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文檔簡介
江蘇省南京江浦高級中學(xué)2022-2023學(xué)年高考第三次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題試卷注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)記作,已知復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面上的點,復(fù)數(shù):滿足.則等于()A. B. C. D.2.如圖,在三棱錐中,平面,,,,,分別是棱,,的中點,則異面直線與所成角的余弦值為A.0 B. C. D.13.如圖,某幾何體的三視圖是由三個邊長為2的正方形和其內(nèi)部的一些虛線構(gòu)成的,則該幾何體的體積為()A. B. C.6 D.與點O的位置有關(guān)4.若向量,,則與共線的向量可以是()A. B. C. D.5.已知空間兩不同直線、,兩不同平面,,下列命題正確的是()A.若且,則 B.若且,則C.若且,則 D.若不垂直于,且,則不垂直于6.將一塊邊長為的正方形薄鐵皮按如圖(1)所示的陰影部分裁下,然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器,將該容器按如圖(2)放置,若其正視圖為等腰直角三角形,且該容器的容積為,則的值為()A.6 B.8 C.10 D.127.中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”,主要指德育;“樂”,主要指美育;“射”和“御”,就是體育和勞動;“書”,指各種歷史文化知識;“數(shù)”,數(shù)學(xué).某校國學(xué)社團開展“六藝”課程講座活動,每藝安排一節(jié),連排六節(jié),一天課程講座排課有如下要求:“樂”不排在第一節(jié),“射”和“御”兩門課程不相鄰,則“六藝”課程講座不同的排課順序共有()種.A.408 B.120 C.156 D.2408.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z=i對應(yīng)的點為Z,將向量繞原點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn),所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A. B. C. D.9.下列判斷錯誤的是()A.若隨機變量服從正態(tài)分布,則B.已知直線平面,直線平面,則“”是“”的充分不必要條件C.若隨機變量服從二項分布:,則D.是的充分不必要條件10.已知定義在上函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱,且,若,則()A.0 B.1 C.673 D.67411.已知直線過雙曲線C:的左焦點F,且與雙曲線C在第二象限交于點A,若(O為坐標(biāo)原點),則雙曲線C的離心率為A. B. C. D.12.某個命題與自然數(shù)有關(guān),且已證得“假設(shè)時該命題成立,則時該命題也成立”.現(xiàn)已知當(dāng)時,該命題不成立,那么()A.當(dāng)時,該命題不成立 B.當(dāng)時,該命題成立C.當(dāng)時,該命題不成立 D.當(dāng)時,該命題成立二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若實數(shù)x,y滿足不等式組x+y-4≤0,2x-3y-8≤0,x≥1,則目標(biāo)函數(shù)14.在△ABC中,∠BAC=,AD為∠BAC的角平分線,且,若AB=2,則BC=_______.15.已知實數(shù),滿足則的取值范圍是______.16.已知非零向量的夾角為,且,則______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某單位準(zhǔn)備購買三臺設(shè)備,型號分別為已知這三臺設(shè)備均使用同一種易耗品,提供設(shè)備的商家規(guī)定:可以在購買設(shè)備的同時購買該易耗品,每件易耗品的價格為100元,也可以在設(shè)備使用過程中,隨時單獨購買易耗品,每件易耗品的價格為200元.為了決策在購買設(shè)備時應(yīng)購買的易耗品的件數(shù).該單位調(diào)查了這三種型號的設(shè)備各60臺,調(diào)査每臺設(shè)備在一個月中使用的易耗品的件數(shù),并得到統(tǒng)計表如下所示.每臺設(shè)備一個月中使用的易耗品的件數(shù)678型號A30300頻數(shù)型號B203010型號C04515將調(diào)查的每種型號的設(shè)備的頻率視為概率,各臺設(shè)備在易耗品的使用上相互獨立.(1)求該單位一個月中三臺設(shè)備使用的易耗品總數(shù)超過21件的概率;(2)以該單位一個月購買易耗品所需總費用的期望值為決策依據(jù),該單位在購買設(shè)備時應(yīng)同時購買20件還是21件易耗品?18.(12分)的內(nèi)角的對邊分別為,且.(1)求;(2)若,點為邊的中點,且,求的面積.19.(12分)已知函數(shù).若在定義域內(nèi)存在,使得成立,則稱為函數(shù)的局部對稱點.(1)若a,且a≠0,證明:函數(shù)有局部對稱點;(2)若函數(shù)在定義域內(nèi)有局部對稱點,求實數(shù)c的取值范圍;(3)若函數(shù)在R上有局部對稱點,求實數(shù)m的取值范圍.20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓:()的左、右焦點分別為、,且點、與橢圓的上頂點構(gòu)成邊長為2的等邊三角形.(1)求橢圓的方程;(2)已知直線與橢圓相切于點,且分別與直線和直線相交于點、.試判斷是否為定值,并說明理由.21.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,解不等式;(2)設(shè)不等式的解集為,若,求實數(shù)的取值范圍.22.(10分)數(shù)列滿足,,其前n項和為,數(shù)列的前n項積為.(1)求和數(shù)列的通項公式;(2)設(shè),求的前n項和,并證明:對任意的正整數(shù)m、k,均有.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得出復(fù)數(shù),進而得出,由得出可計算出,由此可計算出.【詳解】由于復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面上的點,,則,,,因此,.故選:A.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)模的計算,考查了復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示、共軛復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)的除法,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】
根據(jù)題意可得平面,,則即異面直線與所成的角,連接CG,在中,,易得,所以,所以,故選B.3、B【解析】
根據(jù)三視圖還原直觀圖如下圖所示,幾何體的體積為正方體的體積減去四棱錐的體積,即可求出結(jié)論.【詳解】如下圖是還原后的幾何體,是由棱長為2的正方體挖去一個四棱錐構(gòu)成的,正方體的體積為8,四棱錐的底面是邊長為2的正方形,頂點O在平面上,高為2,所以四棱錐的體積為,所以該幾何體的體積為.故選:B.【點睛】本題考查三視圖求幾何體的體積,還原幾何體的直觀圖是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】
先利用向量坐標(biāo)運算求出向量,然后利用向量平行的條件判斷即可.【詳解】故選B【點睛】本題考查向量的坐標(biāo)運算和向量平行的判定,屬于基礎(chǔ)題,在解題中要注意橫坐標(biāo)與橫坐標(biāo)對應(yīng),縱坐標(biāo)與縱坐標(biāo)對應(yīng),切不可錯位.5、C【解析】因答案A中的直線可以異面或相交,故不正確;答案B中的直線也成立,故不正確;答案C中的直線可以平移到平面中,所以由面面垂直的判定定理可知兩平面互相垂直,是正確的;答案D中直線也有可能垂直于直線,故不正確.應(yīng)選答案C.6、D【解析】
推導(dǎo)出,且,,,設(shè)中點為,則平面,由此能表示出該容器的體積,從而求出參數(shù)的值.【詳解】解:如圖(4),為該四棱錐的正視圖,由圖(3)可知,,且,由為等腰直角三角形可知,,設(shè)中點為,則平面,∴,∴,解得.故選:D【點睛】本題考查三視圖和錐體的體積計算公式的應(yīng)用,屬于中檔題.7、A【解析】
利用間接法求解,首先對6門課程全排列,減去“樂”排在第一節(jié)的情況,再減去“射”和“御”兩門課程相鄰的情況,最后還需加上“樂”排在第一節(jié),且“射”和“御”兩門課程相鄰的情況;【詳解】解:根據(jù)題意,首先不做任何考慮直接全排列則有(種),當(dāng)“樂”排在第一節(jié)有(種),當(dāng)“射”和“御”兩門課程相鄰時有(種),當(dāng)“樂”排在第一節(jié),且“射”和“御”兩門課程相鄰時有(種),則滿足“樂”不排在第一節(jié),“射”和“御”兩門課程不相鄰的排法有(種),故選:.【點睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用,注意“樂”的排列對“射”和“御”兩門課程相鄰的影響,屬于中檔題.8、A【解析】
由復(fù)數(shù)z求得點Z的坐標(biāo),得到向量的坐標(biāo),逆時針旋轉(zhuǎn),得到向量的坐標(biāo),則對應(yīng)的復(fù)數(shù)可求.【詳解】解:∵復(fù)數(shù)z=i(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面中對應(yīng)點Z(0,1),
∴=(0,1),將繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到,
設(shè)=(a,b),,則,即,
又,解得:,∴,對應(yīng)復(fù)數(shù)為.故選:A.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,是基礎(chǔ)題.9、D【解析】
根據(jù)正態(tài)分布、空間中點線面的位置關(guān)系、充分條件與必要條件的判斷、二項分布及不等式的性質(zhì)等知識,依次對四個選項加以分析判斷,進而可求解.【詳解】對于選項,若隨機變量服從正態(tài)分布,根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性,有,故選項正確,不符合題意;對于選項,已知直線平面,直線平面,則當(dāng)時一定有,充分性成立,而當(dāng)時,不一定有,故必要性不成立,所以“”是“”的充分不必要條件,故選項正確,不符合題意;對于選項,若隨機變量服從二項分布:,則,故選項正確,不符合題意;對于選項,,僅當(dāng)時有,當(dāng)時,不成立,故充分性不成立;若,僅當(dāng)時有,當(dāng)時,不成立,故必要性不成立.因而是的既不充分也不必要條件,故選項不正確,符合題意.故選:D【點睛】本題考查正態(tài)分布、空間中點線面的位置關(guān)系、充分條件與必要條件的判斷、二項分布及不等式的性質(zhì)等知識,考查理解辨析能力與運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】
由題知為奇函數(shù),且可得函數(shù)的周期為3,分別求出知函數(shù)在一個周期內(nèi)的和是0,利用函數(shù)周期性對所求式子進行化簡可得.【詳解】因為為奇函數(shù),故;因為,故,可知函數(shù)的周期為3;在中,令,故,故函數(shù)在一個周期內(nèi)的函數(shù)值和為0,故.故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性與周期性綜合問題.其解題思路:函數(shù)的奇偶性與周期性相結(jié)合的問題多考查求值問題,常利用奇偶性及周期性進行變換,將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.11、B【解析】
直線的傾斜角為,易得.設(shè)雙曲線C的右焦點為E,可得中,,則,所以雙曲線C的離心率為.故選B.12、C【解析】
寫出命題“假設(shè)時該命題成立,則時該命題也成立”的逆否命題,結(jié)合原命題與逆否命題的真假性一致進行判斷.【詳解】由逆否命題可知,命題“假設(shè)時該命題成立,則時該命題也成立”的逆否命題為“假設(shè)當(dāng)時該命題不成立,則當(dāng)時該命題也不成立”,由于當(dāng)時,該命題不成立,則當(dāng)時,該命題也不成立,故選:C.【點睛】本題考查逆否命題與原命題等價性的應(yīng)用,解題時要寫出原命題的逆否命題,結(jié)合逆否命題的等價性進行判斷,考查邏輯推理能力,屬于中等題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、12【解析】
畫出約束條件的可行域,求出最優(yōu)解,即可求解目標(biāo)函數(shù)的最大值.【詳解】根據(jù)約束條件畫出可行域,如下圖,由x+y-4=02x-3y-8=0,解得目標(biāo)函數(shù)y=3x-z,當(dāng)y=3x-z過點(4,0)時,z有最大值,且最大值為12.故答案為:12.【點睛】本題考查線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
由,求出長度關(guān)系,利用角平分線以及面積關(guān)系,求出邊,再由余弦定理,即可求解.【詳解】,,,,.故答案為:.【點睛】本題考查共線向量的應(yīng)用、面積公式、余弦定理解三角形,考查計算求解能力,屬于中檔題.15、【解析】
根據(jù)約束條件畫出可行域,即可由直線的平移方法求得的取值范圍.【詳解】.由題意,畫出約束條件表示的平面區(qū)域如下圖所示,令,則如圖所示,圖中直線所示的兩個位置為的臨界位置,根據(jù)幾何關(guān)系可得與軸的兩個交點分別為,所以的取值范圍為.故答案為:【點睛】本題考查了非線性約束條件下線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用,由數(shù)形結(jié)合法求線性目標(biāo)函數(shù)的取值范圍,屬于中檔題.16、1【解析】
由已知條件得出,可得,解之可得答案.【詳解】向量的夾角為,且,,可得:,
可得,
解得,
故答案為:1.【點睛】本題考查根據(jù)向量的數(shù)量積運算求向量的模,關(guān)鍵在于將所求的向量的模平方,利用向量的數(shù)量積化簡求解即可,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)應(yīng)該購買21件易耗品【解析】
(1)由統(tǒng)計表中數(shù)據(jù)可得型號分別為在一個月使用易耗品的件數(shù)為6,7,8時的概率,設(shè)該單位三臺設(shè)備一個月中使用易耗品的件數(shù)總數(shù)為X,則,利用獨立事件概率公式進而求解即可;(2)由題可得X所有可能的取值為,即可求得對應(yīng)的概率,再分別討論該單位在購買設(shè)備時應(yīng)同時購買20件易耗品和21件易耗品時總費用的可能取值及期望,即可分析求解.【詳解】(1)由題中的表格可知A型號的設(shè)備一個月使用易耗品的件數(shù)為6和7的頻率均為;B型號的設(shè)備一個月使用易耗品的件數(shù)為6,7,8的頻率分別為;C型號的設(shè)備一個月使用易耗品的件數(shù)為7和8的頻率分別為;設(shè)該單位一個月中三臺設(shè)備使用易耗品的件數(shù)分別為,則,,,設(shè)該單位三臺設(shè)備一個月中使用易耗品的件數(shù)總數(shù)為X,則而,,故,即該單位一個月中三臺設(shè)備使用的易耗品總數(shù)超過21件的概率為.(2)以題意知,X所有可能的取值為;;;由(1)知,,若該單位在購買設(shè)備的同時購買了20件易耗品,設(shè)該單位一個月中購買易耗品所需的總費用為元,則的所有可能取值為,;;;;;若該單位在肋買設(shè)備的同時購買了21件易耗品,設(shè)該單位一個月中購買易耗品所需的總費用為元,則的所有可能取值為,;;;;,所以該單位在購買設(shè)備時應(yīng)該購買21件易耗品【點睛】本題考查獨立事件的概率,考查離散型隨機變量的分布列和期望,考查數(shù)據(jù)處理能力.18、(1);(2).【解析】
(1)利用正弦定理邊化角,再利用余弦定理求解即可.(2)為為的中線,所以再平方后利用向量的數(shù)量積公式進行求解,再代入可解得,再代入面積公式求解即可.【詳解】(1)由,可得,由余弦定理可得,故.(2)因為為的中線,所以,兩邊同時平方可得,故.因為,所以.所以的面積.【點睛】本題主要考查了利用正余弦定理與面積公式求解三角形的問題,同時也考查了向量在解三角形中的運用,屬于中檔題.19、(1)見解析(2)(3)【解析】
(1)若函數(shù)有局部對稱點,則,即有解,即可求證;(2)由題可得在內(nèi)有解,即方程在區(qū)間上有解,則,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)求得的范圍,即可求得的范圍;(3)由題可得在上有解,即在上有解,設(shè),則可變形為方程在區(qū)間內(nèi)有解,進而求解即可.【詳解】(1)證明:由得,代入得,則得到關(guān)于x的方程,由于且,所以,所以函數(shù)必有局部對稱點(2)解:由題,因為函數(shù)在定義域內(nèi)有局部對稱點所以在內(nèi)有解,即方程在區(qū)間上有解,所以,設(shè),則,所以令,則,當(dāng)時,,故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,當(dāng)時,,故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以,因為,,所以,所以,所以(3)解:由題,,由于,所以,所以(*)在R上有解,令,則,所以方程(*)變?yōu)樵趨^(qū)間內(nèi)有解,需滿足條件:,即,得【點睛】本題考查函數(shù)的局部對稱點的理解,利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的最值問題,考查轉(zhuǎn)化思想與運算能力.20、(1)(2)為定值.【解析】
(1)根據(jù)題意,得出,從而得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)根據(jù)題意設(shè)直線方程:,因為直線與橢圓相切,這
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