同方專轉(zhuǎn)本沖刺班數(shù)學習題訓練5至9講

蘇州大學生網(wǎng)

專轉(zhuǎn)本

第五講中值定與導數(shù)的應用的強化練習題答案

f'(x)

xfx在[00，f(3)一、單項選擇題（每小題分共24分滿足羅爾定理條件．故選1已知

f()xx4)(x

則

f

有3．曲線

yx

3

，則其拐點坐標為C）（）A0B0，）A一實根B兩實根C（，）D1C

三個實根D

無實根解：

y3y''

．令

y得x．解

f(x)[（''當時y．f故（0，）為曲線的拐點C()

在

[滿羅爾定理條件4．

fx)f，+故有

f'(

1

)（3

1

）

fx)''(x)在(2)同理f()在[滿足羅爾定理有)2綜上所述，f'(x)在(3,5至少有兩個實根）f'()是一元二次方程至有兩個根故Ｂ2．下列函數(shù)在所給區(qū)間滿足羅爾定理條件的是

ABCD解：

f'()0,f''(x)f'()0,f''(x)f'()0,f''(x)f'()0,f''(x)f(x)為偶函數(shù)且f)單調(diào)遞,凹?。ǎ〢

f)x

2

,xB

f()

1x2

,xC

f(xx如示意圖，故有D

(x)x3(f(x)0,f選解：

f(x)[0,3]續(xù)1

1x3蘇州大學生網(wǎng)1x3

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5．

xx

f

()0在

x

取得極值。則為．）

8．

f()

lnxx

的單調(diào)增加區(qū)間為

)A

a

11,bBb22

解定義域

（）

f'(x

1lnx2C

11a,bDab2

當0<x<e時'(x)

故

fx

的單調(diào)增區(qū)間，解：⑴

af'(xbxxfx

e）b

①

9．

f()x

x

23

的極小值是

12⑵

f'(2)ab

②①—②6b得1得a答2

12

代入①

1解f'()13（）令f'．是f

答案選Ｂ導點6．列命題正確的----------B）(Ax為值點，則必有0

f)0

x

1

(1,B若

f(x)

在點

x0

處可導，且

x0

為

f(x

的極值

f

(x

+__

+點，則必有

f'()0單調(diào)

極C若

f)（a，有極大值也有極小值則極大值

f(x)

單調(diào)增

單調(diào)增減

小必大于極小值。D若'(x)0

則點

x0

必有

f(x

的極值點。

（）極小值

f

32解函數(shù)的極值點一定是駐點

f'(x)

選

10．(x)的大值為1B

解

f'(x)

(-2)

13

,是f(x)

的不可導二、填空題（每小題4分共24分）

點。7設

f(x)

可，

f(f(0

的小值。

（）

f(2)f(0)3

f(3)n

f(f(x)00n

（）最大值為

f(2)解：原式=

n

f(hf()022

xy=3蘇州大學生網(wǎng)xy=3

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x11．線y的水平漸進線為＿＿x(2x2解：lim2x2x

1f(x)x3駐點，（）

1f(x)130∴直線

y

12

是曲線的一條水平漸進線

x

(

-1

(1,0)

0

12．數(shù)

f()x

在12]滿拉格朗日中值定

f'x)

+

-

+理條件

f)

極

極大

小解

f

—

f(1)=f

)(2

（極大值

小f

，f

2ln

單調(diào)減f

單調(diào)增（）

2lnln

15求由方程

x

2

yy0)

所確定

4e

yyx)的極值。解求駐點：

xy

2

2yy''三、計算題（每小題8分共64分）

令

y'0,2

2

y

→點

已

fx)px

2

在區(qū)間

[ab]

滿足拉格

（）判別極值點y2xyy'xyyx(2yy'')y

當朗日中值定理條件，

x

時代上式解：

(1)()()(2

)(b)

2+0+0+0+y''(0)x

為極大值點，(

2

2

)()

)()

（）極大值

y(0)p(a)p

，

2p

p()

16．

f()

x2(x

在區(qū)間

，4]aa,b214．函數(shù)fxxx與極值。解）

的單調(diào)區(qū)間

上的最大值，最小值。1解1）fx(x(6x)令f0為可導點f(f（）∵f(4)（）比較上述函數(shù)的大小最小值為，最大值為017．曲線

y

x

2

5x

的凹凸區(qū)間與拐點。解定義域--∞+∞）3

105(蘇州大學生網(wǎng)105(

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（）

y'

5x(x3

23

（２）令(xx,g'()xy''(

13

(x))2

且

(0)令得

''y''x''

(x3不存在的點為

()(0)(x)g()sin（）'(xf(x)x在單減。2（）表

20．

f(),xxxx

確定

f(x

單調(diào)的（+

（∞00（0，-1）1

區(qū)間。y

+

—

∞+

解

f'(0)limx0

x

0.

凹

拐點

凸

拐點

凹

xf'(0)limxx故有f'(0)為點

0.答：拐點（，及19(1,凹區(qū)間1）為凸區(qū)間。

，

（）當時，f'())xx0時f'(x)arctan1218線

y(1

x

)

x

的水平漸近線與垂直漸近線。

f()x0)解）

x

)

1x

是曲線的一

（）

x

外，f)

．

fx

在

(

單調(diào)x條水平漸近線。

增加。（）

lim(1)

lim

)

四、綜合題（每小題10分，共２０分）

21已知函數(shù)的圖形上有一拐點24拐處曲

elim

elim

線的切線斜率為而且該函數(shù)滿足

y

x

，y

是曲線的另一條水平漸近線求此函數(shù)（）

limx

x

1)x

解（1）已知；

y(2)''(2)為曲線的一條垂直漸近線

（）求常數(shù)

y

x由y''

(2)19．別函數(shù)

f()

x在(0,)的調(diào)性。x

得

0，a

6x解

f'(x)

xcosxx4

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（）

y'

：

''6x

當

x

時

0y

2

x1

，由

y'(2)1y'x2（）函數(shù)y:

y

x

2

五、證明題（每小題9分，共18分y

3

x由(2)得c22

答：所求

23設

0,f(x)

連續(xù)，0,函數(shù)y=

x當x時,'(x

存在且

f'()

單調(diào)增加，證明當22利導數(shù)描繪yxe解定義域(

的圖形，非奇非偶函數(shù)

x

時

fx

單調(diào)增加（）駐點和

y

的點

證明：）

F()

f()(x0)x'

，令

y'0，點

(2)Fx)

'(xf(x)x2''

，令

y

，得

x

f0xf'(x()f(0)]x

（）表x

(

1

(1,2)

2

(2,

微分中值定理xf)

(0y

+

_

_

f'()f'(x

)y

_

_

+

當x時，f'(

單調(diào)增加y

極大

拐點

f'(x即f'(x)'(極大值

f(1)

，拐點

(2,2)

故有

F)即

f(x)x

在(

單調(diào)增加（）近線與函數(shù)變化趨勢

24

設

f(x)[,b]連在a,b)可導，證明

[f()f(a)]b

n

n

)f

，

,bxy0x

是曲線的一條水平

證明：）造輔助函數(shù)：漸進線，

lim

F()

n

[f()f()]

n

n

)(x)x（）點作圖

（）

F()[a,a,b)可5

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F()a()nf()fa()

證變:

ln1x

ln

,這是對數(shù)函F()

n

f()

n

f(a

n

f(

n

f()數(shù)的增量形式Fa)F)

n

f(

n

fa

令

f

lntt

F')由羅爾定理知n[f()f(a)]b

n

)f'(

)

(2)

f(t)t在

應用拉格朗日中值定

a,b

理

ln

x

＊選做題

,xx證明方程：xcosx

恰有一實根中

q常數(shù)，且

0q

(3)

x

1x證明）令

f(cosx

故有

1x

1ln10x(2)fx)xf(故fx)0最多有一實根）f()在[-p,q]連續(xù)且f(

證畢！arctanaa2．明證：(1)造輔助函,令f

成立f=p+

(2)

f

在

應用拉朗日定零點定理知：(x0

至少有一實根(4)上所述：

f()

有且僅有一個實根

理

arctan

()第六講利用導數(shù)證不等式及導應用題的強練習題答案

arctanab

(3)

ba

對于1．

x

時證

1ln1xx

成立

b

的情形同理可證.證畢6

221蘇州大學生網(wǎng)221

專轉(zhuǎn)本

3．明當

x

時有

xxx

成立.

令

sinx證：(1)構(gòu)造輔助函數(shù)：

xxsinx

0

0x

2

g∴令

f

t

,

且

(2)理

f拉格朗日中值定

從而

f

gx

0(3)

是單調(diào)增函數(shù)

f

在

0,

2

單調(diào)減少0x

，故有

x

,

x

(3)

f

且

f

證畢4．

x

時證

1arctanxx2

成立.

f

證：(1)

fx

x2

即有

x

2

x

成立(2)

f

11

11

6．

x

時證

成立.f

單調(diào)減少

證：(1)形，令f(3)

f

單調(diào)減少且

(2)

f

x1limflimxxx

(一階導數(shù)符號不易判定借

f

)

故時

f

=

cos

1artnx2

證畢

f

且

f

5．

0x

2

時證

x

2

x

成立.

f證：(1)形

x

x2x

f

單調(diào)增加令(2)

sinfx0xxxsinxfx

2

(3)ff故有xcos7

pppp2221蘇州大學生網(wǎng)pppp2221

專轉(zhuǎn)本

證畢

2

1p

,M7．

0

時證:

x

成立.

故有

f

即解：(1)

2

1p

x(2)

f

x

x4lnx2)

證畢令

f

,駐點

x

9．明當

時有

xx5

.(3)

f

x

4x

f

，

x

為

證：(1)

f

4

,極小值點

(2)

f

3由單峰原理

x

是最小值點

4

,

最小值

f

f

單調(diào)增加故有

f

,即

(3)

fx2x

Mf證畢

由

f

,得

448．

0xp

,證明

從而有

x

4

證畢2

1p

x

p

成立.

二、證明方程根的個數(shù)證：(1)

f

10．:當p時方x

pxq

僅有一個x

實根.(2)

f

x

px

p

0

證：(1)

f

5

px,x

駐點

x

12

f(3),f2p(4)較上述函數(shù)值的大:

12

ff(2)f是一元五次方程至少有一個實根

最多有一個實根8

f0,22蘇州大學生網(wǎng)f0,22(3)上所述

專轉(zhuǎn)本f

有且只有一個實根

證畢

f11．明方程

x

xx

只有一個正.

同理:

f證1)

f()3cos

總之,

f

至少有兩個實根f

2

sinx

(2)

f

一元二次方程最有兩個f

單調(diào)增

實根．故

f

最多有一實根

(３)綜上所述：

f

且僅有兩個實根(2)在2f

連續(xù)且

13．常數(shù)0,x證明方程e

,在

內(nèi)有且僅有兩個正根

2

證：(1)

f(x)lnx

xe

(x>0)∴由零點定理:

f

(2)

f

(x)

1x

;令

f

至少有一個正根

駐點

（）上所述:

f

有且僅有一個正根

f

x2

<0,

fe212．明方程:

為極大值點

由單峰原理

是最大值點

最大值

f有且僅有兩個實.

且

limfx

,解：(1)

f

lim

x

故

f

與

軸有且僅有兩個交點fff∴由零點定理:

(如示意圖9

0900V蘇州大學生網(wǎng)0900V專轉(zhuǎn)本f即

有

時的底半徑與高

且只有兩個實根三、應題（每小題10分，共50分

解：(1)出示意圖14．知曲線

y

1x

.（）曲線在橫坐標為的處的切線方.0（）曲線的切線被兩坐標軸所截線段的最短長.

(2)題意,所求圓柱體體積為V解：(1)切線方:點'0

1

,r2V

2

3(3)駐點切線方程

1yxx30

令

V

,即

23yxx0

R2

駐點

(2)

0x

;

（）求最值:

V

h3令xx09(3)2x2

3rR答當h

30R3122R3332RrR33

為最大值點時所圓柱體體積最大令(4)

0,x6xy0092

12

16．客輪每小時消耗料的費用速度的立方正比,若該客輪從甲城到已城沿江逆流而上,設流速度為最小值

每小時

公里,客輪最經(jīng)濟的速?

29342

解列出數(shù)關(guān)系:設從甲城沿江到乙城的程為s消耗總費用為.題意:15．半徑為R的半徑內(nèi)作一個圓柱求最大體積

y3t

sv

,其

t

是甲城到乙城所需要的時10

蘇州大學生網(wǎng)

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間

當

r

3

時總價最.y

vv

(4)當

r

3

時

10

2

3(2)駐:

y

3

答當

hr

時總價最低.

v

18．一塊半徑為R的鐵片上挖去個扇,把留下的中心角取大時做的漏斗的容積最?令

y

駐點

32

c(3)最:由實際問題的意義知:最小值存在且點唯,當

v

32

c

時客輪消耗燃料總費用最省

解：(1)出函數(shù)關(guān)系式設漏斗體積為V17做個容積是3000的蓋圓柱形的蓄水,

依題意

13

r2h,

2

h

2

2已知池底單位面積造價為池壁單位面積的倍,蓄

rR

,

13

r2水池的尺寸怎樣設計才使總造價最?

(2)求點解：(1)列函數(shù)關(guān)系式設底半徑為

r

,池為

,池

V

R

2

R

r

r

壁單位面積造價元總價為,依題意y,r2h

令

=0.

R

2

2

R

r2226000yaar(2)求駐點:令y點r3

6000r2

a

r2,駐點r又

23

233(3)求值(3)求最值:由實際問題意義知漏斗最大容積存在,且駐點唯一y

1200010,y)0r3

當

83

時漏的容積最.11

1x蘇州大學生網(wǎng)1x

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第講:不定積的念換積法

D．

f

的化習答

解

f

f

x2一、單項選擇題每小題4分共24分

12選A

f1．

F

上的一個原函數(shù)且

4．

f

x

且F

為奇函數(shù)則

f

是)

f

,則

f

=()A．偶函數(shù)B．奇數(shù)

A．

x

1x2B2

x

2C．非奇非偶函數(shù)D．能確定

C．

D．

x

13

x

3解

可導奇函數(shù)的導函數(shù)必為偶函.

解：(1)

fxf

必為偶函數(shù)選A

2．知f,g函數(shù)為x2則f)

(2)f且fA．

x

B

cos

2

xC．

cosx

2

D．

x

f

x

選A解:(1)

f

,5．

e

是

f

的一個原函,則(2)sin)

lim0

f

()A．

e

x

B．

e

x

選B3設

f

連導函數(shù),則列命題確的

C．

D．

e

x解：(1)()A

f

12

f

原式=

lim0

B．

f

C．

f

(2)

F

x12

114x蘇州大學生網(wǎng)114x

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f

9．

f

2

,則(3)原式=

e

e

選D

2f

=6．f1Ax1C．x

,則

f

dx=()xBxD．ln

解：原=3310．22

3

解：(1)

f

x

dx

f

解：原式

cos22

f

11d4sincos

(2)

f

1144f

ln

ln

1x

1x

或

12

csc

(3)式=

1x

選C

11．

f

,則二、填空題

f7．

xlnx是f

的一個原函數(shù),則

解：原式

f

=

12．

f

,則解：(1)

F

ff

ln

解：(2)

f

1x

lnf18．

f

f

sin23

lncos

,則

k

三、計算題解：

F

x

2ln3

13．

x

xf

223cosx

解原式=

2

e

x

x

tan3

故

k

43

x

dx

x

dx

13

18．12222d21蘇州大學生網(wǎng)18．12222d21

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9xlnln14．dxx解原式

dcosxtanx21tanxx

dx

sin

解令

xx22tdt=x)15．dxxcosxlnx解原式tanx2x

dx

2t1原式=dt11=t回代2arctanx

2

lnxdtanxtanxxx

19．

x31

2

dx

12

x

16．

1

1

解原式

arctan2

dx

解令xtdxsec2tan3t原式=sec2t1arctan1111arctandarctanx112x117．dx1x1sindx解原式121sindxdxcosx

=tdsect1sec3tt3回代13x2x120．x

2

14

22x211蘇州大學生網(wǎng)22x211

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22．

x解令e解令

2sintdxtdt

x

t1

2

原式=

2costtt

原式=

t

dt2

t

2dt

12

tdt

=

t公式

lntcot

回代

x

arctane

x

回代12ln2

五、證題（每小題9分共18分23．Ff一個原函數(shù),且四、綜合題（每小題10分共20分121．x1解倒代換令x,dxtt

fF0,Fx證明:f1x

,原式=

t

t1t2

dt1t23t

F證fFFxdxdxF2lnF2

1

回代1arcsinx13x(注:(三角代)令xt

F1F2fx21x

由F22x2x

,得

c3sectantdtttant原式=tt3

24．F的一個原函數(shù)且

的一個原函數(shù)，

G()

是

f()回代arccosx

)

F

證明:15

10解原=2蘇州大學生網(wǎng)專轉(zhuǎn)10解原=2f證(1)F

12

lnx

dx1010

F

12

lnx

110

lnf

1f

選做題2．

x

dxf

1f

0

解原式=

dxxx

F

2

lne

x

(2)論,

,即

選做題3．

1

dxffflnff1由f

解原式=xd1x3故有

f

第八講:不定分的分部積法等的

若

F

,即

f

強化練習題案lnf2

由

f

,得

c

一、單項選擇題（每小題分共24分故有

f

證畢

1．e是

f

的一個原函數(shù),則選做題

f

()11．x

12

A．eBC．eD．解：F

1dxx9

原=

xdF16

2蘇州大學生網(wǎng)2

專轉(zhuǎn)本

xe

e

4．

xf

=()選A

A．

xf

f2．

f

的一個原函數(shù)為

2x

,則

B．

()

C．

A

lnln

2

x

B

2lnln

2

x

D．

fC．

2lnln

2

x

D．

lnln

2

x

解：原=

xdf解：

F

ln

f

fx

f

選Cxf

f

5．

xcos2

x

dx

()2ln2x選C

A．B．

tanxtanxlncosx3．

f

,則

C．

tansinxf

=()

D．

xlnAC．

xexe

xx

x2x2

BD．

xx

解：原=tanxxtanxdxxdx=xtanxx解：(1)

f

x

=

xxf

選B(2)

f

x

x

6．

x

2

1

2

dx

()

2

x2xx

A．

1x

arctanx選B

B．

1x

17

12蘇州大學生網(wǎng)12

專轉(zhuǎn)本

C．

1x

10．

若

f

x

,則D．

1x

arctanx

f

=x解：原x11dxdxx1arctanxx選C

解：(1)ff(2)fx11．dx解：原=xd二、填空題（每小題4分共24分）7．=

∫

xx

dx解：原ln1xlnxxlnx

cotsinx12．解：原=2

28．

e

x

dx

f

f

2

解：原

x

e

t

三、計算題（每小題8分，共64分2

t

t

t

lnsinx13．dxcos.解：原式=xdtan回代

x

x

=

tanx

xx

dx19．dx=xx拆項解：原x1dxdxxx

=tanx=tan14．x解：原=arctan

xx

==

xarctanx

xdxarctanxd12ln18

12151蘇州大學生網(wǎng)12151

專轉(zhuǎn)本

15．

xcosx

2

t

t

解：原式=

1x22

et

=

4

xdx

ttet

=

4

x2x

2xdx

x

=416