代數系統(tǒng)群環(huán)與域

代數系統(tǒng)群環(huán)與域演示文稿目前一頁\總數四十九頁\編于十八點（優(yōu)選）第篇代數系統(tǒng)群環(huán)與域目前二頁\總數四十九頁\編于十八點12-2運算及其性質

定義12-2.1~6

設和為集合A上的二元運算:

若xy(x,yA→xyA),則稱在A上封閉。若xy(x,yA→xy=yx),則稱滿足交換律。若xyz(x,y,zA→x(yz)=(xy)z),則稱滿足結合律。若xyz(x,y,zA→x(yz)=(xy)(xz))

，則稱對滿足分配律。若xy(x,yA→x(xy)=x,x(xy)=x)

，則稱和滿足吸收律。若x

(xA→xx=x)

，則稱滿足等冪律。

目前三頁\總數四十九頁\編于十八點

定義12-2.7

設為集合A上的二元運算:

若elx(el,xA→elx=x),則稱el為A中的左幺元。若erx(er,xA→xer=x),則稱er為A中的右幺元。若ex(e,xA→ex=xe=x),則稱e為A中的幺元。

定理12-2.1

代數結構<A，>有關于運算的幺元e，當且僅當它同時有關于運算的左幺元el和右幺元er

。并且其所含幺元是唯一的,即el=er=e

。

證明：先證左幺元el=右幺元er=e

el=eler=er=e

再證幺元e是唯一的設還有一個幺元e’A,則

e’=

e’

e=

e

目前四頁\總數四十九頁\編于十八點

定義12-2.8如果lA，滿足:對一切xA，都有

lx=l則稱元素l

為左零元。如果rA，滿足:對一切xA，都有

xr＝r則稱元素r

為右零元。如果A且對任意xA，都有

x＝x＝則稱元素為代數結構<A，>(關于運算)的零元(zero)。

定理12-2.2

代數結構<A，>有關于運算的零元，當且僅當它同時有關于

運算的左零元l和右零元r

。并且其所含零元是唯一的,即l=r=

。目前五頁\總數四十九頁\編于十八點

定理12-2.3

如果代數結構<A，>有關于運算的零元和幺元e

，且集合A中元素個數大于2，則≠e

。

證明：用反證法：

反設幺元e

=零元

，則對于任意xA

，必有

x

=

e

x=

x

==

e

于是，推出A中所有元素都是相同的，矛盾。

證明：先證左零元l=右零元r=

l=l

r=r=

再證零元是唯一的設還有一個幺元

’A,則

’=’

=

目前六頁\總數四十九頁\編于十八點

定義12-2.9設代數結構<A，，e>中為二元運算，e為么元，a,b

為A中元素,若ba＝e，那么稱b為a的左逆元，a為b的右逆元。若ab＝ba＝e，那么稱a(b)為b(a)的逆元（inverseelements）。

x的逆元通常記為x-1;但當運算被稱為“加法運算”（記為+）時，x的逆元可記為-x

。

一般地，一個元素的左逆元不一定等于它的右逆元。一個元素可以有左逆元不一定有右逆元。甚至一個元素的左（右）逆元不一定是唯一的。

目前七頁\總數四十九頁\編于十八點

定理12-2.4

設<A,>有么元e，且運算滿足結合律,那么當A中元素x有左逆元l及右逆元r時,l=r,它們就是x的逆元。并且每個元素的逆元都是唯一的。

證明：先證左逆元=右逆元

設a,b,c，且b是a的左逆元，c是b的左逆元。因為：（ba）b

=eb=b所以：

e=cb=

c(（ba）b

)

=

(c（ba）

)

b=

(（cb）a

)

b=

(（e）a

)

b=ab(b也是a的右逆元)

再證逆元是唯一的

設a有兩個逆元b1和b2，則有

b1=b1

e=

b1

（a

b2

）

=

（

b1

a）

b2=

e

b2=b2

P183~184頁例題10、11、12目前八頁\總數四十九頁\編于十八點

二元運算的性質可以根據運算表表現出來：

1）運算具有封閉性，當且僅當運算表中的每個元素都屬于A。

2）運算具有可交換性，當且僅當運算表關于主對角線是對稱的。

3）運算具有等冪性，當且僅當運算表的主對角線上的每一元素與它所在行（列）的表頭元素相同。

4）A中關于運算具有零元，當且僅當該元素所對應的行和列中的元素都與該元素相同。

5）A中關于運算具有幺元，當且僅當該元素所對應的行和列依次與運算表的行和列相一致。

6）設A中關于運算具有幺元，a和b互逆，當且僅當位于a所在行和b所在列的元素及b所在行和a所在列的元素都是幺元。目前九頁\總數四十九頁\編于十八點

第13章群論13-1半群與幺半群

定義13-1.1如果集合S上的二元運算

是封閉的，則稱代數結構<S，>為廣群。

定義13-1.2如果集合S上的二元運算

是封閉的并且滿足結合律，則稱代數結構<S，>為半群（semigroups）。

定理13-1.1

設<S,>為一半群,BS且在B上封閉，那么<B,>也是一個半群，稱為<S,>的子半群。

證明思路：結合律在B上仍成立。

例題3：乘法運算在某些集合上構成<R,×>的子半群。目前十頁\總數四十九頁\編于十八點

定理13-1.2設代數結構<S，>為一個半群，如果S是一個有限集合，則必有aS

，使得aa=a。

證明思路:因<S,>是半群,對于任意bS，由于的封閉性可知

b

bS記b2=b

bb2

b=b

b2S記b3=b2

b=b

b2………

b,b2,b3,…,bi,…,bq,…,bj(最多有|S|個不同元素)

因S是一個有限集合，所以必存在j>i，使得

bi

=

bj

令

p=j-i

即

j=p+i

代入上式：bi

=

bp

bi

所以，bq

=

bp

bqi≤q

因為p≥1所以總可以找到k≥1，使得kp≥i,

對于bkpS，就有

bkp

=

bp

bkp=

bp(bp

bkp)

=

b2p

bkp=

b2p(bp

bkp)

=...=

bkp

bkp

p=j-i目前十一頁\總數四十九頁\編于十八點

定理13-1.3設<S,,e>是一個獨異點,則在關于運算的運算表中任何兩行或兩列都是不相同的。

定義13-1.3設代數結構<S,>為半群，若<S,>含有關于

運算的么元,則稱它為獨異點(monoid)，或含么半群。

證明:因S

中關于運算的幺元是e，因為對于任意的元素a,bS，且a≠b時，總有

ea=a≠b=eb

和

a

e

=a≠b=b

e

所以，在的運算表中不可能有兩行或兩列是相同的。目前十二頁\總數四十九頁\編于十八點

例題4:因設I是整數集合，m是任意正整數，Zm是由模m的同余類組成的同余類集，在上定義兩個二元運算+m和×m分別如下：對于任意的[i]，[j]Zm

[i]+m[j]=[(i+j)(modm)][i]×m[j]=[(i×j)(modm)]

試證明在這兩個二元運算的運算表中任何兩行或兩列都是不相同的。證明：考察代數結構<Zm,+m>和<Zm,×m>

，先分三步證明<Zm,+m>是獨異點，再利用定理5-3.3的結論：

1）根據運算定義，證明兩個運算在Zm上封閉；

2）根據運算定義，證明兩個運算滿足結合律；

3）根據運算定義，證明[0]是<Zm,+m>的幺元，[1]是<Zm,×m>的幺元。

本例題的實例見表16-1.2和表16-1.3目前十三頁\總數四十九頁\編于十八點

定理13-1.4設<S,,e>是一個獨異點,如果對于任意a,bS

，且a,b均有逆元，則

a)

(a-1)-1=a

b)

(ab)-1有逆元，且(ab)-1

=b-1

a-1

。

證明:

a)

因a-1和a為互為逆元，直接得到結論。

b)

必須證明兩種情況：

(ab)[b-1

a-1

]=e

和[b-1

a-1

]

(ab)=e利用結合律容易得出。目前十四頁\總數四十九頁\編于十八點13-2.2群與子群

定義13-2.1

稱代數結構<G,>為群(groups),如果（1）<G，>中運算是封閉的。（2）<G，>中運算是可結合的。（3）<G，>中有么元e.

（4）<G，>中每一元素x都有逆元x-1。

例題1R={0°,60°,120°,180°,240°,300°},是R上的二元運算，a

b表示先旋轉a再旋轉b的角度，如表5-4.1所示。驗證代數結構<R,>為群。解題思路：驗證<R,>

（1）運算封閉；（2）運算是可結合的；（3）有么元0°;（4）每一元素x都有逆元x-1。目前十五頁\總數四十九頁\編于十八點

定義13-2.2

設<G,>為一群。若G為有限集，則稱<G,>為有限群（finitegroup）,此時G的元素個數也稱G的階(order),記為|G|；否則，稱<G,>為無限群（infinitegroup）。

定理13-2.1

設<G，>為群，那麼當G

{e}時,G無零元。

證明:因當群的階為1時，它的唯一元素是視作幺元e

。設|G|>1

且群有零元。那么群中任何元素xG，都有

x

=

x

=≠

e，所以，零元就不存在，與<G，>是群的假設矛盾。目前十六頁\總數四十九頁\編于十八點

代數結構小結封閉

<G,>廣群半群獨異點群結合含幺可逆<G,>廣群半群獨異點群目前十七頁\總數四十九頁\編于十八點

定理13-2.2

設<G，>為群，對于a,bG，必存在xG

，使得關于x的方程ax＝b，xa＝b都有唯一解．

證明:1）先證解存在性

設a的逆元a-1，令

x=

a-1

b

（構造一個解）

ax＝a

（a-1

b

）＝（aa-1

）

b

＝e

b＝

b2）再證解唯一性若另有解x1滿足ax1

＝b，則

a-1

（ax1）＝a-1

b

x1＝a-1

b

驗證確實是解目前十八頁\總數四十九頁\編于十八點

定理13-2.3

設<G，>為群，那麼，對任意a,x,yS

ax=ay蘊涵x=y

xa=ya蘊涵x=y

G的所有元素都是可約的．因此，群中消去律成立。

證明:設ax＝ac,且a的逆元a-1，則有

a-1（a

b

）＝a-1（a

c

）

e

b＝

e

c

b＝

c

同理可證第二式。

目前十九頁\總數四十九頁\編于十八點

定義13-2.3

設S是一個非空集合，從集合S到S的一個雙射稱為S的一個置換。

設S={a,b,c,d}f:SSf(a)=b;f(b)=d;f(c)=a;f(d)=c表示成如下形式：abcdbdac源象目前二十頁\總數四十九頁\編于十八點

定理13-2.4

設<G，>為群，那麼，運算表中的每一行或每一列都是群G的元素的置換。

證明:先證G中每一個元素只出現一次用反證法：設a對應行有兩個元素b1、b2對應的都是c,即

a

b1＝ab2＝

c,且b1≠

b2

由可約性得b1＝

b2

與假設矛盾。再證G中每一個元素必出現一次對于元素aG的那一行，設b是G中的任意一個元素，由于b=

a（a-1

b）

，所以b必定出現在對應于a的那一行。再由運算表中任何兩行或兩列都是不相同的。得出要證的結論。對列的證明過程類似。

目前二十一頁\總數四十九頁\編于十八點

定理13-2.5在群<G，>中，除幺元e之外，不可能有任何別的等冪元。

定義13-2.4設<G，>為群，如果存在aG，有aa=a

，則稱

a為等冪元。

證明:因為ee=e

，所以e是等冪元。現設aG，a≠e且aa=a

則有

a=ea=(a-1a)a=a-1(aa)=a-1a=e

與假設a≠e且矛盾。目前二十二頁\總數四十九頁\編于十八點

定義13-2.5

設<G，>為群。如果<S，>為G的子代數，且<S，>為一群，則稱<S，>為G的子群(subgroups)。

定理13-2.6

設<G,>為群，<S,>為G的子群，那么，<G,>中的幺元e必定也是<S,>中的幺元。證明:設<G,>中的幺元為e1

，對于任意一個元素

xSG,必有

e1

x=x=ex

則有e1=e

目前二十三頁\總數四十九頁\編于十八點

定義13-2.6

設<G,>為群，<S,>為G的子群，如果，S

={e}或S

={G}，那么稱<S,>為<G,>的平凡子群。

例題3<I,+>是一個群，設IR={x|x=2n,nI}，證明<IR,+>是<I,+>的一個子群。證明:(1)對于任意兩個元素

x，yIR

I,證+運算在IR上封閉。

(2)證+運算在IR上滿足結合律。

(3)<IR,+>在IR上有幺元0。

(4)對于任意一個元素

xIR上必有逆元-x

。目前二十四頁\總數四十九頁\編于十八點

定理13-2.7

設<G,>為群，B為G的非空子集，如果B是一個有限集,那么,只要運算在B上封閉,<B,>必定是<G,>的子群。證明:設任意元素bB，若在B上封閉，則元素

b2=bb,b3=b2b,b4=b3b,...,都在B中。由于是有限集，所以必存在正整數i和j(i<j)，使得

bi=bj

必有bi=bi

bj-i

即bj-i

是<G,>中的幺元。且該幺元也在子集B中。如果j-i>1，則由bj-i

=bbj-I-1可知bj-I-1是b的逆元，且bj-I-1B

；如果j-I=1，則由bi=bib可知b是幺元，而幺元是以自身為逆元的。因此，<B,>必定是<G,>的子群。目前二十五頁\總數四十九頁\編于十八點

定理13-2.8

設<G,△>為群,S為G的非空子集,如果對于任意元素a,bS有a△b-1S,那么,<S,△>必定是<G,△>的子群。分四步證明:1）先證G中的幺元e也是S中的幺元對任意元素aSG,

e=a△

a-1S

且a△e=e△a=a，即e也是S中的幺元。

2）再證S中的每一個元素都有逆元對任意元素aS中，因為eS，

所以e△a-1S，即a-1S。

3）最后證明△在S中是封閉的對任意元素a,bS,b-1S,而b=(b-1)-1

所以a△b=a△=(b-1)-1S。

4）結合律是保持的目前二十六頁\總數四十九頁\編于十八點

定義13-3.1

設<G,>為一群,若

運算滿足交換律,則稱G為交換群或阿貝爾群(Abelgroup)。阿貝爾群又稱加群，常表示為<G，+>

（這里的+

不是數加，而泛指可交換二元運算）。加群的幺元常用0來表示，元素x的逆元常用-x來表示。13-3阿貝爾群和循環(huán)群

定理13-3.1

設<G,>為一群,<G,>是阿貝爾群的充要條件是對任意的a,bG，有

（ab）（ab）=（aa）（bb）目前二十七頁\總數四十九頁\編于十八點

證明:1）先證充分性從條件“（ab）（ab）=（aa）（bb）”出發(fā)，推出“<G,>是阿貝爾群”的結論：對于元素a,bG，有(ab)(ab)=(aa)(bb)

因為右端=a(ab)b=(aa)(bb)=(ab)(ab)

=a(ba)b

即

a(ab)b=a(ba)b

由可約性得，用a-1左上式，再用b-1右上式，

(ab)=(ba)

2）再證必要性從“<G,>是阿貝爾群”的結論出發(fā)，推出“(ab)(ab)=(aa)(bb)”條件：略目前二十八頁\總數四十九頁\編于十八點

定義13-3.2

設<G,>為群，如果在G中存在元素a,使G以{a}為生成集，G的任何元素都可表示為a

的冪（約定e=a0）,稱<G,>為循環(huán)群(cyclicgroup)，這時a稱為循環(huán)群G的生成元（generater）。

定理13-3.2

設任何一個循環(huán)群必定是阿貝爾群。

證明思路:循環(huán)群是阿貝爾群設<G,>是一個循環(huán)群，a是該群的生成元，則對于任意的x,yG

，必有r,sI，使得

x=ar

和y=as

而且xy=aras=ar+s=as+r=aras=yx因此，運算可交換，是阿貝爾群。目前二十九頁\總數四十九頁\編于十八點

定義13-3.3設<G,>為群，aG，如果an=

e,

且n為滿足此式的最小正整數,則稱a的階(order)為n，如果上述n不存在時,則稱a有無限階.

定理13-3.3設<G,>為循環(huán)群，aG是該群的生成元，如果G的階數是n

，即|G|=n

，則an=e,且

G={a,a2,a3,...,an-2,an-1,an=e}其中，e是群<G,>的幺元。n是使的最小正整數。目前三十頁\總數四十九頁\編于十八點

證明思路:先證a的階為n

設對于某個正整數m,m<n,有am=e。那么，由于

<G,>是一個循環(huán)群，所以對于G中任意的元素都能寫為ak(kI),而且mq+r,其中q是某個整數,0≤r<m,則有

ak=amq+r=(am)qar=(e)qar=ar因此，G中每一元素都可寫成ar，G中最多有m個元素。與|G|=n矛盾。所以am=e是不可能的。再用反證法證明a

，a2

，...

，an互不相同。設ai=aj，其中1≤i<j≤n

，就有aj-i=e

，而且1≤j-i<n

，這已經有上面證明是不可能的。

目前三十一頁\總數四十九頁\編于十八點13-4陪集和拉格朗日定理

定義13-4.2

設<H，>為<G，>的子群，那么對任一aG，稱{a}H為H的左陪集(leftcoset),記為aH;稱H{a}為H的右陪集(rightcoset),Ha

。

定義13-4.1

設<G,>為群,A,BP(G),且A≠0，記

AB={ab

aA,bB}和A-1={a-1aA}

分別稱為A，B的積和逆。

定理13-4.1(拉格朗日定理)

設<H，>為<G，>的子群，a,bG，那么（a)R={<a,b>|aG,bG且a-1bH}是G中的一個等價關系。對于aG

，若記[a]R={x|xG且<a,x>R}，則[a]R=aH(b)設<H，>為有限群<G，>的子群，|G|=n,|H|=m,那么H階的整除G的階m|n

。目前三十二頁\總數四十九頁\編于十八點

證明思路:先證（a）

對于任意aG，必有a-1G，使得aa-1=eH，所以<a,a-1>R。關系R是自反的。若<a,b>R。則ab-1H，因為H是G的子群，故(a-1b)-1=b-1aH

所以，<b,a>R。關系R是對稱的。若<a,b>R,<b,c>R。則a-1bH,b-1cH，所以a-1bb-1c=a-1cH，<a,c>R,關系R是傳遞的。證明了關系R是對稱的。是等價關系。對于aG,有b[a]R當且僅當<a,b>R,即當且僅當a-1bH,而a-1bH就是baH。因此[a]R=aH。

目前三十三頁\總數四十九頁\編于十八點

再證(b)

由于R是G中的一個等價關系，所以必定將G劃分成不同的等價類[a1]R，[a2]R，...，[ak]R，使得

kkG=

∪[ai]R

=

∪aiH

i=1i=1

又因為H中任意兩個不同的元素h1,h2,aG，必有ah1≠ah2，所以|aiH|=m,i=1,2,…,k。因此

kkn=|G|=|∪aiH|

=∑|aiH|=

mk

i=1i=1

所以H階的整除G的階m|n

。目前三十四頁\總數四十九頁\編于十八點

推論1

任何指數階的群不可能有非平凡子群。

推論2

設<G,>為n階有限群，那么對于對于任意aG,a的階必是n的因子且必有an=e,這里e是群<G,>的幺元。如果n為質數，則<G,>必是循環(huán)群。目前三十五頁\總數四十九頁\編于十八點

13-5同態(tài)與同構

定義13-5.1

設<A,★>和<B,>是兩個代數系統(tǒng)，★和分別是A和B上的二元運算，f是從A到B的一個映射，使得對任意a1,a2A，有

f(a1★a2)=f(a1)f(a2)（先算后映=先映后算）則稱f為由代數結構<A,★>到<B,>的同態(tài)映射（homomorphism），稱代數結構<A,★>同態(tài)于<B,>，記為A~B

。<f(A),>稱為<A,★>的一個同態(tài)象（imageunderhomomorphism）。其中

f(A)={x|x=f(a),aA}B目前三十六頁\總數四十九頁\編于十八點圖16-5.1同態(tài)映射示意圖

a★cb★cacb<A,★><B,>，

f(a)=f(b)

f(c)f(A)<B,>f(a)f(c)=f(b)f(c)先算后映=先映后算目前三十七頁\總數四十九頁\編于十八點

定義13-5.2、3

設f是由<A,★>到<B,>的一個同態(tài)，當同態(tài)f為單射時，又稱f為單一同態(tài)；當f為滿射時，又稱f為滿同態(tài)；當f為雙射時，又稱f為同構映射，或同構（isomorphism）。當兩個代數結構間存在同構映射時，也稱這兩個代數結構同構。當f為<A,★>到<A,>的同態(tài)（同構）時,稱f為A的自同態(tài)（自同構）。目前三十八頁\總數四十九頁\編于十八點

定理13-5.2設f是由<A,★>到<B,>的一個同態(tài)。（a）如果<A,★>是半群，那么在f作用下，同態(tài)象<f(A),>也是半群。（b）如果<A,★>是獨異點，那么在f作用下，同態(tài)象<f(A),>也是獨異點。（c）如果<A,★>是群，那么在f作用下，同態(tài)象<f(A),>也是群。

證明思路:先證（a）：<f(A),>是半群

.證運算在f(A)上封閉

設<A,★>是半群，<B,>是一個代數結構，如果f是由<A,★>到<B,>的一個同態(tài)。則f(A)

B。對于任意的a，bf(A)

，必有x,yA

，使得

目前三十九頁\總數四十九頁\編于十八點f(x)=a,f(y)=b在A中必有z=x★y,所以

ab=f(x)f(y)=f(x★y)=f(z)f(A).證在f(A)上滿足結合律對于任意的a,b,cf(A),必有x,y,zA,使得

f(x)=a,f(y)=b,f(z)=c

因為在A上是可結合的，所以

a(bc)=f(x)(f(y)f(z))=f(x)f(y★z)=f(x★(y★z))=f((x★y)★z)

=f(x★y)

f(z)

=(f(x)f(y))f(z)=(ab)c

證明了<f(A),>

是半群。

目前四十頁\總數四十九頁\編于十八點

再證（b）：<f(A),>是獨異點設<A,★>是獨異點,e是A中的幺元,那么f(e)是f(A)中的幺元。因對于任意的af(A),必有xA,使得

f(x)=a

所以af(e)=f(x)f(e)=f(x★e)=f(x)=a=f(e★x)=f(e)f(x)=f(e)a

因此f(e)是<f(A),>中的幺元，<f(A),>是獨異點。

目前四十一頁\總數四十九頁\編于十八點

最后證（c）：<f(A),>是群設<A,★>是群,對于任意的af(A),必有xA,使得

f(x)=a

因為<A,★>是群,所以對于任意的xA,都有逆元x-1A，且f(x-1)f(A),而

f(x)f(x-1)=f(x★x-1)=f(e)=f(x-1★x)=f(x-1)f(x)

所以，f(x-1)是f(x)的逆元。即

f(x-1)=[f(x)]-1

因此<f(A),>中的任意元素都有逆元,<f(A),>是群。綜合上述(a)、(b)、(c)三步，定理證畢目前四十二頁\總數四十九頁\編于十八點

定義13-5.4

如果f為代數結構<G,★>到<G’,>的一個同態(tài)映射，G’中有么元e’，那么稱下列集合為f的同態(tài)核（kernelofhomomorphism），記為K(f)。

K(f)={xxG∧f(x)＝e’}

定理13-5.3

設f為群<G,★>到群<G’,>的同態(tài)映射，那么f的同態(tài)核K是G的子群。證明思路:先證★運算在K上封閉

e’=f(e),設k1,k2K,則

f(k1★k2)=f(k1)f(k2)=e’e’=e’

故k1★k2K，★運算在K上封閉。再證K中的元素有逆元而對任意的kK,f(k-1)=[f(k)]-1=e’-1=e’目前四十三頁\總數四十九頁\編于十八點

定義13-5.5設R為代數結構<A,★>的載體A上的等價關系，如果對S中任何元素a1,a2

，b1,b2

<a1,a2>R,<b1,b2>R蘊涵<a1★b1,a2★b2>R則稱R為A上關于二元運算★的同余關系(congruencerelations)。由這個將集合劃分成的等價類就稱為同余類。

定理13-5.4設R為代數結構<A,★>的載體A上的等價關系，B={A1，A2，...，Ar}是由R誘導的A上的一個劃分，那么，必定存在新的代數結構<B,>，它是<A,★>的同態(tài)象。證明思路:在B上定義二元運算為：對于任意的Ai,AjB，任取a1Ai,a2Aj,如果a1★a2Ak,則AiAj

=Ak

。由于R是A上的同余關系,所以,以上定義的AiAj

=Ak是唯一的。

故k-1K。結論得證。目前四十四頁\總數四十九頁\編于十八點作映射f(a)=Aia

Ai顯然，f是從A到B的滿設。對于任意的x,y

A

，x,y必屬于B中的某兩個同余類，不防設xAi,yAj

，1≤i,j≤r，同時，x★y必屬于B中某個同余類，不防設x★yAk

，于是就有

f(x★y)=Ak=

AiAj=f(x)f(y)因此是由到的滿同態(tài)，即<B,>是<A,★>的同態(tài)象。

定理13-5.5設f是由<A,★>到<B,>的一個同態(tài)映射,如果在A上定義二元關系R為<a,b>R,當且僅當

f(a)=f(b)那么，R是A上的一個同余關系。證明思路:因為f(a)=f(a)

，所以<a,a>R

。若<a,b>R

,則f(a)=f(b)

即f(b)=f(a),所以<b,a>R

。若<a,b>R,<b,c>R則f(a)=f(b)=f(c),所以<a,c>R

。目前四十五頁\總數四十九頁\編于十八點第14章環(huán)與域

定義14-1設<A,★,>是一個代數系統(tǒng)，如果滿足（1）<A,★>是阿貝爾群（或加群）．（2）<A,>是半群．（3）乘運算對加運算★可