有限元與有限差分法基礎(chǔ)超詳細(xì)版本

關(guān)于有限元與有限差分法基礎(chǔ)超詳細(xì)版本第1頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月有限元法基礎(chǔ)有限元發(fā)展過(guò)程有限元應(yīng)用有限元發(fā)展方向第2頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月有限元法的基本思想基本思想

1）將連續(xù)的求解系統(tǒng)離散為一組由節(jié)點(diǎn)相互聯(lián)在一起的單元組合體2）在每個(gè)單元內(nèi)假設(shè)近似函數(shù)來(lái)分片表示系統(tǒng)的求解場(chǎng)函數(shù)

第3頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月有限元法的基本思想第4頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月有限元法的基本思想第5頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月有限元法的基本思想第6頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月有限元法的基本思想第7頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月有限元法的基本思想離散為單元網(wǎng)格的件仍然要保證是一個(gè)連續(xù)體，單元與單元之間沒(méi)有裂縫、不能重疊，所有單元通過(guò)單元節(jié)點(diǎn)相互關(guān)聯(lián)著變形體無(wú)論產(chǎn)生多大的塑性變形，單元與單元之間依然不會(huì)產(chǎn)生裂縫、交叉和重疊，關(guān)聯(lián)單元的節(jié)點(diǎn)也不能脫開(kāi)第8頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月有限元法的基本思想不合格單元單元裂縫單元重疊第9頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月有限元法的基本思想變形前后單元之間都是連續(xù)的變形前的網(wǎng)格變形后的網(wǎng)格第10頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月有限元法的基本思想基本思想通過(guò)在單元內(nèi)假設(shè)不同的插值函數(shù)，建立不同的單元模型，適應(yīng)各種各樣的變形模式和受力模式XFXF第11頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月有限元法的基本思想有限元法分類1）位移法：基于最小勢(shì)能原理或虛功原理

2）力法：基于最小余能原理3）混合法：基于修正余能原理第12頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月有限元法的基本思想基本過(guò)程離散化過(guò)程

約束處理過(guò)程

單元平衡方程組裝過(guò)程

應(yīng)變、應(yīng)力回代過(guò)程

方程組求解過(guò)程

第13頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月離散化過(guò)程最小勢(shì)能原理

彈性體的勢(shì)能為彈性體變形后所具有的內(nèi)能

為彈性體所受的外力功

第14頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月離散化過(guò)程

為彈性體的應(yīng)變

為彈性體的應(yīng)力

u為彈性體的可容位移彈性體處于平衡狀態(tài)時(shí)，其勢(shì)能應(yīng)為最小

0第15頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月離散化過(guò)程單元插值關(guān)系

單元幾何關(guān)系單元本構(gòu)關(guān)系

N為單元形函數(shù)矩陣

L為單元幾何微分算子為單元彈性矩陣

單元節(jié)點(diǎn)自由度向量第16頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月離散化過(guò)程B稱為應(yīng)變矩陣

單元平衡方程或單元?jiǎng)偠确匠?/p>

k稱為單元?jiǎng)偠染仃?/p>

f稱為單元載荷向量

第17頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單元?jiǎng)偠染仃嚨奶匦?/p>

對(duì)稱性

奇異性主元恒正且對(duì)角占優(yōu)離散化過(guò)程第18頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線彈性問(wèn)題幾何方程—三維問(wèn)題

三維問(wèn)題第19頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線彈性問(wèn)題幾何方程—二維問(wèn)題

二維問(wèn)題平面應(yīng)力和平面應(yīng)變狀態(tài)

第20頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線彈性問(wèn)題幾何方程—二維問(wèn)題

二維問(wèn)題軸對(duì)稱狀態(tài)

第21頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線彈性問(wèn)題幾何方程—一維問(wèn)題

一維問(wèn)題第22頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線彈性問(wèn)題本構(gòu)方程—三維問(wèn)題

三維問(wèn)題E為彈性模量；為泊松比

第23頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線彈性問(wèn)題本構(gòu)方程—平面應(yīng)力

二維問(wèn)題平面應(yīng)力狀態(tài)

第24頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線彈性問(wèn)題本構(gòu)方程—平面應(yīng)力

平面應(yīng)力狀態(tài)

第25頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線彈性問(wèn)題本構(gòu)方程—平面應(yīng)變

二維問(wèn)題平面應(yīng)變狀態(tài)

第26頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線彈性問(wèn)題本構(gòu)方程—平面應(yīng)變

平面應(yīng)變狀態(tài)

第27頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線彈性問(wèn)題本構(gòu)方程—軸對(duì)稱

二維問(wèn)題軸對(duì)稱狀態(tài)

第28頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線彈性問(wèn)題本構(gòu)方程—軸對(duì)稱

二維問(wèn)題軸對(duì)稱狀態(tài)

第29頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線彈性問(wèn)題本構(gòu)方程—軸對(duì)稱

軸對(duì)稱狀態(tài)

第30頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線彈性問(wèn)題本構(gòu)方程—一維問(wèn)題

一維問(wèn)題第31頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月常用單元模型

單元模型插值關(guān)系一一對(duì)應(yīng)單元類型一維單元、二維單元、三維單元等參單元、超參單元、次參單元第32頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月常用單元模型一維單元

2節(jié)點(diǎn)線單元3節(jié)點(diǎn)線單元梁?jiǎn)卧?3頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月常用單元模型二維單元3節(jié)點(diǎn)三角形線性單元6節(jié)點(diǎn)三角形二次單元第34頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月常用單元模型二維單元10節(jié)點(diǎn)三角形三次單元4節(jié)點(diǎn)四邊形雙線性單元第35頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月常用單元模型二維單元8節(jié)點(diǎn)四邊形二次單元12節(jié)點(diǎn)四邊形三次單元第36頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月常用單元模型三維單元4節(jié)點(diǎn)四面體線性單元10節(jié)點(diǎn)四面體二次單元第37頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月常用單元模型三維單元8節(jié)點(diǎn)六面體線性單元20節(jié)點(diǎn)六面體二次單元第38頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月常用單元模型準(zhǔn)三維空間單元桁架單元一維2節(jié)點(diǎn)線單元+單元局部隨體坐標(biāo)系

為什么要建立單元局部隨體坐標(biāo)系？簡(jiǎn)化分析問(wèn)題的復(fù)雜程度。在局部坐標(biāo)系中，空間桁架的每根桿每變成了一維2節(jié)點(diǎn)線單元第39頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月常用單元模型準(zhǔn)三維空間單元框架單元三維梁?jiǎn)卧?一維2節(jié)點(diǎn)線單元+單元局部隨體坐標(biāo)系

兩端都是剛性聯(lián)結(jié)

可以要承受拉壓、彎曲、扭轉(zhuǎn)3種變形模式

框架單元的特點(diǎn)第40頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月常用單元模型準(zhǔn)三維空間單元板單元薄板單元中厚板單元彎曲和橫向剪切2種變形模式抵抗板的變形如果板很薄，忽略橫向剪切抗力，認(rèn)為抵抗載荷的主要因素是彎矩第41頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月常用單元模型準(zhǔn)三維空間單元?dú)卧?/p>

抵抗拉壓變形的二維單元+板單元+單元局部隨體坐標(biāo)系。適合于薄殼單元和中厚殼單元從幾何上分為薄殼單元和中厚殼單元①組合單元第42頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月常用單元模型準(zhǔn)三維空間單元②殼理論單元

由空間殼理論嚴(yán)格構(gòu)造的殼單元。適合于薄殼單元和中厚殼單元

③退化單元

由三維實(shí)體單元退化成的殼單元。只適合于中厚殼單元

第43頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單元模型構(gòu)造

有限元法的基本思想

通過(guò)單元分片近似，在每個(gè)單元內(nèi)假設(shè)近似函數(shù)來(lái)分片表示系統(tǒng)的場(chǎng)函數(shù)

選擇近似函數(shù)簡(jiǎn)單、實(shí)用的原則在有限元法中，近似函數(shù)稱為插值函數(shù)

第44頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單元模型構(gòu)造插值函數(shù)

一般都采用多項(xiàng)式函數(shù)，主要原因是:

采用多項(xiàng)式插值函數(shù)比較容易推導(dǎo)單元平衡方程，特別是易于進(jìn)行微分和積分運(yùn)算。隨著多項(xiàng)式函數(shù)階次的增加，可以提高有限元法的計(jì)算精度。從理論上說(shuō)，無(wú)限提高多項(xiàng)式的階數(shù)，可以求得系統(tǒng)的精確解。第45頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單元模型構(gòu)造方法

整體坐標(biāo)系法局部坐標(biāo)系法

Lagrange插值方法Hermite插值方法第46頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單元模型構(gòu)造方法2節(jié)點(diǎn)線單元12

oxu1u2x1x2ux1.假設(shè)插值多項(xiàng)式2.利用節(jié)點(diǎn)值求a0和a1第47頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單元模型構(gòu)造方法3.代入a0和a1，得插值多項(xiàng)式u(x)4.按u1和u2合并同類項(xiàng)，設(shè)l=x2-x1第48頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單元模型構(gòu)造方法關(guān)鍵

如何構(gòu)造插值多項(xiàng)式u?二維問(wèn)題三維問(wèn)題，如何構(gòu)造插值多項(xiàng)式?第49頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月收斂性條件

①在單元內(nèi)，場(chǎng)函數(shù)必須是連續(xù)的；②完備性：插值多項(xiàng)式的階次必須由低到高依次增加，不能出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象；

③協(xié)調(diào)性：各單元邊界必須連續(xù)，單元邊界不能出現(xiàn)開(kāi)裂現(xiàn)象。插值多項(xiàng)式收斂性條件

收斂：當(dāng)單元逐漸縮小時(shí)，如果插值多項(xiàng)式滿足收斂性條件，則數(shù)值解將收斂于精確解

第50頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月插值多項(xiàng)式收斂性條件協(xié)調(diào)單元

滿足插值多項(xiàng)式收斂性條件①和③的單元

完備單元

滿足插值多項(xiàng)式收斂性條件②的單元cr

階連續(xù)性

插值多項(xiàng)式的第r階導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的

第51頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月插值多項(xiàng)式收斂性條件非協(xié)調(diào)單元與部分協(xié)調(diào)單元

對(duì)于一般固體力學(xué)問(wèn)題來(lái)說(shuō)，協(xié)調(diào)性要求單元在變形時(shí)，相鄰單元之間不應(yīng)引起開(kāi)裂、重疊或其它不連續(xù)現(xiàn)象。例如，梁、板、殼等單元，在單元邊界不但要求位移是連續(xù)的，而且其一階導(dǎo)數(shù)也必須是連續(xù)的。板、殼單元位移函數(shù)沿單元邊界的法向?qū)?shù)（轉(zhuǎn)角）的連續(xù)性一般比較難實(shí)現(xiàn)，因此出現(xiàn)了許多不完全滿足協(xié)調(diào)性要求的“非協(xié)調(diào)單元”或“部分協(xié)調(diào)單元”，有時(shí)它們的精度也很好。

第52頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月插值多項(xiàng)式選擇條件

插值多項(xiàng)式應(yīng)該盡可能滿足其收斂性條件（收斂性）由插值多項(xiàng)式所確定的場(chǎng)函數(shù)變化應(yīng)該與局部坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)（各向同性）

假設(shè)的插值多項(xiàng)式系數(shù)的數(shù)量應(yīng)該等于單元的節(jié)點(diǎn)數(shù)（解的唯一性）

選擇條件第53頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月插值多項(xiàng)式選擇條件深入分析由收斂性條件②可知，插值多項(xiàng)式中必須含有常數(shù)項(xiàng)（剛體位移項(xiàng)），高階項(xiàng)的次數(shù)必須依次增加，不允許有跳躍第54頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月插值多項(xiàng)式選擇條件由選擇條件②可知，插值多項(xiàng)式函數(shù)在所有自由度方向上要滿足各向同性性，這樣就不會(huì)隨局部坐標(biāo)系變化而改變了

深入分析第55頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月插值多項(xiàng)式選擇條件深入分析選擇條件③是為了能由單元節(jié)點(diǎn)值唯一確定插值多項(xiàng)式

4節(jié)點(diǎn)四邊形的插值多項(xiàng)式應(yīng)該是

插值多項(xiàng)式系數(shù)i(i=0,1,2,3)

也是4個(gè)

第56頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單元模型構(gòu)造—整體坐標(biāo)系法基本思想

針對(duì)彈性體有限元網(wǎng)格建立一個(gè)統(tǒng)一的坐標(biāo)系，每個(gè)單元的插值多項(xiàng)式都在這個(gè)坐標(biāo)系上建立

第57頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單元模型構(gòu)造—整體坐標(biāo)系法2節(jié)點(diǎn)線單元12

oxu1u2x1x2ux1.假設(shè)插值多項(xiàng)式2.利用節(jié)點(diǎn)值求a0和a1第58頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單元模型構(gòu)造—整體坐標(biāo)系法3.代入a0和a1，得插值多項(xiàng)式u(x)4.按u1和u2合并同類項(xiàng)，設(shè)l=x2-x1第59頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單元模型構(gòu)造—整體坐標(biāo)系法N1和N2稱為單元的形函數(shù)；N稱為單元的形函數(shù)矩陣；ue

稱為單元節(jié)點(diǎn)位移向量。

2節(jié)點(diǎn)線的單元形函數(shù)第60頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單元模型構(gòu)造—整體坐標(biāo)系法二維3節(jié)點(diǎn)三角形單元

建立整體坐標(biāo)系oxy

第61頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單元模型構(gòu)造—整體坐標(biāo)系法1.假設(shè)插值多項(xiàng)式2.首先，利用節(jié)點(diǎn)值求0、

1和

2二維3節(jié)點(diǎn)三角形單元

第62頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單元模型構(gòu)造—整體坐標(biāo)系法A為單元面積第63頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單元模型構(gòu)造—整體坐標(biāo)系法3.將0、

1和

2代入插值多項(xiàng)式，按u1、u2、u3合并同類項(xiàng)第64頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單元模型構(gòu)造—整體坐標(biāo)系法4.同理可得第65頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單元模型構(gòu)造—整體坐標(biāo)系法5.單元插值多項(xiàng)式為第66頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單元模型構(gòu)造—整體坐標(biāo)系法6.單元插值多項(xiàng)式寫成矩陣形式（常用）第67頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單元模型構(gòu)造—整體坐標(biāo)系法7.單元插值多項(xiàng)式的另一種矩陣形式（不常用）第68頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單元模型構(gòu)造—整體坐標(biāo)系法4節(jié)點(diǎn)四面體單元第69頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單元模型構(gòu)造—整體坐標(biāo)系法1.假設(shè)插值多項(xiàng)式2.插值多項(xiàng)式為第70頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單元模型構(gòu)造—整體坐標(biāo)系法（i=1,2,3,4）循環(huán)輪換腳標(biāo)1、2、3、4，相應(yīng)可以得到a2，b2，c2，d2、a3，b3，c3，d3、a4，b4，c4，d4

第71頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單元模型構(gòu)造—整體坐標(biāo)系法3.單元插值多項(xiàng)式寫成矩陣形式（常用）第72頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單元模型構(gòu)造—整體坐標(biāo)系法4.單元插值多項(xiàng)式另一種矩陣形式（不常用）第73頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單元模型構(gòu)造—整體坐標(biāo)系法從理論上講，整體坐標(biāo)系法可以求任意單元的形函數(shù)，但計(jì)算過(guò)程太復(fù)雜只能求一維2節(jié)點(diǎn)線單元、二維3節(jié)點(diǎn)三角形單元和三維4節(jié)點(diǎn)四面體單元3種簡(jiǎn)單單元的形函數(shù)復(fù)雜的或二次以上的單元必須采用局部坐標(biāo)系法求位移場(chǎng)u是形函數(shù)Ni的線性組合，因此形函數(shù)Ni同樣具有插值多項(xiàng)式的特性第74頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單元?jiǎng)偠染仃嚒?節(jié)點(diǎn)線單元一維2節(jié)點(diǎn)線單元單元插值關(guān)系

單元幾何關(guān)系單元本構(gòu)關(guān)系

N=[N1N2]

De=E第75頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單元?jiǎng)偠染仃嚒?節(jié)點(diǎn)線單元單元?jiǎng)偠染仃嘇為單元截面積；l為單元長(zhǎng)度矩陣B第76頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單元?jiǎng)偠染仃嚒切螁卧S3角形單元單元插值關(guān)系

第77頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單元?jiǎng)偠染仃嚒切螁卧獑卧獛缀侮P(guān)系第78頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單元?jiǎng)偠染仃嚒切螁卧獑卧緲?gòu)關(guān)系

平面應(yīng)力問(wèn)題第79頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單元?jiǎng)偠染仃嚒切螁卧仃嘊第80頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單元?jiǎng)偠染仃嚒切螁卧獑卧獎(jiǎng)偠染仃噃為單元厚度k為對(duì)稱的6*6常數(shù)矩陣A為單元面積第81頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月作業(yè)求4節(jié)點(diǎn)四面體單元的單元?jiǎng)偠染仃嚨?2頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單元模型構(gòu)造—整體坐標(biāo)系法單元形函數(shù)的特性正規(guī)性：?jiǎn)卧魏瘮?shù)之和等于1。

正交性：形函數(shù)在本節(jié)點(diǎn)的值等于1，在其它節(jié)點(diǎn)的值等于0。

例如:2節(jié)點(diǎn)線單元形函數(shù)第83頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單元模型—等參單元等參單元

單元內(nèi)任意一點(diǎn)的位移u與單元節(jié)點(diǎn)位移ue之間的關(guān)系為

一般單元坐標(biāo)的插值關(guān)系也采用與位移插值關(guān)系相同的變換關(guān)系即單元內(nèi)任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x與單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)xe之間的關(guān)系為

第84頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單元模型—等參單元等參單元凡是幾何形狀和位移場(chǎng)采用同階同參數(shù)插值關(guān)系來(lái)描述的單元，稱為等參單元

前面介紹的所有單元都屬于等參單元

在描述單元的幾何形狀和位移場(chǎng)時(shí)，并不一定非采用同階插值關(guān)系

第85頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單元模型—等參單元等參單元3節(jié)點(diǎn)三角形等參單元

第86頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單元模型—等參單元超參單元如果幾何形狀插值函數(shù)的階數(shù)高于位移場(chǎng)插值函數(shù)的階數(shù)，稱為超參單元

次參單元如果幾何形狀插值函數(shù)的階數(shù)低于位移場(chǎng)插值函數(shù)的階數(shù)，稱為次參單元

第87頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單元平衡方程組裝過(guò)程

為什么要組裝?

消除內(nèi)力組裝的原則是什么?

單元自由度與結(jié)構(gòu)自由度對(duì)應(yīng)第88頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單元平衡方程組裝過(guò)程

2

F

1

3

①

②

③

U3U4U2U1U5U6結(jié)構(gòu)自由度向量U第89頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單元平衡方程組裝過(guò)程

2

1

①

U3U4U2U11’u1u2u3u4

3

②

U61’1

U2U12’u1u2U5u3u42’第90頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單元平衡方程組裝過(guò)程2

1

①

U3U4U2U11’u1u2u3u42’第91頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單元平衡方程組裝過(guò)程組裝單元①第92頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單元平衡方程組裝過(guò)程

3

②

U61’1

U2U12’u1u2U5u3u4第93頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單元平衡方程組裝過(guò)程再組裝單元②總體剛度方程

K稱為總體剛度矩陣

U稱為位移向量

F稱為載荷向量

第94頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月總體剛度矩陣K的特性

對(duì)稱性

奇異性

稀疏性

非零元素帶狀分布第95頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月約束處理過(guò)程

為什么要約束處理?總體平衡方程組是奇異的消除無(wú)限制的剛體運(yùn)動(dòng)

使總體平衡方程組存在唯一一組解第96頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月約束處理過(guò)程—邊界條件邊界條件分類

力(載荷)邊界條件位移邊界條件

集中載荷力

表面分布力

自重力熱交換引起的溫度載荷

固定位移約束

強(qiáng)制位移約束

關(guān)聯(lián)位移約束

第97頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月約束處理過(guò)程—模型簡(jiǎn)化xy第98頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月約束處理過(guò)程—模型簡(jiǎn)化yxxy第99頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月約束處理過(guò)程—約束方程123456789101112yx第100頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月約束處理過(guò)程—約束處理方法位移約束處理方法

賦0賦1法

乘大數(shù)法

第101頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月約束處理過(guò)程—賦0賦1法強(qiáng)制位移約束條件處理U4=C第102頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月約束處理過(guò)程—賦0賦1法強(qiáng)制位移約束條件處理U4=C第103頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月約束處理過(guò)程—賦0賦1法有6個(gè)方程，5個(gè)未知數(shù)，如果約束方程可以消除有限元平衡方程組的奇異性，則取任意5個(gè)方程聯(lián)立求解，都會(huì)得到方程組的唯一一組解。

系數(shù)矩陣由原來(lái)的對(duì)稱的變成了非對(duì)稱的，這對(duì)于大規(guī)模有限元方程組求解是十分不利的，采用相同的求解方法，在求解時(shí)間和矩陣存貯容量方面都增加了一倍。

第104頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月約束處理過(guò)程—賦0賦1法為了保證系數(shù)矩陣的對(duì)稱性，去掉方程組第4行第105頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月約束處理過(guò)程—賦0賦1法引入強(qiáng)制位移約束方程U4=C，使方程組求解時(shí)直接將自由度U4求出第106頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月約束處理過(guò)程—賦0賦1法固定位移約束條件處理U4=0第107頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月約束處理過(guò)程—賦0賦1法基本原理利用初等變換對(duì)求解方程組進(jìn)行相同的行列變換，既保證方程組解不會(huì)改變，又可以保持方程組系數(shù)矩陣的對(duì)稱性。在進(jìn)行初等變換時(shí)，只要保證對(duì)方程組系數(shù)矩陣做相同的行列變換，就可以保持方程組系數(shù)矩陣的對(duì)稱性。

第108頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月約束處理過(guò)程—乘大數(shù)法乘大數(shù)法基本原理利用矩陣的初等變換不改變方程組解的思想。

第109頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月約束處理過(guò)程—乘大數(shù)法強(qiáng)制位移邊界條件

第110頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月約束處理過(guò)程—乘大數(shù)法強(qiáng)制約束方程

A是一個(gè)大數(shù)，是系數(shù)矩陣中對(duì)角線元素K44的1010倍量級(jí)以上為什么要乘以大數(shù)A？放大位移約束方程的優(yōu)勢(shì)第111頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月約束處理過(guò)程—乘大數(shù)法強(qiáng)制位移邊界條件

第112頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月約束處理過(guò)程—乘大數(shù)法固定位移邊界條件

C=0約束后的方程組簡(jiǎn)化為

第113頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月約束處理過(guò)程—兩種方法比較賦0賦1法在約束處理過(guò)程中是嚴(yán)格精確的，而乘大數(shù)法是一種近似約束處理方法，它的精度取決于所乘大數(shù)A值兩種方法都可以消除有限元平衡方程的奇異性，得到符合實(shí)際邊界條件的唯一一組解。但兩種方法還是有很大的區(qū)別第114頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月約束處理過(guò)程—兩種方法比較采用乘大數(shù)法約束處理后的有限元平衡方程在求解時(shí)可能造成解的失真，大數(shù)A值越大可能解的偏差會(huì)越大，而賦0賦1法就不會(huì)出現(xiàn)類似的問(wèn)題，它在約束過(guò)程和求解過(guò)程都是精確的乘大數(shù)法相對(duì)于賦0賦1法在約束處理過(guò)程上簡(jiǎn)單一些

第115頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月約束處理過(guò)程—兩種方法比較賦0賦1法實(shí)際上是將關(guān)聯(lián)位移約束方程代入到有限元平衡方程中的，是代入法。而乘大數(shù)是將占絕對(duì)優(yōu)勢(shì)的關(guān)聯(lián)位移約束方程合并到有限元平衡方程中的，是罰方法，計(jì)算誤差來(lái)自于合并過(guò)程，計(jì)算精度取決于關(guān)聯(lián)位移約束方程的優(yōu)勢(shì)大小商業(yè)軟件中，位移邊界條件的約束處理都采用賦0賦1法，乘大數(shù)很少被采用主要原因是它是一種近似方法，而且大數(shù)的大小也不好確定，有時(shí)還會(huì)造成求解失敗

第116頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月約束處理過(guò)程—彈簧單元假設(shè)柔性彈簧kOXYU4f

f=kU4k第117頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月彈簧約束方程

f=kU4約束處理過(guò)程—彈簧單元第118頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月方程組求解過(guò)程—特點(diǎn)方程組求解有限元計(jì)算過(guò)程中很重要的一部分，在有限元法的發(fā)展過(guò)程中，有限元方程的求解效率一直是其應(yīng)用的最大瓶頸之一有限元方程組的特點(diǎn)：有限元方程組的系數(shù)矩陣具有對(duì)稱、稀疏、帶狀分布以及正定、主元占優(yōu)。有效地利用這些特點(diǎn)，以減少系數(shù)矩陣的存貯量，提高方程組求解效率

第119頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月方程組求解過(guò)程—分類比較線性方程組的解法主要分兩大類:

直接解法：以高斯消去法基礎(chǔ)，以等帶寬或變帶寬方式存貯系數(shù)矩陣內(nèi)元素，對(duì)于求解規(guī)模比較大的問(wèn)題，要存貯的元素非常巨大。

迭代解法：只需要存貯系數(shù)矩陣中非零元素，存貯量很小，一般是變帶寬存貯量的20%或更少，有些算法的求解效率也非常高，適合求解大規(guī)模線性方程組。但是這種解法對(duì)接近病態(tài)的方程組很難保證收斂性。

第120頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月方程組求解過(guò)程—帶寬定義有限元方程組系數(shù)矩陣是稀疏的、非零元素呈帶狀分布，帶寬就是它的寬度，帶寬的大小是由系統(tǒng)有限元網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)號(hào)排序決定的，具體求法是帶寬=(單元最大節(jié)點(diǎn)號(hào)之差+1)*節(jié)點(diǎn)自由度數(shù)

帶寬是網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)標(biāo)注方法直接決定的，不同標(biāo)注方法帶寬可能相關(guān)很大

第121頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月方程組求解過(guò)程—帶寬帶寬是網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)標(biāo)注方法直接決定的，不同標(biāo)注方法帶寬可能相關(guān)很大

第122頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月方程組求解過(guò)程—帶寬所示四邊形網(wǎng)格的三種節(jié)點(diǎn)號(hào)標(biāo)注方法，每個(gè)節(jié)點(diǎn)是2個(gè)自由度結(jié)構(gòu)的帶寬分別是12，18，56，相差很大，其中12和56之間相差近5倍，這就意味著系數(shù)矩陣的存貯量也是相差5倍，因此，對(duì)于大規(guī)模復(fù)雜系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)號(hào)優(yōu)化是十分必要的

第123頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月方程組求解過(guò)程—系數(shù)矩陣存貯

系數(shù)矩陣存貯如果節(jié)點(diǎn)號(hào)排序優(yōu)化的比較好，系數(shù)矩陣的存貯量就會(huì)減少很多。根據(jù)系數(shù)矩陣的對(duì)稱性，一般都是按半帶寬存貯。系數(shù)矩陣存貯的方法二維等帶寬存貯一維變帶寬存貯第124頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月方程組求解過(guò)程—二維等帶寬存貯二維等帶寬存貯

第125頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月方程組求解過(guò)程—二維等帶寬存貯二維等帶寬存貯消除了最大帶寬以外的全部零元素，節(jié)省了系數(shù)矩陣元素的存貯量。但是由于取最大帶寬為存貯范圍，因此不能排除在帶寬內(nèi)的大量零元素。當(dāng)系數(shù)矩陣的各行帶寬變化不大時(shí)，適合采用二維等帶寬存貯，方程組求解過(guò)程中系數(shù)矩陣元素的尋址也比較方便，求解效率較高。當(dāng)出現(xiàn)局部帶寬特別大的情況時(shí)，采用二維等帶寬存貯時(shí)，將由于局部帶寬過(guò)大而使整體系數(shù)矩陣的存貯大大增加。第126頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月方程組求解過(guò)程—一維變帶寬存貯

一維變帶寬存貯

一維變帶寬存貯方法就是把變化的帶寬內(nèi)的元素按一定的順序存貯在一個(gè)一維數(shù)組中。由于它不按最大帶寬存貯，因此比二維等帶寬存貯更節(jié)省內(nèi)存。按照解法可分為按行一維變帶寬存貯和按列一維變帶寬存貯。

第127頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月按行一維變帶寬存貯

方程組求解過(guò)程—一維變帶寬存貯

輔助的尋址數(shù)組M

第128頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一維變帶寬存貯是最節(jié)省內(nèi)存的一種方法，但是由于要借助于尋址數(shù)組尋找系數(shù)矩陣元素的位置，相對(duì)二維等帶寬存貯方法來(lái)說(shuō)要復(fù)雜一些，而且在程序?qū)崿F(xiàn)時(shí)也要復(fù)雜得多，方程組求解過(guò)程中也要消耗一些數(shù)組尋址時(shí)間。因此，在選用存貯方法時(shí)要權(quán)衡二者的利弊，統(tǒng)盤考慮。一般當(dāng)帶寬變化不大，計(jì)算機(jī)內(nèi)存允許時(shí)，采用二維等帶寬存貯方法是比較合適的。

方程組求解過(guò)程—一維變帶寬存貯

第129頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月方程組求解過(guò)程—求解方法方程組求解方法高斯消去法

三角分解法

雅可比（Jacobi）迭代法

高斯-賽德?tīng)枺℅auss-Seidel）迭代法

第130頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月應(yīng)變、應(yīng)力回代過(guò)程

單元應(yīng)變和應(yīng)力回代求解

通過(guò)求解有限元平衡方程得到有限元節(jié)點(diǎn)位移后，就可以進(jìn)行系統(tǒng)的剛度校核。如果所分析問(wèn)題要進(jìn)行強(qiáng)度校核，就要回代求解單元的應(yīng)變和應(yīng)力。由插值關(guān)系和幾何關(guān)系可得單元應(yīng)變，再通過(guò)本構(gòu)關(guān)系得到單元應(yīng)力第131頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月有限差分法第132頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

從彈性力學(xué)的基本方程建立以來(lái)，這些方程在各種問(wèn)題的邊界條件下如何求解，一直是很多數(shù)學(xué)工作者和力學(xué)工作者研究的內(nèi)容。即彈性力學(xué)的經(jīng)典解法存在一定的局限性，當(dāng)彈性體的邊界條件和受載情況復(fù)雜一點(diǎn)，往往無(wú)法求得偏微分方程的邊值問(wèn)題的解析解，許多工程重要問(wèn)題，不能夠得出函數(shù)式的解答。因此，彈性力學(xué)問(wèn)題的各種數(shù)值解法便具有重要的實(shí)際意義。第133頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月工程中常用的數(shù)值解法有有限單元法和差分法。有限單元法

是以有限個(gè)單元的集合體來(lái)代替連續(xù)體，屬于物理上的近似。差分法

是把彈性力學(xué)的基本方程和邊界條件（一般均為微分方程）近似地改用差分方程（代數(shù)方程）來(lái)表示，把求解微分方程的問(wèn)題改換成為求解代數(shù)方程的問(wèn)題，屬于數(shù)學(xué)上的近似。第134頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第一節(jié)差分方程第二節(jié)應(yīng)力函數(shù)的差分解第三節(jié)深梁應(yīng)力函數(shù)的差分解第135頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第一節(jié)差分方程

差分法是沿用已久的一種數(shù)值解法。隨著計(jì)算機(jī)的普及和相應(yīng)的軟件發(fā)展，此法成為解彈性力學(xué)問(wèn)題的一種有效的方法。第136頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月我們?cè)趶椥泽w上，用相隔等間距h而平行于坐標(biāo)軸的兩組平行線織成正方形網(wǎng)格，Δx=Δy=h，如圖。設(shè)f=f(x,y)為彈性體內(nèi)的某一個(gè)連續(xù)函數(shù)。該函數(shù)在平行于x軸的一根網(wǎng)線上，如在３-０-１上,它只隨x坐標(biāo)的改變而變化。在鄰近結(jié)點(diǎn)０處，函數(shù)f可展為泰勒級(jí)數(shù)如下：第137頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月我們將只考慮離開(kāi)結(jié)點(diǎn)０充分近的那些結(jié)點(diǎn)，即（x-x0）充分小。于是可不計(jì)（x-x0）的三次及更高次冪的各項(xiàng)，則上式簡(jiǎn)寫為：在結(jié)點(diǎn)３，x=x0-h,在結(jié)點(diǎn)1,x=x0+h，代入(b)得：第138頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月聯(lián)立(c),(d),解得差分公式：

同理，在網(wǎng)線４-０-２上可得到差分公式第139頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月差分公式(１-１)及(１-３)是以相隔2h的兩結(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值來(lái)表示中間結(jié)點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)值，可稱為中點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式。以相鄰三結(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值來(lái)表示一個(gè)端點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)值，可稱為端點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式。應(yīng)當(dāng)指出：中點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式與端點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式相比，精度較高。因?yàn)榍罢叻从沉私Y(jié)點(diǎn)兩邊的函數(shù)變化，而后者卻只反映了結(jié)點(diǎn)一邊的函數(shù)變化。因此，我們總是盡可能應(yīng)用前者，而只有在無(wú)法應(yīng)用前者時(shí)才不得不應(yīng)用后者。第140頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月以上(１-１)~(１-４)是基本差分公式,從而可導(dǎo)出其它的差分公式如下：第141頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第二節(jié)應(yīng)力函數(shù)的差分解當(dāng)不計(jì)體力時(shí)，我們已把彈性力學(xué)平面問(wèn)題歸結(jié)為在給定邊界條件下求解雙調(diào)和方程的問(wèn)題。用差分法解平面問(wèn)題，就應(yīng)先將雙調(diào)和方程變換為差分方程，而后求解之。第142頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一旦求得彈性體全部節(jié)點(diǎn)的φ值后，就可按應(yīng)力分量差分公式（對(duì)節(jié)點(diǎn)0）算得彈性體各節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力。第143頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月可見(jiàn)，用差分法解平面問(wèn)題，共有兩大任務(wù)：一、建立差分方程將（1-6~8）代入雙調(diào)和方程對(duì)于彈性體邊界以內(nèi)的每一結(jié)點(diǎn)，都可以建立這樣一個(gè)差分方程。整理即得第144頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、聯(lián)立求解這些線性代數(shù)方程，就能求得各內(nèi)結(jié)點(diǎn)處的值。為了求得邊界上各結(jié)點(diǎn)處的φ值，須要應(yīng)用應(yīng)力邊界條件，即：一般建立和求解差分方程，在數(shù)學(xué)上不會(huì)遇到很大困難。但是，當(dāng)對(duì)于邊界內(nèi)一行的（距邊界為h的）結(jié)點(diǎn)，建立的差分方程還將涉及邊界上各結(jié)點(diǎn)處的φ值，并包含邊界外一行的虛結(jié)點(diǎn)處的φ值。第145頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月代入上式，即得：

l1=cos(N,x)=cosα=dy/ds,l2=cos(N,y)=sinα=-dx/ds,于是，式（a）可改寫為：由右圖可見(jiàn)，第146頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月關(guān)于邊界上任一點(diǎn)處由此得：

的值，可將（b）式從A點(diǎn)到B點(diǎn)對(duì)s積分得到：第147頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月將此式亦從A點(diǎn)到B點(diǎn)沿s進(jìn)行積分，就得到邊界上任一點(diǎn)B處的φ值。為此利用分部積分法，得：

由高等數(shù)學(xué)可知，第148頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月將式(b),(c)代入，整理得：由前知，把應(yīng)力函數(shù)加上一個(gè)線性函數(shù)，并不影響應(yīng)力。因此，可設(shè)想把應(yīng)力函數(shù)加上a+bx+cy，然后調(diào)整a，b，c三個(gè)數(shù)值，使得由式(d)及式(c)可見(jiàn)，設(shè)即可根據(jù)面力分量及導(dǎo)數(shù)求得為已知，第149頁(yè)，課件共162頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月從圖易看出，式（2－3）右邊的積分式表示A與B之間的x方向的面力之和；式（2－4）右邊的積分式表示A與B之間的y