常見(jiàn)不等式通用解法

常見(jiàn)不等式通用解法常見(jiàn)不等式通用解法/NUMPAGES10常見(jiàn)不等式通用解法常見(jiàn)不等式通用解法常見(jiàn)不等式通用解法總結(jié)一、基礎(chǔ)的一元二次不等式，可化為類似一元二次不等式的不等式 ①基礎(chǔ)一元二次不等式 如，，對(duì)于這樣能夠直接配方或者因式分解的基礎(chǔ)一元二次不等式，重點(diǎn)關(guān)注解區(qū)間的“形狀”。 當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)大于0，不等號(hào)為小于（或小于等于號(hào)）時(shí)，解區(qū)間為兩根的中間。的解為 當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)大于0，不等號(hào)為大于（或大于等于號(hào)）時(shí)，解區(qū)間為兩根的兩邊。的解為 當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)小于0時(shí)，化成二次項(xiàng)系數(shù)大于0的情況考慮。 ②可化為類似一元二次不等式的不等式（換元） 如，令，原不等式就變?yōu)椋偎愠鰐的范圍，進(jìn)而算出x的范圍 又如，令，再對(duì)a進(jìn)行分類討論來(lái)確定不等式的解集 ③含參數(shù)的一元二次不等式 解法步驟總結(jié)：序號(hào)步驟1首先判定二次項(xiàng)系數(shù)是否為0，為0則化為一元一次不等式，再分類討論2二次項(xiàng)系數(shù)非0，將其化為正的，討論判別式的正負(fù)性，從而確定不等式的解集3若可以直接看出兩根，或二次式可以因式分解，則無(wú)需討論判別式，直接根據(jù)不同的參數(shù)值比較兩根大小4綜上，寫出解集 如不等式，首先發(fā)現(xiàn)二次項(xiàng)系數(shù)大于0，而且此不等式無(wú)法直接看出兩根，所以，討論的正負(fù)性即可。此不等式的解集為 又如不等式，發(fā)現(xiàn)其可以通過(guò)因式分解化為，所以只需要判定和的大小即可。此不等式的解集為 又如不等式，注意：有些同學(xué)發(fā)現(xiàn)其可以因式分解，就直接寫成，然后開(kāi)始判斷兩根和的大小關(guān)系，這樣做是有問(wèn)題的。 事實(shí)上，這個(gè)題目中并沒(méi)有說(shuō)此不等式一定是一元二次不等式，所以參數(shù)是有可能為0的。討論完的情況再討論和的情況。所以此不等式的解集應(yīng)該是： 注意，和時(shí)解區(qū)間的狀況不同，一種為中間，一種為兩邊。二、數(shù)軸標(biāo)根法（又名穿針引線法）解不等式 這種問(wèn)題的一般形式是（或） 步驟： ①將不等式化為標(biāo)準(zhǔn)式，一段為0，另一端為一次因式的乘積（注意！系數(shù)為正）或二次不可約因式（二次項(xiàng)系數(shù)為正）。 ②畫出數(shù)軸如下，并從最右端上方起，用曲線自右向左一次由各根穿過(guò)數(shù)軸。 ③記數(shù)軸上方為正，下方為負(fù)，根據(jù)不等式的符號(hào)寫出解集。 例如，求不等式的解集，畫出圖如下，發(fā)現(xiàn)解集為 為什么數(shù)軸標(biāo)根法是正確的呢？對(duì)于不等式來(lái)說(shuō)，要滿足四項(xiàng)相乘為正，說(shuō)明①四項(xiàng)均正，解集為②兩正兩負(fù)，只能是正，負(fù)，此時(shí)解集為③四項(xiàng)均負(fù)，解集為。綜上，解集為這三種情況的并集。當(dāng)不等式左側(cè)有奇數(shù)項(xiàng)的時(shí)候同理。 由此可知，遇到奇數(shù)個(gè)一次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)的情況，如果不把系數(shù)化為正的，結(jié)果一定是錯(cuò)誤的。 注意，這種方法要靈活使用，若不等式為，使用數(shù)軸標(biāo)根法得到的解集顯然和上述不一樣，因?yàn)槭桥即雾?xiàng)，必然非負(fù)，所以在“穿針引線”時(shí)，可以忽略，或者可以記住口訣“奇穿偶不穿”。 的示意圖見(jiàn)下。三、解分式不等式 分式不等式的解題思路，前面講了一些不等式的求解，都是講不等式的一邊化為0，另一邊為含x的多項(xiàng)式。把一個(gè)分式不等式經(jīng)過(guò)移項(xiàng)和通分處理，最終總能化為（或的形式），此時(shí)解就可以解出原不等式的解集。 特別地，若要解，則解即可。 例如，移項(xiàng)化簡(jiǎn)得，使用穿針引線法得到解集為，一定要注意分母不為零，而分子可以為零。 例：一道比較復(fù)雜的題，求的解集，現(xiàn)寫出此題的完整解題過(guò)程。 解：原不等式通過(guò)移項(xiàng)通分可化為，由于，所以可以進(jìn)一步化為，兩根為和。 當(dāng)時(shí)，解集為兩根的兩邊，顯然有，所以此時(shí)解集為 當(dāng)時(shí)，解集為兩根中間，此時(shí)必須根據(jù)的取值判斷兩根范圍。 ①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)解集為 ②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)解集為 ③當(dāng)時(shí)，，此時(shí)解集為 至此，的所有值都討論完畢，所以這道題討論到這樣就結(jié)束了 當(dāng)然，如果這道題不給的限制條件，只需要再討論一下時(shí)的解集情況即可。 補(bǔ)充內(nèi)容：一類經(jīng)典但易錯(cuò)的分式不等式問(wèn)題 ①求的解集 ②求的解集 ③求的解集 ④求的解集 ⑤求的解集 解答：①②③④⑤，注意①②的區(qū)別四、絕對(duì)值不等式 對(duì)于含有絕對(duì)值的不等式，解題思想為 ①直接脫去絕對(duì)值符號(hào) ， ②構(gòu)造函數(shù)，數(shù)形結(jié)合 ③在不等式的一端有多個(gè)絕對(duì)值時(shí)，使用零點(diǎn)分段法分類討論（分類討論思想隨處可見(jiàn)） ④平方法（不等式兩邊都是非負(fù)時(shí)才能用，慎用） 例：圖形法某經(jīng)典問(wèn)題，解不等式，先畫出的圖像如下，然后分類討論的取值，通過(guò)觀察和的圖像，來(lái)確定不等式的解集情況。 ①當(dāng)時(shí)，的圖像在的圖像上方，除了點(diǎn)，此時(shí)顯然不等式無(wú)解②當(dāng)時(shí)，的圖像與的圖像交點(diǎn)為，此時(shí)的解集為③當(dāng)時(shí)，的圖像與的圖像交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，此時(shí)解集為④當(dāng)時(shí)，的圖像與的圖像交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，此時(shí)解集為 當(dāng)然此題使用也可以做，化成，只是在討論的時(shí)候需要細(xì)心，考慮到的所有取值。 絕對(duì)值不等式的零點(diǎn)分段法，以及特別的做題技巧 例如，發(fā)現(xiàn)不等號(hào)左邊有兩個(gè)絕對(duì)值，所以應(yīng)該根據(jù)兩個(gè)不同的零點(diǎn)分段討論 ①當(dāng)時(shí)，原不等式化為，解得 ②當(dāng)時(shí)，原不等式化為，顯然無(wú)解 ③當(dāng)時(shí)，原不等式化為，解得 綜上，原不等式的解集為三種情況下的并集（注意，為什么是并集而不是交集？）， 技巧：可以將絕對(duì)值看成距離，也就是將看成數(shù)軸上點(diǎn)到點(diǎn)1的距離，將看成到-2的距離，若畫出數(shù)軸，發(fā)現(xiàn)位于區(qū)間的點(diǎn)（綠色點(diǎn)）到區(qū)間端點(diǎn)的距離之和為3，位于區(qū)間之外的點(diǎn)到區(qū)間端點(diǎn)的距離之和大于3，特別地，在2處和-3處距離之和為5，所以令繼續(xù)遠(yuǎn)離區(qū)間，發(fā)現(xiàn)距離之和大于5。 也就是說(shuō)的取值范圍是 同理，遇到減號(hào)的情況，例如，發(fā)現(xiàn)其取值范圍是 此技巧常用于填空題，既可以求不等式解集，又可以求參數(shù)的范圍。 例1：若存在實(shí)數(shù)使得不等式成立，則的取值范圍是？（答案） 例2：不等式的解集是？（答案）