2022高考數(shù)學(xué)二輪導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用名師精析（4）（文）

第四講導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用★★★高考在考什么【考題回放】1．已知對隨意實數(shù)，有f(x)f(x)，g(x)g(x)，且時，f(x)0，g(x)0，則時（B）A．f(x)0，g(x)0B．C．f(x)0，g(x)0D．

f(x)0，g(x)0f(x)0，g(x)0134x，yx12．曲線3在點3處的切線與坐標軸圍成的三角形面積為（A）1212Ａ．9Ｂ．9Ｃ．3Ｄ．33．若曲線yx4的一條切線與直線x4y80垂直，則的方程為AA．4xy30B．x4y50C．4xy30D．x4y304．函數(shù)f(x)x3ax23x9，已知在x3時取得極值，則=（B）B.35．已知函數(shù)f(x)x312x8在區(qū)間[3,3]上的最大值與最小值分別為M,m，則Mm＿＿．326．已知函數(shù)yf(x)y1x2的圖象在點M(1，f(1))處的切線方程是2，則f(1)f(1)＿＿＿＿．37．設(shè)a為實數(shù),函數(shù)f(x)x3x2xa.Ⅰ求f的極值Ⅱ當a在什么范圍內(nèi)取值時,曲線=f軸僅有一個交點解：If'(x)=3－2－11若f'(x)=0，則==－3，=1當變化時，f'(x)，變化情況如下表：1111，∞－∞，－3－31－3，1f'(x)0－0極大值極小值f(15a3)，極小值是f(1)a1∴f的極大值是27II函數(shù)f(x)x3x2xa(x1)2(x1)a15aa(,5)由此可知，取足夠大的正數(shù)時，有f>0，取足夠小的負數(shù)時有f27270即11，∞時，它的極大值也大于0，因此曲線=f與軸僅有一個交點，它在－∞，－3上。a(,5)∴當27∪1，∞時，曲線=f與軸僅有一個交點★★★高考要考什么導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)yf(x)在點處的導(dǎo)數(shù)f(x0)，就是曲線yf(x)在點P(x0,y0)處的切線的斜率；（2）函數(shù)ss(t)在點處的導(dǎo)數(shù)S(t0)，就是物體的運動方程ss(t)在時刻時的剎時速度；2．求函數(shù)單一區(qū)間的步驟：1）、確定f的定義域，2）、求導(dǎo)數(shù)′，3）、令′>0′0時，f在相應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)；當′<0時，f在相應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù)3．求極值常按如下步驟：①確定函數(shù)的定義域；②求導(dǎo)數(shù)；③求方程=0的根及導(dǎo)數(shù)不存在的點，這些根或點也稱為可能極值點；④經(jīng)過列表法,檢查在可能極值點的左右兩側(cè)的符號，確定極值點。4．設(shè)函數(shù)f在[a,b]上連續(xù),在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，求f在[a,b]上的最大（?。┲档牟襟E如下：1求f在a,b內(nèi)的極值，2將f的各極值與fa,fb比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值。5．最值（或極值）點必在下列各樣點之中：導(dǎo)數(shù)等于零的點、導(dǎo)數(shù)不存在的點、端點?！铩铩锎蚱浦仉y點【典范1】已知函數(shù)f(x)ax3bx23x在x1處取得極值（1）議論和f(1)是函數(shù)f的極大值仍是極小值；2）過點A(0,16)作曲線=f的切線，求此切線方程（1）解：f(x)3ax22bx3，依題意，f(1)f(1)0，即3a2b30,3a2b30.解得a1,b0∴f(x)x33x,f(x)3x233(x1)(x1)令f(x)0，得x1,x1若x(,1)(1,)，則f(x)0，故f在(,1)上是增函數(shù)，f在(1,)上是增函數(shù)若x(1,1)，則f(x)0，故f在(1,1)上是減函數(shù)所以，f(1)2是極大值；f(1)2是極小值（2）解：曲線方程為yx33x，點A(0,16)不在曲線上設(shè)切點為M(x0,y0)，則點M的坐標知足y0x033x0因f(x0)3(x021)，故切線的方程為yy03(x021)(xx0)注意到點A（0，16）在切線上，有16(x033x0)3(x021)(0x0)化簡得x038，解得x02所以，切點為M(2,2)，切線方程為9xy160【點晴】過已知點求切線，當點不在曲線上時，求切點的坐標成認識題的重點【典范2】安徽文設(shè)函數(shù)f（）=-co2-4tinco4t2t2-3t4,∈R,其中≤1，將f的最小值記為gtⅠ求gt的表達式；Ⅱ詩論gt在區(qū)間（-1,1）內(nèi)的單一性并求極值解：（I）我們有f(x)cos2x4tsinxcosx4t3t23t422sin2x12tsin4t2t23t4sin2x2tsinxt24t33t3(sinxt)24t33t3．由于(sinxt)2≥0，t≤1，故當sinxt時，達到其最小值，即g(t)4t33t3．（II）我們有g(shù)(t)12t233(2t1)(2t1)，t1．列表如下：1，11，11，222222g1g1極大值2極小值2，11，11，122122由此可見，在區(qū)間和單一增加，在區(qū)間單一減小，極小值為g12g242，極大值為．【點晴】本小題主要考察同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，倍角的正弦公式，正弦函數(shù)的值域，多項式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的單一性，考察應(yīng)用導(dǎo)數(shù)剖析解決多項式函數(shù)的單一區(qū)間，極值與最值等問題的綜合能力．f(x)1x31ax2bx11)，，內(nèi)各有一個極值點．（I）求【典范2】已知函數(shù)32在區(qū)間[a24b的最大值；（II）當a24b8時，設(shè)函數(shù)yf(x)在點A(1，f(1))處的切線為，若在點處穿過函數(shù)yf(x)的圖象（即動點在點鄰近沿曲線yf(x)運動，經(jīng)過點時，從的一側(cè)進入另一側(cè)），求函數(shù)的表達式．f(x)1x31ax2bx11)，，內(nèi)分別有一個極值點，所以解：（I）因為函數(shù)32在區(qū)間[f(x)x2axb在[11)，，內(nèi)分別有一個實根，設(shè)兩實根為x1，x2（x1x2），則x2x1a24b，且0x2x1≤4．于是0a24b≤4，0a24b≤16，且當x11，x23，即a2，b3時等號建立．故a24b的最大值是16．（II）解法一：由f(1)1ab知在點(1，f(1))處的切線的方程是yf(1)f(1)(x1)，即y(1ab)x21a32，因為切線在點A(1，f(x))處空過yf(x)的圖象，g(x)f(x)[(1ab)x21a]所以32在兩邊鄰近的函數(shù)值異號，則不是的極值點．1x31ax2bx(1ab)x21a而3232，且g(x)x2axb(1ab)x2axa1(x1)(x1a)．若11a，則和x1a都是的極值點．所以11a，即a2，又由a24b8，得bf(x)1x3x2x1，故3．g(x)f(x)[(1ab)x21a]解法二：同解法一得321(x1)[x2(13a)x(23a)]322．因為切線在點A(1，f(1))處穿過yf(x)的圖象，所以在兩邊鄰近的函數(shù)值異號，于是存在m1，m2（m11m2）．當m1x1時，g(x)0，當1xm2時，g(x)0；或當m1x1時，g(x)0，當1xm2時，g(x)0．h(x)x213ax23a設(shè)22，則當m1x1時，h(x)0，當1xm2時，h(x)0；或當m1x1時，h(x)0，當1xm2時，h(x)0．由h(1)0知是的一個極值點，則h(1)2113a02，所以a2，又由a24b8，得b1，故f(x)1x3x2x3．變式：設(shè)函數(shù)f(x)2x33ax23bx8c在實時取得極值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若關(guān)于隨意的x[0，3]，都有f(x)c2建立，求c的取值范圍．解：（Ⅰ）f(x)6x26ax3b，因為函數(shù)在及取得極值，則有f(1)0，f(2)0．66a3b0，即2412a3b0．解得a3，．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f(x)2x39x212x8c，f(x)6x218x126(x1)(x