第三章(3)非周期信號的頻譜

1、周期信號的頻譜2、周期信號頻譜的特點3、周期信號的功率譜3.4非周期信號的頻譜

前已指出，當(dāng)周期趨于無限大時，相鄰譜線的間隔趨近于無窮小，從而信號的頻譜密集成為連續(xù)頻譜。同時，各頻率分量的幅度也都趨近于無窮小，不過，這些無窮小量之間仍保持一定的比例關(guān)系。

為了描述非周期信號的頻譜特性，引入頻譜密度的概念。

令稱

為頻譜密度函數(shù)。一、傅里葉變換.當(dāng)周期

趨近于無限大時，

趨近于無窮小，取其為

，而

將趨近于

，

是變量，當(dāng)

時，它是離散值，當(dāng)

趨近于無限小時，它就成為連續(xù)變量，取為

，求和符號改為積分。

由式

，

可得如何求頻譜密度函數(shù)？于是當(dāng)

時，式成為（1）式稱為函數(shù)

的傅里葉變換

。（2）式稱為函數(shù)

的傅里葉逆變換。

稱為

的頻譜密度函數(shù)或頻譜函數(shù).

稱為

的原函數(shù)。

簡記為

?

與周期信號的傅里葉級數(shù)相類似，在f(t)是實函數(shù)時，

F(ω)、φ(ω)與R(ω)、

X(ω)相互之間存在下列關(guān)系：

是

的偶函數(shù)。是

的奇函數(shù)。

在f(t)是實函數(shù)時：

(1)若f(t)為t的偶函數(shù)，即f(t)=f(-t)，則f(t)的頻譜函數(shù)F(jω)為ω的實函數(shù)，

且為ω的偶函數(shù)。

(2)若f(t)為t的奇函數(shù)，即f(-t)=-f(t)，則f(t)的頻譜函數(shù)F(jω)為ω的虛函數(shù)，且為ω的奇函數(shù)。

與周期信號類似，也可將非周期信號的傅里葉變換表示式改寫成三角函數(shù)的形式，即

結(jié)論：上式表明，非周期信號可看作是由不同頻率的余弦“分量”所組成，它包含了頻率從零到無限大的一切頻率“分量”。由式可見，

相當(dāng)于各“分量”的振幅，它是無窮小量。

所以信號的頻譜不能再用幅度表示，而改用密度函數(shù)來表示。類似于物質(zhì)的密度是單位體積的質(zhì)量，函數(shù)

可看作是單位頻率的振幅，稱

為頻譜密度函數(shù)。例3.4-1下圖所示為門函數(shù)（或稱矩形脈沖），用符號

表示，其寬度為

，幅度為

。求其頻譜函數(shù)。0二、典型信號的傅里葉變換解：

如圖所示的門函數(shù)可表示為其頻譜函數(shù)為圖

3.4-1門函數(shù)及其頻譜一般而言，信號的頻譜函數(shù)需要用幅度譜

和相位譜

兩個圖形才能將它完全表示出來。但如果頻譜函數(shù)是實函數(shù)或虛函數(shù)，那么只用一條曲線即可。

為負(fù)代表相位為

，

為正代表相位為

。00實偶實偶由圖可見，第一個零值的角頻率為

（頻率

）。

當(dāng)脈沖寬度減小時，第一個零值頻率也相應(yīng)增高。對于矩形脈沖，常取從零頻率到第一個零值頻率

之間的頻段為信號的頻帶寬度。

這樣，門函數(shù)的帶寬

，脈沖寬度越窄，其占有的頻帶越寬。0(時域越窄,頻域越寬)例3.4-2求下圖所示的單邊指數(shù)函數(shù)的頻譜函數(shù).0t圖

3.4-2單邊指數(shù)函數(shù)解:將單邊指數(shù)函數(shù)的表示式

代入到式

中得：這是一復(fù)函數(shù),將它分為模和相角兩部分：幅度譜和相位譜分別為：頻譜圖如下圖所示：()0-/2/2(b)相位頻譜圖

3.4-3單邊指數(shù)函數(shù)01/(a)振幅頻譜例

3.4-3求下圖所示雙邊指數(shù)信號的頻譜函數(shù)。

et10tf1(t)e-t解：上圖所示的信號可表示為：或者寫為將

代入到式

，可得其頻譜函數(shù)為：其頻譜圖如下所示

：F1(j)02/實偶實偶et10tf1(t)e-t例3.4-4求下圖所示信號的頻譜函數(shù)。-et10tf2(t)e-t-1解:上圖所示的信號可寫為

：（其中

)-et10tf2(t)e-t-1其頻譜圖如下圖所示：X2()01/-1/實奇虛奇-et10tf2(t)e-t-1例3.4-5求沖激函數(shù)的頻譜

?即單位沖激函數(shù)的頻譜是常數(shù)

，如下圖所示。其頻譜密度在區(qū)間

處處相等，常稱為“均勻譜”或“白色頻譜”。

0t

(t)01F(j)(a)(b)圖

3.4-6單位沖激函數(shù)的頻譜沖激函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)的頻譜函數(shù)為

：?按沖激函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義

：可知即

?同理可得?例3.4-6求單位直流信號的頻譜顯然，該信號不滿足絕對可積條件，但其傅里葉變換卻存在。它可以看作是函數(shù)

當(dāng)

時的極限

。則直流信號的頻譜函數(shù)也應(yīng)是

的頻譜函數(shù)

當(dāng)

時的極限。

0et1tf1(t)e-t所以

即

?當(dāng)

趨近于零時我們已經(jīng)知道

的頻譜函數(shù)為：f1(t)0t1234(a)432102

()(b)圖3.4-7求

[1]的極限過程?02

()(b)0t1(a)圖

3.4-8直流信號的頻譜例3.4-7

求符號函數(shù)的頻譜符號函數(shù)定義為顯然,該函數(shù)也不滿足絕對可積條件。函數(shù)可看作函數(shù)：當(dāng)時的極限。則它的頻譜函數(shù)也是

的頻譜函數(shù)

，當(dāng)

時的極限。

我們已知

的頻譜函數(shù)為：它是

的奇函數(shù)，在

處

。

因此，當(dāng)

趨近于零時，有

：于是得?它在

處的值等于零。0tSgn(t)1-1(a)X()0(b)

圖

3.4-9sgn(t)及其頻譜例3.4-8求階躍函數(shù)的頻譜

對上式兩邊進行傅里葉變換，得

:????

圖

3.5-11(t)及其頻譜0

()R()X()0R()

()-1/X()0-1/1/20t10t1/20t-1/