廣西壯族自治區(qū)桂林市高尚中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

廣西壯族自治區(qū)桂林市高尚中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A．63

B．45

C．36

D．27參考答案：B2.某班有學(xué)生60人，現(xiàn)將所有學(xué)生按1，2，3，…，60隨機(jī)編號(hào)，若采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為4的樣本（等距抽樣），已知編號(hào)為3,33,48號(hào)學(xué)生在樣本中，則樣本中另一個(gè)學(xué)生的編號(hào)為（

）A．28

B．23

C．18

D．13參考答案：D3.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且4，2，成等差數(shù)列，若=1，則=(

)A.

7

B.

8

C.

15

D.

16參考答案：C4.等差數(shù)列中，，,則的值是

(

)A.15

B.30

C.31

D.64參考答案：A略5.動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)M（1，0）與點(diǎn)N（3，0）的距離之差為2，則點(diǎn)P的軌跡是（）A．雙曲線 B．雙曲線的一支 C．兩條射線 D．一條射線參考答案：D【考點(diǎn)】軌跡方程．【分析】根據(jù)雙曲線的定義：動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值為小于兩定點(diǎn)距離的常數(shù)時(shí)為雙曲線；距離當(dāng)?shù)扔趦啥c(diǎn)距離時(shí)為兩條射線；距離當(dāng)大于兩定點(diǎn)的距離時(shí)無軌跡．【解答】解：|PM|﹣|PN|=2=|MN|，點(diǎn)P的軌跡為一條射線故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的定義中的條件：小于兩定點(diǎn)間的距離時(shí)為雙曲線．6.若函數(shù)f(x)＝＋x，則＝A. B.C. D.參考答案：C【分析】利用微積分基本定理即可得到結(jié)果.【詳解】∵f(x)＝＋x，∴故選：C【點(diǎn)睛】本題考查微積分基本定理，考查函數(shù)的表達(dá)式，考查運(yùn)算能力.7.用4種顏色給正四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)涂色，同一條棱的兩個(gè)頂點(diǎn)涂不同的顏色，則符合條件的所有涂法共有（）A．24種 B．48種 C．64種 D．72種參考答案：D【考點(diǎn)】D8：排列、組合的實(shí)際應(yīng)用．【分析】根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，本題需要分兩類，AC同色，和AC異色，問題得以解決，【解答】解：當(dāng)AC同色時(shí)，有2=48種，當(dāng)AC異色時(shí)，有=24種，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得，不同的涂色方法共有48+24=72種．故選：D．8.已知等差數(shù)列中，，則的值是（

）

A．15

B．30

C．31D．64參考答案：A略9.如果a＜b＜0，則下列不等式成立的是（）A． B．a(chǎn)c2＜bc2 C．a(chǎn)2＜b2 D．a(chǎn)3＜b3參考答案：D【考點(diǎn)】不等式的基本性質(zhì)．【分析】根據(jù)a、b的范圍，取特殊值帶入判斷即可．【解答】解：∵a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，顯然A、B、C不成立，D成立，故選：D．10.對(duì)任意的實(shí)數(shù)，有，則等于（

）A．-12

B．-6

C．6

D．12參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在求某些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，可以先在解析式兩邊取對(duì)數(shù)，再求導(dǎo)數(shù)，這比用一般方法求導(dǎo)數(shù)更為簡單，如求的導(dǎo)數(shù)，可先在兩邊取對(duì)數(shù)，得，再在兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得即為,即導(dǎo)數(shù)為。若根據(jù)上面提供的方法計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則

參考答案：12.在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，，，，則tanB=__________．參考答案：【分析】由余弦定理可得：，再由三角形面積公式可得，，結(jié)合正弦定理運(yùn)算即可得解.【詳解】解：根據(jù)余弦定理，得（*）.因?yàn)椋?代入（*）式得，所以，所以.又，所以，，，根據(jù)正弦定理，得，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了正余弦定理，及同角三角關(guān)系，屬中檔題.13.兩條平行直線l1：x+2y+5=0和l2：4x+8y+15=0的距離為

．參考答案：【考點(diǎn)】兩條平行直線間的距離．【分析】先把x、y的系數(shù)化為相同的值，再利用兩條平行直線間的距離公式計(jì)算求的結(jié)果．【解答】解：條平行直線l1：x+2y+5=0和l2：4x+8y+15=0，即直線l1：4x+8y+20=0和l2：4x+8y+15=0故它們之間的距離為d==，故答案為：．14.若冪函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)，則=．參考答案：考點(diǎn)： 冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域．

專題： 計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 設(shè)出冪函數(shù)的解析式，然后把點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出冪指數(shù)即可．解答： 解：設(shè)冪函數(shù)為y=xα，因?yàn)閳D象過點(diǎn)，則，∴，α=﹣2．所以f（x）=x﹣2．==2﹣1=故答案為：．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了冪函數(shù)的概念，是會(huì)考常見題型，是基礎(chǔ)題15.有一個(gè)簡單的隨機(jī)樣本：10，12，9，14，13則樣本平均數(shù)=

，樣本方差s2=． 參考答案：11.6，3.44．【考點(diǎn)】極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)． 【專題】概率與統(tǒng)計(jì)． 【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的定義分別進(jìn)行計(jì)算即可． 【解答】解：根據(jù)平均數(shù)的公式得==． 樣本方差s2==3.44． 故答案為：11.6，3.44． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平均數(shù)和方差的計(jì)算，根據(jù)平均數(shù)和方差的公式是解決本題的關(guān)鍵． 16.經(jīng)過點(diǎn)P(1,2)的直線，且使A(2,3)，B(0，－5)到它的距離相等的直線方程為________．參考答案：或17.若對(duì)x＞0，y＞0有恒成立，m的取值范圍是．參考答案：（﹣∞，8]【考點(diǎn)】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．【分析】恒成立問題轉(zhuǎn)化成最小值，將式子展開湊出積定求和的最小值【解答】解：要使恒成立，只要使的最小值≥m即可，∵=2+2++≥4+2=8∴8≥m故答案為（﹣∞，8]【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式恒成立問題，解決這類問題常轉(zhuǎn)化成最值問題，利用基本不等式來解決．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖所示，正三棱柱的底面邊長是2，側(cè)棱長是，D是AC的中點(diǎn)。(1)求證：平面；(2)求二面角的大??；(3)求直線與平面所成的角的正弦值。

參考答案：解法一：（1）設(shè)與相交于點(diǎn)P，連接PD，則P為中點(diǎn)，D為AC中點(diǎn)，PD//.又PD平面D，//平面D

（2）正三棱住，

底面ABC。又BDACBD就是二面角的平面角。=，AD=AC=1tan==,即二面角的大小是（3）由（2）作AM，M為垂足。BDAC，平面平面ABC，平面平面ABC=ACBD平面，AM平面，BDAMBD=DAM平面，連接MP，則就是直線與平面D所成的角。=，AD=1，在RtD中，=，，,直線與平面D所成的角的正弦值為解法二：（1）同解法一（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），A（1，0，0），（1，0，），B（0，，0），（0，，）=（-1，，-），=（-1，0，-）設(shè)平面的法向量為n=（x，y，z）則nn則有，得n=（，0，1）由題意，知=（0，0，）是平面ABD的一個(gè)法向量。設(shè)n與所成角為，則，二面角的大小是（3）由已知，得=（-1，，），n=（，0，1）則直線與平面D所成的角的正弦值為.

19.如圖,在四面體ABCD中,,點(diǎn)E,F分別是AB,BD的中點(diǎn)．求證：（1）直線EF∥面ACD；（2）BD⊥平面EFC．參考答案：(1)證明見解析；(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知中E，F(xiàn)分別為AB，BD的中點(diǎn)，由三角形中位線定理可得EF∥AD，再由線面平行的判定定理，即可得到直線EF∥面ACD；（2）由AD⊥BD結(jié)合（1）的結(jié)論可得EF⊥BD，再由CB＝CD，結(jié)合等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，得到CF⊥BD，結(jié)合線面垂直的判定定理即可得到BD⊥面EFC．【詳解】證明：（1）∵E,F分別是AB,BD的中點(diǎn)．∴EF是的中位線,面ACD,面ACD,∴直線面ACD；（2）,F是的中點(diǎn),又,平面CEF,平面CEF,得平面面EFC．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，其中熟練掌握空間線面平行及線面垂直的判定定理及證明步驟是解答本題的關(guān)鍵．20.(本題滿分13分)已知函數(shù)的圖象與直線的三個(gè)相鄰交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是1，2，4．（1）求的解析式，并寫出的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）設(shè)，求函數(shù)的值域．參考答案：21.（8分）對(duì)于函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)使得，則稱為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)。已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；（2）對(duì)于任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍；（3）在（2）的條件下，若函數(shù)的圖象上A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，求b的最小值。參考答案：略22.已知從的展開式的所有項(xiàng)中任取兩項(xiàng)的組合數(shù)是21.（1）求展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)之和；(用數(shù)字作答)；（2）若展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，求a的值。參考答案：（1）64；（2）【分析】（1）由二項(xiàng)式的展開式，共有項(xiàng)，得到，解得，進(jìn)而可求解展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的和；（2