2020-2021學(xué)年江蘇省蘇州市吳中區(qū)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2020-2021學(xué)年江蘇省蘇州市吳中區(qū)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（5分）已知復(fù)數(shù)＝3+bi，其中a，b∈R，i是虛數(shù)單位，則a﹣b＝（）A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．52．（5分）已知向量，，當(dāng)取最大值時(shí)，銳角θ的值為（）A． B． C． D．3．（5分）已知向量，滿足，，，則向量與的夾角的余弦值為（）A． B． C． D．4．（5分）△ABC中，，，則tan（2A+2B）＝（）A． B． C． D．﹣115．（5分）在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，則的值為（）A． B． C． D．6．（5分）騎自行車是一種環(huán)保又健康的運(yùn)動(dòng)，圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓A（前輪），圓D（后輪）的半徑均為，△ABE、△BEC、△ECD均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形．設(shè)點(diǎn)P為后輪上的一點(diǎn)，則在騎動(dòng)該自行車的過(guò)程中，的最大值為（）A．48 B．36 C．72 D．607．（5分）對(duì)向量，定義一種運(yùn)算“?”：，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在定義域?yàn)椋?，π）的曲線y＝cosx上，點(diǎn)Q在曲線y＝f（x）上運(yùn)動(dòng)，且（其中為O坐標(biāo)原點(diǎn)），若，＝（，1），若，則sin2t的值是（）A． B． C． D．8．（5分）在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，△ABC的面積為S，若sin（A+C）＝，則tanC+的最小值為（）A． B．2 C．1 D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．（多選）9．（5分）已知復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）A． B．z3+1＝0 C．z2+z+1＝0 D．z2+z4+1＝0（多選）10．（5分）筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用．如圖，一個(gè)半徑為4m的筒車按逆時(shí)針?lè)较蛎糠昼娹D(zhuǎn)1.5圈，筒車的軸心O距離水面的高度為2米．設(shè)筒車上的某個(gè)盛水筒P到水面的距離為d（單位：m）（在水面下則d為負(fù)數(shù)），若以盛水筒P剛浮出水面時(shí)開(kāi)始計(jì)算時(shí)間，則d與時(shí)間t（單位：s）之間的關(guān)系為d＝Asin（ωt+φ）+K（A＞0，ω＞0，）．則以下說(shuō)法正確的有（）A．K＝2 B．ω＝ C． D．盛水筒出水后到達(dá)最高點(diǎn)的最小時(shí)間為（多選）11．（5分）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，則以下說(shuō)法正確的有（）A．恒有AC2+BD2＝2（AB2+AD2）成立 B．恒有成立 C．若DO＝3，AC＝10，則 D．若，，則（多選）12．（5分）在△ABC中，，M是BC中點(diǎn)，以下說(shuō)法正確的是（）A．若AC＝2BC，則 B．若，則 C．若，AB＝1，則 D．若BC＝2，則當(dāng)sin∠BAM取得最大值時(shí)，三、填空題（每題5分，共20分）13．（5分）已知單位向量，的夾角為60°，與垂直，則k的值為．14．（5分）設(shè)，是平面內(nèi)的一組基底，若，λ1、λ2∈R，則cosλ1＝；復(fù)數(shù)1+itanλ2（i為虛數(shù)單位）的模是．15．（5分）已知△ABC外接圓半徑為，且滿足，||＝，則sin2A﹣sin2B的值為．16．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）＝2sin（ωx+φ）﹣1（ω＞0），若對(duì)于任意實(shí)數(shù)，f（x）在區(qū)間[，]上至少有2個(gè)零點(diǎn)，至多有3個(gè)零點(diǎn)，則ω的取值范圍是．四、解答題（17題10分，18-22題12分，共70分）17．（10分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）請(qǐng)從下面兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件，求sinA的值；①，；②a＝3，．（2）若，a+c＝3，求△ABC的面積．18．（12分）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上．（1）若點(diǎn)F是CD上靠近C的三等分點(diǎn)，設(shè)＝λ+μ，求λ+μ的值；（2）若AB＝，BC＝2，求?的取值范圍．19．（12分）已知α∈（0，π），，且＝．（1）求sinα﹣cosα的值；（2）若β∈（π，2π），tan（α﹣β）＝7，求β的值．20．（12分）由于2020年1月份國(guó)內(nèi)疫情暴發(fā)，經(jīng)濟(jì)活動(dòng)大范圍停頓，餐飲業(yè)受到重大影響．6月初政府在個(gè)別地區(qū)推行地?cái)偨?jīng)濟(jì)、小店經(jīng)濟(jì)以刺激消費(fèi)和促進(jìn)就業(yè)．某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)者吳某準(zhǔn)備在商場(chǎng)門前“擺地?cái)偂?，?jīng)營(yíng)冷飲生意．已知該商場(chǎng)門前是一塊角形區(qū)域，如圖所示，其中∠APB＝120°，且在該區(qū)域內(nèi)點(diǎn)R處有一個(gè)路燈，經(jīng)測(cè)量點(diǎn)R到區(qū)域邊界PA，PB的距離分別為RS＝4m，RT＝6m，（m為長(zhǎng)度單位）．吳某準(zhǔn)備過(guò)點(diǎn)R修建一條長(zhǎng)椅MN（點(diǎn)M，N分別落在PA，PB上，長(zhǎng)椅的寬度及路燈的粗細(xì)忽略不計(jì)），以供購(gòu)買冷飲的人休息．（1）求線段PR的長(zhǎng)；（2）為優(yōu)化經(jīng)營(yíng)面積，當(dāng)PM等于多少時(shí)，該三角形PMN區(qū)域面積最??？并求出面積的最小值．21．（12分）函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＜0，|φ|＜）的部分圖象如圖所示，將y＝f（x）的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)y＝g（x）的圖象．（1）求函數(shù)y＝g（x）的解析式；（2）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C滿足2sin2＝g（C+）+1，且其外接圓的半徑為1，求△ABC的面積的最大值．22．（12分）設(shè)偶函數(shù)f（x）＝5cosθsinx﹣5sin（x﹣θ）+（4tanθ﹣3）sinx﹣5sinθ（θ為常數(shù)）且f（x）的最小值為﹣6．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）設(shè)g（x）＝λf（ωx）﹣f（ωx+），λ＞0，ω＞0，且g（x）的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱和點(diǎn)（，3﹣3λ）對(duì)稱，若g（x）在[0，]上單調(diào)遞增，求λ和ω的值．

2020-2021學(xué)年江蘇省蘇州市吳中區(qū)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（5分）已知復(fù)數(shù)＝3+bi，其中a，b∈R，i是虛數(shù)單位，則a﹣b＝（）A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5【分析】把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由復(fù)數(shù)相等的條件列式求得a與b的值，則答案可求．【解答】解：由＝3+bi，得2﹣ai＝（3+bi）i＝﹣b+3i，∴，即a＝﹣3，b＝﹣2，∴a﹣b＝﹣3﹣（﹣2）＝﹣1．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)相等的條件，是基礎(chǔ)題．2．（5分）已知向量，，當(dāng)取最大值時(shí)，銳角θ的值為（）A． B． C． D．【分析】利用向量的數(shù)量積，結(jié)合兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)求解即可．【解答】解：向量，，＝sinθ+cosθ＝2（sinθcos+sincosθ）＝2sin（θ+），當(dāng)θ＝時(shí)，取最大值2．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的數(shù)量積的求法，三角函數(shù)的在，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．3．（5分）已知向量，滿足，，，則向量與的夾角的余弦值為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)條件可求出，根據(jù)進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算可求出的值，然后即可求出與夾角的余弦值．【解答】解：∵，∴，＝，∴＝．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量長(zhǎng)度的求法，向量夾角的余弦公式，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）△ABC中，，，則tan（2A+2B）＝（）A． B． C． D．﹣11【分析】由已知求得tanB，再由兩角和的正切求tan（A+B），再由二倍角的正切求解．【解答】解：在△ABC中，∵，∴sinB＝，則tanB＝，又tanA＝，∴tan（A+B）＝＝，∴tan（2A+2B）＝tan2（A+B）＝．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、兩角和的正切及倍角公式，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．5．（5分）在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，則的值為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意和三角形的面積公式求出c，再由余弦定理求出a的值，代入化簡(jiǎn)即可．【解答】解：因?yàn)锳＝60°，b＝1，S△ABC＝，所以，解得c＝4，由余弦定理得，a2＝b2+c2﹣2bccosA＝1+16﹣2×1×4×＝13，則a＝，所以＝＝，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了余弦定理，以及三角形的面積公式，熟練掌握定理和公式是解題的關(guān)鍵．6．（5分）騎自行車是一種環(huán)保又健康的運(yùn)動(dòng)，圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓A（前輪），圓D（后輪）的半徑均為，△ABE、△BEC、△ECD均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形．設(shè)點(diǎn)P為后輪上的一點(diǎn)，則在騎動(dòng)該自行車的過(guò)程中，的最大值為（）A．48 B．36 C．72 D．60【分析】以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸負(fù)半軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，計(jì)算可得，由此即可求得最大值．【解答】解：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸負(fù)半軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，點(diǎn)P在以D為圓心，為半徑的圓上，可設(shè)，∴，∴＝，顯然當(dāng)時(shí)，取得最大值60．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量數(shù)量積最大值的求解，涉及了三角函數(shù)的恒等變換及性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想及運(yùn)算能力，屬于中檔題．7．（5分）對(duì)向量，定義一種運(yùn)算“?”：，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在定義域?yàn)椋?，π）的曲線y＝cosx上，點(diǎn)Q在曲線y＝f（x）上運(yùn)動(dòng)，且（其中為O坐標(biāo)原點(diǎn)），若，＝（，1），若，則sin2t的值是（）A． B． C． D．【分析】依題意可得，進(jìn)而得到，求得，，再通過(guò)配角展開(kāi)計(jì)算即得解．【解答】解：設(shè)Q（x，y），P（α，cosα），則，∴，∴，則，∴，∴，∴，則，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查三角函數(shù)的恒等變換，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．8．（5分）在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，△ABC的面積為S，若sin（A+C）＝，則tanC+的最小值為（）A． B．2 C．1 D．【分析】利用正弦定理和余弦定理化簡(jiǎn)，求出sin（B﹣C）＝sinC，可得tan（B﹣C）＝tanC，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：由sin（A+C）＝，得sinB＝＝，所以b2＝c2+ac，由b2＝a2+c2﹣2accosB，得a﹣2ccosB＝c，利用正弦定理sinA﹣2sinCcosB＝sinC，sinBcosC+cosBsinC﹣2sinCcosB＝sinBcosC﹣cosBsinC＝sinC，即sin（B﹣C）＝sinC，∵銳角△ABC中，∴tan（B﹣C）＝tanC，∴tanC+＝tanC+≥2＝，當(dāng)且僅當(dāng)tanC＝時(shí)取等號(hào)．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形面積的計(jì)算公式、正弦定理、和差公式、基本不等式的性質(zhì)．考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．（多選）9．（5分）已知復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）A． B．z3+1＝0 C．z2+z+1＝0 D．z2+z4+1＝0【分析】由已知分別計(jì)算四個(gè)選項(xiàng)得答案．【解答】解：∵，∴，∴，故A正確；又＝，＝＝1，＝，∴z3+1＝2，故B錯(cuò)誤；z2+z+1＝0，故C正確；z2+z4+1＝0，故D正確．故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．（多選）10．（5分）筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用．如圖，一個(gè)半徑為4m的筒車按逆時(shí)針?lè)较蛎糠昼娹D(zhuǎn)1.5圈，筒車的軸心O距離水面的高度為2米．設(shè)筒車上的某個(gè)盛水筒P到水面的距離為d（單位：m）（在水面下則d為負(fù)數(shù)），若以盛水筒P剛浮出水面時(shí)開(kāi)始計(jì)算時(shí)間，則d與時(shí)間t（單位：s）之間的關(guān)系為d＝Asin（ωt+φ）+K（A＞0，ω＞0，）．則以下說(shuō)法正確的有（）A．K＝2 B．ω＝ C． D．盛水筒出水后到達(dá)最高點(diǎn)的最小時(shí)間為【分析】由已知可得A、ω、φ、K的值，得到函數(shù)解析式，取d＝6求得t的值，從而得解．【解答】解：∵筒車按逆時(shí)針?lè)较蛎糠昼娹D(zhuǎn)1.5圈，∴T＝＝40，則ω＝＝，故B正確；振幅A為筒車的半徑，即A＝4，K＝＝2，故A正確；由題意，t＝0時(shí)，d＝0，∴0＝4sinφ+2，即sinφ＝﹣，∵，∴φ＝﹣，故C錯(cuò)誤；d＝4sin（t﹣）+2，由d＝6，得6＝4sin（t﹣）+2，∴sin（t﹣）＝1，∴t﹣＝+2kπ，k∈Z，得t＝+40k，k∈Z．∴當(dāng)k＝0時(shí)，t取最小值為（s），故D正確．故選：ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，考查y＝Asin（ωx+φ）+k型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．（多選）11．（5分）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，則以下說(shuō)法正確的有（）A．恒有AC2+BD2＝2（AB2+AD2）成立 B．恒有成立 C．若DO＝3，AC＝10，則 D．若，，則【分析】根據(jù)即可得出選項(xiàng)A正確；可得出，從而判斷選項(xiàng)B錯(cuò)誤；可得出，從而判斷出C錯(cuò)誤；可得出，從而得出D正確．【解答】解：∵，∴，，∴，∴A正確；∵＝，∴B錯(cuò)誤；∵DO＝OB＝3，AO＝OC＝5，∴＝，∴C錯(cuò)誤；∵，∴，∴D正確．故選：AD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量加法的平行四邊形法則，向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量坐標(biāo)的減法運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．（多選）12．（5分）在△ABC中，，M是BC中點(diǎn)，以下說(shuō)法正確的是（）A．若AC＝2BC，則 B．若，則 C．若，AB＝1，則 D．若BC＝2，則當(dāng)sin∠BAM取得最大值時(shí)，【分析】利用直角三角中的正切值計(jì)算即可判斷選項(xiàng)A；利用正弦定理及直角三角形中的正弦公式可得＝，設(shè)AC＝x，CM＝BM＝y(tǒng)，利用勾股定理即可求得x與y的關(guān)系式，從而可計(jì)算tan∠BAC，即可判斷選項(xiàng)B；利用勾股定理即可求得AM，從而判斷選項(xiàng)C；由正弦定理可得sin∠BAM＝?，設(shè)AC＝x，可得sin∠BAM＝，再由基本不等式即可求得當(dāng)sin∠BAM取得最大值時(shí)，AC的值，從而可判斷選項(xiàng)D．【解答】解：對(duì)于A，若AC＝2BC，且M是BC中點(diǎn)，則AC＝4CM，所以在Rt△ACM中，tan∠MAC＝＝＝，故A正確；對(duì)于B，若，由正弦定理＝，所以sinB＝sin∠BAM＝＝，因?yàn)閟inB＝，所以＝，設(shè)AC＝x，CM＝BM＝y(tǒng)，所以＝，整理得x4﹣4x2y2+4y4＝（x2﹣2y2）2＝0，所以x2﹣2y2＝0，所以x＝y(tǒng)，所以tan∠BAC＝＝＝，故B正確；對(duì)于C，若，AB＝1，則BC＝ABsin∠BAC＝，所以CM＝BC＝，AC＝＝，所以AM＝＝，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由＝，可得sin∠BAM＝sinB＝?，設(shè)AC＝x，則sin∠BAM＝?＝≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)＝x2，即x＝時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)sin∠BAM取得最大值時(shí)，，故D正確．故選：ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查命題真假的判斷，解三角形，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．三、填空題（每題5分，共20分）13．（5分）已知單位向量，的夾角為60°，與垂直，則k的值為．【分析】根據(jù)題意，求出?的值，由向量垂直的判斷方法可得（）?＝k2+?＝0，計(jì)算可得k的值，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，單位向量，的夾角為60°，則?＝，若與垂直，則（）?＝k2+?＝k+＝0，解可得：k＝﹣；故答案為：﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量數(shù)量積的計(jì)算，涉及向量垂直的判斷，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）設(shè)，是平面內(nèi)的一組基底，若，λ1、λ2∈R，則cosλ1＝1；復(fù)數(shù)1+itanλ2（i為虛數(shù)單位）的模是2．【分析】由已知求得λ1與λ2的值，可得cosλ1，由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式得復(fù)數(shù)1+itanλ2的模．【解答】解：∵，是平面內(nèi)的一組基底，且，∴λ1＝0，，則，k∈Z，即，∴cosλ1＝cos0＝1；tanλ2＝tan（）＝tan，則復(fù)數(shù)1+itanλ2的模為．故答案為：1；2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．15．（5分）已知△ABC外接圓半徑為，且滿足，||＝，則sin2A﹣sin2B的值為．【分析】由已知條件可作圖如圖所示，且，再由正弦定理轉(zhuǎn)化可得，而，進(jìn)而求得答案．【解答】解：＝，其中H為AB靠近A的三等分點(diǎn)，如圖所示，則CH⊥AB，且，由正弦定理可知，，則，∴，又CH⊥AB，則，∴．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量與正弦定理的綜合運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合思想及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．16．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）＝2sin（ωx+φ）﹣1（ω＞0），若對(duì)于任意實(shí)數(shù)，f（x）在區(qū)間[，]上至少有2個(gè)零點(diǎn)，至多有3個(gè)零點(diǎn)，則ω的取值范圍是．【分析】原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y＝sint在區(qū)間上至少有2個(gè)，至多有3個(gè)t，使得，求ω得取值范圍，作出可知，滿足條件可最短區(qū)間長(zhǎng)度為，最長(zhǎng)區(qū)間長(zhǎng)度為，由此建立關(guān)于ω的不等式，解出即可．【解答】解：令f（x）＝0，則，令t＝ωx+φ，則，則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y＝sint在區(qū)間上至少有2個(gè)，至多有3個(gè)t，使得，求ω得取值范圍，作出y＝sint與的圖象，如圖所示，由圖可知，滿足條件可最短區(qū)間長(zhǎng)度為，最長(zhǎng)區(qū)間長(zhǎng)度為，∴，解得．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．四、解答題（17題10分，18-22題12分，共70分）17．（10分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）請(qǐng)從下面兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件，求sinA的值；①，；②a＝3，．（2）若，a+c＝3，求△ABC的面積．【分析】（1）選擇條件①b＝，c＝，由余弦定理求出a的值，再用正弦定理求出sinA，選擇條件②a＝3，c＝，由余弦定理求出b的值，再用正弦定理求出sinA．（2）由余弦定理求出ac的值，再用面積公式求出△ABC的面積．【解答】解：（1）選擇條件①b＝，c＝，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，得5＝a2+2﹣2×a××，即a2﹣2a﹣3＝0，所以a＝3或a＝﹣1，∵a＞0，∴a＝3，由正弦定理，得sinA＝＝．選擇條件②a＝3，c＝，由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB＝9+2﹣2×3××＝5，∴b＝，由正弦定理，得sinA＝＝．（2）由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB得5＝a2+c2﹣ac，所以5＝（a+c）2﹣（2+）ac＝9﹣（2+）ac，得ac＝4﹣2，所以S△ABC＝acsinB＝﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦定理，正弦定理，三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．18．（12分）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上．（1）若點(diǎn)F是CD上靠近C的三等分點(diǎn)，設(shè)＝λ+μ，求λ+μ的值；（2）若AB＝，BC＝2，求?的取值范圍．【分析】（1）由題意用、表示出，求出λ、μ的值，求和即可．（2）建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示、，計(jì)算?的取值范圍即可．【解答】解：（1）由題意知＝+，因?yàn)镋是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F是CD上靠近C的三等分點(diǎn)，所以＝+，在矩形ABCD中，＝，＝﹣，所以＝﹣+，即λ＝﹣，μ＝，則λ+μ＝﹣+＝．（2）以AB、AD分別為x、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)F（x，2），其中0≤x≤；則：A（0，0），E（，1）；＝（x，2），＝（x﹣，1）；所以?＝x2﹣x+2＝+，其中0≤x≤；當(dāng)x＝時(shí)?取得最小值為，x＝0或時(shí)?取得最大值為2，所以?的取值范圍是[，2]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算問(wèn)題，也考查了運(yùn)算求解能力，是中檔題．19．（12分）已知α∈（0，π），，且＝．（1）求sinα﹣cosα的值；（2）若β∈（π，2π），tan（α﹣β）＝7，求β的值．【分析】（1）由已知條件求得、，然后代入＝求得，再利用完全平方公式求得，結(jié)合角的取值范圍對(duì)所求的結(jié)果進(jìn)行取舍即可；（2）聯(lián)立方程組并解答求得，然后利用兩角和與差的正切三角函數(shù)解答．【解答】解：（1）由題意得，，∴，∴，∴，∴，又∵α∈（0，π），∴sinα＞0，cosα＜0，∴；（2）聯(lián)立，解得，∴，∴，即，解得tanβ＝1，又∵β∈（π，2π），∴．【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，考查計(jì)算能力．20．（12分）由于2020年1月份國(guó)內(nèi)疫情暴發(fā)，經(jīng)濟(jì)活動(dòng)大范圍停頓，餐飲業(yè)受到重大影響．6月初政府在個(gè)別地區(qū)推行地?cái)偨?jīng)濟(jì)、小店經(jīng)濟(jì)以刺激消費(fèi)和促進(jìn)就業(yè)．某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)者吳某準(zhǔn)備在商場(chǎng)門前“擺地?cái)偂?，?jīng)營(yíng)冷飲生意．已知該商場(chǎng)門前是一塊角形區(qū)域，如圖所示，其中∠APB＝120°，且在該區(qū)域內(nèi)點(diǎn)R處有一個(gè)路燈，經(jīng)測(cè)量點(diǎn)R到區(qū)域邊界PA，PB的距離分別為RS＝4m，RT＝6m，（m為長(zhǎng)度單位）．吳某準(zhǔn)備過(guò)點(diǎn)R修建一條長(zhǎng)椅MN（點(diǎn)M，N分別落在PA，PB上，長(zhǎng)椅的寬度及路燈的粗細(xì)忽略不計(jì)），以供購(gòu)買冷飲的人休息．（1）求線段PR的長(zhǎng)；（2）為優(yōu)化經(jīng)營(yíng)面積，當(dāng)PM等于多少時(shí)，該三角形PMN區(qū)域面積最??？并求出面積的最小值．【分析】（1）連接PR，連結(jié)ST，在△RST中，由余弦定理求得ST，再由正弦定理求PR；（2）由三角形PMN的面積相等可得，再由基本不等式求PM?PN的最小值，即可求得三角形PMN面積的最小值．【解答】解：（1）連接PR，連結(jié)ST，∵RS⊥PA，RT⊥PB，∠APB＝120°，∴∠SRT＝60°，在△RST中，由余弦定理：ST2＝RS2+RT2﹣2RS?RTcos∠SRT＝28，則，∵∠RSP＝∠RTP＝90°，∴S，T均在以PR為直徑的圓上，因此PR為△RST的外接圓直徑，由正弦定理知：；（2）由＝，S△PMN＝S△PRM+S△PRN＝＝2PM+3PN，∴，得PM?PN≥128，當(dāng)且僅當(dāng)，即PM＝8時(shí)取等號(hào)，∴．故當(dāng)時(shí)，三角形PMN面積取最小值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查關(guān)鍵實(shí)際問(wèn)題性質(zhì)函數(shù)模型，考查三角形的解法，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．21．（12分）函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＜0，|φ|＜）的部分圖象如圖所示，將y＝f（x）的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)y＝g（x）的圖象．（1）求函數(shù)y＝g（x）的解析式；（2）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C滿足2sin2＝g（C+）+1，且其外接圓的半徑為1，求△ABC的面積的最大值．【分析】（1）由圖知周期T，利用周期公式求出ω，由f（）＝1，結(jié)合|φ|＜求出φ，利用三角函數(shù)圖象平移求出g（x）的解析式；（2）利用三角函數(shù)恒等變換與三角形內(nèi)角和定理，化簡(jiǎn)求C的值，由正弦、余弦定理，基本不等式求出ab≤1，從而求出三角形面積的最大值．【解答】解：（1）由圖知，＝4×（+），解得ω＝2；∵f（）＝sin（2×+φ）＝1，∴2×+φ＝2kπ+，k∈Z，解得φ＝2kπ+，k∈Z，由于|φ|＜，因此φ＝；∴f（x）＝sin（2x+），∴f（x﹣）＝sin[2（x﹣）+]＝sin（2x﹣），即函數(shù)y＝g（x）的解析式為g（x）＝sin（2x﹣）；（2）∵2sin2＝g（C+）+1，∴1﹣cos（A+B）＝1+sin（2C+），∵cos（A+B）＝﹣cosC，sin（2C+）＝cos2C，cosC＝cos2C，即cosC＝2cos2C﹣1