上海市市東中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

上海市市東中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)，若是的導(dǎo)函數(shù)，則函數(shù)在原點(diǎn)附近的圖象大致是（

）

A

B

C

D參考答案：A2.已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，且左、右焦點(diǎn)分別為，這兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為,是以為底邊的等腰三角形。若，橢圓與雙曲線的離心率分別為，則的取值范圍是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：知識(shí)點(diǎn)：橢圓雙曲線H5H6B解析：設(shè)橢圓的長軸長為2a，雙曲線的實(shí)軸長為2m，則，所以，又由三角形性質(zhì)知2c+2c＞10，由已知2c＜10,c＜5,所以5＞,1＜，，所以，則選B.【思路點(diǎn)撥】遇到圓錐曲線上的點(diǎn)與其焦點(diǎn)關(guān)系時(shí)通常利用其定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.3.已知三棱錐S﹣ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=2，則此棱錐的體積為（）A． B． C． D．參考答案：A考點(diǎn)：球內(nèi)接多面體；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．專題：壓軸題．分析：先確定點(diǎn)S到面ABC的距離，再求棱錐的體積即可．解答：解：∵△ABC是邊長為1的正三角形，∴△ABC的外接圓的半徑∵點(diǎn)O到面ABC的距離，SC為球O的直徑∴點(diǎn)S到面ABC的距離為∴棱錐的體積為故選A．點(diǎn)評(píng)：本題考查棱錐的體積，考查球內(nèi)角多面體，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)S到面ABC的距離．4.設(shè)集合，則M∩N的所有子集個(gè)數(shù)為（

）A．3

B．4

C．7

D．8參考答案：B5.已知為正實(shí)數(shù),則A.

B.

C.

D.參考答案：D略6.已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）．當(dāng)x≠0時(shí)，f′（x）+＞0．若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），則a、b、c的大小關(guān)系是(

)A．a(chǎn)＜b＜C B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a(chǎn)＜c＜b參考答案：D【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】根據(jù)式子得出F（x）=xf（x）為R上的偶函數(shù)，利用f′（x）+＞0．當(dāng)x＞0時(shí)，x?f′（x）+f（x）＞0，當(dāng)x＜0時(shí)，x?f′（x）+f（x）＜0，判斷單調(diào)性即可證明a，b，c的大小．【解答】解：∵定義域?yàn)镽的奇函數(shù)y=f（x），∴F（x）=xf（x）為R上的偶函數(shù)，F(xiàn)′（x）=f（x）+xf′（x）∵當(dāng)x≠0時(shí)，f′（x）+＞0．∴當(dāng)x＞0時(shí)，x?f′（x）+f（x）＞0，當(dāng)x＜0時(shí)，x?f′（x）+f（x）＜0，即F（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，在（﹣∞，0）單調(diào)遞減．F（）=a=f（）=F（ln），F(xiàn)（﹣2）=b=﹣2f（﹣2）=F（2），F(xiàn)（ln）=c=（ln）f（ln）=F（ln2），∵ln＜ln2＜2，∴F（ln）＜F（ln2）＜F（2）．即a＜c＜b故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性的運(yùn)用，根據(jù)給出的式子，得出需要的函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷即可，屬于中檔題．7.在等差數(shù)列{an}中，a1+3a8+a15=60，則2a﹣a10的值為（）A．6 B．8 C．12 D．13參考答案：C【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】由已知條件利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解．【解答】解：在等差數(shù)列{an}中，∵a1+3a8+a15=60，∴a1+3（a1+7d）+a1+14d=5（a1+7d）=60，∴a1+7d=12，2a﹣a10=2（a1+8d）﹣（a1+9d）=a1+7d=12．故選：C．8.焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程為+=1（a＞b＞0），短軸的一個(gè)端點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)相連構(gòu)成一個(gè)三角形，該三角形內(nèi)切圓的半徑為，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)AB=2c，AC=AB=a，OC=b，根據(jù)三角形面積相等求得a和c的關(guān)系，由e=，即可求得橢圓的離心率．【解答】解：由橢圓的性質(zhì)可知：AB=2c，AC=AB=a，OC=b，SABC=AB?OC=?2c?b=bc，SABC=（a+a+2c）?r=?（2a+2c）×=，∴=bc，a=2c，由e==，故答案選：C．9.已知集合，，則(

)A、{｜0＜＜}B、{｜＜＜1}C、{｜0＜＜1}D、{｜1＜＜2}參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】集合A1【答案解析】B解析：解：由題意可求出，所以B正確.【思路點(diǎn)撥】分別求出集合的取值，再求交集.10.若全集U=｛x∈R|x2≤4}

A=｛x∈R||x+1|≤1}的補(bǔ)集CuA為A|x∈R|0＜x＜2|

B

|x∈R|0≤x＜2|C|x∈R|0＜x≤2|

D

|x∈R|0≤x≤2|

參考答案：C全集,，所以,選C.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊過點(diǎn)，則________.參考答案：【命題意圖】本小題主要考查三角函數(shù)的定義、三角恒等變等基礎(chǔ)知識(shí)；考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力等；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想等；考查邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等．【試題簡析】解法一：由已知可得，所以.解法二：由已知可得，所以.【變式題源】（2015全國卷Ⅰ·理5）已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊在直線上，則=（A）

（B）

（C）

（D）12.如圖，在梯形ABCD，，，，，且，則的值為______.參考答案：【分析】將轉(zhuǎn)化為用來表示，解方程求得的值.【詳解】依題意,，解得.

13.函數(shù)f（x）=lg（x2﹣ax﹣1）在區(qū)間（1，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，則a的取值范圍是

．參考答案：a≤0【考點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．【專題】計(jì)算題．【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵循的規(guī)律：同增異減判斷出t的單調(diào)性；對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0得到不等式恒成立；利用二次函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱軸有關(guān)及不等式恒成立轉(zhuǎn)化為最值問題．【解答】解：令t=x2﹣ax﹣1則y=lgt∵y=lgt在（0，+∞）遞增又∵函數(shù)f（x）=lg（x2﹣ax﹣1）在區(qū)間（1，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，∴t=x2﹣ax﹣1在區(qū)間（1，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，且

x2﹣ax﹣1＞0在（1，+∞）恒成立所以≤1且1﹣a﹣1≥0解得a≤0故答案為a≤0【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵循的規(guī)律：同增異減、考查二次函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱軸有關(guān)、考查不等式恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的范圍．14.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是________．參考答案：略15.設(shè)A=37+C7235+C7433+C763，B=C7136+C7334+C7532+1，則A﹣B=．參考答案：128【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；二項(xiàng)式定理．【分析】作差，利用二項(xiàng)式定理，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵A=37+C7235+C7433+C763，B=C7136+C7334+C7532+1，∴A﹣B=37﹣C7136+C7235﹣C7334+C7433﹣C7532+C763﹣1=（3﹣1）7=128．故答案為：128．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．16.函數(shù)f（x）=sinxcosx+cos2x的減區(qū)間是．參考答案：

【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．【分析】由三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=sin（2x+）+．結(jié)合正弦函數(shù)圖象的性質(zhì)來求其單調(diào)減區(qū)間．【解答】解：f（x）=sinxcosx+cos2x=sin2x+（1+cos2x）=sin（2x+）+．所以2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z．所以函數(shù)f（x）=sinxcosx+cos2x的減區(qū)間是kπ+≤x≤kπ+，k∈Z．故答案是：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二倍角公式，涉及三角函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題．17.從一堆蘋果中任取了20只，并得到它們的質(zhì)量（單位：克）數(shù)據(jù)分布表如下：分組頻數(shù)12310

1則這堆蘋果中，質(zhì)量不小于120克的蘋果數(shù)約占蘋果總數(shù)的

％．參考答案：答案：70解析：由表中可知這堆蘋果中，質(zhì)量不小于120克的蘋果數(shù)為:故約占蘋果總數(shù)的.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=2cosθ，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線L的參數(shù)方程是（t為參數(shù)）．（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線L的普通方程；（2）設(shè)點(diǎn)P（m，0），若直線L與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且|PA|?|PB|=1，求實(shí)數(shù)m的值．參考答案：【考點(diǎn)】參數(shù)方程化成普通方程；簡單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】（1）曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=2cosθ，化為ρ2=2ρcosθ，利用可得直角坐標(biāo)方程．直線L的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），把t=2y代入+m消去參數(shù)t即可得出．（2）把（t為參數(shù)），代入方程：x2+y2=2x化為：+m2﹣2m=0，由△＞0，得﹣1＜m＜3．利用|PA|?|PB|=t1t2，即可得出．【解答】解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=2cosθ，化為ρ2=2ρcosθ，可得直角坐標(biāo)方程：x2+y2=2x．直線L的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得．（2）把（t為參數(shù)），代入方程：x2+y2=2x化為：+m2﹣2m=0，由△＞0，解得﹣1＜m＜3．∴t1t2=m2﹣2m．∵|PA|?|PB|=1=|t1t2|，∴m2﹣2m=±1，解得，1．又滿足△＞0．∴實(shí)數(shù)m=1，1．19.(14分)

已知ΔABC三個(gè)頂點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為A(3，4)、B(0，0)、(，0)．

(1)若，求的值；(2)若，求sin∠A的值．參考答案：解析：(1),由

，即-3(c-3)+(-4)2=0。有c=(2)當(dāng)c=5時(shí)，進(jìn)而20.已知函數(shù)，。

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在[1，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）記函數(shù)，若的最小值是－6，求函數(shù)的解析式。參考答案：（1）若，則函數(shù)（），所以（）令，得，解得，令，得，解得，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（，），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，）。（2）若在[1，+∞）上單調(diào)遞增，則，，

即，，也即，。

令（），則，

所以在[1，+∞）上單調(diào)遞減，從而，因此。（3）因?yàn)椋裕ǎ?/p>

當(dāng)時(shí)，，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，無最小值；

當(dāng)時(shí)，令，得，

令，得，令，得。

所以在（0，）單調(diào)遞減，在（，+）單調(diào)遞增。

所以。

由已知，的最小值是-6，所以，，兩邊平方得，，即，解得。因此函數(shù)=。21.（本題滿分14分）（原創(chuàng)題）已知數(shù)列、滿足：，，

（Ⅰ）求（Ⅱ）求使成立的正整數(shù)的集合.參考答案：解：（1）---------，------------------------

0.70（2），由得即-----------------------------------------當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，即得-------當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，即得-------所以正整數(shù)的集合為-------------------------

0.6022.已知函數(shù)（I）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（II）對(duì)任意的，恒有，求正實(shí)數(shù)λ的取值范圍．參考答案：考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（I）先確定函數(shù)的定義域然后求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），再對(duì)字母a分類討論，在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出單調(diào)區(qū)間．（II）根據(jù)第一問的單調(diào)性，知f（x）在[1，2]上為減函數(shù)．若x1=x2，則原不等式恒成立；若x1≠x2，不妨設(shè)1≤x1＜x2≤2，則f（x1）＞f（x2），，所以原不等式進(jìn)行化簡整理得f（x1）﹣≤f（x2）﹣對(duì)任意的，恒成立，令g（x）=f（x）﹣，轉(zhuǎn)化成研究g（x）在[1，2]的單調(diào)性，再利用導(dǎo)數(shù)即可求出正實(shí)數(shù)λ的取值范圍．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x﹣（2a+2）+=（x＞0）令f′（x）=0，得x1=2a+1，x2=1

…（1分）①a=0時(shí)，f′（x）=，所以f（x）增區(qū)間是（0，+∞）；②a＞0時(shí)，2a+1＞1，所以f（x）增區(qū)間是（0，1）與（2a+1，+∞），減區(qū)間是（1，2a+1）③﹣＜a＜0時(shí)，0＜2a+1＜1，所以f（x）增區(qū)間是