遼寧省丹東市鳳城四門子中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測試題含解析

遼寧省丹東市鳳城四門子中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知集合，則

A．

B．

C．

D．參考答案：A略2.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】數(shù)列的求和．【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可得出．【解答】解：由已知得數(shù)列{an}的公比滿足q3==，解得q=，∴a1=2，a3=，故數(shù)列{anan+1}是以2為首項(xiàng)，公比為=的等比數(shù)列，∴a1a2+a2a3+…+anan+1==∈，故選：C．3.設(shè)=x+yi（x，y∈R，i為虛數(shù)單位），則模|x﹣yi|=（）A．1 B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡等式左邊，再由復(fù)數(shù)相等的條件求得x，y值，最后代入復(fù)數(shù)模的公式求得答案．【解答】解：∵，∴x=y=，則|x﹣yi|=||=．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．4.我們把正切函數(shù)在整個定義域內(nèi)的圖像看作一組“平行曲線”,而“平行曲線”具有性質(zhì):任意兩條平行直線與兩條相鄰的“平行曲線”相交,被截得的線段長度相等．已知函數(shù)(＞0)圖像中的兩條相鄰“平行曲線”與直線相交于、兩點(diǎn)，且，則

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B5.已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（﹣1）=f（3）=1，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示．則不等式f（x）＜1的解集是(

) A．（﹣1，0） B．（﹣1，3） C．（0，3） D．（﹣∞，﹣1）（3，+∞）參考答案：B考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，即可得到結(jié)論．解答： 解：由函數(shù)的圖象可知，當(dāng)x＞0時，函數(shù)f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x＜0時，函數(shù)f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，且當(dāng)x=0時，函數(shù)取得極小值f（0），∵f（﹣1）=f（3）=1，∴當(dāng)0≤x＜3時，f（x）＜1，當(dāng)﹣1＜x＜0時，f（x）＜1，綜上不等式f（x）＜1的解為當(dāng)﹣1＜x＜3時，即不等式的解集為（﹣1，3），故選：B點(diǎn)評：本題主要考查不等式的解法，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．6.已知圓關(guān)于直線對稱，則圓的方程為A.

B.C.

D.

參考答案：B7.若函數(shù)f(x)=cos2x+3a(sinx－cosx)+(4a－1)在[，0]上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．[，1]B．[－1，]C．(－∞，]∪[1，+∞) D．[1，+∞）參考答案：D【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡求值．【分析】利用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)研究原函的單調(diào)性即可得答案．【解答】解：函數(shù)，則f′（x）=﹣sin2x+3a（cosx+sinx）+4a﹣1．∵函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞增，可得f′（）≥0，且f′（0）≥0，即，解得：a≥1．∴得實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，+∞）．故選D．8.若（1+i）z=﹣2i，則復(fù)數(shù)z=.i

.-i

.-1+i

.-1-i參考答案：D9.設(shè)為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（

）

A．－4

B．－4i

C．4

D．4i參考答案：A略10.α，β表示不重合的兩個平面，m，l表示不重合的兩條直線．若α∩β=m，l?α，l?β，則“l(fā)∥m”是“l(fā)∥α且l∥β”的（）A．充分且不必要條件 B．必要且不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：C【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合線面平行的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：充分性：∵α∩β=m，∴m?α，m?β，∵l∥m，l?α，l?β，∴l(xiāng)∥α，l∥β，必要性：過l作平面γ交β于直線n，∵l∥β，∴l(xiāng)∥n，若n與m重合，則l∥m，若n與m不重合，則n?α，∵l∥α，∴n∥α，∵n?β，α∩β=m，∴n∥m，故l∥m，故“l(fā)∥m”是“l(fā)∥α且l∥β”的充要條件，故選：C【點(diǎn)評】本題主要考查充分條件和必要條件的判定，根據(jù)空間直線和平面平行的位置關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)，若，則的取值范圍是______.參考答案：【分析】求得時的導(dǎo)數(shù)，可得單調(diào)性和極值，畫出的圖象，可得，再由二次函數(shù)的單調(diào)性，可得所求范圍．【詳解】由的導(dǎo)數(shù)為，當(dāng)，函數(shù)遞減；當(dāng)時，可得函數(shù)遞增，即有處函數(shù)取得極大值，作出函數(shù)的圖象，可得，由，可得，且在遞減，即有時，；時，，可得的取值范圍是．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的圖象和應(yīng)用：求范圍，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)性和極值，以及二次函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．12.在正三棱錐S-ABC中，側(cè)面SAB、側(cè)面SAC、側(cè)面SBC兩兩垂直，且側(cè)棱，

則正三棱錐外接球的表面積為____

_.參考答案：36π略13.若，則實(shí)數(shù)a的值是_________.參考答案：14.已知雙曲線，且雙曲線的一條漸近線截圓所得弦長為，則雙曲線的離心率為

.參考答案：略15.對于一切實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．參考答案：略16.已知知函數(shù)f（x）=，x∈R，則不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是．參考答案：（1，2）考點(diǎn)：其他不等式的解法．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用．分析：討論x的符號，去絕對值，作出函數(shù)的圖象，由圖象可得原不等式即為或，分別解出它們，再求并集即可．解答：解：當(dāng)x≥0時，f（x）==1，當(dāng)x＜0時，f（x）==﹣1﹣，作出f（x）的圖象，可得f（x）在（﹣∞，0）上遞增，不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）即為或，即有或，解得≤x＜2或1＜x＜，即有1＜x＜2．則解集為（1，2）．故答案為：（1，2）．點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用：解不等式，主要考查二次不等式的解法，屬于中檔題和易錯題17.已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的最小值是_______．參考答案：－1試題分析：如圖所示,當(dāng)在時取最小值,此時.考點(diǎn)：簡單的線性規(guī)劃.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.請你設(shè)計一個包裝盒，如圖所示，是邊長為的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得四個點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，在上，是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點(diǎn)。設(shè)。(Ⅰ）若廣告商要求包裝盒的側(cè)面積最大，試問應(yīng)取何值？(Ⅱ）包裝盒的容積最大時，應(yīng)取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長之比。參考答案：（1）時最大；（2）時，體積最大，比值為。略19.（12分）（2014?青島二模）已知函數(shù)f（x）=ex+ax，g（x）=ax﹣lnx，其中a＜0，e為自然對數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）若g（x）在（1，g（1））處的切線l與直線x﹣3y﹣5=0垂直，求a的值；（Ⅱ）求f（x）在x∈[0，2]上的最小值；（Ⅲ）試探究能否存在區(qū)間M，使得f（x）和g（x）在區(qū)間M上具有相同的單調(diào)性？若能存在，說明區(qū)間M的特點(diǎn)，并指出f（x）和g（x）在區(qū)間M上的單調(diào)性；若不能存在，請說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．

【專題】綜合題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）利用g（x）在（1，g（1））處的切線l與直線x﹣3y﹣5=0垂直，可得g（x）在（1，g（1））處的切線斜率為﹣3，利用導(dǎo)數(shù)，即可求a的值；（Ⅱ）分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求f（x）在x∈[0，2]上的最小值；（Ⅲ）分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，可得能否存在區(qū)間M，使得f（x）和g（x）在區(qū)間M上具有相同的單調(diào)性．【解答】解：（Ⅰ）∵g（x）=ax﹣lnx，∴g（1）=a，，∵g（x）在（1，g（1））處的切線l與直線x﹣3y﹣5=0垂直，∴…（3分）（Ⅱ）f（x）的定義域?yàn)镽，且f'（x）=ex+a．令f'（x）=0，得x=ln（﹣a）．

…（4分）若ln（﹣a）≤0，即﹣1≤a＜0時，f′（x）≥0，f（x）在x∈[0，2]上為增函數(shù)，∴f（x）min=f（0）=1；…（5分）若ln（﹣a）≥2，即a≤﹣e2時，f′（x）≤0，f（x）在x∈[0，2]上為減函數(shù)，∴；…（6分）若0＜ln（﹣a）＜2，即﹣e2＜a＜﹣1時，由于x∈[0，ln（﹣a））時，f'（x）＜0；x∈（ln（﹣a），2]時，f'（x）＞0，∴f（x）min=f（ln（﹣a））=aln（﹣a）﹣a綜上可知f（x）min=…（8分）（Ⅲ）g（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且．∵a＜0時，∴g'（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．…（9分）令f'（x）=0，得x=ln（﹣a）①若﹣1≤a＜0時，ln（﹣a）≤0，在（ln（﹣a），+∞）上f'（x）＞0，∴f（x）單調(diào)遞增，由于g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，∴不能存在區(qū)間M，使得f（x）和g（x）在區(qū)間M上具有相同的單調(diào)性；…（10分）②若a＜﹣1時，ln（﹣a）＞0，在（﹣∞，ln（﹣a））上f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；在（ln（﹣a），+∞）上f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．由于g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，∴存在區(qū)間M?（0，ln（﹣a）]，使得f（x）和g（x）在區(qū)間M上均為減函數(shù)．綜上，當(dāng)﹣1≤a≤0時，不能存在區(qū)間M，使得f（x）和g（x）在區(qū)間M上具有相同的單調(diào)性；當(dāng)a＜﹣1時，存在區(qū)間M?（0，ln（﹣a）]，使得f（x）和g（x）在區(qū)間M上均為減函數(shù)．…（13分）【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．20.（本小題滿分14分）若正數(shù)項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)，點(diǎn)在曲線上.（1）求；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）設(shè),表示數(shù)列的前項(xiàng)和,若恒成立，求及實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以.分別取和，得到，由解得，.…………………4分（2）由得.所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列所以，

即…………6分由公式，得所以…………………………8分（3）因?yàn)?，所以，…………………?0分顯然是關(guān)于的增函數(shù)，所以有最小值，…………………12分由于恒成立，所以，…………………13分于是的取值范圍為.……………14分

略21.（本小題滿分14分）已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓過點(diǎn)，離心率為，（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線過橢圓的右焦點(diǎn),且交橢圓于兩點(diǎn),是否存在實(shí)數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.參考答案：（1）（2）見解析

【知識點(diǎn)】橢圓的性質(zhì)；直線與橢圓的位置關(guān)系H5H8解析：（1）由橢圓過點(diǎn)，可得…………1分又，

……………2分解得：，………………3分所以橢圓方程為

……………………4分（2）若直線斜率不存在，則可得,于是;

……………6分若直線的斜率存在,設(shè)其方程為:由,可得, 設(shè),則有,……………8分由于=而……10分=

=

=

=

=

……………12分==

綜上所述，即：存在實(shí)數(shù)，使得恒成立

…14分【思路點(diǎn)撥】（1）由橢圓過點(diǎn)，代入解得基本量即可；（2）對直線斜率分類討論，若直線斜率不存在得，直線的斜率存在，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系關(guān)系，用已知條件可得結(jié)果。22.（本小題12分）如圖所示幾何體中，平面PAC⊥平面