)的密度和質(zhì)量在流動(dòng)過(guò)程中都不變，所以流體微團(tuán)的體積在運(yùn)動(dòng)中也不會(huì)改變。

第15頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.2連續(xù)性方程

在圓柱坐標(biāo)系(r,θ,z)中，流體流動(dòng)的連續(xù)性方程為在球坐標(biāo)系(r,θ,φ)中，流體流動(dòng)的連續(xù)性方程為第16頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.3本構(gòu)方程

一般而言，所謂本構(gòu)方程是指描述物質(zhì)對(duì)所受力的力學(xué)響應(yīng)的方程。對(duì)運(yùn)動(dòng)的粘性流體而言，應(yīng)力與變形速度之間的關(guān)系稱(chēng)為本構(gòu)方程。

3.3.1流體的表面應(yīng)力張量為了建立流體動(dòng)力學(xué)方程，需要分析流體微團(tuán)上所受到的各種作用力。流體微團(tuán)受到的作用力可以分為兩大類(lèi)：一類(lèi)是質(zhì)量力，它是作用在流體所有質(zhì)點(diǎn)上的非接觸力，如重力、慣性力、電磁力等；另一類(lèi)是表面力，它是作用在流體微團(tuán)界面上的接觸力，如壓力、摩擦力等?，F(xiàn)只考慮表面力。

第17頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.3.1流體的表面應(yīng)力張量

如右圖所示的正六面體流體微團(tuán)，在垂直于x軸的左右兩個(gè)側(cè)表面上，分別作用有合應(yīng)力

px和

流體微團(tuán)的表面應(yīng)力張量τxxτxzzpx(x,y,z)τxydydzdxoxy第18頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.3.1流體的表面應(yīng)力張量

此處的下標(biāo)x表示應(yīng)力向量作用在與x軸垂直的微元面上。由此可得到作用在垂直于x軸的微元面上的表面力的合力為同理，作用在垂直于y軸和z軸的微元面上的表面力的合力分別為第19頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.3.1流體的表面應(yīng)力張量

綜和上述結(jié)果，可得到作用于單位體積流體的表面力的合力上式中px、py和pz都是向量，可以將它們沿三個(gè)坐標(biāo)方向分解，即分解成垂直于各微元面的正應(yīng)力和平行于各微元面的切應(yīng)力，例如上面圖中作用于與x軸垂直的微元面上的應(yīng)力px可分解成同理第20頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.3.1流體的表面應(yīng)力張量

下標(biāo)規(guī)定：第一個(gè)下標(biāo)代表應(yīng)力所在平面的外法線方向，第二個(gè)下標(biāo)代表應(yīng)力的方向。例如，τxy表示作用在與x軸垂直的平面上沿y方向的切應(yīng)力。由上述分析可見(jiàn)，要完全描述微元體上的應(yīng)力，則需要九個(gè)分量，這九個(gè)分量就組成了應(yīng)力張量，應(yīng)力張量可表示成第21頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.3.1流體的表面應(yīng)力張量

可以證明，應(yīng)力張量是二階對(duì)稱(chēng)張量。正應(yīng)力的正方向?yàn)樽饔妹嫱夥ň€方向；對(duì)于切應(yīng)力，當(dāng)作用面的外法線沿坐標(biāo)軸的正方向時(shí)，取沿坐標(biāo)軸正方向的切應(yīng)力為正，當(dāng)作用面的外法線沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向時(shí)，取沿坐標(biāo)軸負(fù)方向的切應(yīng)力為正。這樣，單位體積流體的表面力可寫(xiě)成第22頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.3.2牛頓流體的本構(gòu)方程

物質(zhì)所受到的應(yīng)力與運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)之間存在著一定的關(guān)系。在彈性力學(xué)中，這種關(guān)系是由虎克定律表示的，即彈性固體中應(yīng)力與應(yīng)變成正比；在流體力學(xué)中，不同性質(zhì)的流體這種關(guān)系有不同的類(lèi)型，對(duì)于水、空氣和潤(rùn)滑油等化學(xué)結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單的低分子流體，應(yīng)力與變形速率成正比，也就是說(shuō)，應(yīng)力與變形速率之間存在著線性關(guān)系，服從這種線性關(guān)系的流體稱(chēng)為牛頓流體。

第23頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.3.2牛頓流體的本構(gòu)方程

牛頓提出了關(guān)于粘性流體作直線層狀運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩流體層間的切應(yīng)力的假設(shè)。認(rèn)為切應(yīng)力與層間速度梯度成正比，即

μ為動(dòng)力粘性系數(shù)，其值取決于流體的物理性質(zhì)。通常稱(chēng)上式為牛頓內(nèi)摩擦定律。odyuu+duzxy第24頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.3.2牛頓流體的本構(gòu)方程

根據(jù)變形率張量和應(yīng)力張量，上式左邊對(duì)應(yīng)于平面直線運(yùn)動(dòng)特殊情況下的應(yīng)力張量的一個(gè)切向分量，右邊的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)于變形率張量的一個(gè)分量。因此，可以理解為τyx與εyx成正比例第25頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.3.2牛頓流體的本構(gòu)方程

斯托克斯將牛頓內(nèi)摩擦定律推廣到粘性流體的任意流動(dòng)情形中去，假設(shè)：

1)流體是連續(xù)的，其應(yīng)力張量是變形率張量的線性函數(shù)。

2)流體是各向同性的，即它的性質(zhì)與方向無(wú)關(guān)。因此，無(wú)論坐標(biāo)系如何選取，它的應(yīng)力與變形率的關(guān)系是相同的。

3)當(dāng)流體靜止，即變形率為零時(shí)，流體中的應(yīng)力就是流體靜壓力。第26頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.3.2牛頓流體的本構(gòu)方程

或者式中的負(fù)號(hào)表示壓力的方向總是與微元體表面外法線方向相反，I為單位張量實(shí)驗(yàn)證明，對(duì)大多數(shù)常見(jiàn)的液體和氣體，上述假設(shè)是對(duì)的。第27頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.3.2牛頓流體的本構(gòu)方程

根據(jù)應(yīng)力張量與變形率張量是線性關(guān)系以及流體是各向同性的假設(shè)，可以將應(yīng)力張量τ與變形率張量ε的線性關(guān)系式寫(xiě)成式中的系數(shù)a和b應(yīng)該是標(biāo)量。由于關(guān)系式是線性的，因此系數(shù)a不可能與張量τ和ε中的分量有關(guān)，而應(yīng)該與流體運(yùn)動(dòng)形態(tài)無(wú)關(guān)，它是取決于流體的物理屬性的系數(shù)。參照牛頓內(nèi)摩擦定律，令第28頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.3.2牛頓流體的本構(gòu)方程

至于系數(shù)b，由于在應(yīng)力張量與變形率張量線性關(guān)系式中右邊第二項(xiàng)是b與單位張量I的乘積，要保持該式的線性關(guān)系，b只能由張量τ與ε的分量線性地組成。又由于b是標(biāo)量，因此它應(yīng)該由張量τ與ε的分量中，那些當(dāng)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換時(shí)其值不變的分量組合來(lái)構(gòu)成。對(duì)二階張量而言，主對(duì)角線上三個(gè)分量的和為它的線性不變量(即第一不變量)。

第29頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.3.2牛頓流體的本構(gòu)方程

對(duì)于應(yīng)力張量的線性不變量為對(duì)于變形率張量的線性不變量為通過(guò)上述分析，可以寫(xiě)出標(biāo)量b的一般關(guān)系式式中的b1、b2、b3為待定常數(shù)。

第30頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.3.2牛頓流體的本構(gòu)方程

將標(biāo)量b的表達(dá)式代入應(yīng)力張量與變形率張量線性關(guān)系式中，得取等式兩邊主對(duì)角線上三個(gè)分量之和，可得歸并同類(lèi)項(xiàng)后，得在靜止?fàn)顟B(tài)下，，而且，因此，上式可以寫(xiě)成第31頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.3.2牛頓流體的本構(gòu)方程

由于b1、b3均為常數(shù)，而且要求在靜壓力p0值為任意情況下均成立，則只有而這三個(gè)系數(shù)確定以后，就可得出應(yīng)力張量與變形率張量之間的一般線性關(guān)系式第32頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.3.2牛頓流體的本構(gòu)方程

對(duì)于非粘性流體，一點(diǎn)的壓強(qiáng)在各個(gè)方向是相等的，此處引入平均壓強(qiáng)的概念，即對(duì)于粘性流體來(lái)講，類(lèi)似地采用這樣的平均法向應(yīng)力，有如果待定常數(shù)b2記為λ，則通常稱(chēng)上式為廣義牛頓內(nèi)摩擦定律，λ稱(chēng)為膨脹粘性系數(shù)。

第33頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.3.2牛頓流體的本構(gòu)方程

如以u(píng)i和xi(i＝1,2,3)分別代替ux,uy,uz和x,y,z，則可以寫(xiě)出在直角坐標(biāo)系中應(yīng)力張量與變形率張量各分量之間的關(guān)系式第34頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.3.2牛頓流體的本構(gòu)方程

對(duì)于不可壓縮流體，則第35頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.3.2牛頓流體的本構(gòu)方程

廣義牛頓內(nèi)摩擦定律建立了在一般情況下應(yīng)力張量與變形率張量之間的關(guān)系，它是粘性流體力學(xué)的—個(gè)理論基礎(chǔ)。雖然在推廣的過(guò)程中采用了一些無(wú)法用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的不很?chē)?yán)格的假定，但是根據(jù)這一關(guān)系所得出的粘性流體力學(xué)方程組對(duì)許多問(wèn)題的解，均被實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。因此間接地證明了這些推廣的可靠性。

第36頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.4粘性流體運(yùn)動(dòng)方程

運(yùn)動(dòng)方程(動(dòng)量方程)是動(dòng)量守恒定律對(duì)于運(yùn)動(dòng)流體的表達(dá)式。在充滿(mǎn)運(yùn)動(dòng)流體的空間中，任取一控制閉曲面A，其所包圍的流體體積為V。根據(jù)動(dòng)量守恒定律，該體積流體的動(dòng)量變化率等于作用在該體積流體上的質(zhì)量力和表面力之和。設(shè)單位質(zhì)量流體的質(zhì)量力為f，當(dāng)質(zhì)量力僅為重力時(shí)，f＝g。單位面積上的表面力為τn，對(duì)粘性流體來(lái)講可以有切向分量與法向分量。作用在該流體上的質(zhì)量力和表面力之和為而動(dòng)量的變化率為第37頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.4粘性流體運(yùn)動(dòng)方程

根據(jù)動(dòng)量定理有根據(jù)張量運(yùn)算的高斯公式(體積積分與面積積分的關(guān)系)，上式右邊可改寫(xiě)成式中為應(yīng)力張量的散度。再根據(jù)隨體導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式這樣，就有第38頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.4粘性流體運(yùn)動(dòng)方程

由于被積函數(shù)連續(xù)，且體積V是任意選取的，因此此即為粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程式。在直角坐標(biāo)系中可寫(xiě)成第39頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.4粘性流體運(yùn)動(dòng)方程

在質(zhì)量力已知的情況下，對(duì)于不可壓縮流體有12個(gè)未知量：3個(gè)速度分量及9個(gè)應(yīng)力分量，而僅有4個(gè)方程(3個(gè)分量的動(dòng)量方程和連續(xù)性方程)，不足以解12個(gè)未知數(shù)(至于可壓縮流體雖然又多了一個(gè)未知量密度ρ，但可以多一個(gè)熱力學(xué)方程，不影響上述分析)。因此，需要運(yùn)用廣義牛頓內(nèi)摩擦定律，將應(yīng)力張量用變形率張量來(lái)表示。

第40頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.4粘性流體運(yùn)動(dòng)方程

廣義牛頓內(nèi)摩擦定律為所以這就是向量形式的運(yùn)動(dòng)微分方程式，在此方程式中則僅包括四個(gè)未知數(shù)：三個(gè)速度分量及一個(gè)壓強(qiáng)p。由此也可以進(jìn)一步體會(huì)到廣義牛頓內(nèi)摩擦定律在粘性流體力學(xué)中的重要意義。

第41頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.4粘性流體運(yùn)動(dòng)方程

根據(jù)變形率張量的表達(dá)式，可以將上式等號(hào)右邊的最后一項(xiàng)加以變換。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，限在直角坐標(biāo)系中討論。對(duì)于的第一分量為對(duì)于第三、第三個(gè)分量，也可以得到類(lèi)似的結(jié)果，即

第42頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.4粘性流體運(yùn)動(dòng)方程

因此，在直角坐標(biāo)系中，粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程式可寫(xiě)成第43頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.4粘性流體運(yùn)動(dòng)方程

對(duì)于不可壓縮流體，，而且粘性系數(shù)μ可以近似地看作常數(shù)，因此向量形式的運(yùn)動(dòng)微分方程式可簡(jiǎn)化為方程右端最后一項(xiàng)的三個(gè)分量分別為第44頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.4粘性流體運(yùn)動(dòng)方程

考慮到不可壓縮流體的連續(xù)性方程，則不可壓縮流體的動(dòng)量方程可寫(xiě)成不可壓縮實(shí)際流體的動(dòng)量微分方程式，通常稱(chēng)之為納維爾-斯托克斯(Navier-Stokes)方程，簡(jiǎn)稱(chēng)N-S方程。第45頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.4粘性流體運(yùn)動(dòng)方程

在直角坐標(biāo)系中，不可壓縮流體的動(dòng)量方程可以寫(xiě)成第46頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.4粘性流體運(yùn)動(dòng)方程

在圓柱坐標(biāo)系(r,θ,z)中，不可壓縮流體的動(dòng)量方程可以寫(xiě)成第47頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.5能量方程

能量方程是能量守恒定律對(duì)于運(yùn)動(dòng)流體的表達(dá)式。在充滿(mǎn)運(yùn)動(dòng)流體的空間中，任取一閉曲面A(控制面)，其所包圍的流體體積為V(控制體)。根據(jù)能量守恒定律，該體積內(nèi)流體動(dòng)能的變化率等于單位時(shí)間內(nèi)質(zhì)量力和表面力所做的功與單位時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)所增加的熱量之和。

第48頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.5能量方程

該體積內(nèi)流體的動(dòng)能包括：宏觀流體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能和微觀分子運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能(內(nèi)能)，對(duì)于單位質(zhì)量流體而言分別為(u·u/2＝u2/2)和e。因此，總能量的變化率為而單位時(shí)間內(nèi)質(zhì)量力和表面力所做的功為第49頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.5能量方程

單位時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)所增加的熱量包括兩部分：一部分是熱傳導(dǎo)；另一部分是熱輻射以及化學(xué)反應(yīng)、燃燒或其它物理原因等傳入的熱量。單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)控制面A傳入控制體V的且由于熱傳導(dǎo)所增加的熱量，可以根據(jù)傅里葉定律求得如以q表示由于熱幅射或其它原因在單位時(shí)間內(nèi)傳入單位質(zhì)量流體的熱量，則傳入體積為V的控制體的熱量為第50頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.5能量方程

于是，根據(jù)能量守恒定律可以寫(xiě)出根據(jù)隨體導(dǎo)數(shù)的恒等關(guān)系式，有第51頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.5能量方程

利用高斯公式，可得能量守恒關(guān)系可寫(xiě)成第52頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.5能量方程

由于控制體體積V是任意選取的，而且被積函數(shù)連續(xù)，因此這就是流體流動(dòng)的能量微分方程式。

下面將它改寫(xiě)成另一種形式。根據(jù)張量與向量分析，可以獲得如下等式式中為應(yīng)力張量與變形率張量的標(biāo)量乘積，結(jié)果是二階張量。

第53頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.5能量方程

對(duì)于實(shí)際流體運(yùn)動(dòng)微分方程可以看成單位體積流體所受力的平衡關(guān)系，現(xiàn)將其等式兩邊各點(diǎn)乘以速度向量u，得到的是功的平衡關(guān)系。或者因而有第54頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.5能量方程

將上式代入流體流動(dòng)的能量微分方程式，得上式簡(jiǎn)化后，得這就是用內(nèi)能表示的流體運(yùn)動(dòng)能量微分方程式。它的物理意義是：在單位時(shí)間內(nèi)，單位體積流體內(nèi)能的增加等于單位體積內(nèi)由于流體變形運(yùn)動(dòng)時(shí)表面力所做的功，也可以說(shuō)是應(yīng)力張量所做的功，加上熱傳導(dǎo)及由于熱輻射等其它原因傳入控制體內(nèi)流體的熱量。

第55頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.6流體力學(xué)基本方程組及其定解條件

3.6.1基本方程組及其封閉性為了討論和分析方便，將流體力學(xué)基本方程寫(xiě)在一起，構(gòu)成基本方程組。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，只在直角坐標(biāo)系下探討不可壓縮流體的流動(dòng)問(wèn)題。

第56頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.6.1基本方程組及其封閉性流體力學(xué)基本方程的分量形式

第57頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.6.1基本方程組及其封閉性

方程組獨(dú)立的未知物理量有ux、uy、uz、p、T、e共六個(gè)，方程的個(gè)數(shù)為五個(gè)。為使方程組封閉，須補(bǔ)充內(nèi)能表達(dá)式

(cv為定容比熱)。需要指出的是：因連續(xù)性方程、運(yùn)動(dòng)方程與能量方程不耦合，可以由連續(xù)性方程與運(yùn)動(dòng)方程聯(lián)立求出ux、uy、uz、p，然后再由能量方程解出T。

第58頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.6.1基本方程組及其封閉性

上述不可壓縮流體流動(dòng)的基本方程組，是二階非線性偏微分方程組。從數(shù)學(xué)角度看，在得到反映物理現(xiàn)象的微分方程組后，就要分析它是否正確，即所謂的適定問(wèn)題。符合下列三個(gè)條件的微分方程組才是適定的(適定三條件)：存在解；解必須唯一；解必須穩(wěn)定。第59頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.6.1基本方程組及其封閉性

關(guān)于流體力學(xué)基本方程組解的存在性與唯一性問(wèn)題(特別是存在性問(wèn)題)至今尚未能從理論上予以論證。但是，對(duì)于解決工程實(shí)際問(wèn)題而言，人們并不過(guò)份追究其數(shù)學(xué)上的嚴(yán)格性，因而往往可以不考慮這兩個(gè)問(wèn)題，也就是說(shuō)認(rèn)為方程組的解是存在的，而且在定解條件下解是唯一的。不過(guò)解的穩(wěn)定性問(wèn)題需要給予重視。第60頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.6.2定解條件

僅由封閉的流體力學(xué)基本方程組還不能確定具體的流動(dòng)形態(tài)，流動(dòng)問(wèn)題還與流動(dòng)的初始情況和邊界情況密切相關(guān)。也就是說(shuō)，一個(gè)封閉的微分方程組，加上恰當(dāng)規(guī)定的初始條件和邊界條件，才可能確定具體的解，才構(gòu)成一個(gè)定解問(wèn)題。初始條件和邊界條件統(tǒng)稱(chēng)為定解條件。在流體流動(dòng)問(wèn)題中，只有非定常流才需要初始條件。第61頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.6.2定解條件

所需邊界條件的數(shù)目取決于基本方程的類(lèi)型和偏微分方程的階數(shù)。如果過(guò)多地給出邊界條件和初始條件，將會(huì)導(dǎo)致方程無(wú)解；如果給出的邊界條件和初始條件不足，則將導(dǎo)致方程的解不唯一。第62頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.6.2定解條件

根據(jù)偏微分方程理論，可按方程組的數(shù)學(xué)性質(zhì)將其分為不同的類(lèi)型。以下為擬線性二階偏微分方程的一般形式式中的系數(shù)A、B、C和D可能是x、y、

、

/x和

/y的非線性函數(shù)，但不包含

的二階偏導(dǎo)數(shù)。第63頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.6.2定解條件

上述方程在某一點(diǎn)及其鄰近區(qū)域的性質(zhì)由系數(shù)判別式B2-

4AC在該點(diǎn)的符號(hào)決定：第64頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.6.2定解條件

對(duì)于橢圓型方程：以Laplace方程為代表的橢圓型方程，只能給定邊界條件，這就是所謂的邊值問(wèn)題。

第65頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.6.2定解條件

對(duì)于拋物型方程，以擴(kuò)散方程(熱傳導(dǎo)方程)為代表的拋物型方程，應(yīng)給定一個(gè)初始條件和邊界條件，這就是所謂的邊值混合問(wèn)題。

第66頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.6.2定解條件

對(duì)于雙曲型方程，以波動(dòng)方程為代表的雙曲型方程，除給定邊界條件外，還應(yīng)給定兩個(gè)初始條件，這就是所謂的初值問(wèn)題。

第67頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.6.2定解條件

由于N-S方程組比上述擬線性二階偏微分方程復(fù)雜得多，其定解條件的提法問(wèn)題并沒(méi)有完全解決，也沒(méi)有處理這一問(wèn)題的完整的理論，這與至今未能完全認(rèn)識(shí)N-S方程組的數(shù)學(xué)性質(zhì)有關(guān)。為了規(guī)定N-S方程組的定解條件，只能依賴(lài)物理方面的理由，并依靠已知的數(shù)學(xué)結(jié)果，以及對(duì)物理問(wèn)題的正確判斷來(lái)綜合解決。第68頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.6.2定解條件

(1)初始條件所謂初始條件，就是在初始時(shí)刻，封閉方程組的解應(yīng)等于該時(shí)刻給定的函數(shù)值。在數(shù)學(xué)上可以表示為

t＝t0時(shí)式中的u0、p、ρ、T為t0時(shí)刻的已知函數(shù)。

第69頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.6.2定解條件

(2)邊界條件在運(yùn)動(dòng)流體的邊界上，封閉方程組的解所應(yīng)滿(mǎn)足的條件稱(chēng)為邊界條件。邊界條件隨具體問(wèn)題而定，一般來(lái)講可能有以下三種情況：邊界為固體壁面(包括可滲透壁面)

不同流體的分界面(包括自由液面、氣液界面、液液界面)

流動(dòng)的入口和出口斷面。

第70頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.6.2定解條件

①流體與固體接觸面上的邊界條件

a.運(yùn)動(dòng)學(xué)邊界條件當(dāng)固體壁面不可滲透時(shí)，粘性流體質(zhì)點(diǎn)將粘附于固體壁面上，即滿(mǎn)足所謂無(wú)滑移條件。此時(shí)

uf與uw是在固體壁面處流體的速度與固體壁面運(yùn)動(dòng)的速度。對(duì)于靜止固體壁面，則當(dāng)固體壁面可滲透時(shí)，應(yīng)根據(jù)滲透速度來(lái)確定其邊界條件，一般可假定uft＝0，ufn≠0。

第71頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.6.2定解條件

b.動(dòng)力學(xué)邊界條件當(dāng)固體壁面不可滲透時(shí)，流體作用在固體壁面上任意一點(diǎn)處(該處壁面的法線方向?yàn)閚)的應(yīng)力，與固體壁面在同一點(diǎn)處對(duì)流體作用的應(yīng)力大小相等、方向相反，具體表示為或者當(dāng)固體壁面可滲透時(shí)，流體邊界上的應(yīng)力也應(yīng)具有這樣的條件，不過(guò)此時(shí)的情況要比不可滲透壁面時(shí)復(fù)雜。第72頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.6.2定解條件

c.熱力學(xué)邊界條件當(dāng)固體壁面不可滲透時(shí)，通常采用無(wú)溫度突躍邊界條件，即式中Tf與Tw是在固體壁面處流體的溫度與固體壁面的溫度。也可給出固體壁面處的溫度梯度作為邊界條件式中qw為通過(guò)單位面積傳導(dǎo)的熱量(壁面熱流量)；T

/n是壁面外法線方向上的溫度梯度，通常定義從固體壁面向流體傳導(dǎo)的熱量為正。第73頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.6.2定解條件

②不同流體分界面上的邊界條件一般包括兩種不同液體的分界面，液體與蒸汽的分界面，液體與大氣的分界面(即所謂自由液面)。不同流體分界面上可能出現(xiàn)質(zhì)量、動(dòng)量及熱量的交換，其情形較為復(fù)雜。

a.不同液體的分界面

根據(jù)分子運(yùn)動(dòng)論與實(shí)驗(yàn)證實(shí)，在一般情況下，兩種液體的分界面上的速度、壓強(qiáng)和溫度都是連續(xù)的，即第74頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.6.2定解條件

b.液體與蒸汽的分界面如果不考慮液面上飽和蒸汽區(qū)中的動(dòng)量、熱量和質(zhì)量交換，則可以將汽液分界面上的邊界條件寫(xiě)為汽液oh平均液面xyz第75頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.6.2定解條件

b.液體與蒸汽的分界面

其中unl是液體在平均液面的垂直方向上的速度，h是液面在垂直于平均液面方向的高度。這一邊界條件表示，在液面上，液體在平均液面的垂直方向上的速度等于液面的垂直波動(dòng)速度。

此外，可以近似認(rèn)為，當(dāng)液面上為大氣壓時(shí)，是上述情況的特例。實(shí)際上，應(yīng)該注意到，對(duì)于汽液分界面來(lái)講，有時(shí)必須考慮到汽液的動(dòng)量、熱量及質(zhì)量的交換。第76頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.6.2定解條件

③流道入口和出口斷面上的邊界條件流動(dòng)入口和出口斷面上的物理參數(shù)，如速度、壓強(qiáng)、溫度等的分布，就是邊界條件。這里所指的流動(dòng)入口和出口斷面，可以是固體通道的截面，也可以是平直流線所形成的流道斷面。前者是內(nèi)流情況，后者是外流(繞流)的情況。第77頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.7實(shí)際流體流動(dòng)的相似律

實(shí)際流體流動(dòng)基本方程是一組非線性偏微分方程式。在某些簡(jiǎn)單情況下才可以求出準(zhǔn)確解，但這類(lèi)問(wèn)題是為數(shù)不多的。非線性方程式是沒(méi)有通用解法的，為了工程上和實(shí)用上的需要，要從力學(xué)性質(zhì)上考慮來(lái)簡(jiǎn)化這些方程，以便求出解。為了簡(jiǎn)化基本方程，必須將基本方程式無(wú)量綱化。對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行量級(jí)分析和比較，據(jù)此來(lái)確定方程式中每一項(xiàng)的取舍?；痉匠淌降臒o(wú)量綱化，同時(shí)也便于在數(shù)學(xué)上求解與應(yīng)用。

第78頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.7實(shí)際流體流動(dòng)的相似律

另外，有了無(wú)量綱基本方程，可以簡(jiǎn)單明了地確定兩個(gè)流體運(yùn)動(dòng)的相似條件，建立相似理論，這對(duì)于模型化實(shí)驗(yàn)，推廣實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的應(yīng)用范圍，是非常有用的。因?yàn)榛痉匠淌街械奈锢碜兞渴怯辛烤V的，如果將這些變量除以相應(yīng)某些特征參數(shù)(它們是常數(shù))，重新來(lái)定義新的無(wú)量綱變量，就可以將基本方程無(wú)量綱化。例如：特征參數(shù)可以是，平均速度作為特征速度、圓管直徑作為特征長(zhǎng)度等。

第79頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.7實(shí)際流體流動(dòng)的相似律

對(duì)實(shí)際不可壓縮流體的連續(xù)性方程和N-S方程進(jìn)行無(wú)量綱化。令V0、L0、p0、t0、ρ0、μ0、