遼寧省大連市綜合高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理月考試卷含解析

遼寧省大連市綜合高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知橢圓，長(zhǎng)軸在y軸上，若焦距為4，則m等于(

)A．4

B．5

C．7

D．8參考答案：D2.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+22+…+2n+1=2n+2﹣1（n∈N*）的過(guò)程中，在驗(yàn)證n=1時(shí)，左端計(jì)算所得的項(xiàng)為（）A．1 B．1+2 C．1+2+22 D．1+2+22+23參考答案：C【考點(diǎn)】RG：數(shù)學(xué)歸納法．【分析】通過(guò)表達(dá)式的特點(diǎn)，直接寫出結(jié)果即可．【解答】解：用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+22+…+2n+1=2n+2﹣1（n∈N*）的過(guò)程中，左側(cè)的特點(diǎn)是，由1一直加到2n+1項(xiàng)結(jié)束．所以在驗(yàn)證n=1時(shí)，左端計(jì)算所得的項(xiàng)為：1+2+22．故選：C．3.中，

、，則AB邊的中線對(duì)應(yīng)方程為

(

)A．

B．

C．

D．

參考答案：D4.已知是等比數(shù)列，，，則…（

）

A．

B．

C．D．參考答案：C由得，

又…+=…+=+…5.已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為F（3，0），離心率等于，則C的方程是（）A．

B．C．

D．參考答案：B略6.在△ABC中，a=+1,

b=－1,

c=，則△ABC中最大角的度數(shù)為（

）

A.600

B.900

C.1200

D.1500參考答案：C7.已知橢圓及以下3個(gè)函數(shù)：①f(x)＝x；②f(x)＝sinx；③f(x)＝cosx．其中函數(shù)圖像能等分該橢圓面積的函數(shù)個(gè)數(shù)有()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．0個(gè)參考答案：B8.“a≠1或b≠3”是“a?b≠3”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要參考答案：B【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據(jù)互為逆否命題的真假一致，將判斷“a≠1或b≠3”是“a?b≠3”成立的什么條件轉(zhuǎn)換為判斷a?b=3是a=1且b=3成立的什么條件．【解答】解：由題意得：∵命題若a≠1或b≠3則a?b≠3與命題若a?b=3則a=1且b=3互為逆否命題，因?yàn)楫?dāng)a=，b=6有a?b=3，所以“命題若a?b=3則a=1且b=3”顯然是假命題，所以命題若a≠1或b≠，3則a?b≠3是假命題，所以a≠1或b≠3推不出a?b≠3，不是充分條件；“若a=1且b=3則a?b=3”是真命題，∴命題若a?b≠3則≠1或b≠3是真命題，∴a?b≠3?a≠1或b≠3，是必要條件，“a≠1或b≠3”是“a?b≠3”的必要不充分條件．故選：B．9.由直線，x=2，曲線及x軸所圍成的平面圖形的面積是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D如圖，。

10.已知橢圓：+=1，直線l：y=x+5，橢圓上任意點(diǎn)P，則點(diǎn)P到直線l的距離的最大值（）A．3 B．2 C．3 D．2參考答案：A【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】利用橢圓的參數(shù)方程，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再由點(diǎn)到直線的距離及輔助角公式，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求出P到直線l最大值．【解答】解：因?yàn)镻是橢圓+=1上任意點(diǎn)，可設(shè)P（2cosθ，sinθ），其中θ∈[0，2π）；因此點(diǎn)P到直線y=x+5，的距離是d==，其中tanα=；∴當(dāng)sin（θ+α）=﹣1時(shí)，d取得最大值，點(diǎn)P到直線l的距離的最大值=3．故選A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角為60°，則|a－b|＝_________.參考答案：略12.四川地震災(zāi)區(qū)在黨的領(lǐng)導(dǎo)下積極恢復(fù)生產(chǎn)、重建家園時(shí)，某工廠需要建一個(gè)面積為512m2的矩形堆料場(chǎng)，一邊可以利用原有的墻壁，其他三面砌新的墻壁，當(dāng)砌墻所用的材料最省時(shí)，堆料場(chǎng)的長(zhǎng)和寬分別為

參考答案：略13.﹣=．參考答案：【考點(diǎn)】二倍角的余弦．【分析】把所求的式子利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用特殊角的三角函數(shù)值，即可得到所求式子的值．【解答】解：cos2﹣sin2=cos（2×）=cos=．故答案為：14.如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米．水位下降1米后，水面寬為米．參考答案：2【考點(diǎn)】拋物線的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】先建立直角坐標(biāo)系，將A點(diǎn)代入拋物線方程求得m，得到拋物線方程，再把y=﹣3代入拋物線方程求得x0進(jìn)而得到答案．【解答】解：如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2=my，將A（2，﹣2）代入x2=my，得m=﹣2∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0=，故水面寬為2m．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查拋物線的應(yīng)用．考查了學(xué)生利用拋物線解決實(shí)際問(wèn)題的能力．15.定義“”為雙曲正弦函數(shù),“”為雙曲余弦函數(shù),它們與正、余弦函數(shù)有某些類似的性質(zhì),如:等,請(qǐng)你再寫出一個(gè)類似的性質(zhì):參考答案：16.已知復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m=

▲

．參考答案：±2由復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，可得，解得，故答案為.

17.已知函數(shù)f（x）是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）=4x，則f（﹣）+f（1）=．參考答案：﹣2【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】根據(jù)f（x）是周期為2的奇函數(shù)即可得到f（﹣）=f（﹣2﹣）=f（﹣）=﹣f（），利用當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）=4x，求出f（﹣），再求出f（1），即可求得答案．【解答】解：∵f（x）是定義在R上周期為2的奇函數(shù)，∴f（﹣）=f（﹣2﹣）=f（﹣）=﹣f（）∵x∈（0，1）時(shí)，f（x）=4x，∴f（﹣）=﹣2，∵f（x）是定義在R上周期為2的奇函數(shù)，∴f（﹣1）=f（1），f（﹣1）=﹣f（1），∴f（1）=0，∴f（﹣）+f（1）=﹣2．故答案為：﹣2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)．（1）求f（f（5））的值；（2）畫出函數(shù)的圖象．參考答案：【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】（1）直接利用分段函數(shù)求解函數(shù)值即可．（2）利用分段函數(shù)畫出函數(shù)的圖象即可．【解答】解：（1）函數(shù)．f（f（5））=f（﹣5+2）=f（﹣3）=﹣3+4=1．（2）函數(shù)．的圖象如圖：19.已知是邊長(zhǎng)為的正方形ABCD的中心，點(diǎn)E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，沿對(duì)角線AC把正方形ABCD折成直二面角D-AC-B；（Ⅰ）求∠EOF的大??；

（Ⅱ）求二面角E-OF-A的余弦值；

（Ⅲ）求點(diǎn)D到面EOF的距離.

參考答案：解（Ⅰ）以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，以的方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，，，，，

（Ⅱ）設(shè)平面EOF的法向量為，則，即，令，則，得，又平面FOA的法向量為，，二面角E-OF-A的余弦值為.

（Ⅲ），∴點(diǎn)D到平面EOF的距離為.

20.（本小題12分）為了調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者幫助，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如下：

性別是否需要男女需要4030不需要160270

①估計(jì)該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例。②能否有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？附：P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828參考答案：解：（1）需要幫助的老年人的比例估計(jì)值為

(4分)

（2）

(8分)

∴

(10分)

∴有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān)。

(12分)略21.（2016秋?邢臺(tái)期末）已知雙曲線的離心率為e，經(jīng)過(guò)第一、三象限的漸近線的斜率為k，且e≥k．（1）求m的取值范圍；（2）設(shè)條件p：e≥k；條件q：m2﹣（2a+2）m+a（a+2）≤0．若p是q的必要不充分條件，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（1）由已知得：，，利用e≥k，m＞0，即可求m的取值范圍；（2）求出q的等價(jià)結(jié)論，利用p是q的必要不充分條件，求a的取值范圍．【解答】解：（1）由已知得：，，∵，∴，解得m≤3，∵m＞0，∴0＜m≤3，即m的取值范圍（0，3]．（2）∵m2﹣（2a+2）m+a（a+2）≤0，∴（m﹣a）（m﹣a﹣2）≤0，即a≤m≤a+2，∵p是q的必要不充分條件，∴解得0＜a≤1，即a的取值范圍為（0，1]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查充要條件，知識(shí)綜合性強(qiáng)．22.已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax＋1，a∈R．(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ)求所有的實(shí)數(shù)a，使得不等式－1≤f(x)≤1對(duì)x∈[0，]恒成立．參考答案：．(Ⅰ)

f′(x)＝3x2－3a．當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)≥0恒成立，故f(x)的增區(qū)間是(－∞，＋∞)．當(dāng)a＞0時(shí)，由f′(x)＞0，得x＜－

或x＞，故f(x)的增區(qū)間是(－∞，－]和[，＋∞