六年級拔尖數(shù)學(xué)

六年拔尖學(xué)目

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定義新運(yùn)算簡單的二元一次不定方程分?jǐn)?shù)乘除法計算分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算估算分?jǐn)?shù)乘除法的計算技巧簡單的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題（1）較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題（2）階段復(fù)習(xí)與測試（略）簡單的工程問題圓和扇形簡單的百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題分?jǐn)?shù)應(yīng)用題復(fù)習(xí)綜合復(fù)習(xí)（略）測試（略）復(fù)雜的利潤問題（2）

定在加減.乘除則運(yùn)算之外還有其它許多種法則的運(yùn)算在這一講里我學(xué)習(xí)的新運(yùn)算就是用“#”多種符號按照一定的關(guān)系“臨時”規(guī)定的一種運(yùn)算法則進(jìn)行的運(yùn)算。例：如果A*B=3A+2B那么7*5的值是多少？例：如果A#B表

3

照這樣的規(guī)定，6#（8#5）的結(jié)果是多少？例：規(guī)定

求Δ1010的值例：設(shè)M*N表示M的3倍去N的2倍即M*N=3M-2N（）計（14*10*6（）計（

8*）**）542例：如果任何數(shù)A和B有AB=A×B-A+B）求（）¤（¤）¤4（）設(shè)2¤X=1求X例6：P∞Q=5P+4Q，X∞時，1/5∞（X∞1/4）的值是多少？1

例7：定X*Y=

，且5*6=6*5則（3*2）（1*10）的值是多少？例8：表示一種運(yùn)算符號，它的意義是

1（XA）（YA已知

112221）

那么200882009=？鞏固練習(xí)1、已知2▽3=2+22+222=246；▽4=3+33+333+3333=3702；此規(guī)則類推（13▽2（）5▽（31▽X=123，的、已知eq\o\ac(△,1)×××；△××計算（eq\o\ac(△,4)）（eq\o\ac(△,5)）（eq\o\ac(△,3)）÷（eq\o\ac(△,4)）2

、如果A*B=3A+2B，那么（）7*5的是多少？（4*5*6

（31*5）*）、如果A>B，么A，B｝=A；如果A<B，么A，B｝；試求（1，0.8｝（21.9，1.901｝｝、N自然數(shù)，規(guī)定（N）=3N-2例（4=34-2=10試求：（）（2+F3+F）+F（）+…（100）的值、如果1=1！×！×2！……×23××……×那么1+2?。?…！個位數(shù)字是幾？（第四屆小學(xué)生“迎杯數(shù)決賽試題）、若“、-、×、÷、意義是通常情況，而式子中的5卻相當(dāng)于下面四個算式（）×（）7×）×9=39（）3×那么應(yīng)該是我們通常的哪四個算式？、如果×3×5*3=5×7請按此規(guī)定計算（3*4）（5*3（2）÷（3*33

、規(guī)定（25）=2+5=7（123）（65=6+5=（11=1+1=2則計算564892）（905）÷12）10、規(guī)定64=2×××××2表成F（）；243=3×3×××表成G（243）；求下面題的值（）F（128）()（2F（）=G）（3F（）+G(27)=611、如果×！×2！……試計算）?。?）X！，X、有一種運(yùn)算符號“＆”使下列算式成立＆＆＆5=13＆

求995＆？、

在X*5*1）中X的是多少？、對于任意的整數(shù)X、Y定義新運(yùn)算“￥X￥值）如果12=2，那么￥？

6Y

（中M是一個固定的第講

二一不方一、學(xué)目標(biāo)：掌握用奇偶性、最值和尾數(shù)特點來解答不定方程。二、基知識我們知道一般的一個方程只能解答一個未知數(shù)，而有的4

題目卻必須設(shè)兩個未知數(shù)且列不出兩個方程類似這樣的方程我們稱之為二元一次不定方程。在我們研究不定方程的解時常常會附有其他一些限制條件的條件是明顯的也有隱蔽的但它們對解題至關(guān)重要這就需要我們在解題過程中酌情進(jìn)行討論。三、例解析：（一）基本方法例1、小明要買一只元9的鋼筆，他手上有貳角和伍角的硬幣各10枚，請問他可以怎樣付錢？分析：本題可以用多種方法解答，這里用不定方程來解。設(shè)小明付了X枚貳角和Y枚伍角列方程，得2X+5Y=49方法一1、利用奇偶性。49奇數(shù)，2X是偶數(shù)，那么必定是奇數(shù)。這樣，Y只能取1，3，5，7，9這五個數(shù)。2、利用最值：所付錢中貳角和伍角的都有，而X至多為10，那么5Y小于49—2×19=29，這樣，可得Y大于。方法二

觀察系數(shù)的特點，利用尾數(shù)（個位數(shù)）解答。由例可以看出，對于元一次定方程盡量縮小未數(shù)的取范圍，再求解不定方常常利奇偶性最值和數(shù)來助解決例2、大汽車能容納54，小汽車能容納36人，現(xiàn)有378要乘車，問要大汽車各幾輛才能使每個人都能上車且各車都正好坐滿便于管理，要求車輛數(shù)最少，應(yīng)該選擇哪個方案？分析解答不定方程時能夠把方程化簡就盡量化簡注意加了限制條件以后，答案的變化。試一試：一個同學(xué)把他生日的月份乘以31，日期乘以12，然后加起來的和是5

170，你知道他出生于幾月幾日？例3、現(xiàn)有鐵礦石73，計劃用載重量分別為7噸和5噸的兩種卡車一次運(yùn)走，且每輛車都要裝滿，已知載重量7噸的卡車每臺車運(yùn)費(fèi)65元，載重量5噸的卡車每臺車運(yùn)費(fèi)50元，問需用兩種卡車各多少臺運(yùn)費(fèi)最??？分析根據(jù)條件用不定方程可以求出卡車的臺數(shù)但是要注意問題求運(yùn)費(fèi)最省。例4一個同學(xué)發(fā)現(xiàn)自己1991年的年齡正好等于他出生那一年的年份的各位數(shù)字之和，請問這個學(xué)生1991年時多少歲？分析與解：設(shè)他出生于19XY年，那么1991—19XY=1+9+X+Y1991—（1900+10X+Y）=10+X+Y91—10X—Y=10+X+Y（二）能力拓展例5、一輛勻速行的汽車，起初看路標(biāo)上的數(shù)字是一個兩位數(shù)xy,過了一小時路標(biāo)上的數(shù)字變?yōu)閥x，又行駛了一小時路標(biāo)上的數(shù)字是一個三位數(shù)x0y,求每次看到的數(shù)字和汽車的速度。分析：路標(biāo)上的數(shù)字是累計數(shù)。由于汽車是勻速行駛，因此汽車在單位時間里行駛的路程是相等的，根據(jù)這個關(guān)系可以列出方程。試一試一個兩位數(shù)如果把數(shù)字1放在它前面可得一個三位數(shù)放在它后面也可得一個三位數(shù)。已知這兩個三位數(shù)之差為，求原來的兩位數(shù)。例6、如下圖，一個長方體的長、寬、高的長度都是質(zhì)數(shù)，且長＞寬＞高，將這個長方體橫切兩刀豎切兩刀得到個長方體這9個長方體表面積之和比原來長方體表面積之和多624平方厘米，求原來長方體的體積。分析與解：設(shè)長方體的長、寬、高分別為abc，分析可得，橫切兩刀，增加了4ab的面積切兩刀增加了4ac的面積可列方程4ab+4ac=624。三個未知數(shù)的不定方程一般采用分解質(zhì)因數(shù)的方法解答。6

練習(xí)一、基本題1、求方程6x+9y=87的自然數(shù)解。2、求方程2x+5y=24的自然數(shù)解3、大客車有48座位，小客車有30個座位?，F(xiàn)在有旅客，要使每位旅客都有座位而且不空出座位來，需要大、小客車各幾輛？4、裝餅干的盒子有大、小兩種，大盒每盒要1元，小盒每盒要8元，媽媽用了89元，問大小盒子各買了多少個？5、一個兩位數(shù)，交換個位和十位上的數(shù)字，就得到一個新的兩位數(shù)，已知新兩位數(shù)比原兩位數(shù)多54，求原來的兩位數(shù)。6、一個兩位數(shù)，各位數(shù)字之和的6倍比原數(shù)大，求這個兩位數(shù)。7、一個商人將彈子放進(jìn)兩種盒子里，每個大盒子裝12個，每個小盒子裝5個，恰好裝完。如果彈子數(shù)為99，盒子數(shù)大于，問兩種盒子各有多少個？7

二、綜合題8、在一個兩位質(zhì)數(shù)的兩個數(shù)字之間，添上數(shù)字6以后，所得的三位數(shù)比原數(shù)大870，那么原數(shù)是多少？9、會場里有兩座和四座的兩種長椅若干把?，F(xiàn)有一個班的學(xué)生（不足70人）來開會一部分學(xué)生一人坐一把兩座的長椅其余的同學(xué)每三人坐一把四座的長椅。結(jié)果平均每個學(xué)生坐1.35個座位。求有多少個學(xué)生？思考題10有一個長方體，它的正面和上面的面積之和是，如果它的長、寬、高都是質(zhì)數(shù)，那么這個長方體的體積是多少？

分?jǐn)?shù)乘除法算分?jǐn)?shù)乘除法的計算方法用字母表示為：bbda

（a都不等于0bdbaaad一、課準(zhǔn)：

（a，都等于8

1、計算下列各題：51（1）÷10÷336

337927（2）＋÷（3÷×71518352155513（）÷÷（）÷×（）÷（+）8122542在□或里填上適的數(shù)或符號并說使用了么運(yùn)算律？167（1）25×=×(×)78528（2）××=(×)×8315229（3）×(15)=×(×)2931（4）25

34

×4=×+×7（5）7=×〇×8（6）1

45

×25=×〇×85（7）54(-)=×〇×96二、例題講解例：計算：⑴

4415；⑵274526

?！痉治觥空J(rèn)真觀察這兩道題的數(shù)學(xué)特點：(1)題中的

441與1只差，果把寫459

33成

145

)

的差與相，再運(yùn)用乘法分配律就能簡化運(yùn)算了。同樣，第2）題中的可寫成（26+1練習(xí)“挑戰(zhàn)自己比一比，看一看，誰的方法最巧妙？212526×32×556例：計算：

15

35

13分析仔細(xì)觀察數(shù)的點可知，可轉(zhuǎn)化為這樣就可以利用乘法的分配55律進(jìn)行簡算了。4124練習(xí)：計算：77例：計算：

9

27

29把

【分析】把幾個分?jǐn)?shù)的和作為一個整體去處理，往往會使計算簡便得多。在本題中，11與的作為一個數(shù)來參與運(yùn)算，使計算中只含有乘除法。再利用乘法的交換律、79結(jié)合律就可以很快算出結(jié)。例：計算：⑴

166

12003；20

?！痉治觥客瑢W(xué)們都會計算帶分?jǐn)?shù)除法。不過，看了這兩題，你一定感到把帶分?jǐn)?shù)化成10

假分?jǐn)?shù)太繁了。如果我們一下腦筋，就會發(fā)現(xiàn)：可以把題(中的

1

120

分一個的倍數(shù)與另一個較小的數(shù)加，再利用除法性質(zhì)就可以使運(yùn)算簡便。把題（

2)中的2003

20032004

化為假分?jǐn)?shù)時，把分子用兩個數(shù)相乘的形式表示，便于分和計。例：計算：

777

910

37

110例：計算：一、基本練習(xí)1、下面各題，怎樣簡便就怎樣算。81111－944

2＋）3417

）

112＋3223

5492.“考考”下面各題怎么算簡便就怎么算？77×101-1010

8888×÷×9999

35

×99+

3511

43455183×2536×(-)×5356954821531033(+)××+×-792521421444.分?jǐn)?shù)四則混合計算：13（1—）×（2）×[（—）÷]10100467153（3）×—÷（40.19+0.193）÷0.0585二．能力提高（4）（52008

2008200912

第四講

分?jǐn)?shù)四則混合算一、課準(zhǔn)備：278041615999÷962（＋）×3589351637531÷＋×（＋－）×24104613

二、例講解例1：計算：

360

練習(xí)

22375.46(4.875)3358例2：計算598.1×37

25

13＋5981×6.26）÷1＋190×17

1730例3

12131141617123344555253611例4；計算814

練習(xí)：1.下面各題怎樣算簡便就怎樣算。852921（＋－）×27（＋）÷927315344325×424÷5×＋×＋457131372.用簡便方法計算。9211÷13×100－－91×1.1×4＋40.9÷5－4.09計算下面各題。

555617755620812

1156

3145

1141（3415

2234（0.870.23751135.60.3758

11

3165

2194.099797

550.89

49

47.61.2555

估

算取近似值的方法除了常用的四舍五入法外，還有去尾法和收尾法（進(jìn)一法其方法一般是計算出準(zhǔn)確值再按要求取近似值。還有兩種）省略尾數(shù)取近似值，即觀其“大概”（2）用放大或縮小的方法來確定某個數(shù)或整個算式的取值范圍，即估計范圍。這就是估計與估算，估計與估算，是一種十分重要的算法，在生活實踐和數(shù)學(xué)解題中有廣泛的應(yīng)用。一、去尾法和收尾法（進(jìn)一法）例、某飛機(jī)所載油料最多只能在空中連續(xù)飛行4時，飛去時速度為900千米/時回時速度為850千米/時機(jī)最遠(yuǎn)飛出多少千米就應(yīng)返回？（精確到1千米）解：設(shè)該飛機(jī)最遠(yuǎn)能飛出x小時，依題意有16

此題采用去尾法。如果按照四舍五入的原則，那么得x≈1749，當(dāng)飛機(jī)真的飛出1749千米再返回時，恐怕在快著陸的瞬間就要機(jī)毀人亡了。例2、某人執(zhí)行爆破任務(wù)時，點燃導(dǎo)火線后往米開外的安全地帶奔跑，其奔跑的速度為7米/秒已知導(dǎo)火線燃燒的速度是0.112米/問導(dǎo)火線的長度至少多長才能確保安全？（精確到米）此題采用收尾法如果你的答案是米執(zhí)行任務(wù)的人還沒跑到安全地帶，炸藥就被引爆，那可就太危險了。二、放縮法與省略尾數(shù)法122829例3、有三十個數(shù)：1.64，1.64+，1.64+，……1.64+1.64+，如3030303011果取每個數(shù)的整數(shù)部分（例如1.64的整數(shù)部分是11.64+的整數(shù)部分是302并將這些整數(shù)相加，那么其和是多少？分析：關(guān)鍵是判斷從哪個數(shù)開始整數(shù)部分是例、A=12345678910111213÷31211101987654321，求A小數(shù)點后前3位數(shù)字。分析：本題可以采用取近似值的辦法求解，還可采用放縮法估計范圍解答的。方法一：放縮法：A＞1234÷3122=0.3952…A＜1235÷3121＝0.3957…所以0.3952＜A＜0.3957方法二：省略尾數(shù)法：近似值：將被除數(shù)、除數(shù)同時舍去位，各保留4位，則有1234÷3121≈例、老師在黑板上寫了十三個自然數(shù)，讓小明計算平均數(shù)（保留兩位小數(shù)小明計算出的答數(shù)是12.43。老師說最后一位數(shù)字錯了，其它的數(shù)字都對。正確的答案應(yīng)是什么？分析：明的答案僅僅是最后一位數(shù)字錯了，那么正確答案應(yīng)該12.4017

與之間。原來個數(shù)的總和最小應(yīng)該是12.40×13=161.2最大應(yīng)該是12.50×13=162.5之間，從而可求出這個自然數(shù)的總和，從而知道正確答案例6、已知：S=

11

，求S的整數(shù)部分。分析與解如果我們能知道分母部分最小不小于幾最大不大于幾就能知道它的值在某個范圍內(nèi)這個范圍很小時容易判斷出的整數(shù)部分了。設(shè)A=說明：本題如果直接計算，不但非常麻煩，而且容易出錯。上面的“分析”中，我們采用了“放大——縮小”的方法，就是先把s的倒數(shù)（分母部分）的每一個加數(shù)都看成最大的一個（放大再都看成最小的一個（縮小練一練：求

1)19961997199819992000

的整數(shù)部分。練習(xí)一、基本題1919191911+）+（1+×2）+1+×3）+……（1+×10+（1+×11）92929292的結(jié)果是x，那么，與x最接近的整數(shù)是多少？18

2算式0.1234……5051÷0.5150……4321的小數(shù)點后前二位數(shù)字是多少？3、為了修水電站，需要在極短的時間內(nèi)向河道中投入300米

石料，以截斷河流果每臺大型運(yùn)輸車一次可運(yùn)石料米3

么為保障一次截流成功，至少需多少臺運(yùn)輸車？4、用5米長的花布做上衣，已知每件上衣需用布2米，求這塊布料可以做幾件上衣？5、小華在計算一道求七個自然數(shù)平均數(shù)（得數(shù)保留兩位小數(shù)）的題目時，將得數(shù)最后一位算錯了。他的錯誤答案是，正確答案應(yīng)是多少？6、求下式中S的整數(shù)部分：二、綜合題7、計算：（提示：注意385=5×7×11，可以先用乘法分配律化簡，再估算19

111三、思考題：8、在，，，……，，中選出若干個數(shù)，使得它們2的和大于3，至少要選幾個數(shù)？第講

分運(yùn)的巧對于分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算除了掌握常規(guī)的四則運(yùn)算法則外還應(yīng)該掌握一些特殊的運(yùn)算技巧才能提高運(yùn)算速度解答較難的問題下面我們著重介紹五種常用的簡算技巧。（一）般分?jǐn)?shù)除法的算：（二）數(shù)的簡計算1.整法與整數(shù)運(yùn)算中的“湊整法”相同，在分?jǐn)?shù)運(yùn)算中，充分利用四則運(yùn)算法則和運(yùn)算律（如交換律、結(jié)合律、分配律部分的和、差、積、商成為整數(shù)、整十?dāng)?shù)……從而使運(yùn)算得到簡化。20

例3、計算：2.分法：例4、計算：分析：仔細(xì)觀察可知，分子的每一項（每一個加數(shù)）都可以分解出2×3，分母的每一項都可以分解出1×3×5。把它們作為公因數(shù)提出來后，括號內(nèi)的和是相等的。例5、

計算：

362548361362186分析：仔細(xì)觀察分子、分中各數(shù)的特點，就會發(fā)現(xiàn)分毋中的被減數(shù)362×可以變形為11)×18＋同時發(fā)現(xiàn)8－這就可以把分母轉(zhuǎn)化成與分子完全相同的式子，化運(yùn)算。21

例6、計算：例7、計算：2分法例、計算：分析：利用加法交換律和結(jié)合律，先將同分母的分?jǐn)?shù)相加。4代數(shù)法例9、22

練習(xí)：20032004

×200523

第講

簡的數(shù)用（）一、基知識：1、分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的一般關(guān)系式是：表示單“1”量（標(biāo)量）×率=分的對應(yīng)。2、解題思路：①一道分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中，先根據(jù)分率所在的哪個條件，找出并判斷“分率是“誰的”幾分之幾，誰就是單位“分率是一個不帶單位的、不具體的分?jǐn)?shù)，反映的是兩個數(shù)之間的一種倍數(shù)關(guān)系單位“1”的量的判斷：根據(jù)分率來判斷把哪個數(shù)量平均分成多少份，哪個數(shù)量就是單位“1②表示單位“1”的量是已知的，則該題用“×表示單位“1”的量是未知的，則該題用“÷”或方程。③解題的關(guān)鍵是：尋找“與數(shù)量對應(yīng)的分率率對應(yīng)的數(shù)量二、例解析：（一）基本方法例1、指出下面每組中單位“1”和對應(yīng)分率。①一只雞的重量是鴨的。把()均分為3份,把（）看作單位“1”,()相當(dāng)于這樣的2份，2/3應(yīng)的數(shù)量是（②甲的相當(dāng)于乙)平均分為5份,作單)24

相當(dāng)于這樣的3份，3/5對應(yīng)的數(shù)量是（③現(xiàn)價是原價的。()平均分為40,（）看作單位“1”,()相當(dāng)于這樣的3份，3/40應(yīng)的數(shù)量是（現(xiàn)價比原價少的部分對應(yīng)的分率是（④小紅的書比小明少。()平均分為8份,（）看作單位“1”,()相當(dāng)于這樣的7份，7/8對應(yīng)的數(shù)量是（明的書對應(yīng)的分率是（例、根據(jù)已知件用“——”線標(biāo)單位“”的量，再寫數(shù)量關(guān)式。（1）白兔只數(shù)的

512

10是黑兔的只數(shù)。（）已經(jīng)修了公路全長的。21（3）二班植樹棵數(shù)相當(dāng)于一班的

1021

5。（4）今年棉花產(chǎn)量比去年增加。87（4）第三季度冰箱價格比第二季度便宜。（）還剩這堆煤的。5115例3、小王買了一個本子和一支鋼筆。本子的價格是子的價格多，鋼筆的價格是多少元？

元，鋼筆的價格比本25

例4一條褲子比一件上衣便宜25元一條褲子是一件上衣價格的一件上衣多少元？例5、商店運(yùn)來一批水果，運(yùn)來蘋果0筐梨的筐數(shù)是蘋果的，梨的筐數(shù)同時又是桔子的3/5。運(yùn)來桔子多少筐？例6、學(xué)校買54本新書，其中科技書占1/6，文藝書1/3文藝書比科技書多多少本？（二）能力拓展例7小強(qiáng)看一本故事書每天看16頁看了5天后還剩全書的沒有看，這本故事書有多少頁？分析：把全書看作單位“1未知的，可以用除法或方程解答。3/5與沒有看的頁數(shù)相對應(yīng)，看了的已知量165與1—3/5相對應(yīng)。例8、客車由甲城開往乙城要時,貨車由乙城開往甲城要15時,兩車同時從兩城相向開出多少小時兩車相遇？如果相遇時客車走了600千米,甲乙兩城之間的公路長多少千米?分析本題的關(guān)鍵是要求相遇時間我們知道相遇時間相遇距離÷速度和，而本題要求的就是相遇距離，怎么辦？可以假設(shè)全程為單位“練一練一項工作,由甲單獨做需要10天由乙單獨做需要12天如果兩人合做,幾天才能完成?26

練習(xí)：一、基本題1、指出下面每組中單位“1”和對應(yīng)分率。①白兔是黑兔的)平均分為6份,作單)相當(dāng)于這樣的5份，對應(yīng)的數(shù)量是（②一種毛衣現(xiàn)價是原價的4/7。把()平均分為7份,把（）看作單位“1,()相當(dāng)于這樣的4份,4/7對應(yīng)的數(shù)量是（現(xiàn)價比原價少的部分對應(yīng)的分率是（③九月份的產(chǎn)量比八月份增加了。單位“1月份的產(chǎn)量對應(yīng)分率（2、根據(jù)已條件用——”標(biāo)出單“1的量，寫出數(shù)關(guān)系式。5（1）媽媽年齡的是女兒的年齡。（）已經(jīng)用這根繩子的。12（3）男生人數(shù)占總數(shù)的

2021

5。（4）今年車禍比去年減少。8（4）現(xiàn)價比原價增加

7。（）沒有看的占這本書的1015

。3、六年級有男生100人，女生有80人。（1）男生人數(shù)是女生的幾分之幾？27

（2）女生是男生的幾分之幾？（3）女生是全年級學(xué)生的幾分之幾？（4）男生人數(shù)比女生多幾分之幾？3、某生產(chǎn)隊挖一條長300米的水渠，第一天挖了全長的，挖了多少米？還剩多少米？4、某車間五月份生產(chǎn)零3000個，六月份比五月份多生產(chǎn)了，六月份生產(chǎn)了多少個零件？分析作單的）方法計算。對應(yīng)的數(shù)量份產(chǎn)的對應(yīng)分率解答：5、某小學(xué)有學(xué)生若干人，其中女生占，還已知該校男生有人，這所小學(xué)共有多少人？分析看作單1知的（）方法計算。男生的對應(yīng)分率是（解答：6、小亮在銀行存了元，小華存的錢是小亮的，小華存的錢是小新的2/3，小新存了多少元？28

7、某糧店共有大米2800千克，第一天賣了，糧店還有大米多少千克？8、商店有紅氣球和黃氣球，共48只，其中黃氣球的只數(shù)是紅氣球的3/5。紅氣球和黃氣球各多少只?9只大雁由北方飛往南方要6天,一只野鴨由南方飛往北方要天,如果大雁和野鴨同時從兩個方向同時出發(fā),多少天他們可以相遇二、綜合題：10、王琳看一本連環(huán)畫共80頁，第一天看了全書的，第二天看了全書的1/4。還剩多少頁沒有看？11、本站有一批貨物，上午運(yùn)走了總數(shù)的2/5，下午運(yùn)走了總數(shù)3/8，還剩下2700噸沒有運(yùn)，這批貨物一共有多少噸？12、一袋大米吃了后又加入8克，這時袋里的大米恰好是22千克。這袋大米原來有多少千克？213、小剛讀一本書先讀了全書的，又讀了全書的，已讀的比沒讀的多5370頁，這本書共有多少頁？14、根據(jù)算式寫出問題說明：35%=7/20還剩下全長的1/3沒有修完，————————？29

（1）2400×1/4（2）2400×35%

？？（3）2400×（1/4+35%）

？（4）2400×1/3

？（5）2400×（35%-1/4）？（6）2400×（1/3-1/4）？（7）2400×（1/4+35%-1/3）

？第講

較雜分應(yīng)題二本講繼續(xù)學(xué)習(xí)較復(fù)雜的應(yīng)用題——兩個單位“1”的情況和量與率的對應(yīng)關(guān)系。較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題常常需要畫出線段圖或用方程的方法解答。例1、一根140厘米長的繩子，第一次用去它的，第二次又用了余下的3/5，兩次共用去多少厘米？分析：本題有2個分率，相對應(yīng)的有個單位“1例2、小紅看一本書，第一天看了全書的4/7，第二天又看了剩下的，還剩下42頁沒有看，這本書共有多少頁？練一練：某生產(chǎn)隊挖一條300米的水渠，第一天挖了全長的，第二天挖了余下的，第三天恰好挖完，第三天挖了多少米？例3一瓶油第一次吃了1/5千克第二次吃了余下的3/4這瓶內(nèi)還有1/5千克，問這瓶油原來有多少千克？分析：根據(jù)條件“第二次吃了余下的3/4們先確定“再利用線段圖來找出量對應(yīng)的率”或“與率對應(yīng)的量30

例4、某校男生人數(shù)比全校學(xué)生總數(shù)的4/9少人，女生人數(shù)比全校學(xué)生總數(shù)的4/7多15人。求全校學(xué)生總?cè)藬?shù)。分析：利用線段圖來找出量對應(yīng)的率”或“與率對應(yīng)的量單位“1”是未知的，可以用除法或方程解答。例5、有一瓶酒精，第一次倒出2/3又80克，然后倒140克；第二次再倒出瓶里酒精的3/4，這時瓶里還剩下90酒精。求原來瓶里有酒精多少克？分析本題2個分率相對應(yīng)的有個單“1線段圖來找出量對應(yīng)的率”或“與率對應(yīng)的量位1”是未知的，可以用除法或方程解答。試一試：東盛化肥廠生產(chǎn)一批化肥，分三次運(yùn)出，第一次運(yùn)出的比總數(shù)的3/5還多300噸，第二次運(yùn)出的是第一次1/3，第三次運(yùn)出的450噸，求這批化肥有多少噸？例6、某工廠二月份比元月份增產(chǎn)1/10三月份比二月份減產(chǎn)1/10．問三月份比元月份增產(chǎn)了還是減產(chǎn)了？分析：本題沒有告訴我們具體的數(shù)量，要求的也是不具體的分率，所以我們可以假設(shè)老三年齡為“1”,或者假設(shè)一個具體的數(shù)量、字母。31

練一練：有兄弟三個，老大比老二年齡大2/5，老二比老三年齡大2/5，老大的年齡是老三的幾分之幾？練習(xí)：1、某水泥廠第二個月生產(chǎn)水2400噸，比第一個月多生1/4，第一個月生產(chǎn)水泥多少噸？第三個月生產(chǎn)的水泥，比第一個月少生1/5，那么第三個月生產(chǎn)水泥多少噸？2紅看一本240頁的書一天看了全書的二天又看了剩下的1/3，還剩下多少頁沒有看？3、某糧店，第一天賣了全部大米的4/7，第二天又賣了余下3/5，這時還剩下420千克米沒有賣。這個糧店共有大米多少千克？4、某車間一月份生產(chǎn)了1000個零件，以后每個月都增產(chǎn)，三月份生產(chǎn)了多少個零件？5、某工廠去年制造一種零件，成本逐漸下降，每一季度的成本都比前一季度降低1/4，問第三季度的成本是第一季度的幾分之幾？6、某班學(xué)生中，男生人數(shù)比全班人數(shù)的5/9少人，女生人數(shù)比全班人數(shù)的32

3/7多人，求全班人數(shù)。7、一桶柴油，第一次用了全桶的2/5，第二次用去千克，第三次用了前兩次的和，這時桶里還剩千克油．問這桶油有多少千克？二、綜合題8兩隊合修一條水渠甲隊完成的比全長的還多7.2米乙隊完成的相當(dāng)于甲隊的1/3。這條水渠有多長？9、小王做零件，已經(jīng)做240個，比計劃還少20%，為了超25%，小王還應(yīng)再做多少個？10一袋大米第一周吃了1/3又6千克后又加入8千克第二周又吃了剩下的1/3，這時袋里的大米恰好是24千克。這袋大米原來有多少千克？11、向陽村用拖拉機(jī)耕地，第一天耕了全部土地1/4，第二天耕了剩下的三分之二，第二天比第一天多耕30公頃，問這個村共有多少公頃土地？1112、一種商品，先提價，再降價，現(xiàn)價相當(dāng)于原價的幾分之幾？5533

第講

階復(fù)與試第講

簡的程題一準(zhǔn)備題：修建一條長1200的公路，甲隊需要，乙隊需要40天，如果兩隊合修需要多少天？在日常生活中，做某一件事，制造某種產(chǎn)品成某項任務(wù)，完成某項工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作時間這三個量，它們之間的基本數(shù)量關(guān)系是工作效率工作時=工作量（由此還可以變化工作時間=工作總÷工作率，工效率=工總量÷作時間，在小學(xué)數(shù)學(xué)中，探討這三個數(shù)量之間關(guān)系的應(yīng)用題，我們都叫做“工程問題工程問題中的本質(zhì)關(guān)系為：工作效率×工作時間工作總量。分?jǐn)?shù)程問題的特，常常給出具的工作量，們把全工程看單位“，樣，工效率=1/工作時間，然后再根據(jù)工總、工效和工時這三個量的關(guān)系解題。一、基本方法例1、加工一批零件，甲單獨做6時完成，乙單獨做9時完成。（1）甲、乙合做，每小時完成這批零件的幾分之幾？（2）合3時完成這批零件的幾分之幾？（3）合3時后完成剩下零件兩人合作還需要多少小時？（4）如果合2時后，剩下的由甲單獨做還需要多少小時做完？練一練：現(xiàn)在打一份文稿，甲做天可以完成，乙做可以完成.現(xiàn)在甲先做了3天余下的工作由甲乙合作完成還需要做幾天可以完成全部工作？34

例2、兩列火車同時從甲、乙兩地相向而行，貨車從甲地開往乙地需要10小時，客車從乙地開往甲地需8時，現(xiàn)貨車先小時后，客車才出發(fā)，求客車出發(fā)后多少小時兩車相遇？分析；沒有告訴我們甲、乙兩地的路程，我們把甲、乙兩地路程看做單位“1度用1/時間來表示。求相遇時間，相遇時間=相隔路程÷速度和。例3、一個水池有兩個進(jìn)水管，一個出水管。單開甲管1小時可把空池注滿，單開乙管20時可把空池注滿開丙管15時可把滿池水放空管同開，多少小時把空池注滿水？分析：注意本題是兩個進(jìn)水管，一個出水管，進(jìn)水管來灌水，出水管來放水。例4、水池上裝有甲、乙兩個大小不同的水龍頭，單開甲龍頭60分鐘可注滿水池，現(xiàn)在兩個水龍頭同時注水20鐘可注滿水池的如果單開乙龍頭需要多長時間注滿水池？分析根據(jù)條件可以求出甲乙兩水龍頭的工效和再根據(jù)甲龍頭的工效，就可以求出乙龍頭的工效了。進(jìn)而求出乙龍頭的工作時間。二、能力拓展例、一項工程，先由甲、乙合做5完成了全部工程的，再由乙單獨做了2天完成了全部工程的1/30，然后由乙、丙二人合做天完成余下的工程。如果這項工程由甲、乙、丙三人合做，需要多少天完成？例6、一項工程，甲隊獨做需45完成，乙隊獨做需要60天完成，現(xiàn)在甲、乙兩隊合作，中途乙隊因事調(diào)走，這樣完成全部工程共用30天，求乙35

隊工作了幾天？分析：這項工程，我們可以看成甲隊做了一部分，乙隊也做了一部分。例、某項工程，甲、乙兩隊合做，天可以完成。今兩隊合做天后，剩下的由甲隊獨做，經(jīng)過天才完成。問：乙隊獨做全部工程需幾天完成？分析：根據(jù)條件可以求出兩隊工效和。例8加工一批零件甲獨做20天完成乙獨做每天完成這件零件的，現(xiàn)在兩人合作完成這批零件甲中途休息了天乙也休息了幾天這樣用了15天才全部完成，求乙休息了幾天？分析：乙休息的天數(shù)可能2.5多或少或同樣多。解題方法多樣：按前面例題的思路，可用方程的方法，或假設(shè)方法。練習(xí)：一、基題：1、修一棟樓房，甲公司單獨做5個月完成，乙公司單獨做6月完成。（1）合2月完成這棟樓房的幾分之幾？（2）如果合2月后，剩下的由甲公司做還需要多少個月做完？2、一項工程，甲隊單獨做20天完成，乙隊單獨30天完成。現(xiàn)在兩隊合作，多少天可以完成？36

3、一件工作，甲做天可以完成，乙6天可以完成.現(xiàn)在甲先做了3天，余下的工作由乙繼續(xù)完成.乙需要做幾天可以完成全部工作？4、做一批零件，甲單獨做天完成，乙單獨做16天成，現(xiàn)在兩人合作天后，余下的由乙獨做多少天可以完成？5一個水池上裝有一根進(jìn)水管和一根出水管開一根進(jìn)水管分鐘可以將水池注滿，單開一根出水45鐘可以將一池水放完?，F(xiàn)在水池1/2的水，兩管齊開，多少分鐘水池可以把水池灌滿？6一只大雁從甲地飛向乙地需要天只野鴨從乙地飛向甲地需要12天，現(xiàn)野鴨先飛了3后，大雁才出發(fā)，求大雁出發(fā)后多少天大雁和野鴨相遇？7、一項工程，甲隊單獨做天完成；乙隊單獨做天完成，甲、乙兩隊合做2后，甲隊因事調(diào)走，余下的部分由乙隊單獨做完，還需要多少天完成？二、綜合題8、做一批零件，甲、乙兩人合做12天完成，現(xiàn)在甲、乙合4后，余下的乙獨做20可以完成。如果甲單獨完成這批零件要用多少天？37

9、有一項工程，甲隊獨做天可完成，乙隊獨做60天可完成，現(xiàn)在已知兩隊合做這項工程，但中間甲隊因另有任務(wù)調(diào)走幾天，所以經(jīng)過才完成全部工作，甲隊離開了幾天？10一件工程，5時先完成了1/4，乙接著9小時又完成了剩下任務(wù)的一半，最后余下的部分由甲、乙合作，還需要多少小時才能完成？11、一項工程，先由甲做天完成了全部工程的；再由乙做天完成了全部工程的1/4；然后由丙2天完成了全部工程的1/15。最后甲乙、丙合做余下的工程，還要幾天可以完成？38

第一：和形一（一）本知識1、圓：圓周長公式：

ππr。圓面積公式：

r

。圓環(huán)面積：S

環(huán)

(

2

2

)圖一

圖二

圖三2、扇形。如上圖二，連接兩條半OAOB，就可得到一個扇OAB，扇形面積公式是：S=

2

。扇形的圓弧=所在圓周長的

。其中r是指扇形的在圓的面積，n的是圓心角的度數(shù)。例1、圖二中°，半徑為厘米，扇形面積是多少？弧AB是多少？3、弓形。如上圖三，S弓AC=AOC—S△例2、圖三中，直角三角形的直角邊OA=6厘米，求弓形的面積。（二）本運(yùn)用例3、街心花園中圓形花壇的周長是米?；▔拿娣e是多少平方米？例4、計算下圖陰影部分的面積．單位：厘米)39

例、在一塊長米，寬2米的長方形鐵板上截下2最大的圓形后，剩下的鐵板面積是多少平方米？例6、從一塊邊長厘米的正方形鐵皮上剪下一個最大的圓，這塊圓形鐵皮的面積是多少平方厘米？剩下的面積是多少？例7、從一個直徑為厘米的圓中，剪去一個最大的正方形，正方形面積是多少？例8、求下圖中陰影部分的面積和周長。練習(xí)一、基本題40

1、一個圓形花壇的周長是米?；▔拿娣e是多少平方米？2、已知一個圓的面積是平方厘米，求這個圓的周長。3、下圖涂色部分是個環(huán)形，它的內(nèi)圓半徑是10米，外圓半徑是15厘米，它的面積是多少？4、從一塊邊長8厘米的正方形鐵皮上剪下一個最大的圓，陰影部分面積是多少？5、下圖圓的半徑為厘米，圓心角為45度，扇形AOC的面積是多少？弧AC是多少？6、下圖是一個直角邊長為厘米的等腰直角三角形。求弓形面積。7、求陰影部分的面積：(單位：分米)（π=3）41

8、右圖中直角三角ABC底20厘米以AB為直徑畫成一個圓，圓心為O垂直于AB，求弓形的面積。9、求下圖中陰影部分面積和周長（1）等腰梯形的腰是位：厘米）（2）三角形ABC是等邊三角形，底BC=6厘米，扇形圓心角為度。思考題：10、在下圖中左右兩個正方形一樣大小，且圖（2）中四個小圓一樣大．試問是圖（1）中的大圓面積大，還是圖）中四個小圓的面積之和大？請說明理由。42

第二

簡的分應(yīng)題一百分?jǐn)?shù)是表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)叫做百分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)也叫做百分率或百分比。百分?jǐn)?shù)在生活中大量地運(yùn)用。如出生率、利息、利潤等。一般地我們可把百分應(yīng)用題作分應(yīng)用題解答。一、一般百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題例1、東風(fēng)化肥廠去年計劃生產(chǎn)化60噸，實際生產(chǎn)72萬噸。實際產(chǎn)量比計劃超過百分之幾？例2、商店賣一種袖珍收音,現(xiàn)在按八折出售，每臺14.4元,這種收音機(jī)原價每臺多少元?例、有甲、乙兩個倉庫，甲倉庫存糧的2/3正好是乙倉庫存糧的，已知乙倉庫存糧1500，甲倉庫存糧多少噸？例4、工程隊挖一條水渠，每天千米10挖了全長的，還剩多少千米沒有挖？例5、學(xué)校去年春季植樹500棵，成活率為85％，去年秋季植樹的成活率為90％知去年春季比秋季多死了20棵樹么去年秋季學(xué)校共種多少棵樹？分析成活率是指成活的棵數(shù)占全部棵數(shù)的百分之幾根據(jù)去年春季成活率85％，可以求出成活棵數(shù)和死了的棵數(shù)。進(jìn)而求出死了的棵數(shù)，再根據(jù)去年秋季植樹的成活率90％，求出去年秋季種的樹。43

例6、紡織廠的女工占全廠人數(shù)的％，一車間的男工占全廠男工的％。問：一車間的男工占全廠人數(shù)的百分之幾？分析有告訴我們具體的數(shù)量且求的也是一個不具體的數(shù)量百分比，這樣，我們可以采用設(shè)參數(shù)的方法。二、特殊的百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題——利潤問題在這類問題中，特別的在于，它涉及兩個量的相乘，一是商品的單價，另一個是銷售量。我們要同時把握這兩個量的變化：總價=單價數(shù)量利潤：般地，商店購進(jìn)貨物的錢叫成本（或購入價去的錢叫售價（或賣出價價與成本的差叫利潤。利潤與成本的比叫利潤率。售價成本+利潤=本+成本利潤率=成本×1+利潤率）利潤售價—本例7、某商店進(jìn)貨的批發(fā)價元一袋，規(guī)定零售價為一袋，求商品的利潤率是多少？例8、商店從某供貨商以每1200，購進(jìn)50空調(diào)。該商店20%的利潤率來定價，空調(diào)的定價是多少？如果全部按這個價賣出，商店共獲利多少元？例9場以400的成本購進(jìn)一見商品商店準(zhǔn)備以50%的利潤率來定價，但因為價高，沒有人購買，只好打75折優(yōu)惠，問現(xiàn)在這件商品賣多少元？練習(xí)1、曙光面粉廠①5000克小麥可以出面粉千克，面粉的出粉率是多少？②面粉的出粉率是％，4000克小麥可以出面粉多少千克？44

③面粉的出粉率是％，加工3200克面粉需要多少千克小麥？2、把20鹽溶解在克水中，鹽占鹽水的百分之幾？3、一家大型超級市場,一月份的營業(yè)額是萬元如果按營業(yè)額的繳納營業(yè)稅后,剩余多少萬元？4、甲數(shù)比乙數(shù)多20%，乙數(shù)比甲數(shù)少百分之幾？5某化肥廠第一季度生產(chǎn)化肥2400噸完成了全年任務(wù)的25%他們準(zhǔn)備在第二季度完成全年任務(wù)的30%，那么第二季度應(yīng)生產(chǎn)化肥多少噸？6、運(yùn)送一批樹苗，已運(yùn)了總數(shù)的％，未運(yùn)的比已運(yùn)的少420棵，這批樹苗總數(shù)多少棵？7、某商場以每64元的價格，購進(jìn)童裝套，全部銷售完后，共得10000元，求商場銷售這些童裝的利潤率。8中國書店收購一本舊書原價12元收購時按八折作價然后又按比收購價多5%的價錢售出．書店售出這本書的價錢是多少元9、在某校學(xué)生中，男生人數(shù)占全校人數(shù)的60％，女生人數(shù)占全校40％，那45

么，男生人數(shù)比女生多百分之幾？10、采煤隊三月份上半月完成月計劃的60％，下半月完成月計劃的65％，這個月實際采煤萬噸，這個月超過月計劃多少萬噸？11、一家服裝店出售兩種春裝，一種是新式樣，每件240元，可賺，另一種樣式過時，是處理品賠本，每件售價也是240元，問：兩種春裝各出售一件，是賠還是賺？賠（或賺）多少？12、某校綠化校園植了水杉，柏樹、梧桐三種樹，其中種植水杉的棵數(shù)為總數(shù)的40%，柏樹的棵數(shù)是水杉的7/8，其余的是梧桐樹。已知水杉比梧桐多棵，水杉是多少棵？第三

分應(yīng)題習(xí)例1：量和分直接對一輛汽車4時行了全程的2/5，照這樣的速度，再行幾小時到達(dá)？練習(xí)：六（1）班，男生比女生少8，女生比男生多全班多少人？例2：知量的——對應(yīng)分率1、一條公路第一天修了全長的1/4，二天修了全長的2/5，兩天共修了46

千米，這條公路全長多少米？2、一輛汽車行了全程的這時已超過中點千米，已行了多少千米？3服裝店分兩次加工一批服裝第一次做了全部的第二次比第一次多做90。這批服裝共多少件4、汽車A城開往B，第一小時行全程1/4，第二小時行全程1/3，超過中點15米，AB兩城相距多少千米?5、電視機(jī)廠月份生產(chǎn)一批電視機(jī)，上旬生產(chǎn)了全部的中旬生產(chǎn)的是上旬的2/3，下旬全部完成任務(wù)。已知下旬比中旬多生2250，9份生產(chǎn)電視機(jī)多少臺例3：對應(yīng)關(guān)1．小紅看一本小說，第一天看總頁數(shù)的還多19頁，第二天看的比總頁數(shù)的1/8少17，還余下頁，這本書共多少頁2、服裝店加工一批服裝，第一次做了全部的1/5，第二次比第一次多做8。這時做完的比沒做完的少件，這批服裝共多少件3、一批木料，先用去總數(shù)的又用去總數(shù)的，這時用去的比剩下的多21，這批木料共多少方4、有兩只桶裝50千克，若第一桶里倒出1/5，第二桶里倒進(jìn)4千克，則兩桶內(nèi)油相等。原來每只桶各裝油多少千克?47

5、一個班女生比男生的多人，如果男生減少3人，女生增加人，那么男女生恰好相等。這個班男、女生各有多少人?6、甲、乙、丙、丁四人共同購買一只游艇，甲支付的現(xiàn)金是其余三人所支付的1/4，乙支付的比其余三入所支付的總數(shù)少，丙支付的是其余三人所支付的1/3，丁支付9100。這只游艇價值多少元7．小強(qiáng)讀一本書，第一天讀全書的第二天又讀了余下的1/2，這時還有30沒讀，這本書共有多少頁8、學(xué)校舉行一項數(shù)學(xué)講座，整個教室坐滿了人，其中兩人中有一個六年級學(xué)生，四人中有一個五年級學(xué)生，七人中有一個四年級學(xué)生，還有六位老師，整個教