人教A版選擇性必修第三冊第六章6.2.3組合6.2.4組合數(shù)學(xué)案

組合組合數(shù)必備學(xué)問·自主學(xué)習(xí)1.組合的定義一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素作為一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．(1)組合對元素有何要求？提示：組合要求n個元素是不同的，被取出的m個元素也是不同的．(2)組合是有放回抽取還是無放回抽??？提示：無放回抽取，即從n個不同的元素中進行m次不放回抽?。?．組合數(shù)(1)定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的全部不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))表示．(2)本質(zhì)：簡捷地表示“從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的全部組合的個數(shù)〞這類特別的計數(shù)問題．(3)作用：①建立特別的計數(shù)模型；②推導(dǎo)組合數(shù)公式．3．組合數(shù)公式及其性質(zhì)組合數(shù)公式乘積式Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n)),Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(m)))＝eq\f(n〔n－1〕〔n－2〕·…·〔n－m＋1〕,m！)階乘式Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝eq\f(n！,m！〔n－m〕！)性質(zhì)Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝Ceq\o\al(\s\up1(n－m),\s\do1(n))__，Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n＋1))＝Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＋Ceq\o\al(\s\up1(m－1),\s\do1(n))備注①n，m∈N*且m≤n，②規(guī)定：Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(n))＝1組合數(shù)的兩共性質(zhì)在計算組合數(shù)時有何作用？提示：第一共性質(zhì)中，假設(shè)m＞eq\f(n,2)，通常不直接計算Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))，而改為計算Ceq\o\al(\s\up1(n－m),\s\do1(n))，這樣可以削減計算量；其次共性質(zhì)是依據(jù)需要將一個組合數(shù)拆解成兩個組合數(shù)或者把兩個組合數(shù)合成一個組合數(shù)，在解題中要留意敏捷運用．1．辨析記憶(對的打“√〞，錯的打“×〞).(1)從3，5，7，11中任取兩個數(shù)相除屬于組合問題．()(2)由于組合數(shù)的兩個公式都是分式，所以結(jié)果不肯定是整數(shù)．()(3)區(qū)分組合與排列的關(guān)鍵是看問題元素是否與挨次有關(guān)．()提示：(1)×.由于兩個數(shù)相除與挨次有關(guān)，所以是排列問題．(2)×.Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))是從n個元素中取m個元素的狀況的種數(shù)，故Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))肯定是正整數(shù)．(3)√.組合與排列不同之處是組合選出的元素沒有挨次而排列有挨次．2．Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))＝________，Ceq\o\al(\s\up1(17),\s\do1(18))＝________.【解析】Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))＝eq\f(6×5,2)＝15，Ceq\o\al(\s\up1(17),\s\do1(18))＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(18))＝18.答案：15183．(教材練習(xí)改編)現(xiàn)有1，3，7，13這4個數(shù)．(1)從這4個數(shù)中任取2個相乘，可以得到________個不相等的積；(2)從這4個數(shù)中任取2個相除，可以得到________個不相等的商．【解析】(1)可以得到Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝eq\f(4×3,2)＝6個不相等的積；(2)可以得到Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝4×3＝12個不相等的商．答案：(1)6(2)12關(guān)鍵力量·合作學(xué)習(xí)類型一組合與組合數(shù)的概念(數(shù)學(xué)抽象)1．以下四個問題中，屬于組合問題的是()A．從3個不同小球中，取出2個排成一列B．老師在排座次時將甲、乙兩位同學(xué)支配為同桌C．在電視節(jié)目中，主持人從100位幸運觀眾中選出2名幸運之星D.將3張不同的電影票分給10人中的3人，每人1張【解析】選C.只有從100名幸運觀眾中選出2名幸運之星與挨次無關(guān)，是組合問題．2．推斷以下各大事是排列問題還是組合問題，并求出相應(yīng)的排列數(shù)或組合數(shù)．(1)10人相互通一次，共通多少次？(2)10支球隊以單循環(huán)進行競賽(每兩隊競賽一次)，共進行多少場次？(3)10支球隊以單循環(huán)進行競賽，這次競賽冠、亞獲得者有多少種可能？(4)從10個人中選出3個代表去開會，有多少種選法？(5)從10個人中選出3個不同學(xué)科的科代表，有多少種選法？【解析】(1)是組合問題，由于甲與乙通了一次，也就是乙與甲通了一次，沒有挨次的區(qū)分，組合數(shù)為Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(10))＝45.(2)是組合問題，由于每兩個隊競賽一次，并不需要考慮誰先誰后，沒有挨次的區(qū)分，組合數(shù)為Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(10))＝45.(3)是排列問題，由于甲隊得冠、乙隊得亞與甲隊得亞、乙隊得冠是不一樣的，是有挨次區(qū)分的，排列數(shù)為Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(10))＝90.(4)是組合問題，由于之間沒有挨次的區(qū)分，組合數(shù)為Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10))＝120.(5)是排列問題，由于三個人中，擔(dān)當(dāng)哪一科的科代表是有挨次區(qū)分的，排列數(shù)為Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10))＝720.3．A，B，C，D，E五個元素，寫出每次取出3個元素的全部組合．【解析】方法一：可按AB→AC→AD→BC→BD→CD挨次寫出，即所以全部組合為ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.方法二：畫出樹狀圖，如下圖．由此可以寫出全部的組合：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.排列、組合問題的推斷方法(1)區(qū)分排列與組合的方法是首先弄清晰大事是什么，區(qū)分的標(biāo)志是有無挨次．(2)區(qū)分有無挨次的方法是：把問題的一個選擇結(jié)果寫出來，然后交換這個結(jié)果中任意兩個元素的位置，看是否會產(chǎn)生新的變化．假設(shè)有新變化，即說明有挨次，是排列問題；假設(shè)無新變化，即說明無挨次，是組合問題．【加練·固】推斷以下各大事是排列問題還是組合問題．(1)8個伴侶聚會，每兩人握手一次，一共握手多少次？(2)8個伴侶相互各寫一封信，一共寫了多少封信？(3)從1，2，3，…，9這九個數(shù)字中任取3個，組成一個三位數(shù)，這樣的三位數(shù)共有多少個？(4)從1，2，3，…，9這九個數(shù)字中任取3個，組成一個集合，這樣的集合有多少個？【解析】(1)每兩人握手一次，無挨次之分，是組合問題．(2)每兩人相互寫一封信，是排列問題，由于發(fā)信人與收信人是有挨次區(qū)分的．(3)是排列問題，由于取出3個數(shù)字后，假如轉(zhuǎn)變這3個數(shù)字的挨次，便會得到不同的三位數(shù)．(4)是組合問題，由于取出3個數(shù)字后，無論怎樣轉(zhuǎn)變這3個數(shù)字的挨次，其構(gòu)成的集合都不變．類型二組合數(shù)公式及其應(yīng)用(數(shù)學(xué)運算)【典例】eq\f(1,Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(5)))－eq\f(1,Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(6)))＝eq\f(7,10Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(7)))，求Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(8)).四步內(nèi)容理解題意條件：Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(5))，Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(6))，Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(7))及它們之間的等量關(guān)系結(jié)論：求Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(8))思路探求確定m的取值范圍?用組合數(shù)公式?化簡所得等式?解方程求值書寫表達依題意,m的取值范圍是{m|0≤m≤5,m∈N*}.①原方程可化為m!(=7×(7即m!(=7×m所以16-m即m2-23m解得m=2或21(不符合題意,舍去).③所以C8m=C留意書寫的標(biāo)準(zhǔn)性:①求得取值范圍;②正確套用公式;③精確?????化簡并解對方程是解題關(guān)鍵.題后反思應(yīng)用組合數(shù)公式Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))時，一方面要留意依據(jù)題目條件選擇恰當(dāng)?shù)墓?，另一方面要留意m，n∈N*，m≤n.巧用組合數(shù)公式解題(1)涉及詳細數(shù)字的可以直接用Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n)),Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(m)))＝eq\f(n〔n－1〕〔n－2〕…〔n－m＋1〕,m！)進行計算．(2)涉及字母的可以用階乘式Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝eq\f(n！,m！〔n－m〕！)計算．1．計算Ceq\o\al(\s\up1(5－n),\s\do1(n))＋Ceq\o\al(\s\up1(9－n),\s\do1(n＋1))的結(jié)果為________．【解析】eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5－n≤n，,5－n≥0，,9－n≤n＋1，,9－n≥0，))解得4≤n≤5.又由于n∈N*，所以n＝4或n＝5.當(dāng)n＝4時，原式＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))＝5.當(dāng)n＝5時，原式＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(5))＋Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(6))＝16.答案：5或162．證明：mCeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝nCeq\o\al(\s\up1(m－1),\s\do1(n－1)).【證明】由于左邊＝m·eq\f(n！,m！〔n－m〕！)＝eq\f(n·〔n－1〕！,〔m－1〕！〔n－m〕！)＝n·eq\f(〔n－1〕！,〔m－1〕！〔n－m〕！)＝nCeq\o\al(\s\up1(m－1),\s\do1(n－1))＝右邊，所以mCeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝nCeq\o\al(\s\up1(m－1),\s\do1(n－1)).類型三組合數(shù)的性質(zhì)(數(shù)學(xué)運算)角度1

Cnm=【典例】假設(shè)Ceq\o\al(\s\up1(2x－1),\s\do1(8))＝Ceq\o\al(\s\up1(x＋3),\s\do1(8))，那么x的值為________．【思路導(dǎo)引】先依據(jù)組合數(shù)的定義及性質(zhì)Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝Ceq\o\al(\s\up1(n－m),\s\do1(n))化簡變形，再解方程求x的值．【解析】由Ceq\o\al(\s\up1(2x－1),\s\do1(8))＝Ceq\o\al(\s\up1(x＋3),\s\do1(8))得2x－1＝x＋3或2x－1＋x＋3＝8，解得x＝4或x＝2.答案：2或4【變式探究】將本例條件改為Ceq\o\al(\s\up1(3x＋6),\s\do1(18))＝Ceq\o\al(\s\up1(4x－2),\s\do1(18))，求x的值．【解析】由題意得3x＋6＝4x－2，或3x＋6＝18－(4x－2)，解得x＝2或x＝8.而3x＋6≤18且4x－2≤18，即x≤4，且x∈N*，所以x＝8不合題意，應(yīng)舍去，所以x＝2.角度2

Cnm+Cn【典例】計算Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))＝________．【思路導(dǎo)引】依據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＋Ceq\o\al(\s\up1(m－1),\s\do1(n))＝Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n＋1))計算可得．【解析】Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7))＝eq\f(7×6×5,3×2×1)＝35.答案：351．性質(zhì)“Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝Ceq\o\al(\s\up1(n－m),\s\do1(n))〞的意義及作用2．要留意性質(zhì)Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n＋1))＝Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＋Ceq\o\al(\s\up1(m－1),\s\do1(n))的順用、逆用、變形用．順用是將一個組合數(shù)拆成兩個；逆用那么是“合二為一〞．1．計算Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))＋…＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(2021))的值為()A．Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(2022)) B．Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(2022))C．Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(2022))－1 D．Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(2022))－1【解析】選eq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))＋…＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(2021))＝Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＋…＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(2021))－Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＋…＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(2021))－1＝…＝Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(2021))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(2021))－1＝Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(2022))－1.2．計算：(1)Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(8))＋Ceq\o\al(\s\up1(98),\s\do1(100))·Ceq\o\al(\s\up1(7),\s\do1(7))；(2)Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(5))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＋Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5))＋Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5)).【解析】(1)原式＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(8))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(100))×1＝eq\f(8×7×6,3×2×1)＋eq\f(100×99,2×1)＝56＋4950＝5006.(2)原式＝2(Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(5))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)))＝2(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(6))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)))＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6＋\f(5×4,2×1)))＝32.【加練·固】求證：Ceq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(m＋2))＝Ceq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(m))＋2Ceq\o\al(\s\up1(n－1),\s\do1(m))＋Ceq\o\al(\s\up1(n－2),\s\do1(m)).【證明】由組合數(shù)的性質(zhì)Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n＋1))＝Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＋Ceq\o\al(\s\up1(m－1),\s\do1(n))可知，右邊＝(Ceq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(m))＋Ceq\o\al(\s\up1(n－1),\s\do1(m)))＋(Ceq\o\al(\s\up1(n－1),\s\do1(m))＋Ceq\o\al(\s\up1(n－2),\s\do1(m)))＝Ceq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(m＋1))＋Ceq\o\al(\s\up1(n－1),\s\do1(m＋1))＝Ceq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(m＋2))＝左邊，右邊＝左邊，所以原式成立．課堂檢測·素養(yǎng)達標(biāo)1．把三張游園票分給10個人中的3人，分法有()A．Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10))種 B．Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10))種C．30種 D．60種【解析】選B.三張票沒區(qū)分，從10人中選3人即可，即Ceq\o\al(\s\u