湖北省孝感市八校教學(xué)聯(lián)盟2023年高三4月調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題

湖北省孝感市八校教學(xué)聯(lián)盟2023年高三4月調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知的內(nèi)角的對邊分別是且，若為最大邊，則的取值范圍是（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)若函數(shù)在上零點(diǎn)最多，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．某校8位學(xué)生的本次月考成績恰好都比上一次的月考成績高出50分，則以該8位學(xué)生這兩次的月考成績各自組成樣本，則這兩個樣本不變的數(shù)字特征是（）A．方差 B．中位數(shù) C．眾數(shù) D．平均數(shù)4．在中，，，，則邊上的高為（）A． B．2 C． D．5．已知中，，則（）A．1 B． C． D．6．若復(fù)數(shù)（）是純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．已知集合，，若，則（）A． B． C． D．8．函數(shù)的圖象為C，以下結(jié)論中正確的是（）①圖象C關(guān)于直線對稱；②圖象C關(guān)于點(diǎn)對稱；③由y=2sin2x的圖象向右平移個單位長度可以得到圖象C.A．① B．①② C．②③ D．①②③9．已知命題p：“”是“”的充要條件；，，則（）A．為真命題 B．為真命題C．為真命題 D．為假命題10．在正方體中，球同時與以為公共頂點(diǎn)的三個面相切，球同時與以為公共頂點(diǎn)的三個面相切，且兩球相切于點(diǎn).若以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線經(jīng)過，設(shè)球的半徑分別為，則（）A． B． C． D．11．設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則()A． B． C．1 D．212．在四邊形中，，，，，，點(diǎn)在線段的延長線上，且，點(diǎn)在邊所在直線上，則的最大值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量=（1，2），=（-3，1），則=______．14．已知二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為512，其展開式中第四項(xiàng)的系數(shù)__________．15．某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品.已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗原料2千克，原料1千克.每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元.公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中，要求每天消耗原料都不超過12千克.通過合理安排生產(chǎn)計(jì)劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤是__________元.16．設(shè)集合，（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），且，則滿足條件的實(shí)數(shù)a的個數(shù)為______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)為何值時，軸為曲線的切線；（2）用表示、中的最大值，設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，討論零點(diǎn)的個數(shù).18．（12分）已知函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù).（1）若，討論的單調(diào)性；（2）若有兩個極值點(diǎn)，求的取值范圍，并證明:.19．（12分）[選修4-5：不等式選講]:已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）設(shè)，，且的最小值為.若，求的最小值.20．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若對任意成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）如圖,設(shè)點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，圓過且斜率為的直線交圓于兩點(diǎn)，交橢圓于點(diǎn)兩點(diǎn)，已知當(dāng)時，（1）求橢圓的方程.（2）當(dāng)時，求的面積.22．（10分）已知函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x－2|.若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)(a≠0，a、b∈R)恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

由，化簡得到的值，根據(jù)余弦定理和基本不等式，即可求解.【詳解】由，可得，可得，通分得，整理得，所以，因?yàn)闉槿切蔚淖畲蠼?，所以，又由余弦定理，?dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，即，又由，所以的取值范圍是.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式的化簡，余弦定理，以及基本不等式的綜合應(yīng)用，試題難度較大，屬于中檔試題，著重考查了推理與運(yùn)算能力.2、D【解析】

將函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線的交點(diǎn)的個數(shù)問題，畫出函數(shù)的圖象，易知直線過定點(diǎn)，故與在時的圖象必有兩個交點(diǎn)，故只需與在時的圖象有兩個交點(diǎn)，再與切線問題相結(jié)合，即可求解.【詳解】由圖知與有個公共點(diǎn)即可，即，當(dāng)設(shè)切點(diǎn)，則，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)的問題，曲線的切線問題，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于較難的壓軸題.3、A【解析】

通過方差公式分析可知方差沒有改變，中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)都發(fā)生了改變.【詳解】由題可知，中位數(shù)和眾數(shù)、平均數(shù)都有變化.本次和上次的月考成績相比，成績和平均數(shù)都增加了50，所以沒有改變，根據(jù)方差公式可知方差不變.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查樣本的數(shù)字特征，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.4、C【解析】

結(jié)合正弦定理、三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式，求得邊長，由此求得邊上的高.【詳解】過作，交的延長線于.由于，所以為鈍角，且，所以.在三角形中，由正弦定理得，即，所以.在中有，即邊上的高為.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式，屬于中檔題.5、C【解析】

以為基底，將用基底表示，根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律，即可求解.【詳解】,,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算以及向量的基本定理，考查向量數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題.6、B【解析】

化簡復(fù)數(shù)，由它是純虛數(shù)，求得，從而確定對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】是純虛數(shù)，則，，，對應(yīng)點(diǎn)為，在第二象限．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的概念與幾何意義．本題屬于基礎(chǔ)題．7、A【解析】

由，得，代入集合B即可得.【詳解】，，，即：，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了集合交集的含義，也考查了元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的對稱軸、對稱中心和圖象變換的知識，判斷出正確的結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，又，所以①正確.，所以②正確.將的圖象向右平移個單位長度，得，所以③錯誤.所以①②正確，③錯誤.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的對稱軸、對稱中心，考查三角函數(shù)圖象變換，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

由的單調(diào)性，可判斷p是真命題；分類討論打開絕對值，可得q是假命題，依次分析即得解【詳解】由函數(shù)是R上的增函數(shù)，知命題p是真命題．對于命題q，當(dāng)，即時，；當(dāng)，即時，，由，得，無解，因此命題q是假命題．所以為假命題，A錯誤；為真命題，B正確；為假命題，C錯誤；為真命題，D錯誤．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了命題的邏輯連接詞，考查了學(xué)生邏輯推理，分類討論，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.10、D【解析】

由題先畫出立體圖，再畫出平面處的截面圖，由拋物線第一定義可知，點(diǎn)到點(diǎn)的距離即半徑，也即點(diǎn)到面的距離，點(diǎn)到直線的距離即點(diǎn)到面的距離因此球內(nèi)切于正方體，設(shè)，兩球球心和公切點(diǎn)都在體對角線上，通過幾何關(guān)系可轉(zhuǎn)化出，進(jìn)而求解【詳解】根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，其中點(diǎn)到點(diǎn)的距離即半徑，也即點(diǎn)到面的距離，點(diǎn)到直線的距離即點(diǎn)到面的距離，因此球內(nèi)切于正方體，不妨設(shè)，兩個球心和兩球的切點(diǎn)均在體對角線上，兩個球在平面處的截面如圖所示，則，所以.又因?yàn)椋虼?，得，所?故選：D【點(diǎn)睛】本題考查立體圖與平面圖的轉(zhuǎn)化，拋物線幾何性質(zhì)的使用，內(nèi)切球的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化思想，直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)11、C【解析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡已知條件，求得的值.【詳解】由于等差數(shù)列滿足，所以，，.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

依題意，如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)求出的坐標(biāo)，求出邊所在直線的方程，設(shè)，利用坐標(biāo)表示，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.【詳解】解：依題意，如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，由，，，，，，，因?yàn)辄c(diǎn)在線段的延長線上，設(shè)，解得，所在直線的方程為因?yàn)辄c(diǎn)在邊所在直線上，故設(shè)當(dāng)時故選：【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積，關(guān)鍵是建立平面直角坐標(biāo)系，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-6【解析】

由可求，然后根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可求.【詳解】∵=（1，2），=（-3，1），∴=（-4，-1），則=1×（-4）+2×（-1）=-6故答案為-6【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)試題．14、【解析】

先令可得其展開式各項(xiàng)系數(shù)的和，又由題意得，解得，進(jìn)而可得其展開式的通項(xiàng)，即可得答案.【詳解】令，則有，解得，則二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，令，則其展開式中的第4項(xiàng)的系數(shù)為，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，解題時需要區(qū)分展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和與各二項(xiàng)式系數(shù)和，屬于基礎(chǔ)題.15、1元【解析】設(shè)分別生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品為桶，桶，利潤為元

則根據(jù)題意可得目標(biāo)函數(shù)，作出可行域，如圖所示作直線然后把直線向可行域平移，

由圖象知當(dāng)直線經(jīng)過時，目標(biāo)函數(shù)的截距最大，此時最大，

由可得，即此時最大，

即該公司每天生產(chǎn)的甲4桶，乙4桶，可獲得最大利潤，最大利潤為1．【點(diǎn)睛】本題考查用線性規(guī)劃知識求利潤的最大值，根據(jù)條件建立不等式關(guān)系，以及利用線性規(guī)劃的知識進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．16、【解析】

可看出，這樣根據(jù)即可得出，從而得出滿足條件的實(shí)數(shù)的個數(shù)為1．【詳解】解：，或，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)與的圖象，由圖可知與無交點(diǎn)，無解，則滿足條件的實(shí)數(shù)的個數(shù)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】考查列舉法的定義，交集的定義及運(yùn)算，以及知道方程無解，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，然后根據(jù)可解得實(shí)數(shù)的值；（2）令，，然后對實(shí)數(shù)進(jìn)行分類討論，結(jié)合和的符號來確定函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).【詳解】（1），，設(shè)曲線與軸相切于點(diǎn)，則，即，解得.所以，當(dāng)時，軸為曲線的切線；（2）令，，則，，由，得.當(dāng)時，，此時，函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)時，，此時，函數(shù)為減函數(shù).，.①當(dāng)，即當(dāng)時，函數(shù)有一個零點(diǎn)；②當(dāng)，即當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點(diǎn)；③當(dāng)，即當(dāng)時，函數(shù)有三個零點(diǎn)；④當(dāng)，即當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點(diǎn)；⑤當(dāng)，即當(dāng)時，函數(shù)只有一個零點(diǎn).綜上所述，當(dāng)或時，函數(shù)只有一個零點(diǎn)；當(dāng)或時，函數(shù)有兩個零點(diǎn)；當(dāng)時，函數(shù)有三個零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究切線方程和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)用，屬難題．18、（1）減區(qū)間是，增區(qū)間是；（2），證明見解析.【解析】

（1）當(dāng)時，求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)以及二階導(dǎo)函數(shù)，由此求得的單調(diào)區(qū)間.（2）令求得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間、極值和最值，結(jié)合有兩個極值點(diǎn)，求得的取值范圍.將代入列方程組，由證得.【詳解】（1），，又，所以在單增，從而當(dāng)時，遞減，當(dāng)時，遞增.（2）.令，令，則故在遞增，在遞減，所以.注意到當(dāng)時，所以當(dāng)時，有一個極值點(diǎn)，當(dāng)時，有兩個極值點(diǎn)，當(dāng)時，沒有極值點(diǎn)，綜上因?yàn)槭堑膬蓚€極值點(diǎn)，所以不妨設(shè)，得，因?yàn)樵谶f減，且，所以又所以【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.19、（1）（2）【解析】

（1）當(dāng)時，，原不等式可化為，分類討論即可求得不等式的解集；（2）由題意得，的最小值為，所以，由，得，利用基本不等式即可求解其最小值．【詳解】（1）當(dāng)時，，原不等式可化為，①當(dāng)時，不等式①可化為，解得，此時；當(dāng)時，不等式①可化為，解得，此時；當(dāng)時，不等式①可化為，解得，此時，綜上，原不等式的解集為.（2）由題意得，，因?yàn)榈淖钚≈禐?，所以，由，得，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時，的最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對值不等式問題，對于含絕對值不等式的解法有兩個基本方法，一是運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間討論，二是利用絕對值的幾何意義求解．法一是運(yùn)用分類討論思想，法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將絕對值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用，這是命題的新動向．20、（1）（2）【解析】

（1）把代入，利用零點(diǎn)分段討論法求解；（2）對任意成立轉(zhuǎn)化為求的最小值可得.【詳解】解：（1）當(dāng)時，不等式可化為.討論：①當(dāng)時，，所以，所以；②當(dāng)時，，所以，所以；③當(dāng)時，，所以，所以.綜上，當(dāng)時，不等式的解集為.（2）因?yàn)椋?又因?yàn)?，對任意成立，所以，所以?故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查含有絕對值不等式的解法及恒成立問題，恒成立問題一般是轉(zhuǎn)化為最值問題求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).21、（1）（2）【解析】

（1）先求出圓心到直線的距離為，再根據(jù)得到，解之即得a的值，再根據(jù)c=1求出b的值得到橢圓的方程.(2)先求出，，再求得的面積.【詳解】(1)因?yàn)橹本€過點(diǎn)，且斜率.所以直線的方程為，即，所以圓心到直線的距離為，又因?yàn)?，圓的半徑為，所以，即，解之得，或（舍去）.所以，所以所示橢圓的方程為.(2)由(1)得，橢圓的右準(zhǔn)線方程為，離心率