2019高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)-6.4數(shù)列求和課件-理-蘇教版

§6.4數(shù)列求和第六章數(shù)列數(shù)學(xué)蘇（理）基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)題型分類·深度剖析思想方法·感悟提高練出高分1.求數(shù)列的前n項和的方法(1)公式法①等差數(shù)列的前n項和公式Sn＝

＝

.②等比數(shù)列的前n項和公式(i)當(dāng)q＝1時，Sn＝

；(ii)當(dāng)q≠1時，Sn＝

＝

.na1(2)分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項，使其轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解.(3)裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項.(4)倒序相加法把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣.(5)錯位相減法主要用于一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣.(6)并項求和法一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和.形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解.例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.2.常見的裂項公式思考辨析判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且公比不等于1，則其前n項和Sn＝ .(

)√√(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和時只要把上式等號兩邊同時乘以a即可根據(jù)錯位相減法求得.(

)××(5)若數(shù)列a1，a2－a1，…，an－an－1是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，則數(shù)列{an}的通項公式是an＝ .(

)√返回(6)推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.(

)√題號答案解析1234

Enter640－20050解析因為a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5.所以lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)＝10lne5＝50lne＝50.例1已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝2·3n－1＋(－1)n·(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，求其前n項和Sn.題型一分組轉(zhuǎn)化法求和思維升華解析解Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln3，所以當(dāng)n為偶數(shù)時，思維升華解析例1已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝2·3n－1＋(－1)n·(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，求其前n項和Sn.題型一分組轉(zhuǎn)化法求和當(dāng)n為奇數(shù)時，思維升華解析例1已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝2·3n－1＋(－1)n·(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，求其前n項和Sn.題型一分組轉(zhuǎn)化法求和思維升華解析例1已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝2·3n－1＋(－1)n·(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，求其前n項和Sn.題型一分組轉(zhuǎn)化法求和綜上所述，Sn＝某些數(shù)列的求和是將數(shù)列分解轉(zhuǎn)化為若干個可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，這就要通過對數(shù)列通項結(jié)構(gòu)特點進(jìn)行分析研究，將數(shù)列的通項合理分解轉(zhuǎn)化.特別注意在含有字母的數(shù)列中對字母的討論.解析思維升華例1已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝2·3n－1＋(－1)n·(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，求其前n項和Sn.題型一分組轉(zhuǎn)化法求和` 跟蹤訓(xùn)練1

(1)數(shù)列{an}中，an＋1＋(－1)nan＝2n－1，則數(shù)列{an}前12項和為________.解析

由已知an＋1＋(－1)nan＝2n－1，

①得an＋2＋(－1)n＋1an＋1＝2n＋1，

②由①②得an＋2＋an＝(－1)n·(2n－1)＋(2n＋1)，取n＝1,5,9及n＝2,6,10，結(jié)果相加可得S12＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a11＋a12＝78.78解析

由已知得數(shù)列{an}的通項公式為an＝3n＋2n－1＝3n－1＋2n，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(2＋5＋…＋3n－1)＋(2＋22＋…＋2n)(2)已知數(shù)列{an}的前n項是3＋2－1,6＋4－1,9＋8－1,12＋16－1，…，則數(shù)列{an}的通項公式an＝_________，其前n項和Sn＝_________________.(2)已知數(shù)列{an}的前n項是3＋2－1,6＋4－1,9＋8－1,12＋16－1，…，則數(shù)列{an}的通項公式an＝_________，其前n項和Sn＝_________________.3n－1＋2n例2已知等差數(shù)列{an}的前3項和為6，前8項和為－4.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；思維點撥解析思維升華題型二錯位相減法求和列方程組求{an}的首項、公差，然后寫出通項an.思維點撥解析思維升華例2已知等差數(shù)列{an}的前3項和為6，前8項和為－4.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；題型二錯位相減法求和解

設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.故an＝3＋(n－1)·(－1)＝4－n.思維點撥解析思維升華例2已知等差數(shù)列{an}的前3項和為6，前8項和為－4.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；題型二錯位相減法求和(1)錯位相減法是求解由等差數(shù)列{bn}和等比數(shù)列{cn}對應(yīng)項之積組成的數(shù)列{an}，即an＝bn×cn的前n項和的方法.這種方法運算量較大，要重視解題過程的訓(xùn)練.(2)注意錯位相減法中等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用范圍.思維點撥解析思維升華例2已知等差數(shù)列{an}的前3項和為6，前8項和為－4.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；題型二錯位相減法求和思維點撥解析思維升華例2(2)設(shè)bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.思維點撥解析思維升華q＝1時，bn為等差數(shù)列，直接求和；q≠1時，用錯位相減法求和．例2(2)設(shè)bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.解由(1)得，bn＝n·qn－1，于是Sn＝1·q0＋2·q1＋3·q2＋…＋n·qn－1.若q≠1，將上式兩邊同乘以q有qSn＝1·q1＋2·q2＋…＋(n－1)·qn－1＋n·qn.思維點撥解析思維升華例2(2)設(shè)bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.兩式相減得到(q－1)Sn＝nqn－1－q1－q2－…－qn－1思維點撥解析思維升華例2(2)設(shè)bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.思維點撥解析思維升華所以Sn＝例2(2)設(shè)bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.解析答案思維升華(1)錯位相減法是求解由等差數(shù)列{bn}和等比數(shù)列{cn}對應(yīng)項之積組成的數(shù)列{an}，即an＝bn×cn的前n項和的方法.這種方法運算量較大，要重視解題過程的訓(xùn)練.(2)注意錯位相減法中等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用范圍.例2(2)設(shè)bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.跟蹤訓(xùn)練2

已知首項為

的等比數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，其前n項和為Sn，且S1＋a1，S2＋a2，S3＋a3成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；解

設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，又∵S1＋a1，S2＋a2，S3＋a3成等差數(shù)列，∴2(S2＋a2)＝S1＋a1＋S3＋a3，跟蹤訓(xùn)練2

已知首項為

的等比數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，其前n項和為Sn，且S1＋a1，S2＋a2，S3＋a3成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；變形得S2－S1＋2a2＝a1＋S3－S2＋a3，即得3a2＝a1＋2a3，跟蹤訓(xùn)練2

已知首項為

的等比數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，其前n項和為Sn，且S1＋a1，S2＋a2，S3＋a3成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若bn＝an·log2an，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求滿足不等式

的最大n值.(2)若bn＝an·log2an，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求滿足不等式

的最大n值.(2)若bn＝an·log2an，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求滿足不等式

的最大n值.∴n的最大值為4.解析題型三裂項相消法求和例3

(2019·山東)已知等差數(shù)列{an}的公差為2，前n項和為Sn，且S1，S2，S4成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；思維升華解析思維升華題型三裂項相消法求和例3

(2019·山東)已知等差數(shù)列{an}的公差為2，前n項和為Sn，且S1，S2，S4成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；由題意得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，解得a1＝1，所以an＝2n－1.利用裂項相消法求和時，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項，再就是將通項公式裂項后，有時候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項之差和系數(shù)之積與原通項公式相等.解析思維升華題型三裂項相消法求和例3

(2019·山東)已知等差數(shù)列{an}的公差為2，前n項和為Sn，且S1，S2，S4成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；解析思維升華解析思維升華解析思維升華當(dāng)n為偶數(shù)時，解析思維升華當(dāng)n為奇數(shù)時，解析思維升華解析思維升華利用裂項相消法求和時，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項，再就是將通項公式裂項后，有時候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項之差和系數(shù)之積與原通項公式相等.跟蹤訓(xùn)練3

在數(shù)列{an}中，a1＝1，當(dāng)n≥2時，其前n項和Sn滿足

(1)求Sn的表達(dá)式；an＝Sn－Sn－1(n≥2)，跟蹤訓(xùn)練3

在數(shù)列{an}中，a1＝1，當(dāng)n≥2時，其前n項和Sn滿足

(1)求Sn的表達(dá)式；即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn，①由題意得Sn－1·Sn≠0，跟蹤訓(xùn)練3

在數(shù)列{an}中，a1＝1，當(dāng)n≥2時，其前n項和Sn滿足

(1)求Sn的表達(dá)式；審題路線圖系列4四審結(jié)構(gòu)定方案典例：(14分)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝－

n2＋kn(其中k∈N*)，且Sn的最大值為8.(1)確定常數(shù)k，并求an；規(guī)范解答溫馨提醒審題線路圖審題線路圖溫馨提醒規(guī)范解答Sn＝－

n2＋kn及Sn最大值為8↓Sn是n的函數(shù)n＝k時(Sn)max＝Sk＝8↓(根據(jù)Sn的結(jié)構(gòu)特征確定k值)↓利用an、Sn的關(guān)系an＝

－n審題線路圖溫馨提醒規(guī)范解答3分

6分

審題線路圖溫馨提醒規(guī)范解答8分

審題線路圖溫馨提醒規(guī)范解答(2)利用Sn求an時不要忽視n＝1的情況；錯位相減時不要漏項或算錯項數(shù).(3)可以通過n＝1,2時的特殊情況對結(jié)論進(jìn)行驗證.審題線路圖溫馨提醒規(guī)范解答溫馨提醒規(guī)范解答審題線路圖

根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征，確定求和方法：錯位相減法溫馨提醒規(guī)范解答審題線路圖↓①式兩邊同乘以2溫馨提醒規(guī)范解答審題線路圖↓錯位相減溫馨提醒規(guī)范解答審題線路圖10分

溫馨提醒規(guī)范解答審題線路圖13分

14分

溫馨提醒規(guī)范解答審題線路圖溫馨提醒規(guī)范解答審題線路圖(2)利用Sn求an時不要忽視n＝1的情況；錯位相減時不要漏項或算錯項數(shù).(3)可以通過n＝1,2時的特殊情況對結(jié)論進(jìn)行驗證.返回方法與技巧非等差、等比數(shù)列的一般數(shù)列求和，主要有兩種思想：(1)轉(zhuǎn)化的思想，即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，這一思想方法往往通過通項分解或錯位相消來完成；(2)不能轉(zhuǎn)化為等差或等比的特殊數(shù)列，往往通過裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等來求和.1.直接應(yīng)用公式求和時，要注意公式的應(yīng)用范圍，如當(dāng)?shù)缺葦?shù)列公比為參數(shù)(字母)時，應(yīng)對其公比是否為1進(jìn)行討論.3.在應(yīng)用裂項相消法時，要注意消項的規(guī)律具有對稱性，即前剩多少項則后剩多少項.2.在應(yīng)用錯位相減法時，注意觀察未合并項的正負(fù)號；結(jié)論中形如an，an＋1的式子應(yīng)進(jìn)行合并.失誤與防范返回23456789101234567891012.已知函數(shù)f(n)＝n2cosnπ，且an＝f(n)＋f(n＋1)，則a1＋a2＋a3＋…＋a100＝________.23456789101解析f(n)＝n2cosnπ由an＝f(n)＋f(n＋1)＝(－1)n·n2＋(－1)n＋1·(n＋1)2＝(－1)n[n2－(n＋1)2]＝(－1)n＋1·(2n＋1)，得a1＋a2＋a3＋…＋a100＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋…＋199＋(－201)＝50×(－2)＝－100.答案－100234567891013.數(shù)列a1＋2，…，ak＋2k，…，a10＋20共有十項，且其和為240，則a1＋…＋ak＋…＋a10的值為________.23456789101解析a1＋…＋ak＋…＋a10＝240－(2＋…＋2k＋…＋20)＝240－110＝130.130234567891014.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－6n，則{|an|}的前n項和Tn＝____________.解析∵由Sn＝n2－6n得{an}是等差數(shù)列，且首項為－5，公差為2.∴an＝－5＋(n－1)×2＝2n－7，∴n≤3時，an<0，n>3時，an>0，5.數(shù)列an＝

，其前n項之和為

，則在平面直角坐標(biāo)系中，直線(n＋1)x＋y＋n＝0在y軸上的截距為________.23456789101解析數(shù)列的前n項和為∴n＝9，∴直線方程為10x＋y＋9＝0.23456789101令x＝0，得y＝－9，∴在y軸上的截距為－9.答案－9345678910126.數(shù)列{an}滿足an＋an＋1＝(n∈N*)，且a1＝1，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，則S21＝________.∴an＋2＝an，則a1＝a3＝a5＝…＝a21，a2＝a4＝a6＝…＝a20，∴S21＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a20＋a21)63456789101234567891012公差為－1的等差數(shù)列，偶數(shù)項構(gòu)成了首項為1，公差為1的等差數(shù)列，通過分組求和可得3456789101234567891012答案

100734567891012(2)求數(shù)列{cn}的前n項和Sn.3456789101234567891012兩式相減，得10.(2019·江西)正項數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.(1)求數(shù)列{an}的通項公式an；34567891012得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0，由于{an}是正項數(shù)列，所以Sn＋1>0.所以Sn＝n2＋n(n∈N*).34567891012n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n，n＝1時，a1＝S1＝2適合上式.∴an＝2n(n∈N*).3456789101234567891012234511.已知數(shù)列2008,2009,1，－2008，－2009，…，這個數(shù)列的特點是從第二項起，每一項都等于它的前后兩項之和，則這個數(shù)列的前2014項之和S2014＝________.解析由已知得an＝an－1＋an＋1(n≥2)，∴an＋1＝an－an－1.故數(shù)列的前8項依次為2008,2009,1，－2008，23451－2009，－1,2008,2009.由此可知數(shù)列為周期數(shù)列，周期為6，且S6＝0.∵2014＝6×335＋4，∴S2014＝S4＝2008＋2009＋1＋(－2008)＝2010.23451答案20102.1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2＝________.解析當(dāng)n為偶數(shù)時，1－4＋9－16＋…＋(－1)