甘肅省張掖市某重點(diǎn)校2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（ 含答案解析 ）

第1頁/共1頁2023年春學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)試卷2023年4月第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（每小題5分）1.已知復(fù)數(shù)滿足，是虛數(shù)單位，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用復(fù)數(shù)的除法計(jì)算即可.【詳解】,.故選：A.2.已知，，則，的夾角等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量夾角公式的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因?yàn)?，，，所以，因?yàn)椋?，的夾角等于．故選：A3.已知，，且，，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用兩角和的正切公式，再結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值即可證明.【詳解】因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，，所以，所?故選：B.4.函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題意利用誘導(dǎo)公式結(jié)合正弦函數(shù)分析運(yùn)算．【詳解】令，則或，其中，當(dāng)，時(shí)，所以；當(dāng)，時(shí)，所以；綜上所述：.故選：AC.5.設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正弦定理求解即可得到所求結(jié)果．【詳解】由正弦定理得，∴．又，∴為銳角，∴．故選B．【點(diǎn)睛】在已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，需要進(jìn)行解的個(gè)數(shù)的討論，解題時(shí)要結(jié)合三角形中的邊角關(guān)系，即“大邊（角）對(duì)大角（邊）”進(jìn)行求解，屬于基礎(chǔ)題．6.已知為第二象限的角，則所在的象限是（）A.第一或第二象限 B.第二或第三象限 C.第一或第三象限 D.第二或第四象限【答案】D【解析】【分析】用不等式表示出的范圍，計(jì)算出的范圍，進(jìn)一步得到的范圍，然后可得其所在象限．【詳解】由為第二象限的角，即所以所以所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則，所以此時(shí)在第二象限.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則所以此時(shí)在第四象限.故選：D7.如圖，在中，是邊的中線，是邊的中點(diǎn)，若,則=A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量基本定理和向量的運(yùn)算法則，即可得到答案.【詳解】由題意，在中，是邊上的中線，所以,又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以,所以，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量基本定理和向量的線性運(yùn)算法則的應(yīng)用，其中正確把握平面向量的基本定理和向量的線性運(yùn)算法則——三角形法則和平行四邊形法則是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.8.函數(shù)以2為最小正周期，且能在時(shí)取得最大值，則的一個(gè)值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用三角函數(shù)恒等變換得到，由最小正周期求出，由得到，從而求出答案.【詳解】函數(shù)，因?yàn)?，所以，解得，由題意得，∴，，∴，，可知當(dāng)時(shí)，滿足要求，其他選項(xiàng)均不合要求.故選：A二、多選題（每小題5分）9.若復(fù)數(shù)，則（）A.|z|=2 B.|z|=4C.z的共軛復(fù)數(shù)=+i D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】依題意，故A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.，C選項(xiàng)正確.，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC10.下列關(guān)于平面向量的說法中正確的是（）A.已知，均為非零向量，若，則存在唯一實(shí)數(shù)，使得B.在中，若，則點(diǎn)為邊上的中點(diǎn)C.已知，均為非零向量，若，則D.若且，則【答案】ABC【解析】【分析】利用向量共線、向量加法、向量垂直、向量運(yùn)算等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)，根據(jù)向量共線的知識(shí)可知，A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)，，根據(jù)向量加法的運(yùn)算可知點(diǎn)為邊上的中點(diǎn)，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，由兩邊平方并化簡(jiǎn)得，所以，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，是一個(gè)數(shù)量，無法得到兩個(gè)向量相等，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC11.已知函數(shù)，則()A.的最小正周期為B.的最小正周期為C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.的值域?yàn)椤敬鸢浮緽CD【解析】【分析】利用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)f(x)為，再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)即可逐項(xiàng)判斷．【詳解】，的最小正周期為，A錯(cuò)誤，B正確；由得，即的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，C正確；，，，即的值域?yàn)?，D正確．故選：BCD．12.下列命題正確的是（）A.在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角為A，B，C，，則△ABC是等腰三角形B.已知，，則C.在△ABC中，a＝5，b＝8，C＝60°，則的值為D.在△ABC中，，AB＝2，BC＝4，則BC邊上的高為【答案】BCD【解析】【分析】由已知可得A＝B或，可判斷A；求得，可求判斷B；求得，可判斷C；先根據(jù)余弦定理求出b＝4，然后利用等面積法即可求出BC邊上的高．【詳解】解：對(duì)于A，∵，∴2A＝2B或，∴A＝B或，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，∵，，∴，∴，∴，故B正確；在△ABC中，a＝5，b＝8，C＝60°，則，故C正確；在△ABC中，設(shè)AB＝c，BC＝a，AC＝b，則c＝2，a＝4，因?yàn)?，所以，整理得，解得b＝4，（負(fù)值舍去），因?yàn)椋?，設(shè)BC邊上的高為h，則，，解得，故D正確.故選：BCD．第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（每小題5分）13.若向量與夾角為，且則_________．【答案】【解析】【分析】利用向量的模的坐標(biāo)表示及向量的數(shù)量積的定義即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，又因?yàn)橄蛄颗c的夾角為，且所以.故答案為：.14.已知，則__．【答案】【解析】【分析】及角的范圍即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又，所?故答案:.15.設(shè)為實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)，（其中i為虛數(shù)單位），若為實(shí)數(shù),則的值為_____．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及實(shí)數(shù)的定義，即可求解.【詳解】因?yàn)?，又是?shí)數(shù)，所以.故答案為：2.16.若向量與滿足，且，則在方向上的投影向量的模為______．【答案】5【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出，再利用投影向量及向量模的意義求解作答.【詳解】因?yàn)?，，則有，即，而在方向上的投影向量為，所以在方向上的投影向量的模為.故答案為：5四、解答題17.若向量，，．（1），求的值；（2）若與共線，求k的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，代入求值即可；（2）利用向量共線定理即可得出．【小問1詳解】因，即，所以，解得，故；【小問2詳解】因與共線，，，所以，故．18.（1）已知，求的值；（2）已知，且，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）分子分母同除，可構(gòu)造關(guān)于的式子，代入的值即可；（2）利用同角三角函數(shù)關(guān)系可求得，根據(jù)，利用兩角和差余弦公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）；（2），，，.19.設(shè)a，b，c分別為的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，向量，且.（1）求B；（2）若，求b.【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）利用向量平行列方程，結(jié)合正弦定理求得.（2）對(duì)進(jìn)行分類討論，結(jié)合余弦定理求得.【小問1詳解】因?yàn)?，且，所以，由正弦定理知，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以?【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，由余弦定理得，則；當(dāng)時(shí)，由余弦定理得，則.20.已知非零向量，滿足，且.（1）求；（2）當(dāng)時(shí)，求向量與的夾角的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律展開可得到，即可求出.（2）利用向量的數(shù)量積公式即可求出夾角的值.【詳解】（1）因?yàn)?，可得，即所以，?（2）因?yàn)椋?，，?【點(diǎn)睛】本題考查已知向量的數(shù)量積求向量的模以及向量的夾角運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.21.已知a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且滿足．（1）求角A的大小；（2）若，，求的面積．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)由可得，由余弦定理可得，結(jié)合范圍，即可求得的值；(2)由及正弦定理可得，又，由余弦定理可解得的值，利用三角形面積公式即可得結(jié)果.【詳解】（1）∵，可得：，∴由余弦定理可得：，又∵，∴（2）由及正弦定理可得：，∵，，∴由余弦定理可得：，∴解得：，，∴【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函數(shù)以及三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.對(duì)余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時(shí)還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用.22.已知向量.（1）求函數(shù)的最小正周期和嚴(yán)格増區(qū)間，（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值，并求出取得最值時(shí)的值.【答案】（1）最小正周期為；嚴(yán)格增區(qū)間為（2）故時(shí)，取得最大值；當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.【解析】【分析】（1）首先根據(jù)平面向